2024-2025學(xué)年重慶市高二年級(jí)上冊(cè)10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求.）

1.已知直線4過(guò)點(diǎn)"OH）且與直線/2：2x+N-4=0平行，則直線4的一般式方程為（

）

A2x+y+9=0B2x+y-9=0

「x+2y+9=0nx+2y-9=0

2.已知空間向量”（2,2,T）,%=（4,0,3）,則向量B在向量Z上的投影向量是（）

5]_5

A.9（4,0,3）B.5（4,0,3}C,9⑵2,-1）D.

]_

3（2,2,-1）

3.如圖所示，在平行六面體"Be。-4402中，M為4G與5a的交點(diǎn)，若

48=原/。=3,/4=弓則麗等于（）

-a+-b+c

B.22

——a——b+c--a+~b+c

C.22

4.已知空間三點(diǎn)0（0,0,0）,A（\,右，2）,8（百，-1,2）,則以。/,為鄰邊的平行四

邊形的面積為（）

A.8B,4C,D.4乖1

5.已知8（-3,—2）,尸（1,1）,直線/過(guò)點(diǎn)瓦且與線段4P相交,則直線/的斜

率先的取值范圍是（）

A.彌-4或%4

--<k<-

B.54

313

k<--k<——k>-

C4或k24D.5或4

6.在棱長(zhǎng)為3的正四面體N8C。中，AM=2MB,CN=2ND,則（）

A2B.加D,2^2

7.如圖所示，在正方體力BCD—，9C。中，棱長(zhǎng)為1,E,尸分別是8C,CD上的點(diǎn)，且

2E=CF=a（0<a<l）,則。E與2戶(hù)的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.與。值有

關(guān)

8.已知二面角C-48-D的大小為120。，CAVAB,DB1AB,AB=BD=4,AC=2,M,N分別為

直線BC,ND上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則最小值為（）

3733754V|475

A.5B.5c.5D.5

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9,直線/：x+6y+i=°,則（）

5兀

A.點(diǎn)仁"）在/上

B./的傾斜角為6

D./的方向向量為S,）

C./的圖象不過(guò)第一象限

10.下列結(jié)論正確的是（）

A,兩個(gè)不同的平面以尸的法向量分別是"=（2,2,T）,v=（—3,4,2）,則a"

B,直線/的方向向量"=（0'3，0）,平面a的法向量"=0,0,2）,則///I

C若在=（2,T-4）,就=（4,2,0）,萬(wàn)=（0,一4,一8）,則點(diǎn)尸在平面電。內(nèi)

D,若a+3）+c，c+a是空間的一組基底，則向量見(jiàn)瓦。也是空間一組基底

11.如圖，在多面體48coES中，S4,平面/BCD,四邊形NBC。是正方形，且0E〃

SA,￡4=48=2￡>￡=2,〃，雙分別是線段8°,58的中點(diǎn)，。是線段℃上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（含端點(diǎn)0，。），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在點(diǎn)0,使得NQLS8

B,存在點(diǎn)°,使得異面直線N。與"所成的角為60°

2

C.三棱錐°—體積的最大值是§

D.當(dāng)點(diǎn)。自。向0處運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角N-MQ-"的平面角先變小后變大

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知點(diǎn)'Si）'?"'。則直線Z5的傾斜角是.

13.如圖，在四棱錐尸一/3?！?gt;中，平面尸CQ,平面N8CQ,底面48CQ是矩形，

AB=2BC=6,尸C,PD,PC=P。，點(diǎn)0是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為線段形上靠近§的三

等分點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線4°的距離為

p

A

AC=141,BC=6,C=-

14.如圖，在V4BC中，4,過(guò)NC的中點(diǎn)M的動(dòng)直線/與線段

4B交于點(diǎn)N,將&AMN沿直線I向上翻折至"'MN,使得點(diǎn)其在平面BCMN內(nèi)的射影

H落在線段8C上，則斜線4M與平面BCMN所成角的正弦值的最大值為.

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

15.己知直線/過(guò)點(diǎn)口2,2）.

（1）若直線/與3》一＞+6=°垂直，求直線’的方程；

（2）若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線’的方程.

16.已知空間中三點(diǎn)（，，）,（，'）,（，，）.

⑴若A,B,C三點(diǎn)共線，求機(jī)+〃的值；

（2）若布，8c的夾角是鈍角，求加+”的取值范圍.

UUUUUU

17.如圖，在四棱錐P-中，底面/Be。為直角梯形，且AD=2BC,

已知側(cè)棱4?1平面4BCD,設(shè)點(diǎn)E為棱尸D的中點(diǎn).

(1)證明：CE//平面/BP；

⑵若AB=AP=AD=2,求點(diǎn)尸到平面BCE的距離.

18.如圖1,在中，BM1BC,A,D分別為邊MB,MC的中點(diǎn)，且

BC=AM=2,將△M4O沿ZQ折起到△尸4。的位置，使尸N_L4B,如圖2,連接心,

PC

(1)求證：平面4SCO；

(2)若￡為尸C的中點(diǎn)，求直線QE與平面所成角的正弦值；

PG

—=2(0<2<1)

(3)線段產(chǎn)°上一動(dòng)點(diǎn)G滿(mǎn)足尸C，判斷是否存在彳，使二面角

回

G-/D一尸的正弦值為10,若存在，求出4的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù).主要應(yīng)用距離測(cè)試樣

本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有3種.設(shè)/(石/J,8(%,必)，則歐幾里得距離

。(08)=比—/+(—2)2；曼哈頓距離或48)=阮一引+|必一刃，余弦距離

e(48)=l—cos(48),其中cos(48)=cos〈O4O8〉(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)若4T2),155人求A,8之間的曼哈頓距離d(42)和余弦距離e(4§)；

⑵若點(diǎn)N(2,1),d"N)=l,求e(MN)的最大值；

(3)已知點(diǎn)P,。是直線/：/-1=儀％-1)上的兩動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線/使得

d(0，0)若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的直線/的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求.）

1.已知直線4過(guò)點(diǎn)'（26）且與直線/2：2x+y-4=0平行，則直線4的一般式方程為（

）

人2%+?+9=0B2x+y-9=0

Cx+2y+9=0Dx+2y—9=0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到勺=—2,結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.

【詳解】直線,2的斜截式方程為＞=—2X+4,則其斜率為—2,

因?yàn)橹本€4過(guò)點(diǎn)"G’5）,且與直線,2平行，所以q=—2,

則直線k的點(diǎn)斜式方程為廣5=-2（“-2）,即為2x+y-9=0.

故選：B.

2.已知空間向量”（2,2,T）,'=（4,0,3）,則向量B在向量々上的投影向量是（）

5]_5

A.9（4,0,3）B.5（4,0,3}C.9（2,2,-1）D.

1

3（2,2,-1）

【正確答案】C

【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量的概念求解即可.

b'aa2x4+0-3-5

.?=-(2,2,-l)

—>—>212+22+(-1)2

【詳解】向量區(qū)在向量z上的投影向量為Ml

故選：C

3.如圖所示，在平行六面體4ss—//iGA中，/為4G與3也的交點(diǎn)，若

AB=5,AD=b,AAX=c

—a+一力+?

B.22

--a--b+c--a+-b+c

22D.22

【正確答案】D

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到答案.

【詳解】因?yàn)椤?a與8a的交點(diǎn)，

]

BM=BB1+B^M=AAi+-BD=AAi+-（AD-AB）

所以22

1—.1—-—■11-

=——AB+-AD+AA,=——a+-b+c

22122

故選：D.

4.已知空間三點(diǎn)。（0,0,0）,/（I,6,2）,2（右，-1,2）,則以。/,02為鄰邊的平行四

邊形的面積為（）

A.8B,4C,8也D.，出

【正確答案】D

【分析】先求出OH的長(zhǎng)度和夾角，再用面積公式求出△048的面積進(jìn)而求得四邊形

的面積.

【詳解】因?yàn)椤?0,0,0),A(l,百，2),3(5-1,2),

所以CM=J(1一0)2+即一01+(2-0)2=2亞OB=^(y3-0J+(-1-0)2+(2-0)2=2①

OA=(1，V32),OB=(^3-1,2),

——1XV3+V3X(-1)+2X2

cosOA,OB=--------L'/-----

2V2X2V22

sinOA,OB=——

所以2

2S=2X-X2V2X2V2X—=4A/3

以。4。8為鄰邊的平行四邊形的面積為22

故選：D.

5.已知，(2廠3),，(-3,—2),尸(1,1),直線/過(guò)點(diǎn)-且與線段/尸相交,則直線/的斜

率人的取值范圍是()

173

k>-——<k<—

A.無(wú)W-4或4B.54

3,1,3

k<--k<——k>—

C.4或左24D.5或4

【正確答案】B

【分析】畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合得到演戶(hù)2須“，求出心。左切，得到答案.

【詳解】如圖所示：由題意得，所求直線I的斜率k滿(mǎn)足-《BA,

即一3—25且1+34,所以54.

故選：B.

6.在棱長(zhǎng)為3的正四面體N8C。中，AM=2MB,CN=2ND,則（）

A.2B.&C.aD,2后

【正確答案】B

----—?-77；—?\MN\

【分析】將"N用/8、4C、4。表示，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得II.

—?2—?

___.__.AM=—AB

【詳解】因?yàn)?所以，3,

__.1—?2__?

——,——.AM_Ar—y(Af)—AN=—AC+—AD

又因?yàn)镃N=2ND,則"AC-2(AD所以，33

-----——■-1——.2——?2—?

MN=AN-AM=-AC+-AD——AB

所以，333

AB-AC=AB-AD=AC-AD=32cos600=-

由空間向量的數(shù)量積可得2

—?—?w

\MN\=-\AC+2AD-2AB\+2AD-2AB}

因此,3邳M

■2?2?2*■?????/

1+4AD+4AB'-4ABAC-8AB-AD+4AC-AD

故選：B.

7.如圖所示，在正方體/BCD-中，棱長(zhǎng)為1,E,尸分別是2C,CD上的點(diǎn)，且

BE=CF=a（O<a<l）,則。石與夕尸的位置關(guān)系是（）

B.垂直C.相交D.與。值有

關(guān)

【正確答案】B

【分析】建立坐標(biāo)系，利用向量的乘積計(jì)算出0'￡1*=0,即可求解

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則。〈0,0,1),E(l-a,l,0\"(1,1,1),F(0,l-?,0)；

:.D'E-B'F=(1-a)x(-1)+1x(-a)+(-1)x(-1)=a-l-a+l=0

:.D'E±B'F

故選：B

本題考查空間向量的垂直的定義，屬于基礎(chǔ)題

8.已知二面角C-AB-D的大小為120°,CA1AB,DBVAB,AB=BD=4,AC=2,M,N分別為

直線3C,上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則性加1最小值為（）

3V33754M4出

A.5B.5C.5D.5

【正確答案】D

【分析】將二面角C—4s-￡＞放到長(zhǎng)方體中，根據(jù)二面角的定義得到NC4F=120。，根據(jù)

幾何知識(shí)得到最小值為異面直線8C,NO的距離，然后將異面直線8C,NQ的距離

轉(zhuǎn)化為直線BC到平面ADE的距離，即點(diǎn)C到平面ADE的距離，最后利用等體積求點(diǎn)

C到平面4DE的距離即可.

如圖，將二面角。―48—￡＞放到長(zhǎng)方體中，取CE=AD=4,過(guò)點(diǎn)￡作斯上面480交

面N皿于點(diǎn)尸，

由題意可知尸，CAVABt所以NC4尸為二面角C—N8一0的平面角，即

ZCAF=120°

因?yàn)镸,N分別為直線BC,ND上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以最小值為異面直線5C,

幺。的距離，

由題意知CE//8D,CE=BD,所以四邊形為平行四邊形，CB//DE；

因?yàn)?。Eu平面4DE,平面4DE,所以C5北平面4DE,則異面直線BC,40的

距離可轉(zhuǎn)化為直線8c到平面NOE的距離，即點(diǎn)C到平面NOE的距離，

設(shè)點(diǎn)C到平面4DE的距離為d,則VC-ADE=VD-CAE,3"一§,"CAEAB,

在直角三角形CN〃中，^CAH=180°-120°=60°,CA=2,所以？￡4=1,

CH=EF=也AF=3AE=小?+(G)=2G

，，，

直角梯形4sQp中，J42+1=JF7,AD=\IA2+42=46,

￡>￡=,/1+17=2A/5

因?yàn)殓邸?+2后2=。后2,AE2+DE2=AD2,所以G4L4E,AEIDE,

5△ALCa,c￡=-X2X2A/3=2V3S.DE=-x2A/3x2A/5=2^/15

，，

.一S.dB2也x4_4亞

S-ADE27155

故選：D.

方法點(diǎn)睛：求異面直線距離的方法：（1）找出異面直線的公垂線，然后求距離；（2）轉(zhuǎn)化

為過(guò)直線甲且與直線乙平行的平面與直線乙的距離.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9,直線/：x+Gy+i=°,則（）

5兀

B.I的傾斜角為6

C.1的圖象不過(guò)第一象限

【正確答案】BC

【分析】利用點(diǎn)與直線的位置關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；求出直線/的斜率，可得出直線’的傾斜

角，可判斷B選項(xiàng)；作出直線/的圖象可判斷C選項(xiàng)；求出直線/的方向向量，可判斷D選

項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，,,.一2+⑹+1”,所以,點(diǎn)（一2,百）不在/上

,A錯(cuò)；

7V35兀

k--------

對(duì)于B選項(xiàng)，直線/的斜率為3,故/的傾斜角為6,B對(duì)；

C⑻

u,---

對(duì)于C選項(xiàng)，直線/交X軸于點(diǎn)（—1'°）,交歹軸于點(diǎn)13A如下圖所示：

y

島+1=0

由圖可知，直線/不過(guò)第一象限，c對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，直線’的一個(gè)方向向量為伊廠1),而向量/廠1)與這里G6)不共線，D

錯(cuò).

故選：BC.

10.下列結(jié)論正確的是()

A.兩個(gè)不同的平面火尸的法向量分別是M=(2?，T)#=(-3,42),則a,,

B,直線/的方向向量"=(°'3，°),平面a的法向量M=0，°，2),則///&

C若益=(2T-4)，k=(4,2,0),Q=(0,-4,-8),則點(diǎn)尸在平面招。內(nèi)

D.若a+H+gc+a是空間的一組基底，則向量?jī)?nèi)瓦C也是空間一組基底

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)平面向量的法向量垂直判斷A,根據(jù)直線與平面的關(guān)系判斷B,根據(jù)空間中共

面基本定理判斷C,由空間向量基本定理判斷D.

［詳解］因?yàn)?,4,2)=-6+8-2=0,所以a”,故A正確；

因?yàn)橹本€’的方向向量平面a的法向量"=(L°，2),

不能確定直線是否在平面內(nèi)，故B不正確；

因?yàn)榉?(0,—4,—8)=2(2,-1,-4)-(4,2,0)=2幾—A,

所以萬(wàn)，AB,/C共面，即點(diǎn)尸在平面4BC內(nèi)，故c正確；

若°+反刃+gC+a是空間的一組基底，

―)

則對(duì)空間任意一個(gè)向量d,存在唯一的實(shí)數(shù)組(X//),

使得才=x(a-^-b)+y(b+c)+z(c+5)

所以°,8c也是空間一組基底，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，在多面體/8COES中，S4L平面N8CD,四邊形Z5CD是正方形，支DE//

SA,&4="8=20￡=2,/川分別是線段8。,53的中點(diǎn)，。是線段。C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（含端點(diǎn)°，c）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A,存在點(diǎn)°,使得N。,S3

B.存在點(diǎn)°,使得異面直線N。與"所成的角為60°

2

C,三棱錐Q一體積的最大值是§

D.當(dāng)點(diǎn)。自。向0處運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角N-MQ-N的平面角先變小后變大

【正確答案】ACD

【分析】以N為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，向量法證明線線垂直判斷A選項(xiàng)；向量法求

異面直線所成的角判斷選項(xiàng)B；由%-由二心-"，求體積最大值判斷C選項(xiàng)；向量法求

二面角余弦值的變化情況判斷選項(xiàng)D.

【詳解】S/工平面4BCD,四邊形4BC。是正方形，

以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，"民"QMS正方向?yàn)閤,y,2軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

z」

E

x

由S4=48=2DE=2,

^（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,Z>（0,2,0）,E（0,2,1）,5（0,0,2）,iV（l,0,1）,M（2,1,0）

對(duì)于A,假設(shè)存在點(diǎn)。（加20）（°"加"2）,使得NQ1S5,

則而=（能—1,2,—1）,又忌=（2,0,—2）,

NQ-SB=2（m-1）+2=0^解得：m=0,

即點(diǎn)。與。重合時(shí)，NQ工SB,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B,假設(shè)存在點(diǎn)°（加,2,0）（0<m<2）^使得異面直線NQ與SA所成的角為60°,

???NQ=(mSA=(0,0,-2)

f

一「迎?網(wǎng)

II1\_

■.cosNQ,S4卜??I,=、—

11w-M+52

,方程無(wú)解;

二不存在點(diǎn)0,使得異面直線皿與"所成的角為60°,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于C,連接N0，NM，/N；

滑DQ=m(0<m<2)

?s—c_cc_cm

?Q&AMQ一^uABCD口"BMQ&QCM^AADQ萬(wàn),

???當(dāng)相=0,即點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，S*取得最大值2；

d=—S/4=1

又點(diǎn)N到平面AMQ的距離2

=[X2><1=2

伍-的）max=（^N-AMQ）max33「啡而下施

DD,C選項(xiàng)正確；

HD,由上分析知：而=（根-LA1）,麗1）,

m.NQ=（m-l^x+2y—z=0

<

若加=（x/,z）是面NW0的法向量，則[應(yīng)?NM=x+y-2=0

令X=l,則成=（1,2—加,3—掰），

而面/他的法向量為=（0，°，1）,

一一m-n3-m

cos私n=?-rp-j-二-/

所以,1+（2—機(jī)y+（3—機(jī)）2,令/=3—加e[l,3[

由。從。到C的過(guò)程，機(jī)由小變大，貝”由大變小，即，由小變大,

所以cos應(yīng)再先變大，后變小，由圖知：二面角恒為銳角，

故二面角先變小后變大，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）

12.已知點(diǎn)'（"'I）'??。則直線AB的傾斜角是

兀

【正確答案】6

【分析】根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線48的斜率，即可求得答案.

【詳解】由于“（肉）5（3斤），

3-1

k=---------二—

故直線4S的斜率為3^3-733

因?yàn)橹本€的傾斜角范圍為[0]),

兀

故直線48的傾斜角是％,

兀

故?

13.如圖，在四棱錐P—4s皿中，平面尸平面NBC。，底面Z5CQ是矩形，

4B=2BC=6,尸C,尸。，尸C=P。，點(diǎn)0是co的中點(diǎn)，點(diǎn)￡為線段心上靠近8的三

等分點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線的距離為.

【分析】說(shuō)明°尸兩兩垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空

間距離的向量求法，即可求得答案.

【詳解】取N8的中點(diǎn)為。，連接尸°，°°'，幺￡,因?yàn)槭?°2°為°。的中點(diǎn)，所以

P01CD9

又平面尸CD_L平面4SCD,平面尸CDPl平面45C。=CD,POu平面尸CD,

所以PO平面A8CO,00七平面28。。，所以尸0,0。，

又底面4sCD是矩形，點(diǎn)。是C。的中點(diǎn)，A8的中點(diǎn)為所以

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，尸所在直線分別為x，％z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

ZA

PC—_LCD=a

由PC,PQ,尸C二尸D,CD=6得2

所以2（3,—3,0）,8（3,3,0）,尸（0,0,3）,

—?2—?2

PE=-PB=-(3,3,-3)

點(diǎn)E為線段網(wǎng)上靠近2的三等分點(diǎn)，則33

則EG?」)，所以m=(—1，5，1),.=(-3,3,0),

AOAE18_^3^

則|函=必"。=后,西§/，

因此點(diǎn)E到直線4°的距離

故3

AC=2y/2,BC=6,C=-

14.如圖，在V4BC中，4,過(guò)NC的中點(diǎn)M的動(dòng)直線/與線段

AB交于點(diǎn)N,將AAMN沿直線I向上翻折至"MN,使得點(diǎn)其在平面BCMN內(nèi)的射影

a落在線段BC上，則斜線4M與平面5cMN所成角的正弦值的最大值為.

2亞

【正確答案】5

【分析】首先求出V48C中邊48,3角的正弦與余弦值，以底面點(diǎn)8為空間原點(diǎn)建系（如

圖1）,設(shè)點(diǎn)“（"Z）,由〃（羽°，°）,得H（x,O,z）,求出4C"坐標(biāo)，由

/?=幺/=4W得出羽2滿(mǎn)足的關(guān)系式，從而可得2的范圍也即4H的范圍，翻折過(guò)程

a,—a,。］「°A\

中可得W44',設(shè)I2人"JU,4人由向量的數(shù)量積為o從而得出X關(guān)于

。的表達(dá)式，求得》的范圍，再由線面角的正弦值得出結(jié)論.

C=-,/\ABC

【詳解】4中，根據(jù)余弦定理，

____________________________AC_AB

AB=VAC2+BC2-ZAC-BC-cosC=2^5,根據(jù)正弦定理sirtSsinC,得

sinS=-cosB=

5,由知5<C,則5,

如圖1,以底面點(diǎn)5為空間原點(diǎn)建系，根據(jù)底面幾何關(guān)系，得點(diǎn)“（4,2,0）,C（6,0,0）,設(shè)點(diǎn)

"（x〃，z）,點(diǎn)?的投影”（羽0,0）在二軸上,即H（X,0,Z）,M（5,1,0）,由

MC=AM=,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，

可得J（6-5）2+（0—1）2=^/（x-5）2+（0-1）2+z2,整理為（x-5）2+z2=1_

圖1

如圖2,在翻折過(guò)程中△羽的A'MN,作于點(diǎn)E,則

并且從EAA'E=E,AE,A'Eu平面A'AE,

所以MN_L平面u平面HZE,

所以跖VJ.44',即兒W-44'=0,其中ZZ=(x_4,_2,z)

a,，。,。］MN=\（2-5,—tz-1,0

又動(dòng)點(diǎn)N在線段45上，設(shè)I2人所以I2aG[0,4)

_,__k(x-4)(6z-5)-2|—(2-1|=0,x=5+——e|2,—

由JW,4H=0,得U)a-5I5.

22fo,_AHGIo,_

又因?yàn)?x—5)+z=1,對(duì)應(yīng)的z的取值為I5」，即I5」，

由已知斜線4M與平面BCMN所成角是/HMH,

NH

smZArMH=------G

所以A'M°泊

.M-42

故斜線4"與平面8cMN所成角的正弦值的最大值為5

275

故5

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

15.己知直線/過(guò)點(diǎn)口2,2）.

（1）若直線/與3x—>+6=°垂直，求直線’的方程;

（2）若直線/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線’的方程.

【正確答案】⑴》+3^-8=0；

(2)…或…=0

【分析】（1）由垂直斜率關(guān)系求得直線/的斜率，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；

（2）分別討論截距為o、不為o,其中不為o時(shí)可設(shè)為、+>+機(jī)=°,代入點(diǎn)尸，即可求得

參數(shù)m

【小問(wèn)1詳解】

直線3x—>+6=°的斜率為3,則直線/的斜率為3,則直線/的方程為

"2=T（x-2）,即X+3,8=0；

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)截距為0時(shí)，直線/的方程為歹="；

當(dāng)截距不為0時(shí)，直線/設(shè)為x+V+m=°,代入尸(2,2)解得加=一4,故直線/的方程為

x+j-4=0

綜上，直線/的方程為y=x或x+y_4=0

16.已知空間中三點(diǎn)(，，),(，，),(，，).

(1)若A,B,°三點(diǎn)共線，求加+〃的值；

(2)若刀，3C的夾角是鈍角，求根+〃的取值范圍.

【正確答案】(1)-1；

m--\

<

(2)加+“<13且［〃=0不同時(shí)成立.

【分析】(1)由向量的坐標(biāo)表示確定刀、CB,再由三點(diǎn)共線，存在XeR使方=4而，

進(jìn)而求出加、”，即可得結(jié)果.

(2)由向量夾角的坐標(biāo)表示求COS</B,8C>,再根據(jù)鈍角可得

2(m-3)+2(?-l)-18<0；討論<〉=乃的情況，即可求切+〃范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由題設(shè)-赤=(2,1—3),又A,2,C三點(diǎn)共線，

3—m=244=2

<2=4(1—〃)<m——\

所以存在XeR使方=2而，gpH=-3A,可得|〃=0,

所以加+〃=—1

【小問(wèn)2詳解】

由元=(-2〃-1,3),

由(1)知：當(dāng)(4B,BC>=%時(shí),有根+〃=_［；

2(ffl-3)+2(/?-l)-18

cos<AB,BC>=-

而“MCI/0+(優(yōu)—3)2.J13+(〃-1)2,又存，前的夾角是鈍

角,

所以2(加—3)+2(〃-1)—18=2(加+“)-26<0,可得加+〃<13.

<

綜上，陽(yáng)+〃<13且［〃=0不同時(shí)成立.

ULMUUUU

17.如圖，在四棱錐P—4sCD中，底面N2CD為直角梯形，且=2BC,

已知側(cè)棱4?1平面/BCD,設(shè)點(diǎn)E為棱的中點(diǎn).

（1）證明：CE//平面/Bp

（2）若4s=4P==2,求點(diǎn)P到平面BCE的距離.

275

【正確答案】（1）見(jiàn)解析（2）5

【分析】（1）設(shè)/為口的中點(diǎn)，連接5F,跖，利用中位線的性質(zhì)證明四邊形E1C是平

行四邊形，則可得CE”平面48P.

（2）點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出平面5CE的法向量萬(wàn)=（0/，2）,

利用點(diǎn)到平面的距離公式即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)尸為口的中點(diǎn)，連接BF,EF,

:.EF//AD,EF=-AD

是。。的中點(diǎn)，2,

——?——■RC=—AD

-：日

AD=2BC,AD/IBC,.FL2，

:.EF//BC,EF=BC

???四邊形"3C是平行四邊形，：.CEIIBF,

又：5尸u平面/5尸,CE仁平面4BP

CE//平面48月.

【小問(wèn)2詳解】

由于側(cè)棱平面ZBC。，4B,ADU面4BCD,

AP1AB,APLADvABVAD,則以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以,力5,/P所在的直線

為x軸,N軸,z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

，P(0,0,2),8(0,2,0),C(l,2,0)；￡(1,0,1)；

.-.5C=(1,0,0)；7=(0,—2,1)PS=(0,2,-2)

設(shè)平面BCE的法向量"=（M/z）

n-BC=0x=0

<

則有〔".CE=°,即—2y+z=0

令y=1,則萬(wàn)=（0」,2）,

\PB-n\2舊

d-

:?點(diǎn)尸到平面5CE的距離\PB\-\n\"I

18.如圖1,在中，BMLBC,A,D分別為邊MB,MC的中點(diǎn)，且

BC=4M=2,將△3。沿ZQ折起到△PZO的位置，使尸Z_L48,如圖2,連接9,

PC

圖1

(1)求證：平面48cD；

(2)若E為尸0的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值;

PG

—=2（0<2<1）

(3)線段0C上一動(dòng)點(diǎn)G滿(mǎn)足PC,判斷是否存在幾，使二面角

VTo

G-/O一尸的正弦值為10,若存在，求出4的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

V3

(2)3

（3）存在,

【分析】（1）由中位線和垂直關(guān)系得到P/工40,PAA.AB,從而得到線面垂直;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，求出線面角的正弦值；

2=-

(3)求出兩平面的法向量，根據(jù)二面角的正弦值列出方程，求出4,得到答案.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳,O分別為兒必，的中點(diǎn)，所以8c.

因?yàn)?W8C,所以所以尸

又PA上AB,ABcAD=A,力民ZDu平面AgC。，

所以平面48cB

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镻ALAD,ZDAB=90°,所以/尸，AB,4D兩兩垂直.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B,AD,AP所在直線分別為x,力z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系/一盯z,

依題意有4(。，。，0),0(0,1,0),(,，)，

則》=(22-2),瓦=(1,0,1),麗=(-2,1,0),麗=(-2,0,2)

設(shè)平面PBD的法向量〃=a，加4),

BD-n=(一2,1,0)(再,必/1)=一2x1+弘=0

<__

則有〔8P拓=(—2,0,2)(再，h,Z])=-2%1+2馬=0

令必=2,得玉=1,4=1,所以“=(1,2,1)是平面心。的一個(gè)法向量.

/耘DE-n(1,0,1).(1,2,1)2出

cos{DE,n)=7==1——='-----——)，=——產(chǎn)=——

\DE\-\n\Vl+lxVl+4+lV2xV63

因?yàn)镮門(mén)?,

所以直線DE與平面尸AD所成角的正弦值為3.

【小問(wèn)3詳解】

假設(shè)存在幾，使二面角G-ND一尸的正弦值為10,

3麗

即使二面角G-/D-尸的余弦值為1°.

由(2)得PG=4PC=(22,22,—2X)(0<4<1)

所以G(24,242-2X),石=(0,1,0),AG^(22,22,2-22)

易得平面產(chǎn)的一個(gè)法向量為々=00°).

設(shè)平面4DG的法向量％=(%小，),

AD-n2=(O,l,O)-(x2,j2,z2)=j2=0

<______

AG-n2=(22,22,2-22)-(x2,y2,z2)=22x2+22%+(2-22)z2=0

解得%=0,令=2,得工2=幾一1,

則〃2=(2—1，°，")是平面406的一個(gè)法向量.

Vw

由圖形可以看出二面角的夾角為銳角，且正弦值為10,

35

故二面角G-ND-尸的余弦值為10,

coWU」晨可