數(shù)學(xué)知識導(dǎo)航：向量的分解與向量的坐標(biāo)運算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2向量的分解與向量的坐標(biāo)運算知識梳理1。平面向量基本定理如果e1和e2是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么該平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一的一對實數(shù)a1，a2,使a=a1e1+a2e2。我們把不共線向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，記為｛e1,e2｝，a1e1+a2e2叫做向量a關(guān)于基底{e1，e2｝的分解式。2。直線的向量參數(shù)方程式已知A、B是直線l上任意兩點，O是l外一點，則對于直線l上任一點P，存在實數(shù)t,使OP=(1-t)+t,這個等式又稱為直線l的向量參數(shù)方程式。3.向量的坐標(biāo)（1)如果兩個向量的基線互相垂直，則稱這兩個向量互相垂直.即向量垂直就是它們所在的直線互相垂直.（2）如果平面向量基底互相垂直，則稱這個基底為正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解。(3)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸和y軸方向相同的向量e1、e2,對任一向量a,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(a1,a2)，使得a=a1e1+a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底｛e1，e2｝下的坐標(biāo)，即a=（a1,a2），其中a1叫做向量a在x軸上的坐標(biāo)分量，a2叫做向量a在y軸上的坐標(biāo)分量.(4)向量的坐標(biāo)：設(shè)點A（x,y），則=（x,y）.符號(x，y)在直角坐標(biāo)系中有雙重意義,它既可以表示一個點，又可以表示一個向量。因此要加以區(qū)分，在敘述中，就要指明點（x，y)或向量（x，y)。4。向量的坐標(biāo)運算(1)a=（x1,y1)，b=(x2，y2），則a±b=(x1±x2，y1±y2),即兩個向量的和（差)的坐標(biāo)，等于這兩個向量的相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);若λ∈R，則λa=（λx1，λy1），即向量數(shù)乘的坐標(biāo)等于這個實數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的積。（2）若A(x1,y1)，B(x2，y2）,則=（x2，y2）-(x1，y1）=(x2-x1，y2—y1)，即向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).5。兩向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)a=(a1,a2）,b=（b1，b2)，則a∥ba1b2—a2b1=0；如果b不平行于坐標(biāo)軸，即b1≠0且b2≠0,則a∥b=，即這兩個向量平行的條件是相應(yīng)坐標(biāo)成比例.知識導(dǎo)學(xué)1。學(xué)習(xí)本節(jié)要復(fù)習(xí)向量加法的運算法則和平行向量基本定理；2。靈活、適當(dāng)?shù)剡x擇一組平面向量基底是解決向量問題的關(guān)鍵;3。在解決問題時，養(yǎng)成自覺畫草圖,結(jié)合圖形來尋找解題思路，要重視數(shù)形結(jié)合思想的運用.疑難突破1。如何正確認(rèn)識平面向量基本定理？剖析:疑點是平面向量基本定理是關(guān)于哪一方面的定理，有什么作用，突破口是從定理的條件和結(jié)論來分析。平面向量基本定理實質(zhì)上就是向量線性運算知識的推廣和延伸，即平面內(nèi)任一向量a都可分解成兩個不共線向量e1，e2（基底）的唯一線性組合形式λ1e1+λ2e2。因此平面向量基本定理也是向量正交分解的依據(jù)，是向量坐標(biāo)運算的基礎(chǔ),理解該定理能很好地掌握平面向量的各種知識，幫助我們解決向量問題。2。如何看待平面向量的幾何運算和坐標(biāo)運算這兩種運算形式？剖析:很多同學(xué)對這兩種運算形式產(chǎn)生了疑問。其突破方法是分析平面向量的表示方法.總起來看向量有兩種表示方法：一種是用有向線段來表示，稱為幾何法；另一種是用數(shù)字(坐標(biāo)）表示，稱為代數(shù)法.那么相應(yīng)地向量的運算也就分為圖形上的幾何運算(基向量法）和坐標(biāo)下的代數(shù)運算（坐標(biāo)法）。這兩種運算恰好體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的載體。因此平面向量的解決思路有兩種：基向量法和坐標(biāo)法。例如：已知兩個非零向量e1和e2不共線，且ke1+e2和e1+ke2共線，求實數(shù)k的值.解：思路1：（基向量法）∵ke1+e2和e1+ke2共線，∴存在實數(shù)λ，使得ke1+e2=λ（e1+ke2).∴(k-λ)e1=（λk—1）e2?！遝1和e2不共線,∴∴k=±1。思路2：設(shè)向量e1=(x1,y1），e2=（x2，y2），∴ke1+e2=（kx1+x2，ky1+y2）,e1+ke2=(x1+kx2，y1+ky2）?！遦e1+e2和e1+ke2共線，∴(kx1+x