數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航：平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)梳理一、平面向量基本定理如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1和λ2，使得a=λ1e1+λ2e2,其中的不共線的向量e1和e2叫做這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底。二、向量的夾角兩向量正向之間的夾角叫做兩向量的夾角。三、平面向量的正交分解、向量的坐標(biāo)及坐標(biāo)運(yùn)算1。平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。2。向量的坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量a都可以由x、y唯一確定,我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y）叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a=(x，y)，其中x叫做向量a在x軸上的坐標(biāo),y叫做向量a在y軸上的坐標(biāo)。3。和與差的坐標(biāo)運(yùn)算兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和（差)。已知向量a=(x1，y1)，b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2），a-b=(x1-x2,y1-y2).4。實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。已知向量a=(x1,y1）,則λa=（λx1,λy1)。5。向量的坐標(biāo)與端點(diǎn)坐標(biāo)的換算一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。已知A(x1，y1)、B（x2，y2），則=(x2-x1，y2-y1)。四、平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1）,b=(x2，y2)(b≠0），當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)，向量a、b共線。知識(shí)導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，可通過(guò)探究活動(dòng)分析向量e1、e2可能的位置，區(qū)分出共線、不共線兩種情況。在具體問(wèn)題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來(lái)表達(dá)。平面向量基本定理是平面向量的核心內(nèi)容之一。通過(guò)理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.疑難突破1。平面向量基本定理。剖析：（1）設(shè)e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，a是這一平面內(nèi)的任意向量,則a能用e1和e2來(lái)線性表示（存在性）.圖2—3-1如圖2—3-1,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=e2，=e1，=a。過(guò)點(diǎn)C作平行于直線的直線，與直線交于點(diǎn)N；過(guò)點(diǎn)C作平行于直線的直線,與直線交于點(diǎn)M。由向量的線性運(yùn)算性質(zhì)可知存在實(shí)數(shù)λ1和λ2,使得=λ1=λ1e1,=λ2=λ2e2.=+=+=λ1e1+λ2e2。也就是說(shuō)，任一向量都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式。(2)上述線性組合的表示是唯一的,即實(shí)數(shù)λ1和λ2唯一確定(唯一性）.若存在λ1，λ2,μ1,μ2∈R，且a=λ1e1+λ2e2,a=μ1e1+μ2e2，則λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，即(λ1-μ1）e1+(λ2—μ2)e2=0?！遝1和e2不共線,∴λ1-μ1=0,λ2-μ2=0.∴λ1=μ1,λ2=μ2。(3)任何一組不共線向量都可以作為基底,但為了解題方便，一組向量a、b作為基底時(shí)應(yīng)滿足條件：①a、b不共線;②a、b的夾角已知；③a、b的模已知.(4）解決具體問(wèn)題時(shí)，適當(dāng)選擇一組基底e1和e2，利用平面向量基本定理，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于e1和e2的代數(shù)問(wèn)題。2。平面向量的正交分解.剖析：我們可以借助實(shí)例形象直觀地來(lái)理解平面向量的正交分解，如一木塊在一斜面上靜止，斜面上的木塊受到重力G的作用，產(chǎn)生兩個(gè)效果，一是木塊平行于斜面的力F1的作用，這是摩擦力的來(lái)源；一是木塊產(chǎn)生垂直于斜面的壓力F2。也就是說(shuō)，重力G的效果等價(jià)于F1和F2的合力的效果，即G=F1+F2.F1、F2就是重力G的一組分解。注意到F1和F2垂直，這種分解就是正交分解。3。從多個(gè)角度來(lái)理解向量的坐標(biāo).剖析：如果在直角坐標(biāo)系下，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，任作一向量a，則(1)i=(1,0），j=（0，1）,0=(0，0）。(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)作向量=a,則點(diǎn)A的位置由向量a唯一確定.(3）設(shè)=xi+yj，則向量的坐標(biāo)（x，y）就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)（x，y）.因此，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示，即以原