2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編：平行四邊形章節(jié)綜合4（解答題）

2024北京重點校初二（下）期中數(shù)學(xué)匯編

平行四邊形章節(jié)綜合（解答題）4

一、解答題

1.（2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AB=BD=2CD,E為鉆的

中點，請你用無刻度的直尺在圖中畫的邊AO上的高線，小蕊的畫法如下.請你按照小蕊的畫法完

成畫圖，并填寫證明的依據(jù).

畫法：

①連接ED,

②連接CE,交BD于點、F,

③連接鉆,交DE于點P

④作射線3尸，交AD于點

即為所求的邊AD上的高線

證明：

,：AB^ICD,E為A3的中點，

BE=CD.

?/AB//CD,

四邊形是平行四邊

形..

二點E是8D中點..

AF.DE是的中線

/.3H是的中線

'/AB=BD

’8”是AO邊上的高線._______________________________

2.（2024北京第十二中學(xué)初二下期中）如圖，每個小正方形的邊長都是1,A,B,C,。均在網(wǎng)格的格

點上.

（1）判斷ZBCZ）是否為直角：.（填寫“是”或“不是‘）

（2）直接寫出四邊形ABC。的面積為.

（3）找到格點E,并畫出四邊形至即（一個即可），使得其面積與四邊形ABC。面積相等.

3.（2024北京北師大附屬實驗中學(xué)初二下期中）下面是小張同學(xué)設(shè)計的“利用等腰三角形作菱形”的作圖過

程.

已知：等腰△ABD,AB=AD.

求作：點C,使得四邊形ABC。為菱形.

作法：①作—54。的角平分線A。，交線段于點O；

②以點。為圓心，49長為半徑圓弧，交AO的延長線于點C；

③連接3C,DC,所以四邊形A3CD為菱形，點C即為所求.

根據(jù)小張同學(xué)設(shè)計的作圖過程.

（1）使用直尺和圓規(guī)補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明.

證明：VAB=AD,AO平分/AD,

BO=DO,AOLBD,（_）（填推理的依據(jù)）

VBO=DO,AO=CO,

；?四邊形A5CD為平行四邊形（_）（填推理的依據(jù)）

ACJ.BD,

四邊形ABC。為菱形（_）（填推理的依據(jù)）

4.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,網(wǎng)格的中心

標記為點。按要求畫四邊形，使它的四個頂點均落在格點上，且點。為其對角線交點：

n二匚三二彩Q二匚1

圖3

(1)在圖1中畫一個兩邊長分別為6和4的矩形；

(2)在圖2中畫一個平行四邊形，使它有且只有一條對角線與(1)中矩形的對角線相等；

(3)在圖3中畫一個正方形，使它的對角線與(1)中所畫矩形的對角線相等.

5.(2024北京第十二中學(xué)初二下期中)在MAABC中，ABAC=90°,。是2C的中點，E是AD的中點,

過點A作AF||BC交BE的延長線于點F.證明四邊形ADb是菱形

6.(2024北京第一六六中學(xué)初二下期中)如圖，矩形A3CZ)中，點。是對角線AC的中點，過點。作

EFJ_AC分別交3C,于點E,F,連接AE和CF.

(1)求證：四邊形AEC尸為菱形；

⑵若A8=3,BC=5,求AE的長.

7.(2024北京東城二中初二下期中)如圖，在矩形ABC。中，AC,8。相交于點O,AE//BD,

BE//AC.

⑴求證：四邊形是菱形；

(2)若AB=OB=4,求四邊形AEB。的面積.

8.(2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中)如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的6x4的網(wǎng)格，點A,B均在格

點上.

圖1圖2

(1)在圖1中畫出以A8為邊且周長為8+2石的平行四邊形ABC。，且點C和點。均在格點上(畫出一個即

可)；

(2)在圖2中畫出以48為對角線的正方形AEBF,且點E和點尸均在格點上.

9.(2024北京中關(guān)村中學(xué)初二下期中)如圖，在VA2C中，D是AB上一點，AD=DC,DEADC

交AC于點E,DF平分/BDC交BC于點F,ZDFC=90。.

(1)求證：四邊形CEO尸是矩形；

⑵若/B=30。，AD^2,連接BE,求BE的長.

10.(2024北京北師大附屬實驗中學(xué)初二下期中)如圖，在口ABC￡＞中，DEIAB,點尸在AB的延長線

上，且CF_LAB.

求證：四邊形CD所是矩形.

11.(2024北京H^一實驗中學(xué)初二下期中)如圖，在口ABCD中，AC,BD交于點、0,點E,P在AC上,

AE=CF.

(1)求證：四邊形EBFD是平行四邊形；

(2)若NBAC=ZDAC,求證：四邊形EB即是菱形.

12.(2024北京交大附中初二下期中)已知：VA3C為銳角三角形，AB=AC.

求作：菱形ABAC.

作法：如圖，

cc

①以點A為圓心，適當長為半徑作弧，交AC于點交AB于點、N；

②分別以點N為圓心，大于;MN的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點E,作射線AE與

BC交于點O；

③以點。為圓心，以A0長為半徑作弧，與射線AE交于點。，連接CD,BD-,

四邊形A5DC就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）：

（2）完成下面的證明：

證明：A3=AC,AE平分^CAB,

：.C0=.

AO=DO,

四邊形A2ZJC是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）.

AB=AC,

四邊形A2DC是菱形（）（填推理的依據(jù)）.

13.（2024北京第十四中學(xué)初二下期中）下面是小明設(shè)計的作矩形A8C。的尺規(guī)作圖過程.

已知：RfAABC中，ZABC=90°.

求作：矩形A8CD

作法：如圖，

1、以點A為圓心，BC長為半徑作??；

2、以點C為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點。（點。與點B在直線AC異側(cè)）；

3、連接AD,CD.

所以四邊形ABCD就是所求作的矩形.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）;

（2）完成下面的證明（括號里填推理的依據(jù)）.

證明：-：AB=,BC=,

.,?四邊形ABC。是平行四邊形（）.

又：ZABC=90°,

二四邊形A3CD是矩形（）.

14.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）如圖，在平行四邊形A3CD中，AC_LAD,作/EC4=/ACD,

CE交A8于點O,交ZM的延長線于點E,連接BE.

（1）求證：四邊形ACBE是矩形；

（2）連接。D.若AB=4,ZACD=60°,求。。的長.

15.（2024北京匯文中學(xué)初二下期中）尺規(guī)作圖：如圖，已知線段a,b.

求作：菱形ABCD,使其一條對角線的長等于線段。的長，邊長等于線段b的長.

作法：①作直線機，在加上截取線段AC=a；

②作線段AC的垂直平分線EF,交線段AC于點O；

③以點A為圓心，線段6的長為半徑畫弧，交直線E尸于點8,D-,

④分別連接AB，BC,CD,DA；

則四邊形ABCD就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

m

（2）完成下面的證明.

證明：垂直平分AC,

.'.AB=_,（_）

,/AB=AD,

：.AB=AD=BC=BD,

四邊形ABC。是菱形.（_）

16.（2024北京豐臺第二中學(xué)初二下期中）如圖，在平行四邊形ABC。中，點E,點尸在直線80上，且

BE=DF,連接AF,CE,求證AF=CE.

A

D

17.(2024北京H^一實驗中學(xué)初二下期中)如圖，在VABC中，AB=AC,。是BC的中點，點E,尸在射

線AD上，且DE=DF.

(1)求證：四邊形BEC尸是菱形；

(2)若AD=3C=6,AE=BE,求菱形2EC尸的面積.

18.(2024北京廣渠門中學(xué)初二下期中)己知：AABC,CD平分/AC3.

求作：菱形DFCE,使點尸在8c邊上，點E在AC邊上，下面是尺規(guī)作圖過程.

作法：①分別以C、。為圓心，大于;CO為半徑作弧，兩弧分別交于點M、N；

②作直線MN分別與AC、BC交于點E、F；

③連接DF,0c與跖的交點記為點G；

四邊形。尸CE為所求作的菱形.

(1)利用直尺和圓規(guī)依做法補全圖形(保留作圖痕跡);

(2)完成下面的證明.

證明：:DE=EC,DF=FC,

為。C的垂直平分線.

"：DE=EC,

：.ZEDC=ZECD.

?.?(7￡)平分乙4。8,

：.ZECD=ZDCB.

：.ZEDC=ZDCB,

：._//_()(填推理依據(jù))

同理可證。/〃CE,

.,?四邊形DFCE為平行四邊形.

又；_，

四邊形DFCE為菱形.

19.(2024北京交大附中初二下期中)已知正方形ABCZ),點E,尸分別在射線BC,射線上,

BE=CF,AE與BF交于點、H.

圖2

(D如圖1,當點E,尸分別在線段8C,CD上時，求證：AE=BF,且/場_LM；

(2)如圖2,當點E在線段BC延長線上時，將線段8E沿8尸平移至FG,連接AG.

①依題意將圖2補全；

②用等式表示線段AG,FG和AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.(2024北京第一七一中學(xué)初二下期中)學(xué)習(xí)完四邊形的知識后，小明想出了“作三角形一邊中線”的另

一種尺規(guī)作圖的作法，下面是具體過程.

已知：VABC.

求作：邊上的中線AD.

作法：如圖，

①分別以點3,C為圓心，AC,AB長為半徑作弧，兩弧相交于P點；

②作直線AP,AP與交于。點，所以線段就是所求作的中線.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；(保留作圖痕跡)

（2）完成下面的證明.

證明：連接PB,PC.

?：PC=AB,,

二四邊形ABPC是平行四邊形（）（填推理的依據(jù)）.

:.DB=DC（）（填推理的依據(jù)）.

是2C邊上的中線.

21.（2024北京和平街第一中學(xué)初二下期中）如圖，在△ABC中，點。，￡分別是AC,AB的中點，點、F

是CB延長線上的一點，且CP=32F,連接。3,EF.

（1）求證：四邊形。是平行四邊形；

（2）若/ACB=90。，AC=12cm,DE=4cm,求四邊形DEFB的周長.

22.（2018?江蘇揚州?二模）如圖，在平行四邊形A8CD中，過點。作。ELA8于點E,點尸在邊CZ）上,

DF=BE,連接AP,BF.

（1）求證：四邊形2FDE是矩形；

（2）若AF平分NZM3,CF=3,BF=4,求。廠長.

23.（2024北京第六十六中學(xué)初二下期中）下面是小明設(shè)計的“作菱形”的尺規(guī)作圖過程：

求作：菱形ABC。作法：

①作線段AC；

②作線段AC的垂直平分線I,交AC于點O-,

③在直線/上取點8,以。為圓心，。8長為半徑畫弧，交直線/于點。（點8與點。不重合）;

④連接AB、BC、CD、DA,所以四邊形ABC。為所求作的菱形.

根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程：

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：：OA=OC,OB=OD,

四邊形ABC。為菱形（填推理的依據(jù)）.

B

AOC

24.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）下面是小陽設(shè)計的作矩形的尺規(guī)作圖過程.

8b--------------

已知：RtAABC,ZABC=90°.

求作：矩形ABCD.

作法：

①以A為圓心，3C的長為半徑畫弧，再以C為圓心，

A8的長為半徑畫弧，兩弧交于點。

②連接D4,DC.

所以四邊形ABC。即為所求作的矩形.

根據(jù)小陽設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：'：AD=BC,CD=AB,

四邊形ABCD是（）.

ZABC=90°,

四邊形ABC。是矩形（）.

25.（2024北京第十三中學(xué)初二下期中）已知：如圖，在等腰△ABC中，AB=BC,80平分NABC交AC

于點。，延長80至點。，使00=80,連接ADCD,過點。作。交8C的延長線于點E.

（1）求證：四邊形A8C。是菱形；

（2）如果AB=2,ZBAD=60°,求。E的長.

26.（2024北京陳經(jīng)綸中學(xué)初二下期中）在數(shù)學(xué)課上，老師說統(tǒng)計學(xué)中常用的平均數(shù)不是只有算術(shù)平均數(shù)

一種，好學(xué)的小聰通過網(wǎng)絡(luò)搜索，又得到了兩種平均數(shù)的定義，他把三種平均數(shù)的定義整理如下：

對于兩個數(shù)。，b,

彳稱為a,b這兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，

N=&京稱為a,b這兩個數(shù)的幾何平均數(shù)，

p=稱為a,b這兩個數(shù)的平方平均數(shù).

小聰根據(jù)上述定義，探究了一些問題，下面是他的探究過程，請你補充完整：

（1）若a=-l,b=-2,則Af=_,N=_,P=_；

（2）小聰發(fā)現(xiàn)當a,b兩數(shù)異號時，在實數(shù)范圍內(nèi)N沒有意義，所以決定只研究當。，6都是正數(shù)時這三

種平均數(shù)的大小關(guān)系.結(jié)合乘法公式和勾股定理的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，他選擇構(gòu)造幾何圖形，用面積法解決問題:

如圖，畫出邊長為a+b的正方形和它的兩條對角線，則圖1中陰影部分的面積可以表示

②借助圖形可知當a,b都是正數(shù)時，M,N,尸的大小關(guān)系是：_（把M,N,P從小到大排列，并用

或，W，號連接）.

27.（2024北京第十八中學(xué)初二下期中）已知，點E在正方形A8CD的AB邊上（不與點A,8重合），BD

是對角線，延長A3到點「使8尸=4區(qū)過點E作8。的垂線，垂足為M,連接AM,CF.

（1）根據(jù)題意補全圖形，并證明

（2）①用等式表示線段AM與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②直接用等式表示線段AM,BM,DW之間的數(shù)量關(guān)系.

28.（2024北京豐臺第二中學(xué)初二下期中）如圖，正方形A8CC的對角線交于點。，點E、尸分別在AB、

8C上（AEVBE）,且NE。尸=90。，OE、D4的延長線交于點OF、A8的延長線交于點N,連接

M

29.(2024北京第一六六中學(xué)初二下期中)在正方形ABCD外側(cè)作直線AP,點B關(guān)于直線AP的對稱點

為E,連接BE,DE,其中DE交直線AP于點F.

圖1圖2

(1)依題意補全圖1；

(2)若/PAB=20。，求NADF的度數(shù)；

(3)如圖2,若45o</PAB<90。，用等式表示線段AB,FE,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

30.(2024北京豐臺第八中學(xué)初二下期中)正方形ABC。中，點M是直線上的一個動點(不與點2,

重合)，作射線。過點8作BAaDM于點N,連接CN.

(1)如圖1,當點M在3c上時，如果/CDM=25。，那么的度數(shù)是

(2)如圖2,當點M在BC的延長線上時，

①依題意補全圖2；

②用等式表示線段N8,NC和ND之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

參考答案

1.見解析

【分析】先根據(jù)題意畫圖，然后根據(jù)已知條件填寫依據(jù)即可.

【詳解】

VAB=2CD,E為AB的中點，

BE=CD.

?/AB//CD,

.??四邊形￡BCD是平行四邊形.（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

，點下是8。中點.（平行四邊形對角線互相平分），

AF.DE是的中線，

/.是的中線，

AB=BD,

/.3”是4）邊上的高線.（等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高）.

【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)與判斷和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件靈活使用平行

四邊形的性質(zhì)和判定.

2.⑴不是

⑵14

（3）見解析（答案不唯一）

【分析】（1）先利用勾股定理分別求出BC'CZABLP的長，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可得；

（2）利用分割法求解即可得；

（3）先利用平行四邊形的性質(zhì)找到格點E,再利用等高模型畫出圖形即可.

【詳解】（1）解：?jBC?=2?+52=29,

CD2=『+2?=5,

802=42+42=32,

22

：.BC+CD豐BD°,

NBCD不是直角，

故答案為：不是.

(2)解：四邊形ABC￡＞的面積為5x5—』x2x5-'x2xl-lxl—，*1X3-LX1X5=14,

-2222

故答案為：14.

(3)解：如圖，點E和四邊形ASED即為所求.

【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題、勾股定理的逆定理、平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運

用所學(xué)知識解決問題，屬于?？碱}型.

3.⑴見解析

(2)三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

【分析】(1)按照題意進行作圖即可；

(2)先由三線合一定理得到30=OO,AOLBD,再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定定理證明即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，即為所求；

(2)證明：：AB=AD,A0平分44￡),

/.BO=DO,AO1BD,(三線合一定理)

VBO=DO,AO=CO,

...四邊形4?。為平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

ACJ.BD,

四邊形ABC。為菱形(對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

故答案為：三線合一定理；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱

形.

【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規(guī)作圖，三線合一定理，菱形的判定，平行四邊形的判定等等，靈

活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

4.(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點，矩形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，固定。點，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，作出點AC,順次連接即可得到結(jié)論;

（3）固定。點，根據(jù)網(wǎng)格的特點，勾股定理正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖1,矩形ASCD即為所求；

BD=742+62=2-J13

圖1

（2）解：如圖2,平行四邊形A3。即為所求;

圖2

（3）解：如圖3,正方形ABCD即為所求.

AB=BC=CD=>/26,S.BC2+CD2=BD2

則正方形4?。即為所求.

【點睛】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出

圖形是解題的關(guān)鍵.

5.見解析

【分析】根據(jù)E是AD的中點，AF\\BC,易證得AV留三△DBE,即可得=又由在RMABC

中，NB4c=90。，。是2c的中點，o!^AD=BD=CD=AF,證得四邊形APC廠是平行四邊形，繼而判

定四邊形ADb是菱形。

【詳解】證明：如圖，

:.ZAFE=ZDBE,

?.?E是AD的中點，是BC邊上的中線,

:.AE=DE,BD=CD,

在ZVIFE和中，

ZAFE=ZDBE

<NFEA=ABED,

AE=DE

:.^AFE=J)BE(A4S),

AF=DB,

QDB=DC,

AF=CD,

...四邊形ADCF是平行四邊形，

Q/B4D=90。，。是BC的中點，

AD=DC^-BC,

2

二四邊形AZXT是菱形.

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).根據(jù)圖形求解是關(guān)鍵.

6.(1)見解析

(2)3.4

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AP=C尸，AE=CE,OA=OC,然后由四邊形ABC。是矩

形，易證得小。歹義^。?！?則可得A斤CE,繼而證得結(jié)論；

(2)設(shè)AE=CE=尤，貝|BE=5-x,由勾股定理得32+(5-x)2=/,求解即可.

【詳解】(1)證明：：點。是AC的中點，EFLAC,

是AC的垂直平分線，

：.FA=FC,EA=EC,OA=OC.

:四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZFAO^ZECO.

在AAOP和ACOE中，

'NFAO=NECO

?：\OA=OC,

ZAOF=ZCOE^90°

：.△AO金△COE(ASA),

：.FA=EC,

；.AE=EC=CF=M

.??四邊形AECP為菱形.

(2)解：設(shè)AE=CE=x,則BE=5—無，

:四邊形ABC。是矩形，

.\ZB=90°.

在RA43E中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2,

即32+(5-x)2=%2,

解得，x=3.4,

即AE=3.4.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，證得△AOPg/XCOE是解題的

關(guān)鍵.

7.(1)見解析

(2)873

【分析】(1)根據(jù)AE//3D,BEIIAC,得出四邊形岫。是平行四邊形，再由矩形的性質(zhì)得出

AO=BO,從而可證明四邊形AEB。是菱形；

(2)連接EO交48于點尸，由菱形的性質(zhì)得出40=30,AB±EO,EO=2OF,由帥=。3=4,證明

AAB。是等邊三角形，求出AF=2,再由勾股定理求出。歹=2百，進而EO=46,即可得出答案.

【詳解】(1)證明：如圖1,

二四邊形A￡B。是平行四邊形，

V四邊形ABCD是矩形，

AO=-AC,BO=-BD,AC=BD,

22

/.AO=BO,

四邊形AEB。是菱形；

(2)解：如圖2,連接E0交A3于點尸,

：.AO=BO,ABLEO,EO=2OF,

-,AB=OB=4f

,-.AB=BO=AO=4,

A4BO是等邊二角形,

AF=—AB=—x4=2,

22

:.OF=ylAO2-AF2=V42-22=2也，

￡0=2x26=45

S

-'-*?AEBO=-AB-￡O=-X4X4A/3=8^/3.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，菱形面積公式.

8.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，只要使得AB的鄰邊的長是無理數(shù)百即可；

(2)如圖，取格點￡、F,連接EF則EF與互相垂直平分且相等，根據(jù)正方形的判定方法，則四邊

形AEB尸為所作.

【詳解】(1)解：如圖，四邊形即為所作；

(2)解：如圖，四邊形極/即為所求作的正方形.

【點睛】本題考查了在網(wǎng)格中作特殊四邊形，熟練掌握平行四邊形和正方形的判定方法是準確作圖的關(guān)

鍵.

9.⑴見解析

Q)屈

【分析】(1)證/即F=90。，ZCED=90°,再由/￡>PC=90。，即可得出結(jié)論；

(2)證△ACD是等邊三角形，得/ACZ)=60。，AC=AD=2,則AE=CE=1,再由勾股定理得。E,然后由三

角形中位線定理得BC=2DE=2也,由勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：證明：平分NAOC,DF平分/BDC,

：.ZADE=ZCDE=-ZADC,ZCDF=-ZBDC,

22

AZCDE+ZCDF=-(ZADC+ZBDC)=-xl80°=90°,

22

BPZEZ)F=90°,

U：AD=DC,

：.ZDCA=ZDACf

：.ZCED=/AED=-X180°=90°,

2

又：ZDFC=90°,

四邊形CEZ＞是矩形；

(2)解：由(1)可知，四邊形CEOE是矩形，

ZCED=ZECF=90°,

：.ZA=90°-ZB=90o-30o=60°,DELAC,

'：AD=DC,

：.CE=AE,是等邊三角形，

ZACD=60°,AC=AD=2,

；.AE=CE=1,

DE=^AD2-AE2=V3，

ZDCB=ZECF-ZACD=90°-60o=30°,

ZDCB=ZB,

：.DB=DC=AD,

.??■DE是AABC的中位線，

：.BC=2DE=243,

在RfABCE中,由勾股定理得：BEKCELBCZ=屈，

即BE的長為而.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及勾股定理等知

識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.見詳解

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)，得到AB〃CD,結(jié)合OE//CF,DE±AB,即可得到結(jié)論成立.

【詳解】解：在DABCD中，有ABIICD,

VDE.LAB,CF1AB,

：.DE//CF,

；?四邊形DEFC是平行四邊形，

,/DEJ.AB,

四邊形CD歷是矩形.

【點睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)

進行證明.

H.(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)先根據(jù)四邊形A8C。為平行四邊形，得出AO=CO,BO=DO,再根據(jù)=得出

EO=FO,即可證明結(jié)論；

(2)先證明"C4=NA4C,得出八4=OC,證明四邊形ABCD為菱形，得出ACSBD,即可證明結(jié)

論.

【詳解】(1)證明：二?四邊形A8C。為平行四邊形，

AO=CO,BO=DO,

,/AE=CF,

：.AO-AE^CO-CF,

即EO=FO,

???四邊形EBFD是平行四邊形.

(2):四邊形ABC。為平行四邊形，

AB//CD,

：.ZDCA^ZBAC,

?/ABAC=ADAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.DA=DC,

四邊形ABC。為菱形，

ACJ.BD,

即EF_L5D,

???四邊形是平行四邊形，

二四邊形旗ED是菱形.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和

平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵.

12.(1)圖見解析

(2)08,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

【分析】(1)根據(jù)所給幾何語言畫出對應(yīng)的圖形即可；

(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CO=OB,再根據(jù)平行四邊形和菱形的判定解答即可.

【詳解】(1)解：如圖，菱形A8DC即為所求作；

(2)證明：VAB=AC,AE平分3CAB,

CO=OB.

AO^DO,

.?.四邊形ABAC是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）.

AB=AC,

.??四邊形是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）.

故答案為：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

【點睛】本題考查基本尺規(guī)作圖-作角平分線、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定，熟練

掌握基本尺規(guī)作圖的方法步驟，熟知平行四邊形的判定和菱形的判定是解答的關(guān)鍵.

13.（1）見解析

（2）CD,AD,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可.

【詳解】（1）解：如圖，四邊形ABC。即為所求.

（2）證明："：AB=CD,AD=BC,

四邊形ABC。是平行四邊形（兩組對分別相等的四邊形是平行四邊形），

,/ZABC=90°,

四邊形ABC。是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）.

故答案為：C。，AD,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握基本知識，屬于中考?？碱}型.

14.（1）見解析；

（2）277

【分析】（1）先證明四邊形AC3E是平行四邊形，然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證

明；

（2）先證明AAOC為等邊三角形，由各角之間的關(guān)系得出/陰。=90。-60。=30。，根據(jù)含有30。角的直角三

角形的性質(zhì)及勾股定理進行求解即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：\?四邊形A3。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

'：AC±AD,

：.ZEAC=ZDAC=90°,

'：ZECA=ZACD,

：.ZAEC=ZADC,

???CE=CD,

：.AE=AD=BC9

9

\AE//BCf

???四邊形ACBE是平行四邊形，

ZEAC=90°,

???四邊形ACBE為矩形；

（2）如圖，過點。作。尸，。石于凡

由（1）可知，四邊形AC8E為矩形，

???對角線48與CE相等且互相平分，A0=;AB=2,

：.OA=OC,

*：ZACD=ZACO=60°,

???AAOC為等邊三角形，

ZOAC=60°,

???ZEAC=90°,

???ZMO=90°-60°=30°,

在放AAR?中，

1廠

OF=—AO=1,AF=A/3,

在R/AAEB中，BE=-AB=2,

2

AD=AE=742-22=2A/3>

?*.DF=AF+AD=73+2m=3A/3,

-'-OD=yjDF2+OF2=2不■

【點睛】題目主要考查矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含

有30。角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，熟練掌握運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

15.（1）作圖見解析；

（2）BC；AD；CD；線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；四條邊都相等的四邊形是菱形

【分析】（1）根據(jù)題干中提示的步驟，逐步作圖即可；

（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)及菱形的判定定理進行證明即可.

【詳解】（1）解：按照步驟，作圖如圖所示：

(2)證明：垂直平分AC,

：.AB=BC,AD=CD,(線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等)

'：AB=AD,

：.AB=BC=AD=CD,

四邊形48CD是菱形(四條邊都相等的四邊形是菱形).

故答案為：BC；AD；CD；線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；四條邊都相等的四邊形是

菱形

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖-作菱形，以及理論證明，掌握基本作圖的方法，以及菱形的判定定理是解題關(guān)

鍵.

16.見詳解

【分析】先根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出再利用等角的補角相等得出然后

利用SAS判定△ADF空ACBE即可解決問題；

【詳解】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZADB=ZDBC,

'：ZADF^1SQ°-ZADB,NCBE=1800-NDBC,

：.NADF=/CBE,

在△4。尸和小C8E中，

AD=CB

<NADF=NCBE,

DF=BE

：.^ADF^ACBE(SAS),

：.AF^CE.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等角的補角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

17.(1)見解析

【分析】(1)先由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到=再結(jié)合己知即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)DE=x,根據(jù)題意，求出砥=6-x,BD=3,再根據(jù)勾股定理列出方程求解，最后計算菱形的

面積即可.

【詳解】(1)AB=AC,。是8c的中點，

BD=CD,AD±BC,

■.DE=DF,

四邊形BECF是菱形;

(2)設(shè)=

VAD=BC=6,AE=BE,BD=CD,

AE-BE—6—x,BD-3,

■.■AD1BC,

:.ZBDE=90°,

在RABDE中,BD1+DE-=BE1，

即32+x2=(x-6)2,

9

解得x=，

4

9

DE=~,

4

1927

菱形BEb的面積=—?BC-OE-2=6x—=—.

242

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定定理和性質(zhì)定理，勾股定理，菱形的面積，熟練掌握

知識點是解題的關(guān)鍵.

18.⑴見解析

(2)DECF內(nèi)錯角相等，兩直線平行DC1EF

【分析】(1)根據(jù)給定做法，畫出圖形即可；

(2)先證這個四邊形是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直，即可證得該四邊形是菱形.

【詳解】(1)解：如圖，四邊形。PCE即為所求，

(2)證明：:DE=EC,DF=FC,

為。C的垂直平分線.

,:DE=EC,

：./EDC=/ECD.

：C￡)平分NAC8,

:./ECD=/DCB.

:./EDC=/DCB,

：.DE//CF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)

同理可證DF//CE,

四邊形。尸CE為平行四邊形.

又：DC1EF,

四邊形DFCE為菱形.

故答案為：DE-CF-內(nèi)錯角相等，兩直線平行；DCLEF.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形和菱形的判定方法，靈活運用平行四邊形和菱形的判定方法進行判定

是解題的關(guān)鍵.

19.⑴見解析

(2)①見解析；②AG2=2A￡>2+2FG2,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)正方形性質(zhì)可得A5=3C,ZABE^ZBCF^90°,進而可證明=ABCF(SAS),依據(jù)

全等三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)①按題目要求補全圖形即可；

②連接EG,根據(jù)平移性質(zhì)即可得出四邊形3EG/是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得EG=B產(chǎn)，

EG//BF,再由AABEMABC尸(SAS),可得AE=BF,ZBFC=ZAEB,進而可得出EG=AE,

ZAEG=90°,由勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】⑴解:如圖1,

四邊形ABCD是正方形，

:.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

在AABE和ABCF中，

BE=CF

-NABE=NBCF,

AB=BC

:./\ABE^tsBCF{SAS),

:.AE=BF,NBAE=NCBF,

ZCBF+ZABH=90°,

/.ZBAE+ZABH=90°,

.\ZAHB=90°,

:.AE±BF,

故AE=BF,且尸；

(2)解：①補全圖如圖2所示;

②AG2=2AD2+2FG2.理由如下:

如圖3,連接石G,

???線段BE沿BF平移至FG,

二.四邊形5EG廠是平行四邊形,

..EG=BF,EG//BF,

在AABE和ABCF中，

BE=CF

<ZABE=ZBCF,

AB=BC

:.AABE=/^BCF(SAS),

:.AE=BF,NBFC=ZAEB,

,\EG=BF=AE,

??ZBFC+NCBF=90。，

ZAEB+ZCBF=90°f

:.ZBHE=90°,

■.■EG//BF,

ZAEG=ZBHE=9Q°,

AG2=AE2+EG2=2AE2,

AE2=AB2+BE2=AD2+FG2,

AG2=2AD2+2FG2.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)

鍵是掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)定理.

20.(1)見解析

(2)AB=PB,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對角線互相平分

【分析】(1)根據(jù)要求作出圖形即可.

(2)利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解決問題即可.

【詳解】(1)解：如圖，圖形如圖所示：

(2)解：連接PB,PC.

PC=AB,AC=PB,

四邊形ABPC是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形).

:.DB=DC(平行四邊形的對角線互相平分).

故答案為：AB=PB,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對角線互相平分.

【點睛】本題考查作圖-基本作圖平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所

學(xué)知識解決問題.

21.(1)見解析；(2)平行四邊形。EFB的周長=28(cm)

【分析】(1)證OE是AABC的中位線，得DE〃BC,BC=2DE,再證QE=8R即可得出四邊形。EEB

是平行四邊形；

(2)由(1)得：BC=2DE=8(cm),BF=DE=4cm,四邊形是平行四邊形，得BD=EF,再由勾

股定理求出BD=10(cm),即可求解.

【詳解】(1)證明：：點。，E分別是AC,AB的中點，

是AABC的中位線，

：.DE//BC,BC=2DE,

?：CF=3BF,

：.BC=2BF,

:?DE=BF,

???四邊形DEFB是平行四邊形；

(2)解：由(1)得：BC=2DE=8(cm),BF=DE=4cm,四邊形。瓦5是平行四邊形，

:?BD=EF,

???。是AC的中點，AC=12cm,

CD=—AC=6(cm),

2

ZACB=90°,

BD=7C?2+BC2=A/62+82=10(cm),

二平行四邊形QEFB的周長=2(DE+BD)=2(4+10)=28(cm).

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理等知識；熟練掌握三角形中

位線定理，證明四邊形。EFB為平行四邊形是解題的關(guān)鍵.

22.(1)見詳解；(2)5

【分析】(1)先求出四邊形8mE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定推出即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出8C長，求出即可得出答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//DC,

?：DF=BE,

，四邊形8式?！晔瞧叫兴倪呅?，

'：DE±AB,

DEB=90°,

，四邊形8FDE是矩形；

(2)解：???四邊形是矩形，

；./BFD=90°,

：.ZBFC^90°,

在必中，CF=3,BF=4,

:.BC=5,

平分NZMB,

：.ZDAF=ZBAF,

'：AB//DC,

：.ZDFA=ZBAF,

：.ZDAF=ZDFA,

：.AD=DF,

"：AD=BC,

:.DF=BC,

:.DF=5.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，能綜

合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.

23.（1）見解析；（2）對角線互相垂直的平行四邊形為菱形

【分析】（1）根據(jù)幾何語言畫出對應(yīng)的幾何圖形；

（2）先證明四邊形ABCD為平行四邊形，然后利用對角線垂直可判斷四邊形ABC。為菱形.

【詳解】（1）如圖，四邊形A8CO為所作；

（2）證明：：OA=OC,OB=OD,

:.四邊形ABCD為平行四邊形，

'JBDLAC,

二四邊形為菱形（對角線互相垂直的平行四邊形為菱形）.

故答案為:對角線互相垂直的平行四邊形為菱形.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何

圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)

把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.也考查了菱形的判定.

24.（1）見解析；（2）平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；有一個角是直角的平行四

邊形是矩形

【分析】（1）利用直尺和圓規(guī)作圖即可；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定定理及矩形的判定定理證明即可.

【詳解】解：（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形如圖所示：

（2）證明："：AD=BC,CD=AB,

.?.四邊形ABC。是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）.

,/90°,

四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）

故答案為：平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

【點睛】此題考查尺規(guī)作圖，平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，熟記各定理是正確解答此題的關(guān)

鍵.

25.（1）見詳解；（2）DE=243

【分析】（1）由題意易得=然后根據(jù)菱形的判定條件可進行求證；

（2）由（1）可得/&4。=30。，貝情。3=1,。4=6，然后易證四邊形ACED是平行四邊形，進而問題可

求解.

【詳解】（1）證明：8。平分NABC,

BO±AC,AO=OC,

?：OD=BO,

.??四邊形ABC。是平行四邊形，

,?BD1AC,

二四邊形ABC。是菱形；

（2）由（1）可得四邊形48。是菱形，

AD//CE,

,：ZBAD=6Q°,

：.ABAC=-/BAD=30°,

2

"：AB=2,

：.OB=-AB=1,

2

,,OA=AB2—OB2=-\/3,

/?AC=2道,

\'DE±BD,BDLAC,

：.AC//DE,

：.四邊形ACED是平行四邊形，

/.DE=AC=2?.

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)與

判定、平行四邊形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

26.（1）五,巫；（2）①見解析；②NWM&P.

22

【分析】（1）將。=-1，。=-2分別代入M,N,P求值即可得；

（2）①分別求出AT,尸，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、矩形和直角三角形的面積公式即可得；

②根據(jù)（2）①中的所畫的圖形可得N24M2w產(chǎn)，由此即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)當〃=—1/=—2時,

“，a+b-1-23

M=----

222

N=y[ab=^—1x(—2)=A/2，

⑵①“｛用=*=匕±旦亨+",

則用陰影標出一個面積為的圖形如下所示：

ci~+b~(a—b)~+2ab(a-b)2

+ab,

222

則用陰影標出一個面積為尸2的圖形如下所示:

2<P2,當且僅當。-6=0,即。=6時，等號成立,

：。力都是正數(shù),

.?.M,N,P都是正數(shù),

:.N<M<P,

故答案為：N<M<P.

【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用、完全平方公式、正方形的性質(zhì)等知識點，較難的是題(2)①，正

確利用完全平方公式進行變形運算是解題關(guān)鍵.

27.(1)見解析；⑵①①AM=FC,證明見解析；②。獷+現(xiàn)心=241/2

【分析】(1)證AfiEM是等腰直角三角形即可得；

(2)①先證=得AM=FM,由AE=知EF=8C=AB,證AMEF=AMBC得

ZEMF=ZBMC,FM=MC,由NFMC=90。知AFCN是等腰直角三角形，從而得==;②

連接DE,證四邊形COM是平行四邊形得DE=6,由==AM知=,結(jié)合

BM=EM,ZDME=90°DM2+EM2=DE2,從而得出答案.

【詳解】解：(1)如圖所示，

1.'四邊形ABC￡＞是正方形,8。是對角線,

ZABD=45°,

■.BMLBD,

.?.ABEM是等腰直角三角形，

(2)①如圖所示，連接CM、FM,

ZAEM=Z.FBM=135°,

又?：AE=FB,

\AEM=AFBM(SAS),

:.AM=FM,

-：AE=BF,

..EF=AB=BC,

'：ZMBC=ZBEM=45°

:.\MEF=AMBC(SAS),

:.ZEMF=ZBMC,FM=MC,

:.ZFMC=90°,

.?.AFCM是等腰直角三