2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：平行四邊形章節(jié)綜合3（填空題）

2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形章節(jié)綜合（填空題）3

一、填空題

1.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）如圖，菱形ABC。的對角線AC,3。相交于點O,尸為AB邊上一

動點（不與點A,B重合），理_1。4于點E,PFLOB于點F,若AB=4,ZBAD=6O°,則斯的最小值

2.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）如圖，點A是y軸正半軸上的動點，點8在x軸的正半軸上,

AB=6,以AB為邊在第一象限作正方形A58,連接OC,則OC的最大值為.

3.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形Q4BC的頂點A,C的坐

標分別是（4,-2）,（1,2）,點8在x軸上，則點8的坐標是—.

4.（2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中）如圖，在菱形AB8中，4=45。，E、/分別是邊CD8C上的動

點，連接AE、EF,G、反分別為AE、跖的中點，連接G".若GH的最小值為3,則的長

為.

5.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）如圖，正方形ABCD中，點E是對角線3。上的一點，且

6.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）如圖，在ABCD中，ZB=73°,則/A=°,ND=

7.（2024北京第一t一中學(xué)初二下期中）如圖，在VA3C中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動

點，PELAB于E,PFLAC于凡M為跖中點，則AM的最小值為.

8.（2024北京交大附中初二下期中）如圖，在VABC中，點。，點E分別是AB,AC的中點，點廠是

DE上一點,且NAFC=90。，若8C=12,AC=8,則￡＞尸的長為.

9.（2024北京大興初二下期中）在平面直角坐標系x0y中，已知點A。/），請確定點C的坐

標，使得以4B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，則滿足條件的所有點C的坐標是.

10.（18-19八年級下?云南昆明?期末）如圖，。是矩形ABC。的對角線的交點，M是的中點.若

11.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）平行四邊形A2C。中，ZA+ZC=200°,則48=.

12.（2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中）如圖，兩段公路AC,BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被

湖隔開，若測得AB的長為2km,則C兩點間的距離為km.

13.（2024北京房山初二下期中）如圖，在ABCD中，AEL8C于點E,點尸在BC邊的延長線上，只需

再添加一個條件即可證明四邊形AEFO是矩形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

14.（2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中）如圖，把正方形紙片沿對邊中點所在的直線對折后展開，

折痕為再過點8折疊紙片，使點A落在上的點尸處，折痕為8E.若FN=3,則正方形紙片的邊

15.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）菱形ABC。的面積為24cm2,對角線BD的長為6cm,則AC的長

為cm.

16.（2024北京豐臺第八中學(xué)初二下期中）如圖，菱形A3CD的面積為12,其中對角線AC長為4,則對

角線2D的長為.

17.（2024北京第一六六中學(xué)初二下期中）菱形的兩條對角線的長分別為4和6,則它的面積

為.

18.（2024北京豐臺第八中學(xué)初二下期中）如圖，把矩形ABCD沿直線8。向上折疊，使點C落在點C，的

位置上，BC咬AD于點、E,若AB=3,BC=6,則。E的長為.

BC

19.（2024北京第三十五中學(xué)初二下期中）如圖.將正方形紙片ABC。折疊，使邊AB、CB均落在對角線

BD±,得折痕BE、BF,則NEB尸的大小為.

20.（2024北京大興初二下期中）如圖，已知菱形ABCZ）的一個內(nèi)角NR4D=8O,對角線AC,80相交

于點。，點E在A8上，且BE=BO,則ZE（M=°.

C

21.（2024北京交大附中初二下期中）如圖，將矩形A8C。沿對角線8。所在直線折疊，點C落在同一平

面內(nèi)，落點記為CLBC與交于點E,若A8=4,8c=8,則BE的長為

22.（2024北京第十二中學(xué)初二下期中）在平行四邊形ABCD中，ZA+ZC=100°,則/A=_.

23.（2024北京豐臺第八中學(xué)初二下期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，ZA=70°,DB=DC,

C￡L5D于E,則/BCE=.

24.（2024北京豐臺第八中學(xué)初二下期中）如圖，請給矩形ABC。添加一個條件，使它成為正方形，則此

條件可以為.

AD

BC

25.（2024北京第一六六中學(xué)初二下期中）如圖，點C在線段A8上，ArHC是等邊三角形，四邊形

CAM是正方形.

(1)ZDAE

（2）點P是線段AE上的一個動點，連接尸2,PC.若AC=2,BC=3,則PB+PC的最小值為

26.（2024北京第一六六中學(xué)初二下期中）如圖，在矩形ABC。中，點E在邊上，EF平分/AEC交

BC于點F.若AO=7,AE=CD=3,則的長為—.

27.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）如圖，在矩形ABC。中，點瓦廠分別在SCAD上，AF=EC.只需

添加一個條件即可證明四邊形AEC廠是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）.

28.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,BD相交于點O,若OA=

2,則BD的長為

29.（2024北京人大附中初二下期中）小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學(xué)具，他先活動

學(xué)具成為圖1所示的菱形，并測得/3=60。，對角線AC的長為30a〃，接著活動學(xué)具成為圖2所示的正方

形，則圖2中對角線AC的長為cm.

圖1圖2

30.（2024北京人大附中初二下期中）如圖，將菱形紙片ABCD折疊，使點2落在邊的點尸處，折痕

為CE,若/。=80。，則/ECF的度數(shù)是

31.（2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中）在。ABC。中，對角線AC、相交于點O,E是邊AB上的一個

動點（不與A、8重合），連接￡。并延長，交CD于點F,連接AF,CE,有下列四個結(jié)論：

①對于動點￡,四邊形AECP始終是平行四邊形；

②若/A8C>90。，則至少存在一個點E,使得四邊形AECT是矩形；

③若則至少存在一個點E,使得四邊形AEb是菱形；

④若/3AC=45。，則至少存在一個點E,使得四邊形AECT是正方形.

以上所有錯誤說法的序號是—.

32.（2024北京日壇中學(xué)初二下期中）如圖，在R3ABC中，點。分別是邊A8的中點，若A8=4,貝|

CD=

A

33.（2024北京清華附中初二下期中）正方形9CD的邊長為4,點M,N在對角線AC上（可與點AC重

合），MV=2,點P,Q在正方形的邊上.下面四個結(jié)論中,

①存在無數(shù)個四邊形PMQN是平行四邊形;

②存在無數(shù)個四邊形PMQN是菱形;

③存在無數(shù)個四邊形尸MQN是矩形;

④至少存在一個四邊形PMQN是正方形.

所有正確結(jié)論的序號是.

34.（2024北京八一學(xué)校初二下期中）如圖，平行四邊形ABCZ）的周長為20cm,AC與交于點0,

于。，EO交AD于點E,則.ABE的周長為cm

35.（2024北京首師大附中初二下期中）如圖，在矩形ABC。，BE平分/ABC,交AD于點E,F是BE

的中點，G是2C的中點，連按EC,若AB=8,3c=14,則BG的長為.

參考答案

1.A/3

【分析】連接OP,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ACS9,NCA8=；ND4B=30。，根據(jù)矩形的判定定理得到四

邊形OE尸尸是矩形，求得EF=OP,當。尸1.AB時，OP最小，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股

定理求解即可.

【詳解】解：連接。尸，如圖所示，

???四邊形ABC。是菱形，

/.ACJ.BD,ZCAB=-ZDAB=30°,,

2

；PELOA于點E,于點尸，

NEOF=ZOEP=Z.OFP=90°,

四邊形OE母'是矩形，

EF=OP,

:當0尸取最小值時，所的值最小，

...當時，OP最小，即E尸的值最小，

,/AB=4,

/.OB=-AB=2,

2

OA=《AB?-OB?=2-J3，

OP=—OA=5/3,

2

E尸的最小值為G，

故答案為：出.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形

的性質(zhì)，熟練掌握垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

2.375+3/3+375

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求。居3,由勾股定理可求C8的長，由三角形的三邊關(guān)系可求解.

【詳解】解：如圖，取的中點”，連接OH,HC,

四邊形ABCD是正方形，

AZABC^ZAOB^90°,AB=BC=6,

,點H是AB的中點，

OH=BH=-AB=3,

2

CH=S/BH2+BC2=V32+62=3百，

在△OCH中，OC<OH+HC,

二當點”在OC上時，OC有最大值，最大值為36+3,

故答案為：3石+3.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，靈活運用這些性

質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵.

3.(5,0)

【分析】先根據(jù)兩點距離公式可求AC的長，再根據(jù)矩形的性質(zhì)求得03=AC=5,再根據(jù)點3在x軸上，

即可求解.

【詳解】

解:連接AC,

?.?點4(4,一2),,點C(l,2),

/.AC=^(4-1)2+(-2-2)2=5

.四邊形Q4BC是矩形，

OB=AC=5,

?.?點8在x軸上，

點8的坐標為(5,0)

故答案為：(5,0).

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，掌握矩形的對角線相等是解題的關(guān)鍵.

4.60

【分析】連接"，利用中位線的性質(zhì),要使G//最小，只要AF最小，當AFIBC時，AF最

小為6,由/3=45。確定△鉆尸為等腰直角三角形，得出A尸=3尸=6,由勾股定理得：AB2=BF2+AF2

求出2c即可.

【詳解】解:連接AF,

VG,//分別為E尸的中點,

：.GH//AF,且G8」AF,

2

要使最小，只要AF最小，

當A尸」BC時，AF最小，

的最小值為3,

?.AF=6,

4=45。，

Z&4F=45°,

BF=AF=6,

,,AB=yjAF2+BF~=6^/2，

???四邊形ABC。是菱形，

BC=AB=6五.

故答案為：6x/2.

【點睛】本題考查動點圖形中的中位線，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理應(yīng)用問題，掌握

中位線的性質(zhì)，菱形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.135°/135度

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到理=AB=8C,進而得到乙鉆3=/54￡/38=/8。口利用三角形

的內(nèi)角和定理，進行求解即可.

【詳解】解：：正方形中，點E是對角線80上的一點，且

：.BE=AB=BC,ZABE=NEBC=45。,

：.ZBEA=1(180°-ZABE)=67.5°,ZBEC=1(180°-ZCBE)=67.5°,

ZAEC=ZBEA+ZBEC=135°；

故答案為：135。.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握等邊對等角，是解題的關(guān)鍵.

6.10773

【分析】根據(jù)平行四邊形的鄰角互補，對角相等求解即可.

【詳解】解：：四邊形鉆8是平行四邊形，4=73。，

ZA=180°-/B=107°,ZD=ZB=73°,

故答案為：107,73.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的內(nèi)角之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

7.1.2

【分析】根據(jù)已知得當AP，3c時，AP最短，同樣4〃也最短，從而不難根據(jù)三角形的面積求得其值.

【詳解】解：連接AP,如圖：

在VABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

AB2+AC2=BC2,

；.VABC是直角三角形，且/A4c=90。，

VPEI.AB,PFLAC,

.??四邊形AFPE是矩形，

EF=AP.

是砂的中點，

AM=-AP,

2

根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，即3c時，AP最短，同樣AM也最短，

11ARxAC

S=-ABxAC=-BCxAP,即AP=-----------=2.4,

"ARr22BC

AM=-AP=l.2.

2

故答案為：1.2.

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠把

要求的線段的最小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段.

8.2

【分析】根據(jù)三角形中線定理求出OE,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出所，再進行計算即可.

【詳解】解：,點。、E分別是AB、AC的中點，

,DE是VABC的中線，

:.DE=-BC,

2

Bc=n,

DE=6,

在必AFC中，ZAFC=90°,點E是AC的中點，AC=8,

:.EF=-AC=4,

2

DF=DE-EF=6-4=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查了三角形中線定理和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的中線平行于第三邊，且等于

第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

9.（—2,0）或（2,0）或（0,2）

【分析】分兩種情況：①當43為平行四邊形的邊時，②當A3為平行四邊形的對角線時，討論可得點C的

坐標.

【詳解】解：①當AB為平行四邊形的邊時，AB^OC,

VA（l,l）,0（0,0）,

點C坐標為（-2,0）或（2,0）；

②當A3為平行四邊形的對角線時，C（0,2）,

故答案為：（-2,0）或（2,0）或（0,2）.

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標與圖形性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是要注意分兩種情況進行求

解.

10.3

【分析】首先由。是矩形A8CD對角線AC的中點，可求得AC的長，然后由勾股定理求得的長，即

C。的長，又由M是AD的中點，可得OM是△AC。的中位線，進而求得答案.

【詳解】解：：。是矩形ABC。對角線AC的中點，OB=5,

：.AC=2OB=1Q,

CD=AB=VAC2-BC2=V102-82=6，

是A。的中點，

：.0M=-CD=3.

2

故答案為：3.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì).注意利用直角三角形斜邊

上的中線等于斜邊的一半，求得AC的長是關(guān)鍵.

11.80。/80度

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（平行四邊形的對角相等，對邊平行）可得NA=NC,ZA+ZB=180°,

又由NA+/C=200。，可得/A.

【詳解】解：四邊形A8C。是平行四邊形，

ZA=ZC,AB//CD,

ZA+ZC=200,

:.ZA=100,

AB//CD,

：.ZA+ZB=180°,

：.ZB=180°-100°=80°.

故答案為：80°.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角相等，對邊平行.熟練掌握平行四邊形的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.1

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得MC=；A2=lkm.

【詳解】解：；在RtAABC中，ZACB=90°,Af為A8的中點，

MC=^AB=l（km）,

故答案為：L

【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵點是熟練掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的

一半，理解題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵.

13.ZDFE=9。。（答案不唯一）

【分析】先證明？A匹?DAE90?,再根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形進行補充即可.

【詳解】解：??,AEL8C,

?AEC90?,

ABCD,

AD//BC,

：.?DAE180?90?90?,

補充：/￡＞巫=90。或？ADb90?或止_L3C,

.??四邊形AEED是矩形，

故答案為：/DEE=90?；颍緼DR90?或。尸，3c（任寫一個即可）

【點睛】本題考查的是矩形的判定，掌握“有三個角是直角的四邊形是矩形”是解本題的關(guān)鍵.

14.2也

【分析】設(shè)正方形的邊長為a,根據(jù)折疊得出8N=《a,BF=AB=a,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于。的方程，

2

解方程即可.

【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為。，則根據(jù)折疊可知，BN=；a,BF=AB=a,

在RtABFN中，根據(jù)勾股定理可知，BF2=FN2+BN2,

即：?2=32+M2,

解得：。=2\/^或〃=-2月（舍去）.

故答案為：2G.

【點睛】本題主要考查了正方形的折疊問題，勾股定理的應(yīng)用，設(shè)出正方形的邊長，根據(jù)勾股定理列出關(guān)

于〃的方程，是解題的關(guān)鍵.

15.8

【分析】由菱形面積公式即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?四邊形A5CD是菱形，

二?菱形ABCD的面積=—AC?BQ=24cm2,

2

即AC-B￡>=6AC=48,

AAC=8,

即AC的長為8cm,

故答案為：8.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，熟記菱形面積等于兩條對角線長的乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

16.6

【分析】利用菱形面積等于對角線乘積的一半進行求解.

【詳解】解：：菱形的面積為S=1xACxB。，

2

12=—x4xBD,

2

BD=6.

故答案為：6.

【點睛】本題考查了菱形面積的計算公式，熟記菱形面積計算公式是解題的關(guān)鍵.

17.12

【分析】菱形的面積等于對角線乘積的一半.

【詳解】解：???菱形的面積等于對角線乘積的一半，

—x4x6=12.

2

故答案為：12.

【點睛】此題考查菱形的面積計算方法，屬基礎(chǔ)題.菱形的面積=底'高=對角線乘積的一半.

18.

4

【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到再由得到則

NBDE,可判斷設(shè)AE=x,貝1J。E=8E=6r,然后在放△A8E中利用勾股定理得到

2

%2+32=(6-X),再解方程即可得出AE以及。E的長.

【詳解】解：?.?四邊形A5CZ)是矩形，

：.AD=BC=6,ZA=90°,

???Z\BDC是由△BDC折疊得到,

：.ZDBC=ZDBEf

'：AD//BC,

：.ZDBC=ZBDE,

：.ZDBE=ZBDE,

：.BE=DE,

設(shè)AE=x,則￡>E=A￡H4E=6-x,BE—6-x,

9

在MAABE中，AE2+AB2^BE2,BPx2+32=(6-x)9\解得尤="

故答案為：—.

4

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟練掌握折疊變換

的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

19.450/45度

【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得/l+/2+N3+/4=/ABC=90。，再根據(jù)折疊可得N1=/2=5

2

ZABD,Z3=Z4=-ZDBC,進而可得/2+/3=45°,即/EBE=45°.

2

【詳解】解：：四邊形ABC。是正方形，

ZABC=90°,

根據(jù)折疊可得/1=/2=L/A8Q,Z3=Z4=—ZZ)BC,

22

VZ1+Z2+Z3+Z4=ZABC=9O°,

；./2+/3=45°,

即/E8b=45°,

故答案為：45。.

【點睛】此題主要考查了圖形的翻折變換和正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是找準圖形翻折后，哪些角是相等的.

20.25

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)求得ZAB。的度數(shù)，再根據(jù)5E=3O,求得/BOE的度數(shù)，即可求解.

【詳解】解：在菱形A2CD中，ZBAD=S0

：.ZCBA=100°,ZOBA=-ZCBA=50°,=90°

2

又：BE=BO

：.ZBOE=ZBEO=1(180°-ZABO)=65°

?*.ZAOE=ZAOB-NBOE=25°

故答案為25.

【點睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，涉及了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.5

【分析】首先證明然后根據(jù)勾股定理得到關(guān)于線段A3、AE、8E的方程，解方程即可解決問

題.

【詳解】解：：四邊形48CD為矩形，

J.AD//BC,AD=BC=8,ZA=90°,

:./EDB=/DBC；

由題意得：NEBD=NDBC,

:.NEDB=/EBD,

，BE=DE,

設(shè)EZ)=x,貝!jAE=8-x；

:.EB=ED=x；

在RtABE中，由勾股定理得：

BE2=AB2+AE2,

即尤2=42+(8-尤)2,

解得：x=5,

；.BE=5.

故答案為：5.

【點睛】本題考查矩形與翻折變換及其應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的

判定及其性質(zhì)、勾股定理等幾何知識，靈活進行判斷、分析、推理或解答.

22.50°.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：：四邊形是平行四邊形，

，ZA=ZC,

ZA+ZC=100°,

NA=50。，

故答案為:50°.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行四邊形的性質(zhì).

23.20°

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得N8Cr>=NA=70。，又由于所以再根據(jù)

CELBD,最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可解答.

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形

ZBCD=ZA=10°

,:DB=DC,

ZDBC=ZDCB=10°

'：CE±BD

：.ZCEB=90°

：.ZBCE=90°-ZDBC=20°.

故填20°.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解答本

題的關(guān)鍵.

24.AB=BC

【分析】根據(jù)正方形的判定添加條件即可.

【詳解】解：添加的條件是：AB=BC.

理由如下：

:四邊形ABC。是矩形，AB=BC,

四邊形ABCO是正方形.

故答案為：AB=BC.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定的應(yīng)用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.

25.15729

【分析】(1)根據(jù)正方形和等邊三角形的性質(zhì)，可得AD=CD=DE,ZADC=60°,ZCDE=90°,進而即可求

解；

(2)作點C關(guān)于AE的對稱點C',連接C'B交AE于點P,連接CA,CP,可得尸B+PC的最小值=PB+

PC'=BC',結(jié)合勾股定理，即可求解.

【詳解】解：(1)???△□4c是等邊三角形，四邊形COEF是正方形，

：.AD=CD=DE,ZADC=6Q0,/CDE=90。,

：.ZAZ)￡=90°+60°=150°,

ZDAE=(180°-150°)+2=15°,

故答案是：15,

(2)作點C關(guān)于AE的對稱點C',連接交AE于點P,連接CA,CP,

VZDAE=15°,ZDAC=6Q°,

：.ZCAE=60°-15o=45°,

丁點C關(guān)于AE的對稱點C"

/.ZCAE=ZC'AE=45°,C'A=CA=2,CP=CP,

：.ZC'AC=90°,

?*.PB+PC的最小值=PB+PC=BC'=^IAC2+AB2=商+(2+3)2=曬.

故答案是：咽.

【點睛】本題主要考查勾股定理，軸對稱一線段和最小值問題以及等邊三角形和正方形的性質(zhì)，添加輔助

線，構(gòu)造直角三角形和軸對稱圖形，是解題的關(guān)鍵.

26.2

【分析】由已知易得NAEF=/FEC=NEFC,進而可得EC=FC,再由勾股定理求出EC即可解答.

【詳解】解：：在矩形48C。中，AD//BC,AD=BC=1,ZADC=90°；

ZAEF=ZEFC,

又：ZAEF=ZFEC

：.ZFEC=ZEFC,

：.EC=FC,

：4。=7,AE=C￡>=3,

：.ED=AD-AE=4,

ECnyjElf+CD。=5,

：.BF=BC-FC=l-5=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能利用

勾股定理進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵.

27.AF=AE（答案不唯一）

【分析】由題意易得四邊形MC廠是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定定理可進行求解.

【詳解】解：：四邊形AB。是矩形，

AD//BC,

AF=EC,

，四邊形AECF是平行四邊形，

若要添加一個條件使其為菱形，則可添加AF=AE或AE=CE或CE=C尸或理由：一組鄰邊相等

的平行四邊形是菱形；

故答案為AF=AE（答案不唯一）.

【點睛】本題主要考查菱形的判定定理、矩形的性質(zhì)及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定定理、矩

形的性質(zhì)及平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵.

28.4

【分析】根據(jù)矩形的對角線相等且互相平分的性質(zhì)計算，得BD=AC=20A,即可得到答案.

【詳解】YABCD是矩形

.*.OC=OA,BD=AC

又：OA=2,

AC=OA+OC=2OA=4

；.BD=AC=4

故答案為:4.

【點睛】本題考查了矩形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形對角線的性質(zhì)，從而完成求解.

29.30五

【分析】如圖1，2中，連接AC.在圖2中，利用勾股定理求出BC,在圖1中，只要證明△ABC是等邊

三角形即可解決問題.

【詳解】解:如圖1,2中，連接AC.

圖1圖2

如圖1中，\'AB^BC,NB=60。，

.?.△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC^AC^30,

在圖2中，：四邊形A3。是正方形，

：.AB=BC,ZB=90°,

'：AB=BC=30cm,

".AC—30^2cm,

故答案為：30

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問

題，屬于中考常考題型.

30.40°

【分析】根據(jù)題意由折疊的性質(zhì)可得BC=CF,由菱形的性質(zhì)可得2C〃A。，BC=CD,可

求/3C4/。即=80。，即可求解.

【詳解】解：：將菱形紙片ABC。折疊，使點2落在邊的點尸處，

/.ZBCE=ZFCE,BC=CF,

:四邊形ABC。是菱形，

J.BC//AD,BC=CD,

：.CF=CD,

：.ZCFD=ZD=8Q°,

'：BC//AD,

：.ZBCF=ZCFD=80°,

：.ZECF=4Q°.

故答案為：40°.

【點睛】本題考查翻折變換以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握并運用折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

31.②④.

【分析】由于EF經(jīng)過平行四邊形ABCD的中心O,故四邊形AECF一定也是平行四邊形，這可以通過證

明BE與CF相等來說明.然后只要讓平行四邊形AECF再滿足適當?shù)奶厥鈼l件就可以變成對應(yīng)的特殊平

行四邊形.

【詳解】解：①如圖1，

:四邊形ABC。為平行四邊形，對角線AC與3。交于點O,

：.AB//DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD,

；./OAE=NOCF,

ZAOE^ZCOF,

：.AAOE^ACOF(ASA),

：.AE=CF,

y.'-'AE//CF,

四邊形AECF為平行四邊形，

即E在AB上任意位置(不與A、8重合)時，四邊形AECT恒為平行四邊形,

故選項①正確；

②如圖2,

四邊形AEb不是矩形，故選項②錯誤.

③如圖3,

當EfUAC時，四邊形AECF為菱形，故選項③正確.

④如圖4,

如果AB<AD,