《工程力學(xué)》課件第4章

4.1軸力和軸力圖4.2桿件橫截面上的正應(yīng)力4.3軸向載荷作用下材料的力學(xué)性能4.4強(qiáng)度計(jì)算4.5變形分析與計(jì)算4.6拉壓簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題4.7應(yīng)力集中的概念第4章

軸向載荷作用下桿件的材料力學(xué)問(wèn)題

在工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械中，由于受軸向載荷作用而產(chǎn)生拉伸和壓縮變形的構(gòu)件是很多的，例如，桁架中的桿件，起重機(jī)械中的鋼纜，用作各種緊固件的螺栓及各種連桿機(jī)構(gòu)中的連桿等。這些構(gòu)件的共同特點(diǎn)是：作用于桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。若把這些桿件的形狀和受力情況進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得到如圖4.1(a)、(b)所示的力學(xué)模型，其中實(shí)線和虛線分別表示變形前、后的形狀。圖4.14.1軸力和軸力圖

1．內(nèi)力與截面法內(nèi)力是指物體內(nèi)部各部分之間相互作用的力。物體在未受外力作用時(shí)，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間本來(lái)就有力在相互作用。當(dāng)物體受到外力作用而變形時(shí)，其內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位置將有變化，與此同時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力也有所改變。這種原有內(nèi)力的改變，是物體在外力作用下產(chǎn)生的附加內(nèi)力。材料力學(xué)中討論和計(jì)算的只是這種附加內(nèi)力，故通常簡(jiǎn)稱其為內(nèi)力。這種內(nèi)力既不同于物體中固有的內(nèi)力，也不同于剛體系統(tǒng)中的內(nèi)力。前者是分子、原子等基本粒子相互作用產(chǎn)生的內(nèi)力，后者則是各個(gè)剛體相互機(jī)械作用產(chǎn)生的內(nèi)力。變形體的內(nèi)力則是由宏觀變形引起的內(nèi)力。根據(jù)材料的連續(xù)性假設(shè)，內(nèi)力在構(gòu)件內(nèi)連續(xù)分布。通常，首先需研究構(gòu)件橫截面上分布內(nèi)力的合力。為顯示內(nèi)力并確定其大小和方向，可采用截面法進(jìn)行分析。欲求構(gòu)件某處的內(nèi)力，需用假想截面從該處將構(gòu)件截成兩部分，并將其中任一部分分離出來(lái)，在截開的截面上用內(nèi)力代替另一部分對(duì)它的作用。由于整個(gè)構(gòu)件是平衡的，因此它的任何一部分也必然是平衡的。據(jù)此，考察截開后任一部分的平衡，由平衡條件即可確定截面上內(nèi)力的大小和方向。以上所述即為求內(nèi)力的截面法。

2．軸力與軸力圖現(xiàn)在研究軸向拉、壓桿件的內(nèi)力?？紤]圖4.2(a)所示的軸向受拉桿件，用m—m截面將桿件截成Ⅰ、Ⅱ兩部分，考察其中任一部分(Ⅰ或Ⅱ)的平衡。由平衡條件可得該截面上分布內(nèi)力的合力為

FN=F

其作用線與桿的軸線一致，方向如圖4.2(b)、(c)所示。這種軸向內(nèi)力簡(jiǎn)稱為軸力。對(duì)于軸向受壓桿件，同樣可通過(guò)上述過(guò)程求得其任一截面上的軸力FN，如圖4.3(a)、(b)、(c)所示。圖4.2圖4.3綜上所述，截面法求內(nèi)力的步驟可歸納如下：

(1)截開：在欲求內(nèi)力處用假想截面將桿件截為兩部分。

(2)代替：任取其中一部分作為研究對(duì)象，并用欲求的內(nèi)力代替另一部分對(duì)它的作用。

(3)平衡：考察研究對(duì)象的平衡，由靜力平衡方程確定橫截面上內(nèi)力的大小和方向。需要指出的是，截面法求內(nèi)力的實(shí)質(zhì)是考察平衡問(wèn)題，并且在建立平衡方程時(shí)無(wú)需考慮物體的變形。內(nèi)力的正負(fù)號(hào)依變形情況來(lái)規(guī)定。對(duì)于軸力，規(guī)定產(chǎn)生伸長(zhǎng)變形者為正，即軸力方向與桿件橫截面的外法線方向一致時(shí)為正(圖4.4(a))；產(chǎn)生縮短變形者為負(fù)，即軸力方向與桿件橫截面的外法線方向相反時(shí)為負(fù)(圖4.4(b))。軸力的正負(fù)號(hào)規(guī)則可簡(jiǎn)述為：拉為正，壓為負(fù)。一般，在計(jì)算時(shí)一律假設(shè)為正軸力，而據(jù)計(jì)算結(jié)果的正負(fù)號(hào)來(lái)確定軸力是拉力還是壓力。軸力的量綱為［力］，在國(guó)際單位制中采用的單位是牛頓(N)或千牛(kN)。若沿桿件軸線作用的外力多于2個(gè)，則桿件各段的軸力將不盡相同，這時(shí)需分段應(yīng)用截面法確定各段內(nèi)的軸力。表示軸力沿軸線方向變化的圖線稱為軸力圖。圖4.4

【例4.1】圖4.5(a)所示桿件在A、C、D三處受力，B處為固定端約束。試求此桿各段的軸力，并繪出軸力圖。

解根據(jù)桿件AB所受外力的情況，需分別計(jì)算AC、CD、DB段的軸力。

AC段：假想用1—1截面將桿截開，取左段為研究對(duì)象，設(shè)其上軸力為正方向，受力圖如圖4.5(b)所示。由靜力平衡條件：解得AC段的軸力為

FN1=F(拉力)

CD段：假想用2—2截面將桿截開，取左段為研究對(duì)象，設(shè)其上軸力為正方向，受力圖如圖4.5(c)所示。由靜力平衡條件：∑X=0，F(xiàn)N2+3F－F=0解得CD段的軸力為FN2=－2F(壓力)

DB段：類似地，假想用3—3截面將桿截開，取左段為研究對(duì)象，設(shè)其上軸力為正方向，受力圖如圖4.5(d)所示。由靜力平衡條件：∑X=0，F(xiàn)N3+2F+3F－F=0解得DB段的軸力為FN3=－4F(壓力)根據(jù)上述軸力計(jì)算結(jié)果可繪制軸力圖。首先建立FN—x坐標(biāo)，其中x沿桿軸線方向，F(xiàn)N為軸力。將軸力計(jì)算結(jié)果標(biāo)于F=—x坐標(biāo)中，便得到該桿的軸力圖(圖4.5(e))。需要指出的是，桿各段的軸力也可取截面右段為研究對(duì)象來(lái)分析，這時(shí)需考察整個(gè)桿的平衡，由靜力平衡條件來(lái)確定B處的約束力。讀者不妨一試。圖4.54.2桿件橫截面上的正應(yīng)力

1．應(yīng)力由截面法可以確定桿件橫截面上分布內(nèi)力系的合力。這一結(jié)果可以說(shuō)明截面上的內(nèi)力與外力的平衡關(guān)系，但不能反映分布內(nèi)力系在截面上某一點(diǎn)處的強(qiáng)弱程度。為此，引入一個(gè)新的物理量——應(yīng)力，以度量橫截面上分布內(nèi)力的集度。圖4.6(a)所示為從任意受力構(gòu)件中取出的分離體，截面m—m上作用有連續(xù)分布的內(nèi)力。圍繞任一點(diǎn)C取微小面積ΔA，ΔA上作用的內(nèi)力設(shè)為ΔF，ΔF的大小和方向與C點(diǎn)的位置和ΔA的大小有關(guān)。ΔF與ΔA的比值為(4.1a)圖4.6

pm是一個(gè)矢量，代表微面積ΔA上分布內(nèi)力的平均集度，稱為平均應(yīng)力。隨著ΔA的逐漸縮小，pm的大小和方向都將逐漸變化。當(dāng)ΔA趨于零時(shí)，pm的大小和方向都將趨于一定的極限。這樣得到(4.1b)p稱為m—m截面上C點(diǎn)的應(yīng)力(又稱為全應(yīng)力)，它是分布內(nèi)力系在C點(diǎn)的集度，反映內(nèi)力系在C點(diǎn)的強(qiáng)弱程度。通常將p分解為兩個(gè)分量，如圖4.6(b)所示。其中,與截面垂直的分量稱為正應(yīng)力，用符號(hào)σ表示；切于截面的分量稱為切應(yīng)力，用符號(hào)τ表示。三者之間的關(guān)系為σ=pcosα

(4.1(c))τ=psinα(4.1(d))應(yīng)力的量綱為[力]/[長(zhǎng)度]2，國(guó)際制單位為Pa(N/m2)或MPa(N/mm2)。

2.拉、壓桿橫截面上的正應(yīng)力現(xiàn)在研究軸向拉、壓桿件橫截面上的應(yīng)力。首先觀察拉(壓)桿的變形情況。圖4.7所示等截面直桿受軸向拉力作用。變形前，在等直桿的側(cè)面上畫垂直于桿軸的直線ab和cd。拉伸變形后，發(fā)現(xiàn)ab和cd仍為直線，且仍然垂直于軸線，只是分別平行地移至a′b′和c′d′。根據(jù)這一現(xiàn)象，可以假設(shè)：變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面且仍垂直于軸線。這就是平面假設(shè)。由此可以推斷，拉桿所有縱向纖維的伸長(zhǎng)是相等的，即軸向變形均勻分布。因材料是均勻連續(xù)的，所以所有縱向纖維的力學(xué)性能相同。由它們的變形相同和力學(xué)性能相同，可以推想各縱向纖維的受力是一樣的。據(jù)以上分析可以推知，在橫截面上將只有沿軸向的正應(yīng)力，并在整個(gè)橫截面上均勻分布。于是，有

式(4.2)同樣適用于軸向受壓的情況。該式即為計(jì)算軸向拉、壓等截面直桿橫截面上正應(yīng)力的公式。其中，F(xiàn)N為軸力，A為橫截面面積。正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)則與軸力一致，即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。圖4.7除等直桿外，軸向拉、壓小錐度直桿橫截面上的應(yīng)力也可按公式(4.2)計(jì)算。需要指出的是，當(dāng)作用在桿件上的外力沿橫截面均勻分布時(shí)，桿橫截面上的應(yīng)力將均勻分布，公式(4.2)適用。而當(dāng)作用在桿件上的外力沿橫截面非均勻分布時(shí)，外力作用點(diǎn)附近橫截面上的應(yīng)力也是非均勻分布的，則相應(yīng)區(qū)域橫截面上的應(yīng)力不能用公式(4.2)計(jì)算。但是，大量理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究均表明：如果桿端的兩種外加載荷靜力等效，則桿端部以外區(qū)域的應(yīng)力差異甚微。這一論斷就是著名的“圣維南原理”。在工程常規(guī)設(shè)計(jì)和計(jì)算中，一般不考慮端部加載方式的影響。對(duì)于拉、壓桿，只要外力合力的作用線沿桿軸線方向，即可應(yīng)用式(4.2)計(jì)算橫截面上的應(yīng)力。

【例4.2】圖4.8(a)為一懸臂吊車的簡(jiǎn)圖，斜桿AB為直徑d=20mm的鋼桿，載荷W=15kN。當(dāng)W

移到A點(diǎn)時(shí)，求斜桿橫截面上的應(yīng)力。

解斜桿AB為軸向受拉桿件。當(dāng)載荷W移到A點(diǎn)時(shí)，桿AB受到的拉力最大(圖4.8(b))，設(shè)其值為Fmax。根據(jù)橫梁(圖4.8(c))的平衡方程∑mC=0,得圖4.8由△ABC求出:故有斜桿AB的軸力為FN=Fmax=38.7kN由此求得AB

桿橫截面上的應(yīng)力為4.3軸向載荷作用下材料的力學(xué)性能

1.材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

1)低碳鋼的拉伸試驗(yàn)及其力學(xué)性能拉伸試驗(yàn)一般是將試件裝在萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行的。為了便于比較不同材料的試驗(yàn)結(jié)果，應(yīng)按國(guó)家規(guī)定，將材料做成標(biāo)準(zhǔn)試件。對(duì)于金屬材料，通常采用圓柱形試件，其形狀如圖4.9所示。試件中部一段為等截面，在該段中標(biāo)出長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一段，稱為工作段，試驗(yàn)時(shí)測(cè)量工作段的變形量。工作段長(zhǎng)度L(稱標(biāo)距)與試件橫截面尺寸有規(guī)定的比例，例如對(duì)圓截面標(biāo)準(zhǔn)試件，通常規(guī)定L=5d

或L=10d。圖4.9試驗(yàn)時(shí)，將試件兩端安裝在試驗(yàn)機(jī)的夾具中，然后緩慢加載，試件逐漸伸長(zhǎng)，直至拉斷為止。載荷可由試驗(yàn)機(jī)上讀出，伸長(zhǎng)量可通過(guò)測(cè)量變形的引伸儀量得。在試驗(yàn)過(guò)程中，記下一系列載荷F的數(shù)值和與它對(duì)應(yīng)的工作段的伸長(zhǎng)量ΔL值。以ΔL為橫坐標(biāo)、F為縱坐標(biāo)，可畫出F—ΔL曲線，此曲線稱為試件的拉伸圖。多數(shù)萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)上附有自動(dòng)繪圖設(shè)備，可自動(dòng)繪出F—ΔL曲線。圖4.10為低碳鋼試件的拉伸圖。圖4.10試件的拉伸圖中，F(xiàn)與ΔL的對(duì)應(yīng)關(guān)系與試件尺寸有關(guān)，例如，如果標(biāo)距L不同，則同一載荷引起的伸長(zhǎng)量ΔL也將不同，因而F—ΔL圖不能反映材料的力學(xué)性能。為了消除試件尺寸的影響，常按照工作段的原始尺寸L、A，以F/A=σ作為縱坐標(biāo)、ΔL/L=ε作為橫坐標(biāo)，將F—ΔL曲線改畫為σ—ε曲線。這樣得到的曲線與試件的尺寸無(wú)關(guān)，而只反映材料本身的力學(xué)性能。此曲線稱為應(yīng)力—應(yīng)變曲線。由于A及L均為常數(shù)，故σ—ε曲線應(yīng)與F—ΔL曲線相似，只是后者縱、橫坐標(biāo)的比例尺與前者的有所不同。低碳鋼拉伸時(shí)的σ—ε曲線如圖4.11所示。圖4.11由低碳鋼的F—ΔL曲線和σ—ε曲線可以看出，整個(gè)加載和變形過(guò)程呈現(xiàn)四個(gè)階段。下面從σ—ε曲線(圖4.11)來(lái)研究各階段中的幾個(gè)特殊點(diǎn)及其所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值的含義。

(1)彈性階段。相應(yīng)于圖中的Ob段，材料的變形全部是彈性的，這一階段稱為彈性階段。若加載不超過(guò)b

點(diǎn)的應(yīng)力值，然后卸載，變形可全部消失，故b

點(diǎn)的應(yīng)力值為材料只產(chǎn)生彈性變形時(shí)應(yīng)力的最高限，稱為彈性極限，以σe表示。圖中的Oa段為直線段，在Oa段內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即材料符合胡克定律，這一段又可稱為線彈性階段。該段中應(yīng)力的最高限即a

點(diǎn)的應(yīng)力值，稱為比例極限，以σp表示。彈性極限與比例極限雖有不同的物理含義，但由于它們的數(shù)值十分接近，故工程中通常將這兩個(gè)名詞互相通用而不加嚴(yán)格區(qū)分。

(2)屈服階段。應(yīng)力超過(guò)彈性極限后，σ—ε曲線明顯變彎，接著就出現(xiàn)一段接近于水平直線的小鋸齒形線段(bc)。此時(shí)應(yīng)力停止增長(zhǎng)而應(yīng)變卻繼續(xù)增大，這表明材料已失去抵抗繼續(xù)變形的能力，故將這種現(xiàn)象稱為屈服或流動(dòng)。這一階段稱為屈服階段或流動(dòng)階段。在屈服階段內(nèi)的最高應(yīng)力和最低應(yīng)力分別稱為上屈服極限和下屈服極限。上屈服極限的數(shù)值與試件形狀、加載速度等因素有關(guān)，一般是不穩(wěn)定的。下屈服極限則有比較穩(wěn)定的數(shù)值，能夠反映材料的性能。通常就把下屈服極限稱為屈服極限或流動(dòng)極限，以σs表示。這一階段里材料的變形主要是塑性變形。若試件的表面經(jīng)過(guò)拋光，則當(dāng)材料進(jìn)入屈服階段時(shí)，在試件表面上將出現(xiàn)一系列與軸線大致成45°傾角的跡線(圖4.12)，稱為滑移線，它是材料內(nèi)部晶格間發(fā)生滑移的結(jié)果。圖4.12

(3)強(qiáng)化階段。圖中向上升的曲線ce說(shuō)明，過(guò)了屈服階段后，應(yīng)力又隨應(yīng)變而增長(zhǎng)，這表明材料又恢復(fù)了對(duì)繼續(xù)變形的抵抗能力。這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。這一階段稱為強(qiáng)化階段。在σ—ε曲線上最高點(diǎn)e的應(yīng)力值稱為強(qiáng)度極限，用σb表示。

(4)頸縮階段。在應(yīng)力到達(dá)最大值σb時(shí)，σ—ε曲線開始下降。試件的某一局部開始顯著變細(xì)，出現(xiàn)所謂頸縮現(xiàn)象(圖4.13)。這一階段(ef)稱為頸縮階段。由于頸縮部分的橫截面急劇減小，因而使試件繼續(xù)變形所需的載荷也減小了，相應(yīng)的σ—ε曲線也明顯下降，到達(dá)f點(diǎn)時(shí)，試件在頸縮處被拉斷。圖4.13前面提到的σs和σb是衡量低碳鋼等材料強(qiáng)度的重要指標(biāo)。Q235鋼的σs為216～235MPa，σb為373～461MPa。試件斷裂后，其原來(lái)變形中的彈性變形部分消失，但塑性變形部分則不能消失。以δ表示試件拉斷后塑性變形的程度，這個(gè)量等于試件在拉斷后其工作段的塑性變形量與工作段原長(zhǎng)之比的百分率，即式中的L1為試件工作段在拉斷后的長(zhǎng)度，L為工作段的原長(zhǎng)。δ稱為伸長(zhǎng)率，是衡量材料塑性的一個(gè)重要指標(biāo)。低碳鋼的伸長(zhǎng)率很高，其平均值約為20%~30%，這說(shuō)明低碳鋼的塑性性能很好。有時(shí)也采用斷面收縮率ψ作為衡量材料塑性的另一個(gè)指標(biāo)：式中的A1為試件在拉斷后斷口的橫截面面積，A為試件原橫截面面積。

δ、ψ愈大，說(shuō)明材料的塑性性能愈好。工程上通常按伸長(zhǎng)率的大小把材料分成兩大類。一般將δ＞5%的材料，如鋼材、銅、鋁等，稱為塑性材料；δ＜5%的材料，如鑄鐵、磚、石料等，稱為脆性材料。這種劃分是以常溫、靜載為前提的。在上述試驗(yàn)過(guò)程中，如果加載至材料的強(qiáng)化階段中的任一點(diǎn)d(圖4.11)時(shí)，逐漸卸載，則卸載過(guò)程中應(yīng)力與應(yīng)變之間沿著直線dd′的關(guān)系變化，此直線段與Oa幾乎平行。由此可見，在強(qiáng)化階段中，試件的應(yīng)變包括了彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變；在卸載后，彈性應(yīng)變(d′g)消失，只留下塑性應(yīng)變(Od′)。塑性應(yīng)變又稱為殘余應(yīng)變。如果卸載后，立即再緩慢加載，則在加載過(guò)程中，應(yīng)力、應(yīng)變之間基本上仍沿著卸載時(shí)的同一直線關(guān)系變化，直到開始卸載時(shí)的d點(diǎn)為止；然后，大體上沿著原來(lái)路徑def的關(guān)系變化。由此可見，試件在強(qiáng)化階段中，經(jīng)過(guò)卸載，然后再加載時(shí)，其σ—ε圖應(yīng)是圖4.11中的d′def。圖中直線部分最高點(diǎn)d的應(yīng)力值，可以認(rèn)為是材料經(jīng)過(guò)卸載而又重新加載時(shí)的比例極限。它顯然比原來(lái)的比例極限提高了，但拉斷后的殘余應(yīng)變則較原來(lái)的δ為小。材料在常溫、靜載下，經(jīng)過(guò)前述的卸載后發(fā)生的這兩個(gè)現(xiàn)象稱為材料的冷作硬化。工程中常利用冷作硬化來(lái)提高某些構(gòu)件在彈性階段內(nèi)所能承受的最大載荷。

2)其它材料在拉伸時(shí)的力學(xué)性能圖4.14給出了其它幾種金屬材料拉伸時(shí)的σ—ε曲線，它們是經(jīng)過(guò)與低碳鋼相同的試驗(yàn)方法得到的。為了便于比較，將它們畫在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)。由圖4.14可知，這些材料的共同特點(diǎn)是伸長(zhǎng)率都較大，因此它們都是塑性材料。但與低碳鋼比較，這些材料大多沒(méi)有明顯的屈服階段。對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料，按國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，取產(chǎn)生0.2%殘余應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力值作為材料的屈服極限，稱為名義屈服極限，以σ0.2表示(圖4.15)。圖4.14圖4.15圖4.16為灰口鑄鐵拉伸時(shí)的σ—ε曲線，其特點(diǎn)是沒(méi)有明顯的直線部分，也無(wú)屈服階段；此外，直到拉斷時(shí)應(yīng)變都很小。因此，通常近似地用一條割線來(lái)代替原來(lái)曲線的開始部分，從而認(rèn)為在這一段中，材料符合胡克定律，并可求得其彈性模量E。灰口鑄鐵拉伸時(shí)的強(qiáng)度指標(biāo)只有強(qiáng)度極限σb，其值為120～175MPa。它的伸長(zhǎng)率δ遠(yuǎn)小于5%，故它屬于脆性材料。鑄鐵試件拉斷時(shí)，大體上是沿試件橫截面斷裂的。圖4.16

2.材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能壓縮試驗(yàn)是在壓縮試驗(yàn)機(jī)或萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行的。金屬材料的壓縮試件通常做成短圓柱形。為了避免壓彎，試件不能太長(zhǎng)，其長(zhǎng)度一般為直徑的1.5～3倍。試驗(yàn)時(shí)，將試件置于試驗(yàn)機(jī)的兩壓座間，并使之產(chǎn)生壓縮變形。采用與拉伸試驗(yàn)相類似的方法，可得到材料在壓縮時(shí)的σ—ε曲線。低碳鋼在壓縮時(shí)的σ—ε曲線如圖4.17所示。圖4.17試驗(yàn)結(jié)果表明，低碳鋼在壓縮時(shí)的σp、σs和E分別與拉伸時(shí)的相同。當(dāng)應(yīng)力超過(guò)屈服極限以后，試件出現(xiàn)顯著的塑性變形；如果繼續(xù)增加壓力，試件將愈壓愈扁，直至壓成薄塊狀而不會(huì)斷裂，故測(cè)不出其抗壓強(qiáng)度極限。其它塑性材料亦有上述特點(diǎn)。由上述情況可知，對(duì)于低碳鋼這一類塑性材料，可直接從拉伸試驗(yàn)的結(jié)果了解它在壓縮時(shí)的主要力學(xué)性能，而不必再做壓縮試驗(yàn)。但有些塑性材料(如鉻鉬硅合金鋼)在拉伸和壓縮時(shí)的屈服極限并不相同，因此，對(duì)它們就需通過(guò)壓縮試驗(yàn)以測(cè)定其壓縮屈服極限。脆性材料在壓縮時(shí)的力學(xué)性能與拉伸時(shí)有很大差別。以鑄鐵為例，由壓縮試驗(yàn)得到的σ—ε

曲線如圖4.18所示。鑄鐵壓縮時(shí)的伸長(zhǎng)率和強(qiáng)度極限都比其拉伸時(shí)的大得多，灰口鑄鐵壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限σb為640～1300MPa。鑄鐵壓縮時(shí)，試件破壞時(shí)的斷口與軸線約成45°角，與其在拉伸時(shí)的破壞現(xiàn)象不同。其它脆性材料，如混凝土、石料等，它們的抗壓強(qiáng)度也遠(yuǎn)高于抗拉強(qiáng)度。圖4.18脆性材料抗拉強(qiáng)度低，塑性性能差，但抗壓能力強(qiáng)，且價(jià)格低廉，宜于作為抗壓構(gòu)件的材料。鑄鐵堅(jiān)硬耐磨，易于澆鑄成形狀復(fù)雜的零部件，廣泛用于鑄造機(jī)床床身、機(jī)座、缸體及軸承座等受壓零部件。因此，其壓縮試驗(yàn)比拉伸試驗(yàn)更為重要。綜上所述，衡量材料力學(xué)性能的指標(biāo)主要有：比例極限σp、屈服極限σs、強(qiáng)度極限σb、彈性模量E、伸長(zhǎng)率δ和斷面收縮率ψ等。對(duì)很多金屬來(lái)說(shuō)，這些量往往受溫度、熱處理等條件的影響。表4.1列出了幾種常用材料在常溫、靜載下σs、σb和δ的數(shù)值。表4.1幾種常用材料的主要力學(xué)性能4.4強(qiáng)度計(jì)算由前面的分析可知，拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力為此應(yīng)力又稱為工作應(yīng)力，是拉(壓)桿工作時(shí)由載荷引起的應(yīng)力。由前面的試驗(yàn)還可知：當(dāng)應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限σb時(shí)，會(huì)引起斷裂；當(dāng)應(yīng)力達(dá)到屈服極限σs(或σ0.2)時(shí)，將出現(xiàn)顯著的塑性變形。顯然，構(gòu)件工作時(shí)發(fā)生斷裂或顯著的塑性變形一般都是不允許的。所以，σb和σs(或σ0.2)統(tǒng)稱為材料的極限應(yīng)力，并用σu表示。對(duì)于脆性材料，斷裂是其破壞的重要標(biāo)志，強(qiáng)度極限σb為其唯一的強(qiáng)度指標(biāo)，故以σb為極限應(yīng)力；對(duì)于塑性材料，發(fā)生明顯的塑性變形往往是其破壞的重要標(biāo)志，故通常以σs(或σ0.2)為極限應(yīng)力。在理想情況下，為了充分利用材料的強(qiáng)度，最好使構(gòu)件的工作應(yīng)力接近于材料的極限應(yīng)力。但實(shí)際上很難做到這一點(diǎn)，這是因?yàn)椋鹤饔迷跇?gòu)件上的載荷常常估計(jì)不準(zhǔn)確；應(yīng)力的計(jì)算通常都帶有一定的近似性；材料也并不像所假設(shè)的那樣絕對(duì)均勻，等等。所有這些因素都有可能使構(gòu)件的實(shí)際工作條件比設(shè)想的要偏于不安全。除上述因素外，為了確保安全，構(gòu)件還應(yīng)具有適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度儲(chǔ)備，特別是對(duì)于那些因損壞會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重后果的構(gòu)件，更應(yīng)給予較大的強(qiáng)度儲(chǔ)備。(4.3)式中，n是一個(gè)大于1的系數(shù)，稱為安全系數(shù)。因此，拉(壓)桿工作應(yīng)力的最大允許值，只能是材料極限應(yīng)力σu的若干分之一，此允許值稱為材料的許用應(yīng)力，用［σ］表示，即安全系數(shù)的選取應(yīng)具合理性。如果將安全系數(shù)選得過(guò)小，構(gòu)件的正常工作將得不到可靠的保證；但若選得過(guò)大，又不符合節(jié)約的原則。實(shí)際中，需要根據(jù)具體工程問(wèn)題進(jìn)行權(quán)衡比較，統(tǒng)一而又有所側(cè)重地考慮。各種材料在不同工作條件下的安全系數(shù)或許用應(yīng)力值，可從有關(guān)規(guī)范或設(shè)計(jì)手冊(cè)中查到。在靜載荷下的強(qiáng)度計(jì)算中，對(duì)于塑性材料，可取屈服安全系數(shù)ns=1.5～2.0；對(duì)于脆性材料，可取強(qiáng)度安全系數(shù)nb=2.5～5.0。nb比ns更大些，其原因之一是脆性材料的破壞以斷裂為標(biāo)志，而塑性材料的破壞則以開始發(fā)生塑性變形為標(biāo)志。兩者的危險(xiǎn)程度顯然不同，前者的后果要嚴(yán)重得多。因此，對(duì)脆性材料有必要多給一些強(qiáng)度儲(chǔ)備。幾種常用材料的許用應(yīng)力值列于表4.2中。表4.2幾種常用材料的許用應(yīng)力綜上所述，為了保證拉(壓)桿不致因強(qiáng)度不夠而破壞，桿內(nèi)最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料在拉伸(壓縮)時(shí)的許用應(yīng)力，即要求(4.4)此條件稱為拉(壓)桿的強(qiáng)度條件。對(duì)于等截面拉(壓)桿，上式則變?yōu)?4.5)根據(jù)以上條件，可以進(jìn)行下列形式的強(qiáng)度計(jì)算。

1．校核強(qiáng)度當(dāng)已知桿件尺寸、材料許用應(yīng)力和所受外力時(shí)，檢驗(yàn)其是否滿足強(qiáng)度條件的要求，即判斷該桿在已知外力作用下能否安全工作。

2．選擇截面尺寸如果已知桿件所受外力和材料許用應(yīng)力，且截面形狀確定，則可根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)該桿的橫截面尺寸。例如，對(duì)于等截面拉(壓)桿來(lái)說(shuō)，其所需橫截面面積應(yīng)為(4.6)

3．確定許可載荷如果已知桿件尺寸和材料許用應(yīng)力，則根據(jù)強(qiáng)度條件可以確定該桿所能承受的最大軸力，其值為［FN］=A［σ］(4.7)進(jìn)而可確定機(jī)器和工程結(jié)構(gòu)所能承受的載荷。最后還應(yīng)指出，如果最大工作應(yīng)力σmax超過(guò)了許用應(yīng)力［σ］，但只要超過(guò)量(即σmax－［σ］)小于許用應(yīng)力［σ］的5%，在工程計(jì)算中仍然是允許的。下面舉例說(shuō)明強(qiáng)度條件的具體應(yīng)用。

【例4.3】圖4.19(a)所示氣動(dòng)夾具，最大拉力F=300kN。活塞桿用40鉻合金鋼制成，其許用應(yīng)力［σ］=300MPa，活塞桿的直徑d=44mm。試校核活塞桿的強(qiáng)度。圖4.19

解活塞桿的受力情況如圖4.19(b)所示?；钊麠U內(nèi)各橫截面的軸力均為FN=F=300kN根據(jù)公式(4.2)可知，活塞桿截面上的正應(yīng)力為可見,工作應(yīng)力小于許用應(yīng)力,活塞桿符合拉伸強(qiáng)度要求。

【例4.4】圖4.20(a)所示吊環(huán)，由斜桿AB、AC與梁BC組成，α=20°。已知吊環(huán)的最大吊重F=500kN，斜桿用鍛鋼制成，其許用應(yīng)力[σ]=120MPa。試確定斜桿的直徑d。圖4.20

解

(1)內(nèi)力分析。吊環(huán)的計(jì)算簡(jiǎn)圖和節(jié)點(diǎn)A的受力情況分別如圖4.20(b)、(c)所示。由節(jié)點(diǎn)A

的平衡方程：∑Y=0，F(xiàn)－2FNcosα=0可知，斜桿的軸力為

(2)截面設(shè)計(jì)。根據(jù)公式(4.6)，得斜桿橫截面的面積為即由此得斜桿橫截面的直徑為取d=54mm。

【例4.5】圖4.21(a)所示簡(jiǎn)易旋臂式吊車，斜桿由兩根50×50×5的等邊角鋼組成，水平桿由兩根10號(hào)槽鋼組成，材料都是Q235鋼，許用應(yīng)力[σ]=120MPa。整個(gè)三角架能繞OO1軸轉(zhuǎn)動(dòng)，電葫蘆能沿水平桿移動(dòng)。當(dāng)電葫蘆在圖示位置時(shí)，求允許的最大起吊重量G(包括電葫蘆自重)。兩桿自重略去不計(jì)。圖4.21

解(1)受力分析。

AB、AC兩桿的兩端均可簡(jiǎn)化為鉸鏈連接，故吊車的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖4.21(b)所示。取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，其分離體受力圖如圖4.21(c)所示。圖中設(shè)AC桿受拉力，AB桿受壓力。由匯交力系的平衡條件:根據(jù)所給尺寸求得α=30°，代入上式解得:

(2)應(yīng)用強(qiáng)度條件求許可起吊重量G。對(duì)于AC桿，由型鋼表查得AAC=2×4.8×102mm2。根據(jù)強(qiáng)度條件有由此解得:對(duì)于AB桿，由型鋼表查得AAB=2×12.74×102mm2。根據(jù)強(qiáng)度條件有由此解得：為保證整個(gè)吊車的強(qiáng)度安全，取上述兩個(gè)起吊重量中的較小者，即最大起吊重量不得超過(guò)57.6kN。最后請(qǐng)讀者分析：在電葫蘆可移動(dòng)的情形下，對(duì)于拉桿AC，圖示電葫蘆的位置是否為可能的最危險(xiǎn)位置？4.5變形分析與計(jì)算

1.縱向變形與線應(yīng)變軸向拉、壓桿件如圖4.22所示。設(shè)桿的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，在軸向載荷F

作用下，其長(zhǎng)度變?yōu)長(zhǎng)1，桿的縱向變形為ΔL=L1－L(4.8)圖4.22

ΔL稱為桿的絕對(duì)變形。其正負(fù)號(hào)規(guī)定為：伸長(zhǎng)變形為正，縮短變形為負(fù)。對(duì)于變形不均勻的情形，ΔL并不能反映桿件的變形程度。為此，需引入新的物理量——線應(yīng)變，用ε表示。設(shè)AB為受力前桿件上的微小線段，長(zhǎng)為s，如圖4.23所示。桿件受力后，假定A點(diǎn)固定不動(dòng)，則AB變?yōu)锳B′，變形量為Δs，定義(4.9)為A點(diǎn)沿s方向的線應(yīng)變。線應(yīng)變?chǔ)艦闊o(wú)量綱量，規(guī)定拉為正，壓為負(fù)。圖4.23對(duì)于在長(zhǎng)度L內(nèi)變形均勻的拉、壓桿件，縱向線應(yīng)變?yōu)?4.10)

2.胡克定律工程上使用的大多數(shù)材料，其應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的初始階段都是線彈性的。即：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這就是胡克定律，可以寫成:σ=Eε(4.11)式中，彈性模量E

的值隨材料而不同。幾種常用材料的E值已列入表4.3中。表4.3幾種常用材料的E和μ的約值拉(壓)桿橫截面上的應(yīng)力為將式(4.10)和式(4.12)代入式(4.11)，得這表示：當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，桿件的變形量ΔL與軸力FN和桿件的原長(zhǎng)度L成正比，與橫截面面積A成反比。這是胡克定律的另一表達(dá)形式。從式(4.13)可以看出，對(duì)長(zhǎng)度相同、受力相等的桿件，EA越大，則變形ΔL越小，故稱EA為桿件的抗拉(或抗壓)剛度。

3.橫向變形與泊松比在受到拉伸、壓縮時(shí)，桿件不僅有縱向變形，還有橫向變形。如圖4.22所示，拉、壓桿的橫向變形量為Δd=d1－d(4.14)式中的d、d1分別為變形前、后桿的橫向尺寸。與縱向線應(yīng)變?chǔ)诺母拍钕嗨疲?、壓桿的橫向線應(yīng)變?chǔ)拧錇?4.15)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，桿件的橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之比的絕對(duì)值為一常數(shù)，即(4.16(a))μ稱為橫向變形系數(shù)或泊松比。它是一個(gè)無(wú)量綱的量，其值隨材料而異，可由試驗(yàn)測(cè)定。由于ε′與ε的正、負(fù)號(hào)總是相反的，故上式又可寫為ε′=－με(4.16(b))彈性模量E和橫向變形系數(shù)μ都是材料的彈性常數(shù)。對(duì)于各向同性材料，各個(gè)方向上的μ值均相同。在彈性范圍內(nèi)，μ基本為定值，其數(shù)值范圍為0＜μ＜0.5；超出彈性范圍時(shí)，μ值逐步增大至0.5。表4.3中給出了幾種常用材料的μ值。

【例4.6】圖4.24(a)所示為一圓截面軸向拉、壓桿件。已知F=4kN，L1=L2=100mm，d=10mm，該桿用45號(hào)鋼制成，E=210GPa。試計(jì)算該桿的總伸長(zhǎng)。圖4.24

解桿件的軸力圖如圖4.24(b)所示，AB和BC段的軸力分別為由于兩段桿的軸力不同，為了計(jì)算桿的總伸長(zhǎng)，首先需要求出每一段桿的軸向變形(即縱向變形)。根據(jù)式(4.13)可知，AB與BC段的軸向變形分別為:所以，桿的總伸長(zhǎng)為

【例4.7】圖4.25中的M12螺栓內(nèi)徑d1=10.1mm，擰緊后在計(jì)算長(zhǎng)度L=80mm內(nèi)產(chǎn)生的總伸長(zhǎng)為ΔL=0.03mm，鋼的彈性模量E=210GPa。試計(jì)算螺栓內(nèi)的應(yīng)力和螺栓的預(yù)緊力。圖4.25

解擰緊后螺栓的應(yīng)變?yōu)橛珊硕汕蟪雎菟M截面上的拉應(yīng)力為σ=Eε=210×109×0.000375=78.8×106Pa=78.8MPa螺栓的預(yù)緊力為F=Aσ=

(10.1×10－3)2×78.8×106=6310N=6.31kN4.6拉壓簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題

1.超靜定問(wèn)題的概念和一般解法在前面所研究的桿或桿系問(wèn)題中，支反力或內(nèi)力等未知力都可通過(guò)靜力平衡方程求得，這類問(wèn)題屬于靜定問(wèn)題。例如，求解圖4.26(a)所示桿的約束力和求解圖4.26(b)所示結(jié)構(gòu)中1、2兩桿的軸力都是靜定問(wèn)題。圖4.26為了提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度，有時(shí)需要增加一些約束。例如，對(duì)圖4.26(a)中的桿在B端增加剛性支承(圖4.27(a))；又如，對(duì)圖4.26(b)中的構(gòu)架增添一根桿AD(圖4.27(b))。對(duì)于這種在靜定結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上增加的支座或桿，習(xí)慣上稱為多余約束。多余約束必然帶來(lái)相應(yīng)的未知力，因此，全部未知力的數(shù)目必然超過(guò)可能列出的獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。這樣，也就無(wú)法單憑靜力平衡方程求得確定的解答。通常將這類不能單憑靜力平衡方程求得確定解答的問(wèn)題稱為超靜定問(wèn)題。超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)目的未知力個(gè)數(shù)，稱為超靜定次數(shù)。圖4.27(a)及圖4.27(b)中的問(wèn)題均為一次超靜定問(wèn)題。圖4.27顯然，要確定超靜定問(wèn)題的全部未知力，除列出靜力平衡方程外，還需建立與超靜定次數(shù)相同數(shù)目的補(bǔ)充方程，才能進(jìn)一步求得確定的解答。那么，如何建立補(bǔ)充方程呢？多余約束使結(jié)構(gòu)由靜定變?yōu)槌o定，問(wèn)題由靜力學(xué)可解變?yōu)殪o力學(xué)不可解，這只是問(wèn)題的一方面。問(wèn)題的另一方面是，多余約束對(duì)結(jié)構(gòu)的變形有著限制作用，而變形和力又是緊密相聯(lián)的，這就為求解超靜定問(wèn)題提供了補(bǔ)充條件。為此，可以在多余約束處尋找各構(gòu)件變形之間的關(guān)系，即所謂“變形協(xié)調(diào)條件”，進(jìn)而根據(jù)力和變形之間的“物理?xiàng)l件”(胡克定律)建立補(bǔ)充方程?？傊蠼獬o定問(wèn)題需要綜合考察平衡、變形和物理三個(gè)方面，這是分析超靜定問(wèn)題的基本方法。現(xiàn)舉例說(shuō)明求解超靜定問(wèn)題的一般過(guò)程。

【例4.8】圖4.28(a)所示為一簡(jiǎn)單桁架，1、2桿具有相同的彈性模量E和截面積A，且長(zhǎng)度相等；3桿的彈性模量為E3，截面積為A3，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。若F、E、A、L、E3、A3和α均為已知，求三桿的內(nèi)力。

解(1)受力分析。取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，其受力情況如圖4.28(b)所示。設(shè)三桿的軸力分別為FN1、FN2、FN3，此為平面匯交力系，有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程：(a)(b)但未知力有三個(gè)，故為一次超靜定，尚需一個(gè)補(bǔ)充方程。圖4.28

(2)變形協(xié)調(diào)條件。桁架受力后，為保持變形協(xié)調(diào)一致，三桿變形后必須聯(lián)結(jié)在A1點(diǎn)，因而三桿的內(nèi)力除滿足平衡條件外，還必須使三桿的變形滿足協(xié)調(diào)條件。由于桁架左、右對(duì)稱，故可設(shè)加力后節(jié)點(diǎn)A垂直下移至A1，如圖4.28(a)所示。圖中的虛線表示桿件變形后的位置，3桿的伸長(zhǎng)量ΔL3=。以B點(diǎn)為圓心,1桿的原長(zhǎng)L/cosα為半徑作圓弧,圓弧以外的線段即為1桿的伸長(zhǎng)量ΔL1。由于變形很小，可用垂直于A1B的直線AE代替上述弧線，且仍可認(rèn)為∠AA1B=α。另由對(duì)稱性知，2桿的伸長(zhǎng)量ΔL2與1桿的伸長(zhǎng)量ΔL1相等。于是ΔL1=ΔL2=ΔL3cosα(c)此即變形協(xié)調(diào)條件。

(3)物理?xiàng)l件。根據(jù)胡克定律，在彈性范圍內(nèi)有(d)將式(d)代入式(c)，得到：此即求解未知力的補(bǔ)充方程。將其與平衡方程(a)、(b)聯(lián)立，解得:(e)

2.裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力超靜定結(jié)構(gòu)的另一重要特性是：制造誤差的存在以及溫度的變化也會(huì)在超靜定結(jié)構(gòu)中引起應(yīng)力。這些應(yīng)力分別稱為裝配應(yīng)力與溫度應(yīng)力。構(gòu)件在制成后，有微小的尺寸誤差是常見的。對(duì)于靜定問(wèn)題，這種微小誤差不會(huì)在構(gòu)件內(nèi)引起內(nèi)力。例如圖4.26(a)所示的桿，如果制造得稍長(zhǎng)了一些，則并不會(huì)影響該桿軸力的大小。但是，對(duì)于超靜定問(wèn)題，由于有了多余約束，情況就會(huì)不同。例如，要將長(zhǎng)度為L(zhǎng)+Δ

的桿(圖4.29(a)，Δ為一微小量)裝入相距為L(zhǎng)的兩剛性支座A、B(圖4.29(b))之間，則在裝好之后，桿必縮短Δ。此時(shí)，剛性支座A、B必對(duì)該桿施加軸向壓力FR

(圖4.29(c))，從而在該桿內(nèi)引起軸力(壓力)。相應(yīng)地，桿