2024年北京某中學初三（上）期中數學試題（含答案）

2024北京六十六中初三(上)期中

數學

2024.11

試卷說明:

1.本試卷共三道大題,共五頁。

2.卷面滿分100分,考試時間120分鐘。

3.試題答案一律在答題紙上作答，在試卷上作答無效。

一、選擇題(每小題2分，共16分)

1.中國瓷器，積淀了深厚的文化底蘊，是中國傳統(tǒng)藝術文化的重要組成部分.瓷器上的圖案設計精美,

極富變化，下面瓷器圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是

A.B.C.D.

2.二次函數尸3（x+1產4的最小值是

A.1B.-1C.4D.-4

3.把拋物線3晚向左平移2個單位長度,再向上平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為

A.xy2+啰B.xy2+是

C.xy2+-§=D.xy2+-§=

4.用配方法解方程N+6X=2,變形后結果正確的是

A.(X+3)2=2B.(x+3)2=llC.(X-3)2=2D.(X-3)2=11

5.如圖，四邊形/BCD內接于。O,若/4=60。，。。的半徑為3,貝UBD的

長為

A.6B.3C.

6.某電影首周累計票房約3.5億元,第三周累計票房約6.8億元，若每周累計票房的增長率相同，設增長

率為x,根據題意可列方程為

A.3.5/=6.8B.3.5（1+無）=6.8

C.3.5(1+x)2=6.8D.3.5(1-x)2=6.8

7.在如圖所示的正方形網格中，四邊形N8CD繞某一點旋轉某一角度得到四邊形N7TCD，，(所有頂點都

是網格線交點)，在網格線交點N,P,。中，可能是旋轉中心的是

A.點MB.點NC.點PD.點。

8.如圖，二次函數y=af+6x+c（aWO）的圖象經過點/,B,C.現有下面四個推斷：

①拋物線開口向下；

②4a〈b

③當"2W4時,關于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有兩個不相等的實數根；

④直線y=Ax+c（左W0）經過點N,C,當依+。<辦2+云+C時，x的取值范圍是

-4<x<0；

其中推斷正確的是

A.①②③B.①③④C.①④D.①②③④

二'填空題（本題共16分，每小題2分）

9.開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標（0,3）的拋物線的解析式.

10.關于x的一元二次方程X2F+〃L2=0,有一個根是0,則加=.

11.如圖，。。為RtAABC的內切圓，點。、E、P為切點，若AD=6,BD=4,則△NBC的面積

為.

第11題第12題

12.如圖，將△AOB繞點O逆時針旋轉50。后得到△AO8，，若乙4。8=15。，則等于.

13.已知點/（-1,力），B（4,二）在二次函數的y=（x-2）2+c圖象上，yi與歹2的大小關系為

yi—V2.（填或“=”）

14.如圖，PA,分別與。。相切于A,3兩點，ZP=60°,PA=6,則。。的半徑為.

第14題第15題

15.函數%=爐+"+。與%的圖象如圖所示，當yi2y2時，x的取值范圍是.

16.下表記錄了二次函數3；=加+隊+2(QM)中兩個變量x與歹的5組對應值，其中

X[<X2<1.

是.

三、解答題(本題共68分，第17題8分，第18--25題各5分，第26題6分，第27,28題各7分)

17.解下列一元二次方程：

(1)X2+2X-8=0(2)2x2-2x-l=0

18.已知：f+ZxTR,求代數式3f+6x+10的值.

19.在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=必+〃的圖象經過點A(0,1),B(3,4).

求此二次函數的表達式及頂點的坐標.

20.2023年10月，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京召開，回顧了十年來共建“一帶一路”取得的

豐碩成果.為促進經濟繁榮，某市大力推動貿易發(fā)展，2021年進出口貿易總額為60000億元，2023年進出

口貿易總額為86400億元.若該市這兩年進出口貿易總額的年平均增長率相同，求這兩年該市進出口貿易

總額的年平均增長率.

21.如圖，Afi是。。的直徑，弦CO1AB于點E,

CD=6,BE=].求。。的半徑.

22.已知關于x的一元二次方程r-4x+加+2=0有兩個不相等的實數根.

(1)求加的取值范圍；

(2)若加為正整數，求此時方程的根.

23.如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，O,B

為格點(每個小正方形的頂點叫做格點)，04=3,03=4,且

ZAOB=150°.線段CM關于直線。8對稱的線段為將線段

。2繞點。逆時針旋轉45。得到線段OBL

⑴畫出線段04',OB'；

(2)將線段08繞點。逆時針旋轉角445。<々<90。)得到線段

OC,連接，若4c=5,求NB0C的度數.

24.如圖，。是等邊三角形4BC內一點，將線段AD繞點/順時針旋轉60。，得到線段連接CD,BE.

⑴求證：UEB=UDC；

(2)連接OE,若乙〃)C=110。，求N8ED的度數.

A

25.如圖1,某公園一個圓形噴水池，在噴水池中心。處豎直安裝一根高度為1.25m的水管/處是噴

頭，噴出水流沿形狀相同的曲線向各個方向落下，噴出水流的運動路線可以看作是拋物線的一部分，

建立如圖2所示的平面直角坐標系，測得噴出水流距離噴水池中心。的最遠水平距離為2.5m,水流

豎直高度的最高處位置C距離噴水池中心O的水平距離OD為1m.

DB

(1)求噴出水流的豎直高度y(m)與距離水池中心。的水平距離x(m)之間的關系式，并求水流最大豎直高

度CD的長；

(2)安裝師傅調試時發(fā)現，噴頭豎直上下移動時，拋物線形水流隨之豎直上下移動(假設拋物線水流移

動時，保持對稱軸及形狀不變)，若水管CM的高度增加0.64m時，則水流離噴水池中心。的最遠水

平距離為m.

26.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax?+bx+c(a>0)經過點A(3,3a+c).

(1)求該拋物線的對稱軸；

(2)點M(l-2a,%),N(a+2,%)在拋物線上.若。<%<%，求。的取值范圍.

27.如圖，△4BC中，AC=BC,N4CB=9Q。,ZAPB=45°,連接CP,將線段CP繞點C順時針旋轉90。

得到線段CQ,連接N0.C

(1)依題意，補全圖形，并證明：AQ=BP；

(2)求/勿尸的度數；-------

(3)若N為線段48的中點，連接NP,請用等式表示線段N尸與CP之間的\

數量關系，并證明.7P

28.定義：對于給定函數尸狽2+6x+c(其中a,b,c為常數，且存0),則稱函數丁=1加+法+。(北。)

[ax2-bx-c(x<0)

為函數y=axz+6x+c?中a,6,c為常數，且存0)的“相依函數”，此“相依函數”的圖像記為G.

(1)已知函數yn-d+Zx-l.

①寫出這個函數的“相依函數”；

②當TW啟1時，此相依函數的最大值為.

⑵若直線y=m與函數y=-/+2%-1的相依函數的圖象G恰好有兩個公共點，求出機的取值范圍;

(3)設函數g/nx.的相依函數的圖象G在一名爛2上的最高點的縱坐標為刃，當

時，直接寫出〃的取值范圍.

2°

參考答案

本試卷滿分100分，依據得分率，成績以等級制呈現，具體等級劃分標準如下:

等級

AiAiA3BiB2B3

正確率(％)95及以上90-9485-8980-8475-7970-74

等級DiD

c2c3D23

正確率(％)65-6960-6455-5950-5445-4944及以下

一、選擇題(每題2分，共16分)

12345678

BDCBCCAD

二、填空題(每題2分，共16分)

9.的+310.m=2

11.2412.35°

13.>14.2V3

15.或加入16.2<k<-

3

三、解答題(本題共68分，第17題8分，第18-25題各5分，第26題6分，第27-28題,各7分)

17.(1)x2+2x-8=0

解：(x+4)(x-2)=0............................3分

Xj=

-4fX2=2........................4分

(2)2X2-2X-1=0

解：a=2b=-2c=-1

△=b2-4ac=12............................1分

-b±y/b2-4ac2±V122±2A/3

X=-------------=------=-------...2分

2a44.....................

+V31-V31

x\~2，*2-2

........................4分

18.解:,3X2+6X+10=3(X2+2X)+10........................4分

?/x2+2x-1=0

二3X2+6X+10=3(x2+2x)+l0=13........................5分

19?解：?二次函數y=—+根％+〃的圖象經過點A(0,1),B(3,4)；

I"=1............................2分

19+3m+〃=4

解得：『=一2.............................3分

[n=l

,?y=Y—2%+1

當天=-三=1，............................4分

2x1

y=F_2xl+l=0............................5分

???頂點的坐標為(1,0).

20.設這兩年該市進出口貿易總額的年平均增長率為丘............1分

60000(1+')2=86400............................2分

(l+x)2=—

25

l+x=+-

5

解得：xi=0.2&=-2.2............................4分

經檢驗：x=-2.2不符實際意義，舍去

.*0.2=20%

答：這兩年該市進出口貿易總額的年平均增長率為20%..................5分

21.解：連接。C,如圖........1分

設。。的半徑為X.

是。。的直徑，CO,A3,A

/.CE=-CD=3./\

2(7T)

在RtAOEC中，ZOEC=90°,\//

由勾股定理，noc2=OE2+CE2.”

即x2=(x—I)2+32.................................4分

解得尤=5.

的半徑為5.................................5分

22?角平(])?b——4,c—in+2

\=b2-Aac=16-4(m+2)=8-4m............................1分

??,一元二次方程有兩個不相等的實數根

?8-4m>0............................2分

m<23分

(2)9：m<2

m=1

Y—4x+3=0

x1=1,x2—35分

23.(1)

.......................2分

(2)如圖，在△AOC'中，OA=OA=3,OC，=O8=4,AC，=5,

A'C'2=OA'2+OC'2.

：.AA'OC是直角三角形.

ZA'OC'=9Q°.........................3分

-：ZAOB=150°,04與。4關于直線03對稱，

AZA'OB=150°.........................4分

.,."03=60。，即a=60。.

ZB'OC'=ZCOB'-ZB'OB=60°-45°=15°..............................5分

24.(1)證明：：AD繞點A順時針旋轉60。得到線段AE

：.AE=AD,NEW=60°.............................1分

AABC是等邊三角形

AB=AC,ZBAC=60°.............................2分

NEAB=NDAC

：.AEAB=ADAC

：.ZAEB=ZADC.............................3分

(2)解：VZADC=11O°

：.ZAEB=ZADC=110°.............................4分

,/AE=AD,ZEA。=60°

AEAD是等邊三角形

ZAED=60

NBED=ZAEB-ZAED=500......................5分

25.M：(1)由題意，/點坐標為(0,125),3點坐標為(2.5,0).

設拋物線的解析式為_y=a(xT)2+—#0)......1分

??,拋物線經過點4點A

1.25=〃+%,

0=a(2.5-l)2+^.

a=-1,

解得:

k=2.25.

?—1)2+2.25(0<x<2.5).........................................................................3分

.*.x=l時，y=2.25.

???水流噴出的最大高度為2.25m.........................4分

(2)2.7........................5分

26?解:(1)2拋物線y二辦？+為多+。(〃>。)經過點A(3,3A+C),

3a+c=9a+3b+c.

b=-2a.

x=-

2a

即拋物線的對稱軸為％=1.2分

(2),：a>0,拋物線的對稱軸為x=l,

??1-2Q<1,。+2〉1

點M(1-2a,%)在對稱軸左側，點N(a+2,為)在對稱軸右側.

依題意可得點M,N(0,c)在拋物線上的位置如右圖(示意圖)所示.

設點N(a+2,%)關于對稱軸x=1

的對稱點為點N1

則N'(-%%)?

a>0,c<yt<y2,

?■—ci<1—2a<0.

........................5分

-<a<l

2

???為V%V%?6分

27.(1)補全圖形，如圖1.

證明：???線段C尸繞點。順時針旋轉90。得到線段CQ,

???CP=CQ,ZPCQ=90°.

丁NACB=90。,

：.ZBCP=ZACQ.

AC=BC,

：.ABCP^AACQ.

AQ=BP.2分

(2)解：連接0p如圖2.

由(1)可得△尸CQ是等腰直角三角形，

，ZCQP=ZCPQ=45°.

：.ZCQA+ZPQA=45°.