專題09 幾何中的最值問題問題（原卷版）

專題09幾何中的最值問題幾何壓軸題中的最值問題，是歷年各地中考中的高頻考點，其主要類型包括面積的最值問題、線段的最值問題、角度的最值問題，由于面積的最值問題在上一個專題中已有涉及，所以本主題主要探究的是線段的有關(guān)最值問題。解決線段的最值問題，從方法上來說主要有幾何法和函數(shù)法兩大方法：幾何法：總的思路是對線段的最值問題進行轉(zhuǎn)化，多數(shù)情況下當(dāng)三點位于同一條直線上時，取得最值，理論依據(jù)主要是兩點之間線段最短。再具體的考題中我們可以根據(jù)題目的圖形、條件或者問題的問法等，再將最值問題進行細化，將問題抽象成我們常見的幾種模型，從而使問題得到解決。例如抽象為：將軍飲馬模型、瓜豆原理、胡不歸模型、費馬點模型以及阿氏圓模型等。函數(shù)法：可以利用坐標(biāo)法，將所求的線段長度用坐標(biāo)的方式表示出來，之后利用最值模型求解。 （2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，和是等腰直角三角形，，點C在上，點D在線段延長線上，連接，．線段與的數(shù)量關(guān)系為______；（2）如圖2，將圖1中的繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（）第一問的結(jié)論是否仍然成立；如果成立，證明你的結(jié)論，若不成立，說明理由．（3）如圖3，若，點C是線段外一動點，，連接，①若將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值______；②若以為斜邊作，（B、C、D三點按順時針排列），，連接，當(dāng)時，直接寫出的值．（1）由題意易得，，，然后可證，進而問題可求解；（2）由題意易得，，然后可證，進而問題可求證；（3）①根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)三角不等關(guān)系可得，則當(dāng)A、C、D三點共線時取最大，進而問題可求解；②過點C作于點E，連接，過點B作于點F，然后可得點C、D、B、E四點共圓，則有，設(shè)，，則，，，進而根據(jù)勾股定理可進行方程求解．【答案】（1）；（2）結(jié)論仍成立，理由見詳解；（3）①，②．【詳解】解：（1），理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，，∴，，故答案為：；（2）結(jié)論仍成立，理由如下：∵和是等腰直角三角形，，∴，，∴，即，∴，；（3）①如圖，由題意得：，，根據(jù)三角不等關(guān)系可知：，∴當(dāng)A、C、D三點共線時取最大，∴，∵，，∴，的最大值為；②過點C作于點E，連接，過點B作于點F，如圖所示：∴，∴點C、D、B、E四點共圓，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，，則，，，∴，，∴，，∴在和中，由勾股定理得：，整理得：①；在中，由勾股定理得：，整理得：②，聯(lián)立①②得：，解得：，（不符合題意，舍去），∴，過點E作于點M，∴，，∴，∴．本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓及含30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點A的直線折疊，使點B落在上，點B的對應(yīng)點為點E，折痕為；再沿過點F的直線折疊，使點C落在上，點C的對應(yīng)點為點H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點D與點F重合，進而猜想．【問題解決】(1)小亮對上面的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．請你補全余下的證明過程．【結(jié)論應(yīng)用】(2)的度數(shù)為________度，的值為_________；(3)在圖①的條件下，點P在線段上，且，點Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，，由HL可證明結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得證明是等腰直角三角形，可求出GF的長，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可知點F與點D關(guān)于AG對稱，連接PD，則PD為PQ+FQ的最小值，過點P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)22.5°，(3)【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，∴．由折疊可知，，．∴．∴．由折疊得，，∴∴又AD=AF，AG=AG∴（2）由折疊得，∠又∠∴∠由得，∠∠又∠∴∠∴∠∴設(shè)則∴∴∴（3）如圖，連接∵∴AG是FD的垂直平分線，即點F與點D關(guān)于AG軸對稱，連接PD交AG于點Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長；過點P作交AD于點R，∵∠∴∠∴又∴∴在中，∴∴的最小值為本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．（2022·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在矩形ABCD中，，．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作，交AB于點F．(1)求證：；(2)如圖2，連接CF，過點B作，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求的最小值；②當(dāng)取最小值時，求線段DE的長．（1）證明出即可求解；（2）①連接AM．先證明．確定出點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點共線時，．此時，取最小值．在中利用勾股定理即可求出AM，則問題得解．②先求出AF，求AF的第一種方法：過點M作交FC于點N，即有，進而有．設(shè)，則，．再根據(jù)，得到，得到，則有，解方程即可求出AF；求AF的第二種方法：過點G作交BC于點H．即有．則有，根據(jù)，可得，進而求出，．由得，即可求出AF．求出AF之后，由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，即有，解得解方程即可求出DE．【答案】(1)見解析(2)①5；②或【詳解】（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴．∵，∴，∴，∴；（2）①解：如圖2-1，連接AM．∵，∴是直角二角形．∴．∴點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上．當(dāng)A，G，M三點不共線時，由三角形兩邊之和大于箒三邊得：，當(dāng)A，G，M三點共線時，．此時，取最小值．在中，．∴的最小值為5．②（求AF的方法一）如圖2-2，過點M作交FC于點N，∴．∴．設(shè)，則，∴．∵，∴，∴，由①知的最小值為5、即，又∵，∴．∴，解得，即．（求AF的方法二）如圖2-3，過點G作交BC于點H．∴．∴，由①知的最小值為5，即，又∵，∴．∴，．由得，∴，即，解得．∴．由（1）的結(jié)論可得．設(shè)，則，∴，解得或．∵，，∴或．本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)、勾股定理以及一元二次方程的應(yīng)用等知識，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．1．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考二模）如圖1，四邊形ABCD為正方形，，為等腰直角三角形，E在BA的延長線上，點F在AD上，，．如圖2，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)x度（）得到．(1)如圖2，連接，，判斷線段與線段之間的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，連接，若，求的最小值和最大值；(3)如圖4，直線與直線交于點N，連接CN，若，求CN的長．2．（2022·陜西延安·統(tǒng)考二模）點E為正方形ABCD的AB邊上的一個動點，AB=3，如圖1，將正方形ABCD對折，使點A與點B重合，點C與點D重合，折痕為MN．思考探索(1)如圖2，將正方形ABCD展平后沿過點C的直線CE折疊，使點B的對應(yīng)點B′落在MN上，折痕為EC．①點B'在以點E為圓心，的長為半徑的圓上；②B'M=______；拓展延伸(2)當(dāng)AB=3AE時，正方形ABCD沿過點E的直線l（不過點B）折疊后，點B的對應(yīng)點B'落在正方形ABCD內(nèi)部或邊上，連接AB'．①△ABB'面積的最大值為______；②點P為AE的中點，點Q在AB'上，連接PQ，若∠AQP=∠AB'E、求B'C+2PQ的最小值．3．（2022·河南南陽·統(tǒng)考二模）如圖①②，和均為直角三角形，，，，點C在邊EF的延長線上，，射線EM與AD交于點M，（）．(1)如圖①，當(dāng)點B落在射線EF上時，EM與BA的延長線相交于點G，則______．(2)如圖②，把繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)度（），的值是否保持不變？請僅就圖②給出你的證明．(3)若，在繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段AD的最大值和最小值．4．（2022·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是菱形，其中∠ABC＝60°，點E在對角線AC上，點F在射線CB上運動，連接EF，作∠FEG＝60°，交直線DC于點G．(1)在線段BC上取一點T，使CE=CT，求證：FT=CG；(2)圖中AB＝7，AE＝1．①點F在線段BC上，求EFG周長的最大值和最小值；②記點F關(guān)于直線AB的軸對稱點為點N．若點N不能落在∠EDC的內(nèi)部（不含邊界），求CF的取值范圍．5．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）問題情境：在數(shù)學(xué)課上，老師給出了這樣一道題：如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，求BC的長．探究發(fā)現(xiàn)：（1）如圖2，勤奮小組經(jīng)過思考后發(fā)現(xiàn)：把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，連接BD，BE，利用直角三角形的性質(zhì)可求BC的長，其解法如下：過點B作BH⊥DE交DE的延長線于點H，則．△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，AB＝AC＝6，∠BAC＝30°，∴……請你根據(jù)勤奮小組的思路，完成求解過程．拓展延伸：（2）如圖3，縝密小組的同學(xué)在勤奮小組的啟發(fā)下，把△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到△ADE，連接BD，CE交于點F，交AB于點G，請你判斷四邊形ADFC的形狀并證明；（3）奇異小組的同學(xué)把圖3中的△BGF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接AF，發(fā)現(xiàn)AF的長度不斷變化，直接寫出AF的最大值和最小值．6．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖1，將等腰直角三角形AEF繞著正方形ABCD的頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，已知正方形的邊長為，．(1)如圖2，連接DE，BF，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．(2)如圖3，連接CF，在旋轉(zhuǎn)過程中，求CF的最大值和最小值；(3)如圖4，延長BF