數(shù)學(xué)知識導(dǎo)航常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.2。1常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識梳理（1)C′=_____________（C為常數(shù))；（2）（xn）′=_____________；(3)（sinx）′=_____________;（4)(cosx)′=_____________；（5）(ex）′=_____________；(6）(ax）′=_____________；（7)（lnx）′=_____________;(8）（logax）=_____________;（9）(xα）′=_____________.知識導(dǎo)學(xué)由導(dǎo)數(shù)定義給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本方法，因為導(dǎo)數(shù)是由極限來定義的,所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限運(yùn)算。這顯然比較麻煩，甚至困難,但是找到一些常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)將使求導(dǎo)工作大大簡便,因此要熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).疑難突破通過幾個實(shí)例歸納出y=xn的導(dǎo)數(shù)的形式；熟記基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.剖析：通過對函數(shù)y=kx+b，y=x2,y=x3,y=及y=幾種函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)過程,總結(jié)出y=xn的導(dǎo)數(shù)的形式，這是培養(yǎng)學(xué)生善于思考及善于歸納的好習(xí)慣。正確記憶基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，只有熟練記憶才能用起來方便.常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是求導(dǎo)的基礎(chǔ),高考中經(jīng)常涉及，但單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)數(shù)的題目并不多,常與其他知識聯(lián)系起來考查。典題精講【例1】（1）求曲線y=sinx在點(diǎn)P（)處切線的斜率k;(2)物體運(yùn)動方程為s=,求當(dāng)t=5時瞬時物體運(yùn)動的速度v.思路分析:本題是一道導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題,必須從導(dǎo)數(shù)的公式入手.解：（1)(sinx)′=cosx,當(dāng)x=時,k=.（2)s′=()′=t3，當(dāng)t=5時，v=125.變式訓(xùn)練：已知點(diǎn)P（—1，1)，點(diǎn)Q（2,4）是曲線y=x2上的兩點(diǎn),求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程。思路分析:本題是已知斜率求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題.可先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入方程求得切線方程.解：y′=（x2）′=2x,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M（x0，y0),則當(dāng)x=x0時,切線斜率k=2x0,因為PQ的斜率為=1。又切線平行于直線PQ,所以k=2x0=1，即x0=。所以切點(diǎn)M().所求切線方程為，即4x-4y-1=0?！纠?】求曲線y=2x2—1的斜率為4的切線方程。思路分析：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率。由于切線的斜率已知，只要確定切點(diǎn)的坐標(biāo),先利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),再根據(jù)切點(diǎn)在曲線上確定切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而可求出切線方程.解：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），則y′=(2x2—1）′=4x。當(dāng)x=x0時,4=4x0,∴x0=1;當(dāng)x0=1時，y0=1,∴切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1）。故所求切線方程為y—1=4（x—1),即4x—y—3=0.綠色通道：聯(lián)系實(shí)際,深刻理解導(dǎo)數(shù)的意義,在不同的區(qū)域代表的具體意義不一樣,但本質(zhì)上都是指事物在某過程中的變化率的極值。變式訓(xùn)練：求過曲線y=cosx上點(diǎn)P(）,且與過這點(diǎn)的切線垂直的直線方程。思路分析:首先要求切線的斜率。解：因為y=cosx,所以y′=（cosx)′=-sinx。曲線在點(diǎn)P()處的切線斜率是，所以過點(diǎn)P且與切線垂直的直線的斜率為。所以所求直線方程為,即=0。【例3】已知直線x+2y—4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn).O是坐標(biāo)原點(diǎn),試在拋物線的上求一點(diǎn)P,使△ABP面積最大。思路分析：依題意｜AB|為定值，只要P點(diǎn)到AB的距離最大,S△ABP就最大,問題轉(zhuǎn)化為在拋物線的上求一點(diǎn)P到直線AB的距離最大。由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知P為拋物線上與AB平行的切線的切點(diǎn)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可,也可用解析幾何知識求解。解法一：如圖1—2—1所示,|AB｜是定值，△PAB的面積最大.只需P到AB的距離最大,即只需點(diǎn)P是拋物線上平行于AB的切線的切點(diǎn).設(shè)P（x,y)，由圖知點(diǎn)P在x軸下方的圖象上，所以.所以y′=。圖1-2—1因為kAB=，所以,x=4.又y2=4x（y＜0)時，y=-4，所以P(4，—4）.解法二:設(shè)P()。因為｜AB｜為定值,要使△PAB的面積最大，只需P到直線AB:x+2y—4=0的距離最大。設(shè)距離為d，則d=,y0∈(）。當(dāng)y0=-4時，d最大.此時△PAB的面積最大,所以P(4,—4）.綠色通道：解法一是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題,注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用;解法二是用函數(shù)的方法求P點(diǎn)的坐標(biāo)，注意配方法的運(yùn)用。變式訓(xùn)練：已知拋物線c1：y=x2+2x和c2:y=-x2+a。如果直線l同時是c1和c2的切線，稱l是c1和c2的公切線.公切線上兩個切點(diǎn)之間的線段，稱為公切線段.（1）a取什么值時,c1和c2有且僅有一條公切線?寫出此公切線方程。(2)若c1和c2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.(1）解:函數(shù)y=x2+2x的導(dǎo)數(shù)y′=2x+2,曲線c1在點(diǎn)P(x1，x12+2x1)的切線方程是y—（x12+2x1）=（2x1+2)(x—x1），即y=（2x1+2）x—x12。①函數(shù)y=—x2+a的導(dǎo)數(shù)為y′=-2x，曲線c2在點(diǎn)Q（x2,-x22+a）處的切線方程是y—(—x22+a)=-2x2（x-x2)，即y=-2x2x+x22+a.②如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程，所以消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0.若判別式Δ=4—4×2(1+a）=0,即a=,解得x1=。此時點(diǎn)P與Q重合，即當(dāng)a=時，c1和c2有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為.(2）證明:由(1）知，當(dāng)a＜時，c1和c2有兩條公切線.設(shè)一條公切線上的切點(diǎn)為P(x1,y1）,Q(x2，y2）,其中P在c1上，Q在c2上，則有x1+x2=-1，y1+y2=x12+2x1+(—x22+a)=x12+2x1—(x1+1)2+a=-1+a，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（)。同理，另一條公切線段P′Q′的中點(diǎn)坐標(biāo)也是（）,所以公切線段PQ和P′Q′互相平分。問題探究問題:函數(shù)y=f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)是如何定義的?若x0∈(a，b)，y=f（x)在x0處可導(dǎo)，則y=f（x)在（a，b）內(nèi)處處可導(dǎo)嗎?導(dǎo)思：函數(shù)y=f(x）在x0處可導(dǎo)即當(dāng)x0∈(a,b）時，y=f(x)在x0處可導(dǎo).與y=f(x)在（a，b)內(nèi)處處可導(dǎo)是兩碼事.函數(shù)y=f(x)在(a，b）內(nèi)處處可導(dǎo)，必須滿足對任意的x0∈(a,b)時,y=f(x