2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.8-高考大題規(guī)范解答-概率統(tǒng)計(jì)-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.8-高考大題規(guī)范解答——概率統(tǒng)計(jì)-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)1.2022年12月份以來，全國(guó)多個(gè)地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費(fèi)券，助力消費(fèi)復(fù)蘇，記發(fā)放的消費(fèi)券額度為x(百萬元)，帶動(dòng)的消費(fèi)為y(百萬元)．某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示.x33455668y1012131819212427(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的線性回歸方程．(2)①若該省A城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元的消費(fèi)券，利用(1)中求得的線性回歸方程，預(yù)計(jì)可以帶動(dòng)多少消費(fèi)？②當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對(duì)值與估計(jì)值的比值不超過10%時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是理想的．若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費(fèi)券后，經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動(dòng)的消費(fèi)為30百萬元，請(qǐng)問發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請(qǐng)分析可能存在的原因．參考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)).當(dāng)|r|>0.75時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．參考數(shù)據(jù)：eq\r(35)≈5.9.2．第19屆亞運(yùn)會(huì)的開幕式于2023年9月23日在我國(guó)杭州舉行.2023年8月，某商場(chǎng)為了吸引顧客，舉行了“答題領(lǐng)優(yōu)惠，杭州看亞運(yùn)”促銷活動(dòng)．具體規(guī)則是：兩人一組進(jìn)行答題比拼，比拼分兩關(guān)進(jìn)行．第一關(guān)：一道題，兩人抽簽決定誰答題eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(都有\(zhòng)f(1,2)的機(jī)會(huì)被抽到))，答對(duì)得10分并獲得100元優(yōu)惠券，否則另一人得10分并獲得100元優(yōu)惠券；第二關(guān)：由第一關(guān)獲得積分和優(yōu)惠券的人從6道題目中抽取2道題目回答，每回答正確一道題目就獲得10分和100元優(yōu)惠券，每答錯(cuò)一道題目另一人獲得10分和100元優(yōu)惠券，兩輪比賽結(jié)束后，積分更高者獲勝，勝者將獲得一張亞運(yùn)會(huì)開幕式門票和200元優(yōu)惠券．現(xiàn)有甲、乙兩人組成一組參加該游戲，已知第一關(guān)的問題甲能答對(duì)的概率為eq\f(2,3)，乙能答對(duì)的概率為eq\f(3,5)；第二關(guān)的6道題目中甲能答對(duì)4題，乙能答對(duì)3題．(1)求甲獲勝的概率；(2)設(shè)X表示甲獲得的優(yōu)惠券總金額，求X的分布列和期望．3．2022年國(guó)慶節(jié)某商場(chǎng)進(jìn)行砸金蛋活動(dòng)，現(xiàn)有8個(gè)外形完全相同的金蛋，8個(gè)金蛋中有1個(gè)一等獎(jiǎng)，1個(gè)二等獎(jiǎng)，3個(gè)三等獎(jiǎng)，3個(gè)參與獎(jiǎng)，現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行砸金蛋比賽，砸中1個(gè)一等獎(jiǎng)記4分，砸中1個(gè)二等獎(jiǎng)記3分，砸中1個(gè)三等獎(jiǎng)記2分，砸中1個(gè)參與獎(jiǎng)記1分，規(guī)定砸蛋人得分不低于8分為獲勝，否則為負(fù)，并制定規(guī)則如下：①一個(gè)人砸蛋，另一人不砸蛋；②砸蛋的人先砸1個(gè)金蛋，若砸出的是一等獎(jiǎng)，則再砸2個(gè)金蛋；若砸出的不是一等獎(jiǎng)，則再砸3個(gè)金蛋，砸蛋人的得分為兩次砸出金蛋的記分之和．(1)若由甲砸蛋，如果甲先砸出的是一等獎(jiǎng)，求該局甲獲勝的概率；(2)若由乙砸蛋，如果乙先砸出的是二等獎(jiǎng)，求該局乙得分ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．4．某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機(jī)抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取180個(gè)零件，測(cè)量其尺寸(單位：mm)得到如下統(tǒng)計(jì)表，其中尺寸位于[55,58)的零件為一等品，位于[54,55)和[58,59)的零件為二等品，否則零件為三等品.生產(chǎn)線[53,54)[54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]甲49232824102乙214151716151(1)完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？一等品非一等品合計(jì)甲乙合計(jì)(2)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機(jī)抽取1個(gè)零件，每次抽取零件互不影響，以ξ表示這2個(gè)零件中一等品的數(shù)量，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)；(3)已知該企業(yè)生產(chǎn)的零件隨機(jī)裝箱出售，每箱60個(gè)．產(chǎn)品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對(duì)每箱零件進(jìn)行檢驗(yàn)．若執(zhí)行檢驗(yàn)，則每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為5元，并將檢驗(yàn)出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)行檢驗(yàn)，則對(duì)賣出的每個(gè)三等品零件支付120元賠償費(fèi)用．現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)檢驗(yàn)了20個(gè)，檢出1個(gè)三等品．將從兩條生產(chǎn)線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望作為決策依據(jù)，是否需要對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說明理由．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d；x0.05＝3.841.提能訓(xùn)練1．?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽是一項(xiàng)傳統(tǒng)的智力競(jìng)賽項(xiàng)目，旨在通過競(jìng)賽選拔優(yōu)秀人才，促進(jìn)青少年智力發(fā)展，很多優(yōu)秀的大學(xué)在強(qiáng)基計(jì)劃中都設(shè)置了對(duì)中學(xué)生奧林匹克競(jìng)賽成績(jī)的要求，因此各中學(xué)學(xué)校對(duì)此十分重視．某中學(xué)通過考試一共選拔出15名學(xué)生組成數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)，其中高一學(xué)生有7名、高二學(xué)生有6名、高三學(xué)生有2名．(1)若學(xué)校隨機(jī)從數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)抽取3人參加一項(xiàng)數(shù)學(xué)奧賽，求抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一的概率；(2)現(xiàn)學(xué)校欲通過考試對(duì)數(shù)學(xué)奧賽集訓(xùn)隊(duì)成員進(jìn)行考核，考試一共3道題，在測(cè)試中3道題中至少答對(duì)2道題記作合格．現(xiàn)已知張同學(xué)每道試題答對(duì)的概率均為eq\f(1,2)，王同學(xué)每道試題答對(duì)的概率均為eq\f(2,3)，并且每位同學(xué)回答每道試題之間互不影響，記X為兩名同學(xué)在考試過程中合格的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振鄉(xiāng)，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅(jiān)力量，為實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn)．已知某主要從事手工編織品的農(nóng)民專業(yè)合作社共有100名編織工人，該農(nóng)民專業(yè)合作社為了鼓勵(lì)工人，決定對(duì)“編織巧手”進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，為研究“編織巧手”是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)從所有編織工人中抽取40周歲以上(含40周歲)的工人24名，40周歲以下的工人16名，得到的數(shù)據(jù)如表所示.“編織巧手”非“編織巧手”總計(jì)年齡≥40歲19年齡<40歲10總計(jì)40(1)請(qǐng)完成答題卡上的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“編織巧手”與“年齡”是否有關(guān)；(2)為進(jìn)一步提高編織效率，培養(yǎng)更多的“編織巧手”，該農(nóng)民專業(yè)合作社決定從上表中的非“編織巧手”的工人中采用分層抽樣的方法抽取6人參加技能培訓(xùn)，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人分享心得，求這2人中恰有1人的年齡在40周歲以下的概率．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：α0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.8793．甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球．若甲發(fā)球，則本回合甲贏的概率為eq\f(2,3)，若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為eq\f(1,3)，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，經(jīng)抽簽決定，第1回合由甲發(fā)球．(1)求前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率；(2)求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；(3)設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X，求X的分布列及期望．4．后疫情時(shí)代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù)，國(guó)家先后出臺(tái)了多項(xiàng)減稅增效政策．某地區(qū)對(duì)在職員工進(jìn)行了個(gè)人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機(jī)抽樣，獲得500位在職員工的個(gè)人所得稅(單位：百元)數(shù)據(jù)，按[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：假設(shè)每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的．(1)求這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)(保留到小數(shù)點(diǎn)后一位)；(2)從個(gè)人所得稅在(6,8]，(14,16]，(16,18]三組內(nèi)的在職員工中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記年個(gè)稅在(14,16]內(nèi)的員工人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有在職員工中隨機(jī)抽取100名員工，記年個(gè)稅在(14,18]內(nèi)的員工人數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望與方差． 參考答案 1.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3＋3＋4＋5＋5＋6＋6＋8,8)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(10＋12＋13＋18＋19＋21＋24＋27,8)＝18.(1分)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝16＋12＋5＋0＋0＋3＋6＋27＝69，(2分)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝4＋4＋1＋0＋0＋1＋1＋9＝20，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝64＋36＋25＋0＋1＋9＋36＋81＝252，(3分)代入公式可得相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,8,)yi－\o(y,\s\up6(－))2))＝eq\f(69,\r(20)×\r(252))＝eq\f(23,4\r(35))≈0.97.(4分)由于|r|>0.75且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．(5分)經(jīng)計(jì)算可得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,8,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(69,20)＝3.45，(6分)eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝18－3.45×5＝0.75.所以所求線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.45x＋0.75.(7分)(2)①當(dāng)x＝10時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝35.25，所以預(yù)計(jì)能帶動(dòng)的消費(fèi)達(dá)35.25百萬元．(9分)②因?yàn)閑q\f(|30－35.25|,35.25)>10%，所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不是理想的．(11分)發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不同，居民的收入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平，A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費(fèi)總量(只要寫出一個(gè)原因即可)．(12分)評(píng)分細(xì)則：(1)第(1)問中，x，y的平均數(shù)只求對(duì)了一個(gè)，不給分．(2)第(2)問的第②問涉及的其他因素很多，比較主觀，學(xué)生只要答出一個(gè)比較合理的原因即可．2．[解析](1)令事件A為“甲第一關(guān)勝出進(jìn)入第二關(guān)”，事件B為“乙第一關(guān)勝出進(jìn)入第二關(guān)”，則P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＝eq\f(8,15)，(2分)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＋eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,10)＝eq\f(14,30)＝eq\f(7,15)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或PB＝1－PA＝\f(7,15)))，(3分)令：C1：第二關(guān)甲兩題都答對(duì)D1：第二關(guān)乙兩題都答對(duì)C2：第二關(guān)甲答題一對(duì)一錯(cuò)D2：第二關(guān)乙答題一對(duì)一錯(cuò)C3：第二關(guān)甲兩題都答錯(cuò)D3：第二關(guān)乙兩題都答錯(cuò)E：經(jīng)過兩關(guān)比賽，甲獲勝，(4分)所以P(E)＝P(A)(1－P(C3))＋P(B)P(D3)＝eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))))＋eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,15)))＋eq\f(7,15)×eq\f(3,15)＝eq\f(112,225)＋eq\f(21,225)＝eq\f(133,225).(6分)(2)X的所有可能取值為0,100,400,500，(7分)P(X＝0)＝P(B)P(D1)＝eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(7,15)×eq\f(3,15)＝eq\f(7,75)，P(X＝100)＝P(A)P(C3)＋P(B)P(D2)＝eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＋eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,225)＋eq\f(63,225)＝eq\f(71,225)，P(X＝400)＝P(A)P(C2)＋P(B)P(D3)＝eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＋eq\f(7,15)×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,6))＝eq\f(64,225)＋eq\f(21,225)＝eq\f(85,225)＝eq\f(17,45)，P(X＝500)＝P(A)P(C1)＝eq\f(8,15)×eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(48,225)＝eq\f(16,75)，(9分)所以X的分布列是：X0100400500Peq\f(7,75)eq\f(71,225)eq\f(17,45)eq\f(16,75)E(X)＝0×eq\f(7,75)＋100×eq\f(71,225)＋400×eq\f(17,45)＋500×eq\f(16,75)＝289eq\f(1,3).(12分)3．[解析](1)記“甲先砸出的是一等獎(jiǎng)，甲獲勝”為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(9,21)＝eq\f(3,7).(2分)(2)如果乙先砸出的是二等獎(jiǎng)，則可以再砸3個(gè)金蛋，則得分情況有6分，7分，8分，9分，10分，11分．(4分)P(ξ＝6)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，P(ξ＝7)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，P(ξ＝8)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，P(ξ＝9)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,1)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(ξ＝10)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,1)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(9,35)，P(ξ＝11)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),C\o\al(3,7))＝eq\f(3,35)，(10分)∴ξ的分布列為：P67891011ξeq\f(1,35)eq\f(9,35)eq\f(9,35)eq\f(4,35)eq\f(9,35)eq\f(3,35)∴ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝6×eq\f(1,35)＋7×eq\f(9,35)＋8×eq\f(9,35)＋9×eq\f(4,35)＋10×eq\f(9,35)＋11×eq\f(3,35)＝eq\f(60,7).(12分)4．[解析](1)由題意得列聯(lián)表如下：一等品非一等品合計(jì)甲7525100乙483280合計(jì)12357180(2分)χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(180×75×32－48×252,123×57×100×80)≈4.621，∵4.621>3.841＝x0.05，(4分)依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為零件是否為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)．(5分)(2)由已知任取一個(gè)甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為eq\f(23＋28＋24,100)＝eq\f(3,4)，任取一個(gè)乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為eq\f(15＋17＋16,80)＝eq\f(3,5)，ξ的所有可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10)，P(ξ＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,20)，P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)，∴ξ的分布列為：ξ012Peq\f(1,10)eq\f(9,20)eq\f(9,20)(8分)E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(9,20)＋2×eq\f(9,20)＝eq\f(27,20).(9分)(3)由已知零件為三等品的頻率為eq\f(4＋2＋2＋1,180)＝eq\f(1,20)，設(shè)余下的40個(gè)零件中三等品個(gè)數(shù)為X，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(40，\f(1,20)))，∴E(X)＝40×eq\f(1,20)＝2，(10分)設(shè)檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和為Y，若不對(duì)余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，則Y＝20×5＋120X，所以E(Y)＝100＋120×E(X)＝100＋240＝340，(11分)若對(duì)余下的所有零件進(jìn)行檢測(cè)，則檢驗(yàn)費(fèi)用為60×5＝300元，∵340>300，∴應(yīng)對(duì)剩下零件進(jìn)行檢驗(yàn)．(12分)提能訓(xùn)練1．[解析](1)設(shè)事件A為“抽取的3名同學(xué)中恰有2名同學(xué)來自高一”，則有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(1,8),C\o\al(3,15))＝eq\f(24,65).(2)設(shè)張同學(xué)、王同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別為Y，Z，張同學(xué)在考試中合格的概率為P(Y≥2)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝eq\f(1,2)，王同學(xué)在考試中合格的概率為P(Z≥2)＝P(Z＝2)＋P(Z＝3)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0＝eq\f(20,27).由題意得X可取0,1,2，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(20,27)))＝eq\f(7,54)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(20,27)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(20,27)＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(20,27)＝eq\f(10,27)，所以X的分布列為X012Peq\f(7,54)eq\f(1,2)eq\f(10,27)因此X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(7,54)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(10,27)＝eq\f(67,54).2．[解析](1)年齡在40周歲以上(含40周歲)的非“編織巧手”有5人，年齡在40周歲以下的“編織巧手”有6人．列聯(lián)表如下：“編織巧手”非“編織巧手”總計(jì)年齡≥40歲19524年齡<40歲61016總計(jì)251540零假設(shè)為H0：“編織巧手”與“年齡”無關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2＝eq\f(40×19×10－6×52,24×16×25×15)≈7.111>6.635＝x0.010，根據(jù)小概率值α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“編織巧手”與“年齡”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)的概率不大于0.010.(2)由題意可得這6人中年齡在40周歲以上(含40周歲)的人數(shù)是2；年齡在40周歲以下的人數(shù)是4.從這6人中隨機(jī)抽取2人的情況有Ceq\o\al(2,6)＝15種，其中符合條件的情況有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8種，故所求概率P＝eq\f(8,15).3．[解析](1)前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種：第一種情況，甲第1,2回合發(fā)球，乙第3,4回合發(fā)球，其概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,27).第二種情況，甲第1,3回合發(fā)球，乙第2,4回合發(fā)球，其概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).第三種情況，甲第1,4回合發(fā)球，乙第2,3回合發(fā)球，其概率為eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,27).故前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率為eq\f(4,27)＋eq\f(1,27)＋eq\f(2,27)＝eq\f(7,27).(2)第2回合甲發(fā)球的概率為eq\f(2,3)，乙發(fā)球的概率為eq\f(1,3).第3回合甲發(fā)球的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,9)，乙發(fā)球的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為eq\f(5,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(4,9)×eq\f(1,3)＝eq\f(14,27).(3)X可以取1,2,3,4.當(dāng)X＝1時(shí)，P1＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(