2024年北京某中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試題與答案

2024北京北師大二附中高三（上）期中

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。

考試結(jié)束后，只收答題紙，不收試卷。

一、單選題（本大題共10小題，共40分）

1.設(shè)集合加=卜|，<2},N={x[-l<x<3},則MUN=（）

A.1x|-l<x<V2|B.{X|-1<X<2}C.{X|-V2<X<3|D.{X|-2<X<3}

2.曲線y=g/+i在點（_3,一8）處的切線斜率為（）

A.9B.5C.-8D.10

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)之外對應(yīng)的點分別是（2,-3）,則包的模是（）

%

A.5B.V5C.2D.V2

兀（

4.已知直線x=—是函數(shù)/（x）=sincox+-：（0<。<8）圖像的一條對稱軸，則。的值為

6161

（）

A.3B.4C.2D.1

54

5.=0.4°,b=0.5°,c=log324,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b

6.在△ABC中，AO為5。邊上的中線，E為A。的中點.則麗=（）

A.-AB--ACB.-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

7.在長方體A3CO-A場GR的八個頂點任兩點連線中，隨機取一直線，則該直線與平面

A為2平行的概率為（）

3535

A.—B.—C.—D.—

14142828

8.已知a,b都大于零且不等于1,則“108〃>1"是"（"1）（方-1）〉0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

Y_OYY

9.已知函數(shù)/(")二—'"在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)機的取值范圍是()

x,x<m

A.m>lB.m>3

C.l<m<3D.機<1或

10.核酸檢測分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在PCR擴增進程中

成指數(shù)級增加的靶標(biāo)DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期，熒光信號強度達到閾值時，

DNA的數(shù)量X“與擴增次數(shù)〃滿足lgX“=〃lg(l+p)+lgXo，其中夕為擴增效率，X。為DNA

的初始數(shù)量.已知某被測標(biāo)本DNA擴增10次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?00倍，那么該樣本的擴

增效率夕約為()

(參考數(shù)據(jù):1O02?1.585,1002?0.631)

A.36.9%B.41.5%C.58.5%D.63.4%

二、填空題(本大題共5小題，共25分)

濟的定義域為一

11.函數(shù)y=

12.已知等差數(shù)列｛%,｝的前〃項和為S,”為=1,§3=18,則§6=

13.在△ABC中，角的對邊分別為a,b,c,b2=(a+c)2-6,B=—,則ZUBC的面

''3

積是.

2

log2(x+2x+,x>0

14.已知函數(shù)/(x)=|門V的值域是R,則實數(shù)。的最大值是

4--,x<0

I⑴

15.如圖所示，在四棱錐P-A2JCD中，底面45co為正方形，小，底面45cD,

R4=AB=4.E,F,〃分別是棱08,BC,尸。的中點，對于平面EW截四棱錐尸-ABC。所得

的截面多邊形，有以下三個結(jié)論：

①截面面積等于4石；

②截面是一個五邊形；

③直線PC與截面所在平面EW無公共點.

其中，所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題(共6題，共85分)

16.已知函數(shù)/(x)=(sinx+cosx)2-2cos2x,

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)當(dāng)xe時，求“X)的最大值和最小值

17.在△ABC中，角aB,C的對邊分別為a,"c,且.

在下面的三個條件中任選一個補充到上面的橫線中，并給出下面問題的解答.

.(兀、1

①2a—力=2ccosB,②sinCH—=cosC+—,

k6J2

@m=(a-c,b-a),而=(a+c,?,mVn.

(1)求角C；

(2)若c=石，求△ABC周長的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

18.如圖，在四棱錐尸-AbC。中，底面45CD為矩形，底

ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中點.

⑴求證：PA〃平面EZW；

(2)求平面EZ陽與平面尸4。夾角(銳角)的余弦值；

(3)在棱PB上是否存在一點尸，使直線Eb與平面ED5

所成角的正弦值為逅，若存在，求出求線段5廠的長；

3

若不存在，說明理由.

19.某市45兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加信息聯(lián)賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，5中

學(xué)推薦了3名男生、4名女生.兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)I.由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng),

從參加集訓(xùn)的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊參賽.

(1)求4中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率；

(2)設(shè)X表示A中學(xué)參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)已知3名男生的比賽成績分別為76、80、84；3名女生的比賽成績分別為77、?

(aeN*)、81；若3名男生的比賽成績的方差大于3名女生的比賽成績的方差，寫出。的取值

范圍(不要求過程).

20.已知函數(shù)/(x)=2石(aeR且awO).

22

(1)當(dāng)a=2當(dāng)時，求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程;

(2)若?！?,討論函數(shù)“X)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；

(3)若y=/(x)有兩個極值點天,々，證明：/(xJ+/(X2)<9Tna.

21.設(shè)〃為正整數(shù)，集合4〃={。|。=(%以2，劇)刈”{0,1}，=1,2,對于

a=(a1,a2,--,an)eAn,設(shè)集合P(a)={/eN[0</<〃-1,。陰==1,2,…，〃一/}.

(1)^a=(O,l,O,O,l,O)=(0,1,0,0,1,0,1,0,04,0),寫出集合P(a),尸(夕)；

(2)若a=(%,電，…，％)G4，且S/GP(a)滿足S<〉令優(yōu)=(%,曲，…，)GAr，求證:

t-se尸(優(yōu))；

(3)若，且尸(。)={51產(chǎn)2，,一五}(51<52<一<5,"即23),求證：

2sHiNSk+sk+2{k=1,2,2).

參考答案

一、單選題（本大題共10小題，共40分）

題號12345678910

答案cADCDACABc

二、填空題（本大題共5小題，共25分）

11.（0,2）

12.81

13.更

2

14.8

15.②③

三、解答題（本大題共6小題，共85分）

3兀77r

16（13分）.（1）最小正周期兀，單調(diào)遞減區(qū)間—+kK,—+kK,keZ；6分

OO_

（2）最大值血，最小值-1.7分

【詳解】

（1）F（x）=（sinx+cos尤）2-2cos2x=1+2sinxcosx-2cos2x=1+sin2x-（1+cos2x）=V2sin

正周期T=M=兀，由+丹+2版],左eZ得單調(diào)遞減區(qū)間為xe搟+E,?+E],

24|_22」|_oo

keZ；

,__71/口_71713兀

（2）x由xe0,—i#2x--e,

故當(dāng)='時，的最大值為a；當(dāng)=-（時，的最小值為-L

17（14分）.

(l)f6分

(2)(273,373]7分

【詳解】(1)選①

由正弦定理及2a—Z?=2ccosB,2sinA-sinB=2sinCcosB,

又sinA=sin(B+C)=sin8cosc+cosBsinC,2sinBcosC=sinB

1TT

,jsinBwO,/.cosC=-,又?！?0,乃),：.C=—

23

選②

sin(c+^|

由=cosC+-,—sinC+-cosC=cosC+-,

2222

EP^-sinC--cosC=—,sin|C-^7-11

2226~2

兀715TT

????！?0,?),：.C——G

6仁哈。f

選③

'：m=(a-c,b-a),n=(a+c,b)m-Ln(a-c)-(a+c)+(b~a)-b=0,

化簡得a2+b2-c2=ab,

lab2

jr

又?..?！?0,%),：.C=—

（2）由余弦定理得，a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,

(a+6)2

又ab<當(dāng)且僅當(dāng)a時等號成立.

4

3

.-.3ab=(a+b)2-3<^a+b)2,.-.0<a+b<2y/3,當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=括時等號成立.

a+Z?+cW2,\/3+y/s—3^/3.3^a+b>c,/.a+Z?+c>2c-2*\/3.

?.AABC周長的取值范圍為（2后3強.

18(15分).

⑴證明見解析4分（2）如5分（3）存在；B尸的長為［或］

6分

624

【詳解】（1）連接AC,交2。于點。，連接0E,

點E是尸C的中點，點。是4c的中點,

所以P4//OE,OEcEDB,PAcZEDB,

所以尸4〃平面EDB；

（2）如圖，以向量次，DC,而為樂％z

軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

即。(0,0,0),5(1,2,0),￡(0,1,1),則麗=(1,2,0),詼=(0,1,1),

DBm=x+2y=0

設(shè)平面EDB的法向量沅=（x,y,z）,則一

DE?玩=y+z=0

令y=-1得尤=2,z=l,所以平面E￡?B的法向量沅=（2,-1,1）,

平面PAD的一個法向量為n=（0,1,0）,

設(shè)平面EDB和平面PAD的夾角為6,

|m-n|1V6

則cos。=卜OS（慶,砌=

m\\n\一6，

所以平面EDB和平面PAD的夾角的余弦值為理;

Ab-

6

(3)由(2)知。(0,0,0),5(1,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2),

麗=(1,1,一1),麗=(一1,一2,2),BF=ABP=(-2,-22,2/)(0<A<l),

EF=EB+BF=(1,1,-1)+(-2,-22,22)=(1-2,1-22,-1+22),

由（2）知平面EOB的法向量沅=（2,-1,1）,設(shè)直線M與平面包8的夾角為

則sina='os(EF,而，=邛

7(1-2)2+(1-22)2+(-1+2A)2x76

13

整理得8萬_104+3=0,解得Xu,或

133Q

故當(dāng)'時‘B",當(dāng)彳二時，”

則昉的長為3;或Q.

19(14分).

（端3分

3

（2）分布列見解析，期望為;8分

(3){〃173<〃<85,awN*}3分

【詳解】（1）由題意知，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.

C3：c31

參賽學(xué)生全部從8中學(xué)中抽取（等價于幺中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊）的概率為C為C=會.

C6c61UU

199

因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1-肅=荒

（2）根據(jù)題意得，X的可能取值為0,1,2,3.

「003；；

貝l]P(X=0)=**C-C9

C：一20'

C2cl91

P(X=2)=〒=與，P(X=3)=

或20

所以X的分布列為:

X0123

1991

P

20202020

1QO13

因此，X的數(shù)學(xué)期望E(X)=OX南+1X布+2X癡+3*指=

^\J乙V/乙V/2

(3)3名男生的比賽成績分別為76,80,84,平均值為80,方差為(一一+°一+4?,

33

3名女生的比賽成績?yōu)?7,a(aeN*),81,平均值為"產(chǎn)，

所以32177一丁卜?；

即32x9>(73-4+(2a-158)2+(85-a)?=(73-a)?+4(a-79)2+(85-4，

代入檢驗，可知。最小為74,最大84,故73<a<85,aeN*

即。的取值范圍{a173<a<85,aeN*}.

20(15分).

(I)x+y-2后-1=0；5分

(ID詳見解析；4分

(III)證明見解析.6分

【詳解】由題可知：函數(shù)“X)的定義域為(0,+8)

(I)因為a=2g時，/(x)=2A/3X—2^3In%——x2+--,所以廣(x)=2G―?出_了,

/'X

那么:⑴=-1,/⑴=2/，

所以曲線>=〃尤)在。/⑴)處的切線方程為：y-2V3=-(x-l),

即x+y-21=0；

(II)因為尸(x)=2/_二一尤=x+2打刀_由一d+2括x-a=0可得：

XX

①當(dāng)A=12—4a>0,ae(。,3),時，有無］=y/3+J3-a,x2—y/3—J3-a,［兩足>x?>。，xG(0,)

和xe(X1,+co)時f'(x)<Q,

即函數(shù)y=〃尤)在僅,和(Q+5意,+可上為減函數(shù)；

xe(馬，玉)時，/'(尤)>。，即函數(shù)y=/(x)在(省一行工'，段+上為增函數(shù);

②當(dāng)時，A<0,尸(“40恒成立，所以函數(shù)y=〃x)在(0,+8)為減函數(shù).

綜上可知：

當(dāng)0<a<3時，函數(shù)y=/(x)在(。,6-j3-a)和(百+j3-a,+co)上為減函數(shù),

在-j3-a,M+j3-a)上為增函數(shù);

當(dāng)時,函數(shù)y=〃x)在(0,+8)上為減函數(shù);

(III)因為>=〃尤)有兩個極值點4、%,

則,⑴=+2瓜一/=0有兩個正木艮4、”,貝I」有A=12-4a>0,且%+%=26,刊=">0,

即as(0,3),

所以/(/)+/(%)=26(/+/)-aln(%]%2)-；(兀；+%2)+1二-4InQ+Q+7

若要/(^i)+/(x2)<9-Indt,艮|]要〃ln〃一ln〃一〃+2>。，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx-x-lnjc+2,貝I]g,(.x)=lnx--,

易知y=g'(尤)在(。，3)上為增函數(shù),

且g<l)=T<0,^(2)=ln2-1>0,

所以存在x0e(1,2)使/(%)=0即Inx0=；,

且當(dāng)xe(l,%)時g，(尤)<0,函數(shù)y=g(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤e(%,2)時,g[x)>0,函數(shù)>=g(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)y=g(x)在(1,2)上有最小值為