數(shù)學(xué)常考壓軸題九年級人教版第二十二章二次函數(shù)（4大壓軸考法專練）原卷版含答案及解析

第二十二章二次函數(shù)（4大壓軸考法專練）目錄題型一：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系 1題型二：拋物線與x軸交點 4題型三：二次函數(shù)的應(yīng)用 9題型四：二次函數(shù)綜合題 19一．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系1．（2024?江陽區(qū)校級模擬）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，則的取值范圍是A． B． C． D．2．（2024?商河縣二模）對于一個函數(shù)，當(dāng)自變量取時，其函數(shù)值等于，我們稱為這個函數(shù)的二倍數(shù)．若二次函數(shù)為常數(shù)）有兩個不相等且小于1的二倍數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．3．（2024?城廂區(qū)校級模擬）對于一個函數(shù)：當(dāng)自變量取時，其函數(shù)值也等于，我們稱為這個函數(shù)的不動點．若二次函數(shù)為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，則的取值范圍是A． B． C． D．二．拋物線與x軸的交點4．（2024?高新區(qū)校級一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，（點在點的左側(cè)），交軸于點．現(xiàn)有一長為3的線段在直線上移動，且在移動過程中，線段上始終存在點，使得三條線段，，能與某個等腰三角形的三條邊對應(yīng)相等．若線段左端點的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是．5．（2023秋?榆樹市校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，設(shè)該圖象上任意兩點的坐標(biāo)分別是，，，，其中，為時的最大值與最小值的差．若，則的取值范圍是．6．（2024?鄄城縣一模）如圖，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接交拋物線的對稱軸于點，是拋物線的頂點．（1）求此拋物線的解析式；（2）直接寫出點和點的坐標(biāo)；（3）若點在第一象限內(nèi)的拋物線上，且，求點坐標(biāo)．7．（2024?官渡區(qū)一模）已知二次函數(shù)為常數(shù)且的頂點在軸上方，且到軸的距離為4．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）將二次函數(shù)的圖象記為，將關(guān)于原點對稱的圖象記為，與合起來得到的圖象記為，完成以下問題：①在網(wǎng)格中畫出函數(shù)的圖象；②若對于函數(shù)上的兩點，，，，當(dāng)，時，總有，求出的取值范圍．8．（2023秋?修水縣期末）拋物線中，函數(shù)值與自變量之間的部分對應(yīng)關(guān)系如下表：1340（1）設(shè)拋物線的頂點為，則點的坐標(biāo)為；（2）現(xiàn)將拋物線沿軸翻折，得到拋物線，試求的解析式；（3）現(xiàn)將拋物線向下平移，設(shè)拋物線在平移過程中，頂點為點，與軸的兩交點為點、．①在最初的狀態(tài)下，至少向下平移多少個單位，點、之間的距離不小于6個單位？②在最初的狀態(tài)下，若向下平移個單位時，對應(yīng)的線段長為，請直接寫出與的等量關(guān)系．三．二次函數(shù)的應(yīng)用9．（2024?市北區(qū)三模）今年我國多個省市遭受嚴(yán)重干旱，受旱災(zāi)的影響，4月份，我市某蔬菜價格呈上升趨勢，其前四周每周的平均銷售價格變化如表：周數(shù)1234價格（元千克）22.22.42.6（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識直接寫出4月份與的函數(shù)關(guān)系式；（2）進(jìn)入5月，由于本地蔬菜的上市，此種蔬菜的平均銷售價格（元千克）從5月第1周的2.8元千克下降至第2周的2.4元千克，且與周數(shù)的變化情況滿足二次函數(shù)，請求出5月份與的函數(shù)關(guān)系式；（3）若4月份此種蔬菜的進(jìn)價（元千克）與周數(shù)所滿足的函數(shù)關(guān)系為，5月份此種蔬菜的進(jìn)價（元千克）與周數(shù)所滿足的函數(shù)關(guān)系為．試問4月份與5月份分別在哪一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大？且最大利潤分別是多少？10．（2024?滑縣二模）護(hù)林員在一個斜坡上的點處安裝自動澆灌裝置（其高度忽略不計）為坡地進(jìn)行澆灌，，點處的自動澆灌裝置噴出的水柱呈拋物線形．已知水柱在距出水口的水平距離為時，達(dá)到距離地面的豎直高度的最大值為．設(shè)噴出的水柱距出水口的水平距離為，距地面的豎直高度為，以坡底所在的水平方向為軸，處所在的豎直方向為軸建立平面直角坐標(biāo)系，原點為，如圖所示．經(jīng)過測量，可知斜坡的函數(shù)表達(dá)式近似為．（1）求圖中水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該裝置澆灌的最遠(yuǎn)點離地面的豎直高度為，求此時噴到處的水柱距出水口的水平距離．（3）給該澆灌裝置安裝一個支架，可調(diào)節(jié)澆灌裝置的高度，則水柱恰好可以覆蓋整個坡地時，安裝的支架的高度為多少米？11．（2024?紅塔區(qū)三模）某直營店招牌：“新進(jìn)最新款洗發(fā)水40瓶，每件售價80元，若一次性購買不超過10瓶時，售價不變；若一次性購買超過10瓶時，每多買1瓶，所買的每瓶洗發(fā)水的售價均降低2元．”已知該瓶洗發(fā)水每瓶進(jìn)價52元，設(shè)顧客一次性購買洗發(fā)水瓶時，他所付洗發(fā)水單價元，該直營店所獲利潤為元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）顧客一次性購買多少瓶時，該直營店從中獲利最多？12．（2024?南山區(qū)一模）麻城市思源實驗學(xué)校自從開展“高效課堂”模式以來，在課堂上進(jìn)行當(dāng)堂檢測效果很好．每節(jié)課40分鐘教學(xué)，假設(shè)老師用于精講的時間（單位：分鐘）與學(xué)生學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖1所示，學(xué)生用于當(dāng)堂檢測的時間（單位：分鐘）與學(xué)生學(xué)習(xí)收益的關(guān)系如圖2所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于當(dāng)堂檢測的時間不超過用于精講的時間．（1）求老師精講時的學(xué)生學(xué)習(xí)收益量與用于精講的時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求學(xué)生當(dāng)堂檢測的學(xué)習(xí)收益量與用于當(dāng)堂檢測的時間的函數(shù)關(guān)系式；（3）問此“高效課堂”模式如何分配精講和當(dāng)堂檢測的時間，才能使學(xué)生在這40分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？13．（2023秋?硚口區(qū)校級期末）某襯衣店將進(jìn)價為30元的一種襯衣以40元售出，平均每月能售出600件，調(diào)查表明：這種襯衣售價每上漲1元，其銷售量將減少10件．（1）寫出月銷售利潤（單位：元）與售價（單位：元件）之間的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)銷售價定為45元時，計算月銷售量和銷售利潤．（3）當(dāng)銷售價定為多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤．14．（2024?灤南縣校級模擬）某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐參與了某公司旗下一家加盟店經(jīng)營，了解到一種成本為20元件的新型商品在第天銷售的相關(guān)信息如下表所示：銷售量（件銷售單價（元件）當(dāng)時，當(dāng)時，（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元件（2）這40天中該加盟店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（3）在實際銷售的前20天中，公司為鼓勵加盟店接收大學(xué)生參加實踐活動決定每銷售一件商品就發(fā)給該加盟店元獎勵．通過該加盟店的銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前10天中，每天獲得獎勵后的利潤隨時間（天的增大而增大，求的取值范圍．四．二次函數(shù)綜合題15．（2024?淮安模擬）定義：若函數(shù)圖象上存在點，，且滿足，則稱為該函數(shù)的“域差值”．例如：函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則函數(shù)的“域差值”為2．（1）點，在的圖象上，“域差值”，求的值；（2）已知函數(shù)，求證該函數(shù)的“域差值”；（3）點為函數(shù)圖象上的一點，將函數(shù)的圖象記為，將函數(shù)的圖象沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)，兩部分組成的圖象上所有的點都滿足“域差值”時，求的取值范圍．16．（2024?玉山縣二模）已知拋物線的頂點為，直線與軸、軸分別交于點，．（1）若拋物線與軸只有一個公共點，求的值．（2）當(dāng)時，設(shè)的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，其頂點為點．①若點恰好落在直線上，求與滿足的關(guān)系式；②當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)前后的兩個二次函數(shù)的值都會隨的增大而減小，求的取值范圍．17．（2024?吉林四模）拋物線經(jīng)過點，點在拋物線上，且橫坐標(biāo)為，點是坐標(biāo)平面上一點，其坐標(biāo)為．以為對角線作矩形，軸．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)軸平分矩形的面積時，求的值；（3）當(dāng)時，求的值；（4）當(dāng)矩形的邊（包括頂點）與拋物線有3個交點時，直接寫出的取值范圍．18．（2024?冷水灘區(qū)校級模擬）如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點，與軸的另一個交點為，頂點為，連接，點為拋物線上一動點．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）若點在直線的下方運動時，過點作交于點，過點作軸的平行線交直線于點．求周長的最大值及此時點的坐標(biāo)．（3）在該拋物線上是否存在點，使得．若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．19．（2024?云夢縣校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，在的左側(cè)），與軸交于點，其對稱軸為直線．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖（1），已知點為第二象限拋物線上一點，連接，若，求點的坐標(biāo)；（3）和分別是直線和拋物線上的動點，且點的橫坐標(biāo)比點的橫坐標(biāo)大4個單位長度，分別過，作坐標(biāo)軸的平行線，得到矩形．設(shè)該拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）的圖象的最高點與最低點的縱坐標(biāo)的差為．①如圖（2），當(dāng)時，請直接寫出的值；②請直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．20．（2024?麗江二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．（1）求拋物線的解析式：（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（3）是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．21．（2024?海門區(qū)校級開學(xué)）已知：關(guān)于的函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)為任意實數(shù)時，這個函數(shù)的圖象恒過某定點（所謂定點，就是與值無關(guān)的點），求此點坐標(biāo)；（Ⅱ）若此函數(shù)的圖象是拋物線，且與軸有兩個相異交點、，其坐標(biāo)分別為，，，，其中．（1）求的取值范圍，并求當(dāng)為何值時，、兩點的距離等于3；（2）連接、得△，則當(dāng)取何值時，△的一個內(nèi)角等于．22．（2024?遼寧模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)的圖象與矩形對角線的兩個端點相交，則定義該函數(shù)為矩形的“友好函數(shù)”．（1）如圖，矩形，軸，經(jīng)過點和點的一次函數(shù)是矩形的“友好函數(shù)”，求一次函數(shù)的解析式；（2）已知第一象限內(nèi)矩形的兩條邊的長分別為2和4，且它的兩條邊分別平行軸和軸，經(jīng)過點和點的反比例函數(shù)是矩形的“友好函數(shù)”，求矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)；（3）若是矩形的“友好函數(shù)”且經(jīng)過，兩點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，軸．①若的圖象與矩形有且只有兩個交點，求的取值范圍；②點，是圖象上一點，且，當(dāng)時，的最大值和最小值的差是3，求的值．23．（2024?呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點．（1）若，則，通過配方可以將其化成頂點式為；（2）已知點，，，在拋物線上，其中，若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；（3）若，將拋物線向上平移4個單位得到的新拋物線與直線交于，兩點，直線與軸交于點，點為中點，過點作軸的垂線，垂足為點，連接，．求證：．24．（2024?東西湖區(qū)模擬）如圖1、拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，頂點為．（1）求拋物線的解析式；（2）是軸上一動點，將頂點繞點順時針旋轉(zhuǎn)剛好落在拋物線上的點處，求點的坐標(biāo)；（3）如圖2，點，為軸上方的拋物線上兩點（點在點的左邊），直線、與軸分別交于，兩點，若，試探究直線是否經(jīng)過定點，若是，求定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．25．（2024?延邊州模擬）如圖①，拋物線過點和點．點在線段上，點的橫坐標(biāo)為，且．點的坐標(biāo)為，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)時，求的取值范圍．（3）如圖②，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，與線段交于點．①若，且是直角三角形，則．②設(shè)，當(dāng)在、之間的拋物線上和折線上到軸的距離為的點共有3個時，直接寫出的取值范圍．26．（2024?蒸湘區(qū)一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點在圖形的內(nèi)部，或在圖形上，且點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點為圖形的“夢之點”．（1）如圖①，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是；（2）如圖②，已知點，是拋物線上的“夢之點”，點是拋物線的頂點．連接，，，求的面積；（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一點，點為平面內(nèi)一點，是否存在點、，使得以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．27．（2024?臨淄區(qū)一模）已知拋物線與軸交于點，點，與軸交于點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，若直線下方的拋物線上有一動點，過點作軸平行線交于，過點作的垂線，垂足為，求周長的最大值；（3）若點在拋物線的對稱軸上，點在軸上，是否存在以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（4）將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點，使得當(dāng)經(jīng)過點的任意一條直線與新拋物線交于，兩點時，總有為定值？若存在，求出點坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．28．（2024?峰峰礦區(qū)校級二模）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側(cè)），已知點的橫坐標(biāo)是2，拋物線的頂點為．（1）求的值及頂點的坐標(biāo)；（2）點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，記拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為，（點在點的右側(cè)）．當(dāng)點與點重合時（如圖，求拋物線的表達(dá)式；（3）如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點，，，中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時，求點的坐標(biāo)．29．（2024?泉州模擬）已知點和點在拋物線上．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）四邊形的四個頂點均在該拋物線上，與交于點，直線為，，直線為．①求的值；②記的面積為，四邊形的面積為，若，，求的最小值．30．（2024?菏澤二模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當(dāng)面積最大時，請求出點的坐標(biāo)；（3）在（2）的結(jié)論下，過點作軸的平行線交直線于點，連接，點是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．31．（2024?蓬江區(qū)校級三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，拋物線，其頂點為，連接，并將繞著點0順時針旋轉(zhuǎn)得到，（1）當(dāng)拋物線過點時，求的值；（2）當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)拋物線與的邊（包括端點）有且只有兩個交點時，直接寫出的取值范圍．32．（2024?南丹縣一模）如圖，拋物線與軸交于點，點，點是拋物線的頂點，過點作軸的垂線，垂足為點．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點是拋物線上一點，且位于軸上方，橫坐標(biāo)為，連接，若，求的值；（3）如圖2，將拋物線平移后得到頂點為的拋物線．點為拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線，交拋物線于點，過點作軸的平行線，交拋物線于點．當(dāng)以點，，為頂點的三角形與全等時，請直接寫出點的坐標(biāo)．33．（2024?文昌校級模擬）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點、，與軸交于點，點是拋物線上的動點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖1，當(dāng)時，求的面積；（3）當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（4）如圖2，點是拋物線對稱軸上一點，是否存在點，使是以點為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

第二十二章二次函數(shù)（4大壓軸考法專練）目錄題型一：二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系 1題型二：拋物線與x軸交點 4題型三：二次函數(shù)的應(yīng)用 9題型四：二次函數(shù)綜合題 19一．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系1．（2024?江陽區(qū)校級模擬）新定義：若一個點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個點為二倍點．若二次函數(shù)為常數(shù)）在的圖象上存在兩個二倍點，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】由點的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍可得二倍點在直線上，由可得二倍點所在線段的端點坐標(biāo)，結(jié)合圖象，通過求拋物線與線段交點求解．【解答】解：由題意可得二倍點所在直線為，將代入得，將代入得，設(shè)，，如圖，聯(lián)立方程，當(dāng)△時，拋物線與直線有兩個交點，即，解得，此時，直線和直線與拋物線交點在點，上方時，拋物線與線段有兩個交點，把代入得，把代入得，，解得，滿足題意．故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵掌握函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形問題求解．2．（2024?商河縣二模）對于一個函數(shù)，當(dāng)自變量取時，其函數(shù)值等于，我們稱為這個函數(shù)的二倍數(shù)．若二次函數(shù)為常數(shù)）有兩個不相等且小于1的二倍數(shù)，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的二倍數(shù)概念得出、是方程的兩個實數(shù)根，由△且時，即可求解．【解答】解：由題意知二次函數(shù)有兩個相異的二倍數(shù)點、是方程的兩個不相等實數(shù)根，且、都小于1，整理，得：，由有兩個不相等的實數(shù)根知：△，即①，令，畫出該二次函數(shù)的草圖如下：而、（設(shè)在的右側(cè)）都小于1，即當(dāng)時，②，聯(lián)立①②并解得：，故選：．【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解并掌握二倍數(shù)的概念，并據(jù)此得出關(guān)于的不等式．3．（2024?城廂區(qū)校級模擬）對于一個函數(shù)：當(dāng)自變量取時，其函數(shù)值也等于，我們稱為這個函數(shù)的不動點．若二次函數(shù)為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】由函數(shù)的不動點概念得出、是方程的兩個實數(shù)根，由△且時，即可求解．【解答】解：由題意知二次函數(shù)有兩個相異的不動點、是方程的兩個不相等實數(shù)根，且、都小于1，整理，得：，由有兩個不相等的實數(shù)根知：△，即①，令，畫出該二次函數(shù)的草圖如下：而、（設(shè)在的右側(cè)）都小于1，即當(dāng)時，②，聯(lián)立①②并解得：；故選：．【點評】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解并掌握不動點的概念，并據(jù)此得出關(guān)于的不等式．二．拋物線與x軸的交點4．（2024?高新區(qū)校級一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，（點在點的左側(cè)），交軸于點．現(xiàn)有一長為3的線段在直線上移動，且在移動過程中，線段上始終存在點，使得三條線段，，能與某個等腰三角形的三條邊對應(yīng)相等．若線段左端點的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是．【分析】（1）先求出點，點，點坐標(biāo)，分三種情況討論，由兩點間距離公式和三角形三邊關(guān)系可求解．【解答】解：（1）的圖象交軸于點，，交軸于點．點，點，點，對稱軸為直線，如圖2，線段上始終存在點，使得三條線段，，能與某個等腰三角形的三條邊對應(yīng)相等，，或，或，在直線上移動，點的縱坐標(biāo)為，設(shè)點，若，，，點，，，，，不合題意舍去；若，，，點，，，，，，，能組成三角形；若，，，點，，，，，，能組成三角形；點在長為3的線段上，線段左端點的橫坐標(biāo)為的取值范圍為：，線段左端點的橫坐標(biāo)為的取值范圍為：，故答案為：．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，兩點距離公式，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．5．（2023秋?榆樹市校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點坐標(biāo)為，設(shè)該圖象上任意兩點的坐標(biāo)分別是，，，，其中，為時的最大值與最小值的差．若，則的取值范圍是．【分析】由題意得：、只能在對稱軸的兩側(cè)，即，，即拋物線在處取得最小值，在頂點處取得最大值，即可求解．【解答】解：將代入拋物線表達(dá)式得：．解得：，由拋物線的表達(dá)式知，其對稱軸為直線，，，則、只能在對稱軸的兩側(cè)，即，，即拋物線在處取得最小值，在頂點處取得最大值，而時，函數(shù)，時，，當(dāng)時，則，此時，，當(dāng)時，則，此時，，故，故答案為：．【點評】本題考查的是拋物線和軸的交點，熟悉函數(shù)額圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024?鄄城縣一模）如圖，已知拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，連接交拋物線的對稱軸于點，是拋物線的頂點．（1）求此拋物線的解析式；（2）直接寫出點和點的坐標(biāo)；（3）若點在第一象限內(nèi)的拋物線上，且，求點坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)點、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）代入求出值，由此可得出點的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出頂點的坐標(biāo)；（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，，，根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出值，再代入值求出值，取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）將、代入，，解得：，拋物線的解析式為．（2）當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為；拋物線的解析式為，頂點的坐標(biāo)為．（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，，，，，，，，，解得：（不合題意，舍去），，點的坐標(biāo)為．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）利用二次函數(shù)性質(zhì)求出頂點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合求出點的縱坐標(biāo)．7．（2024?官渡區(qū)一模）已知二次函數(shù)為常數(shù)且的頂點在軸上方，且到軸的距離為4．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）將二次函數(shù)的圖象記為，將關(guān)于原點對稱的圖象記為，與合起來得到的圖象記為，完成以下問題：①在網(wǎng)格中畫出函數(shù)的圖象；②若對于函數(shù)上的兩點，，，，當(dāng)，時，總有，求出的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點在軸上方，且到軸的距離為4，可得二次函數(shù)頂點的縱坐標(biāo)為4，進(jìn)而可得的值，即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）①分別得到與軸的交點，頂點坐標(biāo)及與軸正半軸的交點，畫出相關(guān)函數(shù)圖象；同理得到與軸的交點，頂點坐標(biāo)及與軸負(fù)半軸的交點，畫出相關(guān)函數(shù)圖象；②分點在軸的左側(cè)和右側(cè)兩種情況探討的情況時的取值，即可得到的取值范圍．【解答】解（1）二次函數(shù)為常數(shù)且的頂點在軸上方，且到軸的距離為4．．解得：．二次函數(shù)的解析式為：；（2）①二次函數(shù)的圖象記為，圖象與軸的交點為，頂點坐標(biāo)為，與軸正半軸的交點為．關(guān)于原點對稱的圖象，與軸的交點為，頂點坐標(biāo)為，與軸負(fù)半軸的交點為．②Ⅰ、當(dāng)點在軸的左側(cè)和點之間時，總有．．，；Ⅱ、當(dāng)點在軸的右側(cè)時，點在點的右邊時，總有．當(dāng)時，．解得：（不合題意，舍去），．時，總有．綜上：或時，總有．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．用到的知識點為：二次函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)為．本題主要采用數(shù)形結(jié)合的方法判斷出時相對應(yīng)的自變量的取值．8．（2023秋?修水縣期末）拋物線中，函數(shù)值與自變量之間的部分對應(yīng)關(guān)系如下表：1340（1）設(shè)拋物線的頂點為，則點的坐標(biāo)為；（2）現(xiàn)將拋物線沿軸翻折，得到拋物線，試求的解析式；（3）現(xiàn)將拋物線向下平移，設(shè)拋物線在平移過程中，頂點為點，與軸的兩交點為點、．①在最初的狀態(tài)下，至少向下平移多少個單位，點、之間的距離不小于6個單位？②在最初的狀態(tài)下，若向下平移個單位時，對應(yīng)的線段長為，請直接寫出與的等量關(guān)系．【分析】（1）觀察表格可知，拋物線上點與點關(guān)于對稱軸對稱，推出拋物線的對稱軸，可得頂點坐標(biāo)．（2）根據(jù)題意求出拋物線的頂點坐標(biāo)以及的值即可解決問題．（3）①拋物線向下平移過程中，對稱軸，當(dāng)之間的距離為6時，可知，，此時拋物線的解析式為，即，所以拋物線至少向下平移9個單位，點、之間的距離不小于6個單位．②拋物線下平移個單位后的解析式為，令，解得，可得，，，，推出，由此即可解決問題．【解答】解：（1）觀察表格可知，拋物線上點與點關(guān)于對稱軸對稱，拋物線的對稱軸，頂點坐標(biāo)．故答案為．（2）設(shè)拋物線的解析式為，把代入得到，拋物線的解析式為，將拋物線沿軸翻折，得到拋物線，根據(jù)對稱性可知，拋物線的頂點為，，的解析式為，（3）①拋物線向下平移過程中，對稱軸，當(dāng)之間的距離為6時，可知，，此時拋物線的解析式為，即，拋物線至少向下平移9個單位，點、之間的距離不小于6個單位．②拋物線下平移個單位后的解析式為，令，解得，，，，，，．【點評】本題考查二次函數(shù)與軸的交點、平移變換、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，熟練掌握二次函數(shù)的三種形式，屬于中考?？碱}型．三．二次函數(shù)的應(yīng)用9．（2024?市北區(qū)三模）今年我國多個省市遭受嚴(yán)重干旱，受旱災(zāi)的影響，4月份，我市某蔬菜價格呈上升趨勢，其前四周每周的平均銷售價格變化如表：周數(shù)1234價格（元千克）22.22.42.6（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識直接寫出4月份與的函數(shù)關(guān)系式；（2）進(jìn)入5月，由于本地蔬菜的上市，此種蔬菜的平均銷售價格（元千克）從5月第1周的2.8元千克下降至第2周的2.4元千克，且與周數(shù)的變化情況滿足二次函數(shù)，請求出5月份與的函數(shù)關(guān)系式；（3）若4月份此種蔬菜的進(jìn)價（元千克）與周數(shù)所滿足的函數(shù)關(guān)系為，5月份此種蔬菜的進(jìn)價（元千克）與周數(shù)所滿足的函數(shù)關(guān)系為．試問4月份與5月份分別在哪一周銷售此種蔬菜一千克的利潤最大？且最大利潤分別是多少？【分析】（1）從表格看出，每增加1，就增加0.2，由此可確定是一次函數(shù)關(guān)系式，繼而代入兩點可得出解析式；（2）把，和，，分別代入可求、的值，確定二次函數(shù)解析式；（3）根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，求最大利潤；【解答】解：（1）通過觀察可見四月份周數(shù)與的符合一次函數(shù)關(guān)系式，設(shè)這個關(guān)系式為：，則，解得：，月份與的函數(shù)關(guān)系式為；（2）將，，代入．可得：解之：即．（3）4月份此種蔬菜利潤可表示為：，即：；由函數(shù)解析式可知，四月份的利潤隨周數(shù)的增大而減小，所以應(yīng)在第一周的利潤最大，最大為：（元千克），5月份此種蔬菜利潤可表示為：，即：由函數(shù)解析式可知，五月份的利潤隨周數(shù)變化符合二次函數(shù)且對稱軸為：，即在第1至4周的利潤隨周數(shù)的增大而減小，所以應(yīng)在第一周的利潤最大，最大為：（元千克）．【點評】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出兩函數(shù)關(guān)系式，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)計算，有一定難度．10．（2024?滑縣二模）護(hù)林員在一個斜坡上的點處安裝自動澆灌裝置（其高度忽略不計）為坡地進(jìn)行澆灌，，點處的自動澆灌裝置噴出的水柱呈拋物線形．已知水柱在距出水口的水平距離為時，達(dá)到距離地面的豎直高度的最大值為．設(shè)噴出的水柱距出水口的水平距離為，距地面的豎直高度為，以坡底所在的水平方向為軸，處所在的豎直方向為軸建立平面直角坐標(biāo)系，原點為，如圖所示．經(jīng)過測量，可知斜坡的函數(shù)表達(dá)式近似為．（1）求圖中水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若該裝置澆灌的最遠(yuǎn)點離地面的豎直高度為，求此時噴到處的水柱距出水口的水平距離．（3）給該澆灌裝置安裝一個支架，可調(diào)節(jié)澆灌裝置的高度，則水柱恰好可以覆蓋整個坡地時，安裝的支架的高度為多少米？【分析】（1）由題意可得，拋物線的頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式即可；（2）把代入或，再求解即可；（3）設(shè)安裝的支架高度為米，即拋物線向上平移個單位長度．可得平移后的拋物線表達(dá)式為．求解．將代入，再進(jìn)一步求解即可．【解答】解：（1）由題意，可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．把代入，得，解得．水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）對于直線，當(dāng)時，，解得．噴到處的水柱距出水口的水平距離為．解法二：將代入，可得，解得或（舍去）．噴到處的水柱距出水口的水平距離為．（3）設(shè)安裝的支架高度為米，即拋物線向上平移個單位長度．平移后的拋物線表達(dá)式為．對于，當(dāng)時，，解得．．將代入，得，解得．水柱恰好可以覆蓋整個坡地時，安裝的支架的高度為米．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意是解本題的關(guān)鍵；11．（2024?紅塔區(qū)三模）某直營店招牌：“新進(jìn)最新款洗發(fā)水40瓶，每件售價80元，若一次性購買不超過10瓶時，售價不變；若一次性購買超過10瓶時，每多買1瓶，所買的每瓶洗發(fā)水的售價均降低2元．”已知該瓶洗發(fā)水每瓶進(jìn)價52元，設(shè)顧客一次性購買洗發(fā)水瓶時，他所付洗發(fā)水單價元，該直營店所獲利潤為元．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）顧客一次性購買多少瓶時，該直營店從中獲利最多？【分析】（1）根據(jù)題意分、兩種情況求解可得；（2）根據(jù)銷量乘以每臺利潤進(jìn)而得出總利潤，利用一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)分別求解，比較大小即可得出答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；（2）①當(dāng)時，，隨的增大而增大，當(dāng)時，取得最大值，最大值為280；②當(dāng)時，，時，取得最大值，最大值為288，綜上，當(dāng)顧客一次性購買12瓶時，該直營店從中獲利最多．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意得出與的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．12．（2024?南山區(qū)一模）麻城市思源實驗學(xué)校自從開展“高效課堂”模式以來，在課堂上進(jìn)行當(dāng)堂檢測效果很好．每節(jié)課40分鐘教學(xué)，假設(shè)老師用于精講的時間（單位：分鐘）與學(xué)生學(xué)習(xí)收益量的關(guān)系如圖1所示，學(xué)生用于當(dāng)堂檢測的時間（單位：分鐘）與學(xué)生學(xué)習(xí)收益的關(guān)系如圖2所示（其中是拋物線的一部分，為拋物線的頂點），且用于當(dāng)堂檢測的時間不超過用于精講的時間．（1）求老師精講時的學(xué)生學(xué)習(xí)收益量與用于精講的時間之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求學(xué)生當(dāng)堂檢測的學(xué)習(xí)收益量與用于當(dāng)堂檢測的時間的函數(shù)關(guān)系式；（3）問此“高效課堂”模式如何分配精講和當(dāng)堂檢測的時間，才能使學(xué)生在這40分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？【分析】（1）由圖設(shè)該函數(shù)解析式為，即可依題意求出與的函數(shù)關(guān)系式．（2）本題涉及分段函數(shù)的知識．需要注意的是的取值范圍依照分段函數(shù)的解法解出即可．（3）設(shè)學(xué)生當(dāng)堂檢測的時間為分鐘，學(xué)生的學(xué)習(xí)收益總量為，則老師在課堂用于精講的時間為分鐘．用配方法的知識解答該題即可．【解答】解：（1）設(shè)，把代入，得：，，；（2）當(dāng)時，設(shè)，把代入，得：，解得：，，當(dāng)時，；（3）設(shè)學(xué)生當(dāng)堂檢測的時間為分鐘，學(xué)生的學(xué)習(xí)收益總量為，則老師在課堂用于精講的時間為分鐘，當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，隨的增大而減小，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，取得最大值129，此時，答：此“高效課堂”模式分配33分鐘時間用于精講、分配7分鐘時間當(dāng)堂檢測，才能使這學(xué)生在40分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的運用，頂點式求二次函數(shù)的最大值的運用，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．13．（2023秋?硚口區(qū)校級期末）某襯衣店將進(jìn)價為30元的一種襯衣以40元售出，平均每月能售出600件，調(diào)查表明：這種襯衣售價每上漲1元，其銷售量將減少10件．（1）寫出月銷售利潤（單位：元）與售價（單位：元件）之間的函數(shù)解析式．（2）當(dāng)銷售價定為45元時，計算月銷售量和銷售利潤．（3）當(dāng)銷售價定為多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤．【分析】（1）利用已知表示出每件的利潤以及銷量進(jìn)而表示出總利潤即可；（2）將代入求出即可求出月銷售量和銷售利潤；（3）利用配方法求出二次函數(shù)最值即可得出答案．【解答】解：（1）由題意可得：，；（2）當(dāng)時，（件，（元；（3），，故當(dāng)（元，最大利潤為12250元．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及配方法求二次函數(shù)最值，得出與的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．14．（2024?灤南縣校級模擬）某大學(xué)生利用暑假40天社會實踐參與了某公司旗下一家加盟店經(jīng)營，了解到一種成本為20元件的新型商品在第天銷售的相關(guān)信息如下表所示：銷售量（件銷售單價（元件）當(dāng)時，當(dāng)時，（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元件（2）這40天中該加盟店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？（3）在實際銷售的前20天中，公司為鼓勵加盟店接收大學(xué)生參加實踐活動決定每銷售一件商品就發(fā)給該加盟店元獎勵．通過該加盟店的銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前10天中，每天獲得獎勵后的利潤隨時間（天的增大而增大，求的取值范圍．【分析】（1）分別令當(dāng)時和當(dāng)時的函數(shù)值為35，然后求得對應(yīng)的的值即可；（2）分為當(dāng)時和當(dāng)時兩種情況，列出列出與天數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）先求得拋物線的對稱軸方程，然后依據(jù)前10天的利潤隨的增大而增大列出關(guān)于的不等式求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)時，，解得當(dāng)時，，解得，經(jīng)檢驗，是分式方程的解．（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，有最大值為612.5當(dāng)時，，當(dāng)時，有最大值為725第21天時獲得最大利潤，最大利潤為725（3），前10天每天獲得獎勵后的利潤隨時間（天的增大而增大，觀察圖象可知，對稱軸為直線，，解得：，因為．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次、反比例函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．四．二次函數(shù)綜合題15．（2024?淮安模擬）定義：若函數(shù)圖象上存在點，，且滿足，則稱為該函數(shù)的“域差值”．例如：函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則函數(shù)的“域差值”為2．（1）點，在的圖象上，“域差值”，求的值；（2）已知函數(shù)，求證該函數(shù)的“域差值”；（3）點為函數(shù)圖象上的一點，將函數(shù)的圖象記為，將函數(shù)的圖象沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)，兩部分組成的圖象上所有的點都滿足“域差值”時，求的取值范圍．【分析】（1）由題意得：，，由，得，即可求得答案；（2）設(shè)函數(shù)圖象上存在點，，且滿足，，可得，再利用不等式的性質(zhì)即可得出，即；（3）當(dāng)兩部分組成的圖象上所有的點都滿足“域差值”時，則，可得，對于函數(shù)的圖象沿直線翻折后的圖象記為，利用對稱性可得，即可得出答案．【解答】（1）解：點，在的圖象上，，，“域差值”，，即，整理，得：，解得：，，經(jīng)檢驗，，均是方程的解，的值為或；（2）證明：設(shè)函數(shù)圖象上存在點，，且滿足，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，，，即，故該函數(shù)的“域差值”；（3）點為函數(shù)圖象上的一點，，由（2）得：，當(dāng)兩部分組成的圖象上所有的點都滿足“域差值”時，則，解得：，即，當(dāng)時，函數(shù)的圖象上所有的點都滿足“域差值”，如圖，對于函數(shù)的圖象沿直線翻折后的圖象記為，當(dāng)部分圖象上的所有的點都滿足“域差值”時，則，解得：，，即，．【點評】本題是函數(shù)背景下新定義問題，主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想等，解題關(guān)鍵是正確理解并運用新定義解決問題．16．（2024?玉山縣二模）已知拋物線的頂點為，直線與軸、軸分別交于點，．（1）若拋物線與軸只有一個公共點，求的值．（2）當(dāng)時，設(shè)的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．（3）將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)得到拋物線，其頂點為點．①若點恰好落在直線上，求與滿足的關(guān)系式；②當(dāng)時，旋轉(zhuǎn)前后的兩個二次函數(shù)的值都會隨的增大而減小，求的取值范圍．【分析】（1）先得出拋物線的頂點為，根據(jù)拋物線與軸只有一個公共點，建立方程求解即可；（2）過點作軸，交于，交軸于，分兩種情況：①如圖1，當(dāng)即時，點在直線的右方，②當(dāng)即時，點在直線的左方，分別求得答案即可；（3）①點繞點旋轉(zhuǎn)得到點，可得點為中點，設(shè)，則有，，即，，代入，即可求得答案；②由題意得當(dāng)拋物線開口向上時，在的范圍內(nèi)滿足隨增大而減小，旋轉(zhuǎn)后拋物線開口向下，且頂點，利用二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式即可求得答案．【解答】解：（1），拋物線的頂點為，拋物線與軸只有一個公共點，，；（2）過點作軸，交于，交軸于，點在直線上，且，即點一定在點上方，，直線與軸，軸分別交于點，，，，，①如圖1，當(dāng)即時，點在直線的右方，，②當(dāng)即時，點在直線的左方，，綜上所述，；（3）①點繞點旋轉(zhuǎn)得到點，點為中點，設(shè)，則有，，整理得：，，點在直線上，，整理得：；②旋轉(zhuǎn)前拋物線對稱軸為直線，當(dāng)拋物線開口向上時，在的范圍內(nèi)滿足隨增大而減小，旋轉(zhuǎn)后拋物線開口向下，且頂點，要滿足在的范圍內(nèi)隨增大而減小，即拋物線下降，對稱軸直線需在左側(cè)，，解得：．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)中的面積問題，中心對稱，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．（2024?吉林四模）拋物線經(jīng)過點，點在拋物線上，且橫坐標(biāo)為，點是坐標(biāo)平面上一點，其坐標(biāo)為．以為對角線作矩形，軸．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)軸平分矩形的面積時，求的值；（3）當(dāng)時，求的值；（4）當(dāng)矩形的邊（包括頂點）與拋物線有3個交點時，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）由題意得：，，，，根據(jù)軸平分矩形的面積，可得軸經(jīng)過的中點，利用中點坐標(biāo)公式即可求得答案；（3）由，建立方程求解即可得出答案；（4）分兩種情況：①當(dāng)點在點的下方時，②當(dāng)點在點的上方時，分別討論即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點，，解得：，拋物線的函數(shù)解析式為；（2）由題意得：，，以為對角線作矩形，軸，，，軸平分矩形的面積，軸經(jīng)過的中點，，解得：，的值為；（3），，化簡得：，或，解得：，，，，綜上所述，的值為0或1或2或3；（4），拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，，點在點的右邊，①當(dāng)點在點的下方時，則，，令，解得：，，，矩形的邊（包括頂點）與拋物線有3個交點，拋物線的對稱軸必定在之間且更靠近，且，即，；②當(dāng)點在點的上方時，則，或，這種情況下，拋物線與矩形有3個交點有兩種情況：拋物線交矩形于、兩點，且頂點為的中點，則，即，拋物線交矩形于、兩點，且頂點在上方，把代入，得，整理得：，△，此方程沒有實數(shù)根，該情況不可能存在；綜上所述，的取值范圍為或．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，重點考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段的中點坐標(biāo)的表示方法，分類討論數(shù)學(xué)思想的運用等知識與方法，此題綜合性強，難度較大，屬于考試壓軸題．18．（2024?冷水灘區(qū)校級模擬）如圖，已知拋物線經(jīng)過、兩點，與軸的另一個交點為，頂點為，連接，點為拋物線上一動點．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）若點在直線的下方運動時，過點作交于點，過點作軸的平行線交直線于點．求周長的最大值及此時點的坐標(biāo)．（3）在該拋物線上是否存在點，使得．若存在，求出所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點、坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式，即可求解；（2）運用待定系數(shù)法可得直線的解析式為：．設(shè)點，則，，再證得是等腰直角三角形，得出，設(shè)的周長為1，則，運用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；（3）分點在直線下方、上方兩種情況，分別求解即可．【解答】解：（1）拋物線過、兩點，，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）令，得，解得：，，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為：．設(shè)點，則，，如圖，過點作軸于，則，，，，，，是等腰直角三角形，，軸，軸，，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)的周長為1，則，當(dāng)時，周長1最大，最大值為：，此時點為，；（3）存在．連接，，拋物線的頂點為，，，，，，當(dāng)點在直線下方時，，，，，，，點是的中點，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的表達(dá)式為：，由，解得：（舍去），，此時點，．當(dāng)點在直線上方時，如圖，，．設(shè)直線的解析式為，把點、的坐標(biāo)代入得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，把點的坐標(biāo)代入得：，解得，直線的表達(dá)式為，聯(lián)立得，解得（舍去）或，此時點．綜上，存在點，使得．點的坐標(biāo)為，或．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)綜合運用，等腰直角三角形性質(zhì)等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．19．（2024?云夢縣校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點，在的左側(cè)），與軸交于點，其對稱軸為直線．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖（1），已知點為第二象限拋物線上一點，連接，若，求點的坐標(biāo)；（3）和分別是直線和拋物線上的動點，且點的橫坐標(biāo)比點的橫坐標(biāo)大4個單位長度，分別過，作坐標(biāo)軸的平行線，得到矩形．設(shè)該拋物線在矩形內(nèi)部（包括邊界）的圖象的最高點與最低點的縱坐標(biāo)的差為．①如圖（2），當(dāng)時，請直接寫出的值；②請直接寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)交軸于，可證得，得出，可得，運用待定系數(shù)法可得直線解析式為，聯(lián)立方程組即可求得點的坐標(biāo)；（3）①當(dāng)時，，，，，即可求得答案；②由題意得：，，由，可得，，分三種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別畫出圖象，即可求得答案．【解答】解：（1）拋物線與軸交于點，其對稱軸為直線，，解得，拋物線的函數(shù)解析式為；（2）點為第二象限拋物線上一點，設(shè)交軸于，如圖在中，令得；解得或，，，，，，，，，又，，即，，，，，由，得直線解析式為，聯(lián)立，解得（舍去）或，，；（3）①當(dāng)時，，，，，；②根據(jù)，可得拋物線的頂點為，當(dāng)時，，由題意得：，，，當(dāng)時，，解得：，，當(dāng)時，如圖2，，此時拋物線在矩形內(nèi)只有一個點，不合題意；當(dāng)時，如圖3，；當(dāng)時，如圖4，；當(dāng)時，如圖5，；當(dāng)時，如圖6，；綜上所述，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式和一次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識．利用了數(shù)形結(jié)合與方程思想．屬于中考數(shù)學(xué)壓軸題．20．（2024?麗江二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與軸交于點，為第一象限拋物線上的動點，連接，，，，與相交于點．（1）求拋物線的解析式：（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（3）是否存在點，使，若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)圖形得到：，即．運用三角形的面積公式求得點的縱坐標(biāo)，然后由二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得點的橫坐標(biāo)即可；（3）在軸的正半軸上取點，連接，過點作交拋物線于另一點，易證，利用已知條件可求出，，進(jìn)而求出直線，直線的解析式，求兩條直線的交點即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過，兩點，．解得．拋物線的解析式是；（2）設(shè)，對于拋物線．令，則，．，．，即．．．．解得，．點的坐標(biāo)是或．（3）存在，使，點的坐標(biāo)是，理由：在軸的正半軸上取點，連接，過點作交拋物線于另一點，，，，，在和中，，，，，，，，，，，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得：，直線的解析式為，，設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，直線的解析式為，由，解得：，（不符合題意，舍去），．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形面積公式等知識點．難度不是很大，注意解題過程中方程思想和分類討論數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．21．（2024?海門區(qū)校級開學(xué)）已知：關(guān)于的函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)為任意實數(shù)時，這個函數(shù)的圖象恒過某定點（所謂定點，就是與值無關(guān)的點），求此點坐標(biāo)；（Ⅱ）若此函數(shù)的圖象是拋物線，且與軸有兩個相異交點、，其坐標(biāo)分別為，，，，其中．（1）求的取值范圍，并求當(dāng)為何值時，、兩點的距離等于3；（2）連接、得△，則當(dāng)取何值時，△的一個內(nèi)角等于．【分析】（Ⅰ）函數(shù)過定點問題，參考整式中得無關(guān)項，將含的式子合并，令其系數(shù)為0即可得解；（Ⅱ）（1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系將長度用含式子表示出來，再建立方程即可求出值．（2）分類討論，畫出圖形，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）原函數(shù)可化為，令得，此時，從而拋物線恒過定點；（Ⅱ）（1）由條件得解得且，由根與系數(shù)之間的關(guān)系可知，，，由條件得，解得，，兩數(shù)均符合題意，故當(dāng)或時，，兩點的距離等于3；（2）在△中，有一個內(nèi)角等于，①若，則如圖1，作軸于，則，此時，點坐標(biāo)為，代入原函數(shù)得，解得；②若，同①可得點坐標(biāo)為，代入原函數(shù)得，解得，不合題意，舍去；③若，則如圖2，作于，則△是等腰直角三角形，，又由得，，即，，同理，故．又，，解得，（舍去），綜上，滿足條件得值為或．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，分類討論和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22．（2024?遼寧模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)的圖象與矩形對角線的兩個端點相交，則定義該函數(shù)為矩形的“友好函數(shù)”．（1）如圖，矩形，軸，經(jīng)過點和點的一次函數(shù)是矩形的“友好函數(shù)”，求一次函數(shù)的解析式；（2）已知第一象限內(nèi)矩形的兩條邊的長分別為2和4，且它的兩條邊分別平行軸和軸，經(jīng)過點和點的反比例函數(shù)是矩形的“友好函數(shù)”，求矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)；（3）若是矩形的“友好函數(shù)”且經(jīng)過，兩點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，軸．①若的圖象與矩形有且只有兩個交點，求的取值范圍；②點，是圖象上一點，且，當(dāng)時，的最大值和最小值的差是3，求的值．【分析】（1）將和的坐標(biāo)代入求解即可；（2）由題意可設(shè)出和的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)求解即可，需要注意的是題目只說矩形邊長為2和4，并沒注明哪條邊長是2和4，所以需要分類討論；（3）根據(jù)題意畫出圖象，再根據(jù)頂點位置列出不等式即可得解；（4）二次函數(shù)最值問題，在開口方向固定的情況下，要討論對稱軸和自變量取值范圍的關(guān)系，由，得到，進(jìn)而確定最大值和最小值即可求解．【解答】解：（1）一次函數(shù)經(jīng)過點和點，．解得：．；（2）①如圖，當(dāng)，時，設(shè)點的坐標(biāo)為則點的坐標(biāo)為．．解得：，（不合題意，舍去）．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．矩形的兩條邊的長分別為2和4，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)的坐標(biāo)為；②如圖當(dāng)，時，設(shè)點的坐標(biāo)為則點的坐標(biāo)為．．解得：，（不合題意，舍去）．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．矩形的兩條邊的長分別為2和4，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)的坐標(biāo)為；綜上，矩形距原點最近的頂點坐標(biāo)為或．（3）①，，且軸，，，將和代入得，，解得，頂點坐標(biāo)為，，當(dāng)時，如圖，此時，解得；當(dāng)時，如圖，此時，解得，綜上，的取值范圍為或．②由①知，，，當(dāng)時，最小，當(dāng)時，最大，的最大值和最小值的差是3，，解得．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，難度較大，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解決問題的關(guān)鍵．23．（2024?呼和浩特）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點．（1）若，則，通過配方可以將其化成頂點式為；（2）已知點，，，在拋物線上，其中，若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；（3）若，將拋物線向上平移4個單位得到的新拋物線與直線交于，兩點，直線與軸交于點，點為中點，過點作軸的垂線，垂足為點，連接，．求證：．【分析】（1）將代入拋物線解析式求解，即可得出的值，再化為頂點式即可；（2）由，拋物線經(jīng)過可得的取值范圍，從而可得拋物線對稱軸，由可得點，，，到對稱軸距離的大小關(guān)系，進(jìn)而求解；（3）先求得平移后的拋物線解析式，與直線聯(lián)立求得點、的坐標(biāo)，根據(jù)中點得出點及的坐標(biāo)，運用兩點間距離公式即可證得結(jié)論．【解答】（1）解：拋物線經(jīng)過點，，解得：，，化成頂點式為，故答案為：2，；（2）解：將代入得，，，，拋物線開口向上，對稱軸為直線，，，，；（3）證明：如圖，直線與軸交于點，，當(dāng)時，原拋物線解析式為，向上平移4個單位得到的新拋物線解析式為，與直線聯(lián)立得，解得：，，當(dāng)，時，點為中點，，，軸，，，根據(jù)兩點間距離公式得，，；當(dāng)，時，點為中點，，，，，根據(jù)兩點間距離公式得，，．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．24．（2024?東西湖區(qū)模擬）如圖1、拋物線與軸交于點，兩點，與軸交于點，頂點為．（1）求拋物線的解析式；（2）是軸上一動點，將頂點繞點順時針旋轉(zhuǎn)剛好落在拋物線上的點處，求點的坐標(biāo)；（3）如圖2，點，為軸上方的拋物線上兩點（點在點的左邊），直線、與軸分別交于，兩點，若，試探究直線是否經(jīng)過定點，若是，求定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)，過點作軸于點，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點，則，，設(shè)，則，可證得，得出，，建立方程組求解即可求得答案；（3）設(shè)，，運用待定系數(shù)法可得：直線的解析式為，直線的解析式為，直線的解析式為，令，則，，可得，，根據(jù)題意推出，代入直線的解析式得，當(dāng)時，，即直線經(jīng)過定點．【解答】解：（1）拋物線與軸交于點，兩點，，解得：，拋物線的解析式為；（2）設(shè)，過點作軸于點，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于點，如圖1，則，，頂點，，，，設(shè)，則，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，解得：，，點的坐標(biāo)為，或，；（3）直線經(jīng)過定點．理由如下：設(shè)，，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，同理可得：直線的解析式為，直線的解析式為，令，則，，，，，，，代入直線的解析式得，當(dāng)時，，直線經(jīng)過定點．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．25．（2024?延邊州模擬）如圖①，拋物線過點和點．點在線段上，點的橫坐標(biāo)為，且．點的坐標(biāo)為，以為斜邊在軸上方作等腰直角三角形．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)時，求的取值范圍．（3）如圖②，過點作軸的垂線，與拋物線交于點，與線段交于點．①若，且是直角三角形，則．②設(shè)，當(dāng)在、之間的拋物線上和折線上到軸的距離為的點共有3個時，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法、坐標(biāo)代入即可求出解析式；（2）根據(jù)增減性判定拋物線在的最大值和最小值即可得解；（3）①根據(jù)是等腰直角三角形得出，所以，，把和坐標(biāo)表示出來即可建立方程求解；②根據(jù)題意分別畫出圖象求解即可．【解答】解：（1）拋物線過點和點，，解得：，該拋物線的解析式為；（2），拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，拋物線的開口向上，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）①，和均為銳角，是直角三角形，，即，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，即，解得：或（舍去），故答案為：．②點坐標(biāo)是，且為等腰直角三角形，，由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標(biāo)為，與軸的交點坐標(biāo)，，令得，，解得：或，均不符合，不納入討論范圍．（Ⅰ）當(dāng)時，如圖，，在、之間的拋物線上和折線上到軸的距離為的點共4個，不符合題意；（Ⅱ）當(dāng)時，如圖，，在、之間的拋物線上和折線上到軸的距離為的點共2個，不符合題意；（Ⅲ）當(dāng)時，如圖，，在、之間的拋物線上和折線上到軸的距離為的點共有3個，符合題意；綜上，當(dāng)在、之間的拋物線上和折線上到軸的距離為的點共有3個時，．【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查內(nèi)容相對綜合，熟練掌握二次函數(shù)的基礎(chǔ)知識以及數(shù)形結(jié)合和分類討論思想是解題關(guān)鍵．26．（2024?蒸湘區(qū)一模）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點在圖形的內(nèi)部，或在圖形上，且點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等時，則稱點為圖形的“夢之點”．（1）如圖①，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，在點，，中，是矩形“夢之點”的是；（2）如圖②，已知點，是拋物線上的“夢之點”，點是拋物線的頂點．連接，，，求的面積；（3）在（2）的條件下，點為拋物線上一點，點為平面內(nèi)一點，是否存在點、，使得以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)“夢之點”的定義判斷這幾個點是否在矩形的內(nèi)部或邊上；（2）根據(jù)“夢之點”的定義可得：，，利用二次函數(shù)的頂點式可得拋物線的頂點為，拋物線的對稱軸為直線，由，即可求得答案；（3）設(shè)，由以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形，可得，利用兩點間距離公式建立方程求解即可求得答案．【解答】解：（1）矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，矩形的“夢之點”滿足，，點，是矩形的“夢之點”，點不是矩形的“夢之點”，故答案為：，；（2）點，是拋物線上的“夢之點”，點，是直線上的點，，解得：，，，，，拋物線的頂點為，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)拋物線的對稱軸交于，則，，；（3）存在，理由如下：設(shè)，以為對角線，以、、、為頂點的四邊形是菱形，，，解得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，點坐標(biāo)為，或，．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握兩點間的距離公式，理解新定義是解題的關(guān)鍵．27．（2024?臨淄區(qū)一模）已知拋物線與軸交于點，點，與軸交于點．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，若直線下方的拋物線上有一動點，過點作軸平行線交于，過點作的垂線，垂足為，求周長的最大值；（3）若點在拋物線的對稱軸上，點在軸上，是否存在以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（4）將拋物線向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到一個新的拋物線，問在軸正半軸上是否存在一點，使得當(dāng)經(jīng)過點的任意一條直線與新拋物線交于，兩點時，總有為定值？若存在，求出點坐標(biāo)及定值，若不存在，請說明理由．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）根據(jù)拋物線解析式求出點坐標(biāo)，運用待定系數(shù)法求出直線解析式，設(shè)，則，根據(jù)，及、兩點坐標(biāo)得出是等腰直角三角形，利用表示出的周長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可得答案；（3）根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸為直線，點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，根據(jù)平行四邊形對角線中點的坐標(biāo)相同，分、、為對角線三種情況，列方程組求出、的值即可得答案；（4）根據(jù)平移規(guī)律得出新的拋物線解析式為，設(shè)的解析式為，，，，，則，聯(lián)立拋物線與直線的解析式得，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用、、、分別表示和，代入，根據(jù)為定值得出值及定值即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點，點，，解得：，拋物線的表達(dá)式為：；（2）拋物線與軸交于點，，設(shè)直線的解析式為，把、代入得：，解得：，直線的解析式為，設(shè)，其中，則，，，，軸，，是等腰直角三角形，，的周長，當(dāng)時，，周長的最大值為；（3）存在，拋物線的解析式為，拋物線的對稱軸為直線，設(shè)點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，又，，①當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，如圖，則，解得：，，②當(dāng)、為平行四邊形的對角線時，如圖，則，解得：，，③當(dāng)、為對角線時，如圖，則，解得：，解得：，綜上所述，存在點，使以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，點的坐標(biāo)為，，．（4）當(dāng)拋物線向左平移1個單位，向上平移4個單位后，得到新的拋物線，即，設(shè)的解析式為，點坐標(biāo)為，，點坐標(biāo)為，，則，聯(lián)立新拋物線與直線的解析式得：，整理得：，由根與系數(shù)關(guān)系得：，，由兩點間距離公式得：，同理，，，為定值，，解得：，當(dāng)時，，定點，的值為4．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的平移，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用等，綜合性強，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及規(guī)律是解題關(guān)鍵．28．（2024?峰峰礦區(qū)校級二模）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側(cè)），已知點的橫坐標(biāo)是2，拋物線的頂點為．（1）求的值及頂點的坐標(biāo)；（2）點是軸正半軸上一點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)后得到拋物線，記拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為，（點在點的右側(cè)）．當(dāng)點與點重合時（如圖，求拋物線的表達(dá)式；（3）如圖2，在（2）的條件下，從，，中任取一點，，，中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線為拋物線的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時，求點的坐標(biāo)．【分析】（1）將點代入，即可求出，把拋物線的解析式化為頂點式即可得出頂點坐標(biāo)；（2）如圖1，連接，作軸于，作軸于，由，可得，，故拋物線的頂點的坐標(biāo)為，即可得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）設(shè)點，如圖2，作軸于，軸于，于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：，進(jìn)而可得：點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，再分類討論即可得出答案．【解答】解：（1）由得，頂點的坐標(biāo)為，點在拋物線上，，解得：；（2）如圖1，連接，作軸于，作軸于，根據(jù)題意，點，關(guān)于點成中心對稱，過點，且，在和中，，，，，拋物線的頂點的坐標(biāo)為，拋物線由繞點旋轉(zhuǎn)后得到，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（3）拋物線由繞軸上的點旋轉(zhuǎn)后得到，頂點，關(guān)于點成中心對稱，由（2）知：點的縱坐標(biāo)為8，設(shè)點，如圖2，作軸于，軸于，于，旋轉(zhuǎn)中心在軸上，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理得，，顯然，和不可能是直角三角形，①當(dāng)是直角三角形時，顯然只能有，根據(jù)勾股定理得：，，，解得：，，點的坐標(biāo)為，；②當(dāng)是直角三角形時，顯然只能有，根據(jù)勾股定理得：，，，解得：，，點的坐標(biāo)為，，③當(dāng)是直角三角形時，，，當(dāng)時，，即，解得：，，點的坐標(biāo)為，；當(dāng)時，，即，解得：，，點的坐標(biāo)為，；，，綜上所述，當(dāng)拋物線是拋物線的勾股伴隨同類函數(shù)時，點的坐標(biāo)為，或，或，．【點評】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，圖形的翻折和平移，新定義“勾股伴隨同類函數(shù)”的理解與應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項系數(shù)確定函數(shù)的形狀，形狀相同．開口方向相同則二次項系數(shù)相等，若形狀相同，開口方向相反，則二次項系數(shù)互為相反數(shù)，根據(jù)二次項系數(shù)和頂點坐標(biāo)直接寫出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．29．（2024?泉州模擬）已知點和點在拋物線上．（1）求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）四邊形的四個頂點均在該拋物線上，與交于點，直線為，，直線為．①求的值；②記的面積為，四邊形的面積為，若，，求的最小值．【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）①聯(lián)立直線與拋物線的解析式得，運用根與系數(shù)關(guān)系得：，，再運用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為，聯(lián)立后得，得出，進(jìn)而求得，，同理可得：，，進(jìn)而得出：，，即可求得；②設(shè)與軸交于點，與軸交于點，可得直線的表達(dá)式為，，記的面積為，的面積為，的面積為，，推出，記，則，即，運用一元二次方程根的判別式即可求得答案．【解答】解：（1）點和點在拋物線上，，解得：，拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）①直線與拋物線交于、兩點，，整理得：，，，設(shè)直線的表達(dá)式為，又直線經(jīng)過點，，解得：，直線的表達(dá)式為，聯(lián)立得：，整理得：，，，，，同理可得：，，聯(lián)立方程組得，整理得：，則，，又，，，即；②設(shè)與軸交于點，與軸交于點，當(dāng)，時，由（2）①得，解得：，直線的表達(dá)式為，，記的面積為，的面積為，的面積為，，，又，，，，，，記，則，即，存在，關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，△，或，解得：或（不符合題意，舍去），當(dāng)時，取得最小值，且的最小值為．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，三角形面積等，綜合性強，難度較大，屬于?？嫉闹锌紨?shù)學(xué)壓軸題．30．（2024?菏澤二模）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過、兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點是直線上方拋物線上的一動點，當(dāng)面積最大時，請求出點的坐標(biāo)；（3）在（2）的結(jié)論下，過點作軸的平行線交直線于點，連接，點是拋物線對稱軸上的動