2025高考數(shù)學一輪復習-2.4-冪函數(shù)與二次函數(shù)-專項訓練【含解析】

2025高考數(shù)學一輪復習-2.4-冪函數(shù)與二次函數(shù)-專項訓練【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．冪函數(shù)y＝xα中的α的取值集合C是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2)，1，2，3))的子集，當冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,2))) B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3)) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2，3))2．冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(3，eq\r(3))，則f(x)是()A．偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)B．偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)C．奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)3．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)·xm＋1為偶函數(shù)，則m＝()A．1 B．2C．1或2 D．34.若冪函數(shù)y＝x－1，y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則m與n的取值情況為()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<15．已知f(x)為二次函數(shù)，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，則f(x)等于()A．x2－2x＋1 B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1 D．2x2＋2x－16．已知函數(shù)f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)在(－∞，0)上()A．是增函數(shù) B．不是單調(diào)函數(shù)C．是減函數(shù) D．不能確定7．一次函數(shù)y＝ax＋b(a≠0)與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖象大致是()8．已知f(x)＝－2x2＋bx＋c，不等式f(x)>0的解集為(－1,3)．若對任意的x∈[－1,0]，f(x)＋m≥4恒成立，則m的取值范圍是()A．(－∞，2] B．[4，＋∞)C．[2，＋∞) D．(－∞，4]二、多選題9．下列關(guān)于冪函數(shù)的論述正確的是()A．若α＝0，則冪函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線B．若兩個冪函數(shù)的圖象至少有三個公共點，則這兩個函數(shù)一定相同C．若冪函數(shù)為奇函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點(－1，－1)D．冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(1,1)，且一定不經(jīng)過點(1，－1)10．已知冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，則下列結(jié)論正確的有()A．f(－32)＝eq\f(1,16)B．f(x)的定義域是RC．f(x)是偶函數(shù)D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3]11．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，對任意實數(shù)t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，則函數(shù)值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()A．f(－1) B．f(1)C．f(2) D．f(5)12．由于被墨水污染，一道數(shù)學題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(1,0)，…，求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)可能具有的性質(zhì)是()A．在x軸上截得的線段的長度是2B．與y軸交于點(0,3)C．頂點是(－2，－2)D．過點(3,0)三、填空題13．已知冪函數(shù)f(x)＝mxn＋k的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，\f(1,4)))，則m－2n＋3k＝________.14．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為________________________.15．冪函數(shù)f(x)過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，則f(x)＝________，若f(a＋1)<f(3－2a)，則實數(shù)a的取值范圍是________.四、解答題16．已知二次函數(shù)f(x)的最小值為1，且f(0)＝f(2)＝3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的最大值；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．若f(x)是冪函數(shù)，且滿足eq\f(f4,f2)＝3，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等于()A．3 B．－3C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)2．已知二次函數(shù)f(x)＝(x－a)·(x－b)－2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的兩個根，則α，β，a，b的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<α<β<b B．a(chǎn)<α<b<βC．α<a<b<β D．α<a<β<b3．(多選題)如圖，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(－1,0)，頂點坐標為(1，n)，與y軸的交點在(0,2)與(0,3)之間(包括端點)，則下列結(jié)論正確的為()A．當x>3時，y<0 B．4a＋2b＋c＝0C．－1≤a≤－eq\f(2,3) D．3a＋b>04．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x)－2x＋1，且f(1)＝－1.對任意x1>x2>－1，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>m(x1＋x2)成立，則m的取值范圍為()A．[－2，－1] B．[－2，－1)C．[－4，－1] D．[－4，－1)5．函數(shù)f(x)滿足下列性質(zhì)：①定義域為R，值域為[1，＋∞)；②圖象關(guān)于直線x＝2對稱；③對任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0.請寫出函數(shù)f(x)的一個解析式：________________(只要寫出一個即可)．6．已知冪函數(shù)f(x)＝(m2－2m＋1)xm－eq\f(3,2)的圖象過點(4,2)．(1)求f(x)的解析式；(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并進行證明；(3)若f(a＋1)>f(2a－3)，求實數(shù)a的取值范圍．7．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋3，a∈R.(1)若函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；(2)若a＝1時，函數(shù)f(x)的圖象恰好在函數(shù)g(x)＝2x＋b的圖象上方(f(x)≥g(x)且恰好能取到等號)，求實數(shù)b的值．參考答案【A級基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1．(C)2．(D)[解析]設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，則f(3)＝3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，則f(x)＝xeq\f(1,2)＝eq\r(x)，是非奇非偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)．3．(A)[解析]因為f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為冪函數(shù)，所以m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2.當m＝2時，f(x)＝x3，函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，舍去；當m＝1時，f(x)＝x2，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．4.(D)[解析]對于冪函數(shù)y＝xα，當α>0時，y＝xα在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且0<α<1時，圖象上凸，∴0<m<1；當α<0時，y＝xα在(0，＋∞)上為減函數(shù)，不妨令x＝2，根據(jù)圖象可得2－1<2n，∴－1<n<0.5．(B)[解析]設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b，由f(x)＝x2＋f′(x)－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2a，,c＝b－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝1，))因此，f(x)＝x2＋2x＋1.6．(A)[解析]因為函數(shù)f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，即eq\f(m,m－1)＝0，解得m＝0.所以f(x)＝－x2＋3為開口向下的拋物線，所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增．故選A.7．(C)[解析]若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A；若a<0，一次函數(shù)y＝ax＋b為減函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a>0，b>0，從而－eq\f(b,2a)<0，而二次函數(shù)的對稱軸在y軸的右側(cè)，故應排除B，選C.8．(B)[解析]因為f(x)>0的解集為(－1,3)，所以－2x2＋bx＋c＝0的兩個根為－1,3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)＝－1×3，,\f(b,2)＝－1＋3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4，,c＝6.))令g(x)＝f(x)＋m，則g(x)＝－2x2＋4x＋6＋m＝－2(x－1)2＋8＋m.當x∈[－1,0]時，g(x)min＝m，因為g(x)≥4在[－1,0]上恒成立，所以m≥4.故選B.二、多選題9．(CD)[解析]由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．若α＝0，則冪函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線上去掉點(0,1)，故A錯誤；若兩個冪函數(shù)的圖象至少有三個公共點，則這兩個函數(shù)不一定相同，例如函數(shù)y＝x和y＝x3有3個交點，分別為(1,1)、(0,0)、(－1，－1)，故B錯誤．若冪函數(shù)y＝xα為奇函數(shù)，則α為奇數(shù)，∴(－1)α＝－1，故它的圖象一定經(jīng)過點(－1，－1)，故C正確；對于冪函數(shù)y＝xα的圖象，令x＝1，可得1α＝1，故它的圖象一定經(jīng)過點(1,1)，且一定不經(jīng)過點(1，－1)，故D正確，故選CD.10．(ACD)[解析]因為函數(shù)是冪函數(shù)，所以m＋eq\f(9,5)＝1，得m＝－eq\f(4,5)，即f(x)＝x－eq\f(4,5)，f(－32)＝[(－2)5]－eq\f(4,5)＝(－2)－4＝eq\f(1,16)，故A正確；函數(shù)的定義域是{x|x≠0}，故B不正確；∵f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C正確；函數(shù)f(x)＝x－eq\f(4,5)在(0，＋∞)是減函數(shù)，不等式f(x－1)≥f(2)等價于|x－1|≤2，解得－2≤x－1≤2，且x－1≠0，得－1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[－1,1)∪(1,3]，故D正確．故選ACD.11．(ACD)[解析]因為對任意實數(shù)t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對稱軸是x＝2，當a>0時，函數(shù)值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；當a<0時，函數(shù)值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．12．(ABD)[解析]由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函數(shù)為y＝a(x2－4x＋3)，其頂點的橫坐標為2，所以頂點一定不是(－2，－2)，故選ABD.三、填空題13．[解析]因為f(x)是冪函數(shù)，所以m＝1，k＝0，又f(x)的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，\f(1,4)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))n＝eq\f(1,4)，解得n＝eq\f(1,2)，所以m－2n＋3k＝0.14．[解析]由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.15．[解析]設(shè)冪函數(shù)解析式為f(x)＝xα，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))代入得α＝－eq\f(1,2)，所以f(x)＝x－eq\f(1,2)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以a＋1>3－2a>0，可得a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))).四、解答題16．[解析](1)∵f(0)＝f(2)＝3，∴二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝1，設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x－1)2＋1(a>0)，則f(0)＝a＋1＝3，解得a＝2；故f(x)＝2(x－1)2＋1.(2)∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))，∴f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－1))2＋1＝eq\f(11,2)，即f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))上的最大值為eq\f(11,2).(3)∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[2a，a＋1]上不單調(diào)，∴2a<1<a＋1，解得，0<a<eq\f(1,2)；故實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數(shù)學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(C)[解析]設(shè)f(x)＝xα，則eq\f(4α,2α)＝3，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(1,3).2．(C)[解析]設(shè)g(x)＝(x－a)(x－b)(a<b)，則y＝g(x)－2，所以y的圖象是由g(x)的圖象向下平移2個單位長度得到的，因為α，β(α<β)是方程y＝0的兩個根，所以α<a<b<β.故選C.3．(AC)[解析]由已知得圖象與x軸另一交點為(3,0)，所以當x>3時，y<0，故A正確；當x＝2時，y＝4a＋2b＋c>0，故B錯誤；又∵y＝ax2＋bx＋c過點A(－1,0)，a<0，∴a－b＋c＝0，又－eq\f(b,2a)＝1，即b＝－2a，∴b＋2a＝0，則b＋3a<0，故D錯誤；又∵3a＋c＝0，∴c＝－3a，且2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－eq\f(2,3)，故C正確．故選AC.4．(A)[解析]由已知先利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合已知不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求解．設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因為f(x＋1)＝f(x)－2x＋1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝－2x＋1，整理得，2ax＋a＋b＝－2x＋1，故a＝－1，b＝2，又f(1)＝a＋b＋c＝－1，所以c＝－2，f(x)＝－x2＋2x－2，因為對任意x1>x2>－1，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>m(x1＋x2)成立，所以f(x1)－mxeq\o\al(2,1)>f(x2)－mxeq\o\al(2,2)，令g(x)＝f(x)－mx2＝(－1－m)x2＋2x－2，則x1>x2>－1時，g(x1)>g(x2)，即g(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，當m＝－1時，g(x)＝2x－2滿足題意，當m≠－1時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m－1>0，,\f(2,21＋m)≤－1，))解得，－2≤m<－1，綜上，m的范圍[－2，－1]．故選A.5．[解析]由二次函數(shù)的對稱性、值域及單調(diào)性可得f(x)的解析式可以為f(x)＝(x－2)2＋1，此時f(