專題10 反比例函數(shù)【考點精講】（原卷版）

專題10反比例函數(shù)1．反比例函數(shù)的定義如果兩個變量x，y之間的關(guān)系可以表示成(k為常數(shù),且k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù).2．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）圖象的特征:反比例函數(shù)的圖象是一條雙曲線,它關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱,兩個分支在第一、三象限或第二、四象限.（2）反比例函數(shù)(k≠0,k為常數(shù))的圖象和性質(zhì):函數(shù)圖象所在象限性質(zhì)(k≠0,k為常數(shù))k>0三象限(x,y同號)在每個象限內(nèi),y隨x增大而減小k<0四象限(x,y異號)在每個象限內(nèi),y隨x增大而增大3．反比例函數(shù)的解析式的確定求反比例函數(shù)的解析式跟求一次函數(shù)一樣,也是待定系數(shù)法.【考點1】反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)【例1】（反比例函數(shù)的圖象）如圖，函數(shù)與y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A． B． C． D．【例2】（反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)）（2021·山西）已知反比例函數(shù)，則下列描述不正確的是（）A．圖象位于第一，第三象限 B．圖象必經(jīng)過點C．圖象不可能與坐標(biāo)軸相交 D．隨的增大而減?。?）當(dāng)k>0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小;（2）當(dāng)k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.1．（2022·湖南）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（

）A．B．C．D．2．（2021·黑龍江大慶市）已知反比例函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減小，那么一次的數(shù)的圖像經(jīng)過第（）A．一，二，三象限 B．一，二，四象限C．一，三，四象限 D．二，三，四象限3．（2022·湖北荊州）如圖是同一直角坐標(biāo)系中函數(shù)和的圖象．觀察圖象可得不等式的解集為（

）A． B．或 C．或 D．或4.（2022·廣東）點，，，在反比例函數(shù)圖象上，則，，，中最小的是（

）A． B． C． D．5．（2021·陜西）若，是反比例函數(shù)圖象上的兩點，則、的大小關(guān)系是______（填“>”、“=”或“<”）【考點2】確定反比例關(guān)系式【例3】（求解析式）（2022·江蘇常州）某城市市區(qū)人口萬人，市區(qū)綠地面積50萬平方米，平均每人擁有綠地平方米，則與之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【例4】（系數(shù)k）（2022·黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，平行四邊形OBAD的頂點B在反比例函數(shù)的圖象上，頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，頂點D在x軸的負(fù)半軸上．若平行四邊形OBAD的面積是5，則k的值是（

）A．2 B．1 C． D．求函數(shù)解析式關(guān)鍵在于掌握利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式。即解設(shè)求該函數(shù)解析式為(k≠0,k為常數(shù))，再將函數(shù)上一個點坐標(biāo)代入即可解得。反比例函數(shù)（k≠0）系數(shù)k的幾何意義：從反比例函數(shù)（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|k|。常見模型如圖：1．（2022·湖北十堰）如圖，正方形的頂點分別在反比例函數(shù)和的圖象上．若軸，點的橫坐標(biāo)為3，則（

）A．36 B．18 C．12 D．92．（2022·遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的邊OB在y軸上，邊AB與x軸交于點D，且BD=AD，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像經(jīng)過點A，若S△OAB=1，則k的值為___________．3．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市）正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，若A點坐標(biāo)為，則__________．4．（2022·貴州銅仁）如圖，點A、B在反比例函數(shù)的圖象上，軸，垂足為D，．若四邊形間面積為6，，則k的值為_______．5．（2022·貴州遵義）反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于點，則的值為__________．6．（2022·湖北武漢）在反比例的圖象的每一支上，y都隨x的增大而減小，且整式是一個完全平方式，則該反比例函數(shù)的解析式為___________．7．已知y＝y(tǒng)1﹣y2，y1與x成反比例，y2與x﹣2成正比例，并且當(dāng)x＝3時，y＝5；當(dāng)x＝1時，y＝﹣1．（1）y與x的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)x＝﹣1時，求y的值．【考點3】反比例函數(shù)的綜合運用【例5】（2021·江蘇揚州市）如圖，點P是函數(shù)的圖像上一點，過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點A、B，交函數(shù)的圖像于點C、D，連接、、、，其中，下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①【例6】（2022·山東濰坊）地球周圍的大氣層阻擋了紫外線和宇宙射線對地球生命的傷害，同時產(chǎn)生一定的大氣壓，海拔不同，大氣壓不同，觀察圖中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)，正確的是（

）A．海拔越高，大氣壓越大B．圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象C．海拔為4千米時，大氣壓約為70千帕D．圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個量之間的變化關(guān)系利用反比例函數(shù)解決實際問題，要做到①能把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型；②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義；③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解，然后在作答中說明.【失分警示】1．利用反比例函數(shù)的性質(zhì)時，誤認(rèn)為所給出的點在同一曲線上；2．利用出數(shù)圖象解決實際問題時，容易忽視自變量在實際問題的意義。1．（2022·湖南郴州）如圖，在函數(shù)的圖像上任取一點A，過點A作y軸的垂線交函數(shù)的圖像于點B，連接OA，OB，則的面積是（

）A．3 B．5 C．6 D．102．（2022·河南）呼氣式酒精測試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測駕駛員是否酒后駕車．酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻（圖1中的），的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖2），血液酒精濃度M與呼氣酒精濃度K的關(guān)系見圖3．下列說法不正確的是（

）A．呼氣酒精濃度K越大，的阻值越小 B．當(dāng)K＝0時，的阻值為100C．當(dāng)K＝10時，該駕駛員為非酒駕狀態(tài) D．當(dāng)時，該駕駛員為醉駕狀態(tài)3．（2021·浙江寧波市）在平面直角坐標(biāo)系中，對于不在坐標(biāo)軸上的任意一點，我們把點稱為點A的“倒數(shù)點”．如圖，矩形的頂點C為，頂點E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點A．若點B是點A的“倒數(shù)點”，且點B在矩形的一邊上，則的面積為_________．4．（2022·山東臨沂）杠桿原理在生活中被廣泛應(yīng)用（杠桿原理：阻力×阻力臂=動力×動力臂），小明利用這一原理制作了一個稱量物體質(zhì)量的簡易“秤”（如圖1）．制作方法如下：第一步：在一根勻質(zhì)細(xì)木桿上標(biāo)上均勻的刻度（單位長度1cm），確定支點，并用細(xì)麻繩固定，在支點左側(cè)2cm的A處固定一個金屬吊鉤，作為秤鉤；第二步：取一個質(zhì)量為0.5kg的金屬物體作為秤砣．（1）圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤砣掛在支點О右側(cè)的B處，秤桿平衡，就能稱得重物的質(zhì)量．當(dāng)重物的質(zhì)量變化時，的長度隨之變化．設(shè)重物的質(zhì)量為，的長為．寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；若，求的取值范圍．（2）調(diào)換秤砣與重物的位置，把秤砣掛在秤鉤上，重物掛在支點О右側(cè)的B處，使秤桿平衡，如圖2．設(shè)重物的質(zhì)量為，的長為，寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，完成下表，畫出該函數(shù)的圖象．……0.250.5124………………【考點4】一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合運用【例7】（2021·山東威海市）已知點A為直線上一點，過點A作軸，交雙曲線于點B．若點A與點B關(guān)于y軸對稱，則點A的坐標(biāo)為_____________．【例8】（2022·黑龍江大慶）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過，兩點．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）如圖，函數(shù)的圖象分別與函數(shù)圖象交于A，B兩點，在y軸上是否存在點P，使得周長最??？若存在，求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．1．解答本考點的有關(guān)題目需要注意以下要點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，可以利用待定系數(shù)法.2．反比函數(shù)圖像常見的輔助線作法：過反比例函數(shù)圖象上任意一點作x軸、y軸的垂線段構(gòu)成三角形或四邊形，求面積。1．（2021·貴州安順市）已知反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于兩點，若點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（2021·山東菏澤市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊、分別在坐標(biāo)軸上，且，，連接．反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過線段的中點，并與、分別交于點、．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點．（1）分別求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點是軸上一動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，點的坐標(biāo)為______．3．（2021·山東東營市）如圖所示，直線與雙曲線交于A、B兩點，已知點B的縱坐標(biāo)為，直線AB與x軸交于點C，與y軸交于