山東省聊城市2024-2025學年高三上學期11月期中教學質量檢測數學試題含答案

山東省聊城市2024-2025學年高三上學期11月期中教學質量檢測數學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的考場、座號、姓名、班級填（涂）寫在答題卡上，將條形碼粘貼在“貼條形碼區(qū)”.2.作選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再改涂其它答案標號.3.非選擇題須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡中各題目指定的區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.否則，該答題無效.4.考生必須保持答題卡的整潔；書寫力求字體工整、符號規(guī)范、筆跡清楚.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，即可根據交集定義求解.【詳解】由可得，故，故選：C2.若，則（）A.1 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】先由復數的四則運算求出，再計算，最后求其模長即得.【詳解】由，可得，則.故選：B.3.已知，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，分別舉出反例即可判斷ABD，由指數函數的單調性，即可判斷C.【詳解】取，滿足，但，故A錯誤；取，滿足，但是，故B錯誤；因為在上單調遞減，由可得，故C正確；取，滿足，但是，故D錯誤；故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由余弦的和差角公式可得的值，從而可得的值，再由余弦的二倍角公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】因為，且，則，又，所以.故選：A5.若向量，則“”是“”（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據共線向量的坐標公式列方程，求出的值，再根據充要條件的判斷方法即得.【詳解】因，由，可得，解得或.由“”可推出“或”成立，而由“或”推不出“”成立，故“”是“”的充分不必要條件.故選：B.6.在中，，其外接圓的圓心為，則的最小值為（）A.4 B. C.16 D.【答案】D【解析】【分析】由向量數量積的運算可得，由為外接圓圓心，可得，，從而得，利用基本不等式求解即可.【詳解】解：因為，所以，所以，因為為外接圓圓心，過作于，則為中點，所以，同理可得，所以，又因為，所以，所以當且僅當，即時，等號成立.故選：D.7.設，若為的最小值，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據題意，先求得時的最小值，再由導數可得時的最小值，再由為的最小值列出不等式，代入計算，即可得到結果.【詳解】當時，，對稱軸為，當時，即，，當時，即，，不符合題意，所以，當時，，則，令，則，當時，f'x<0，則當x∈0,+∞時，f'則是函數的極小值點，又為的最小值，則滿足，即，解得，又，所以實數的取值范圍是0,1.故選：A8.若函數的定義域為，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得（），，從而得數列是等差數列，求出其通項公式，從而得，將代入，即可得答案.【詳解】由，可得，當時，數列是公差為2的等差數列，首項為，所以，所以，所以.故選：C．【點睛】關鍵點睛：本題關鍵是得出是等差數列，從而得函數的解析式.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分；在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.數列中，記為數列的前項和，為數列的前項積，若，，則（）A. B.C.數列是單調遞增數列 D.當取最大值時，或【答案】ABD【解析】【分析】由條件確定為等比數列，再結合通項公式及求和公式逐項判斷即可.【詳解】由得即首項為，公比為的等比數列，所以，正確；，正確；，故數列是單調遞減數列，錯誤；因為首項為，公比為的等比數列，單調遞減，，所以當取最大值時，或，正確；故選：ABD10.若函數，則（）A.B.當時，函數在區(qū)間上單調遞增C.當時，將圖象向左平移個單位后得到的圖象D.當函數在上恰有2個零點和2個極值點時，的取值范圍是【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡，再結合正弦函數性質，來解決問題.【詳解】由函數整理得：，所以，故A錯誤；當時，函數，由，可得：，根據正弦函數在區(qū)間單調遞增，可知函數在區(qū)間上單調遞增，故B正確；當時，函數，將圖象向左平移個單位后得到：，此時滿足題意，故C正確；當時，，為了使得函數在上恰有2個零點和2個極值點，只需要滿足，解得，故D錯誤；故選：BC.11.若點是函數圖像上的兩點，則（）A.對任意點，存在無數點，使曲線在點A，B處的切線的傾斜角相等B.當函數存在極值點時，實數的取值范圍為C.當且在點A，B處的切線都過原點時，D.當直線AB的斜率恒小于1時，實數的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】選項A，轉化為在點A，B處導數值相同，由方程有無數解可得；選項B，由函數存在極值點，轉化為導數存在變號零點，分離參數，即可判斷；選項C，由切線斜率的兩種求法建立等量關系可得；選項D，轉化為函數單調遞減，利用導數小于等于恒成立可求.【詳解】對于A，因為，要使，則，得，所以，，即對任意，的值有無數個，故A正確：對于B，，令，則，且，則，即，又，則，故B錯誤；對于C，曲線y=fx在點A，B由，則點均不與原點重合，設曲線在處切線的斜率為，則，由切線過原點，則切線即直線的斜率，所以，化簡得，若時，則，這與矛盾，故，所以有，同理可得，所以由，得，故C正確．對于D，對于任意點A，B，直線AB的斜率恒小于1，則，即，所以在上是減函數，所以恒成立，設，x∈R，且，所以要使恒成立，則，即，故D正確；故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題C選項的關鍵是通過切線方程得到，化解得到，同理得到，則有，即可判斷C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數的最小正周期為______.【答案】【解析】【分析】利用，即可求解.【詳解】解：小正周期為，故答案為：.13.我國火力發(fā)電廠大氣污染物排放標準規(guī)定：排放廢氣中二氧化硫最高允許濃度為.已知我國某火力發(fā)電廠排放廢氣中二氧化硫的初始濃度為，現通過某種工藝對排放廢氣進行過濾處理，處理后廢氣中剩余二氧化硫的濃度（單位：）與處理時間（單位：分鐘）滿足關系式：，那么從現在起至少經過______分鐘才能達到排放標準.（參考數據：，結果取整數）【答案】16【解析】【分析】由題意得到不等式，兩邊取對數，得到，代入，求出答案.【詳解】由題意得，即，故，因為，所以，故，所以從現在起至少經過16分鐘，才能達到排放標準.故答案為：1614.設，若，使得對恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】求導，分與分類討論求得，進而可得，構造函數，求得的范圍，可求的取值范圍.【詳解】由，可得，令，可得，所以，當時，在上單調遞減，無最大值，不符合題意，當時，方程解為，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以，因為，使得對恒成立，所以，所以，所以，令，求導可得，當，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所認所以，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】思路點睛：對于恒成立問題，通常是通過分離變量，構造函數，利用函數的最值解決有關問題.四、解答題：本題共5小題，共77分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數在處取得極小值.（1）求m，n的值；（2）若函數有3個不同零點，求實數的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求導，根據得到方程組，求出，，檢驗為極小值點，得到答案；（2）在（1）基礎上，得到的極大值為，極小值為，轉化為y=fx與有3個不同的交點，所以.【小問1詳解】，，，解得，，故，，令得或，令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，故為極小值點，滿足要求；【小問2詳解】由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，且，，故的極大值為，極小值為，又趨向于時，趨向于，當趨向于時，趨向于，綜上，要想有3個不同零點，即有3個不同的實數根，即y=fx與有3個不同的交點，所以.16.記的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知.（1）求；（2）若的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換化簡，即可解決；（2）利用三角形的面積公式，得，再利用余弦定理得，最后結合正弦定理即可求解.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，化簡得，因為，即，所以，得，因為，所以，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，又的面積為，所以，即，由余弦定理可得，所以，，，即由正弦定理得，，所以，17.函數圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，可以將其推廣為：函數圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件為函數為奇函數，已知函數.（1）證明：函數的圖象關于點成中心對稱圖形；（2）判斷函數的單調性，若，求實數的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）單調遞增，【解析】【分析】（1）根據為奇函數，結合奇函數的定義即可求解,（2）根據函數的單調性和奇偶性，即可根據得求解.【小問1詳解】令，定義域為,則，故為奇函數,因此為奇函數，故的圖象關于點成中心對稱圖形，【小問2詳解】由于，均為單調遞增函數，故為定義域內的單調遞增函數，由于，且為單調遞增函數，故單調遞增，故由可得，即，故，解得18.數列中，若，使得，都有成立，則稱數列為“三合定值數列”，已知.（1）求；（2）設，證明：數列為等比數列，并求；（3）設，求數列的前項和.【答案】（1），，.（2）證明見解析，（3）【解析】【分析】（1）由，代入計算，即可得到結果；（2）由條件可得，即可證明，結合的通項公式，分別討論為奇數以及為偶數的情況，即可得到結果；（3）根據題意，由條件可得，結合錯位相減法代入計算，即可得到結果.【小問1詳解】因為，所以，且，則，即，解得，又，即，解得，又，即，解得，所以，，.【小問2詳解】因為，則，且，即，所以，即，又，則，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，即，所以①，，則②，，兩式相減可得，即的奇數項為等差數列，且，令，則，所以（為奇數），又③，由③①可得，，所以的偶數項為等差數列，且，令，則，即，綜上所述，.【小問3詳解】因為，當為奇數時，，當為偶數時，，綜上，，則，，兩式相減可得，，，，，所以.【點睛】關鍵點點睛：本題第2小問解決的關鍵在于，分類討論為奇數與偶數兩種情況，從而得解.19.設函數，已知曲線在點處的切線方程為.（1）求的值；（2）討論函數的單調性；（3）若對恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）.（2）當時，在區(qū)間上單調遞增，當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，當時，區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.（3）【解析】【分析】（1）根據可得；（2）先求得，根據，，，分類討論即可.（3）將問題轉化為在上恒成立，先求，設，，根據，將分為和驗證即可.【小問1詳解】由題意，可得【小問2詳解】由題意的定義域為，，當時，，故在區(qū)間上單調遞增，當時，令得，當時，，當時，f'x>0，當時，f'x故在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，當時，，當時，f'x>0，故在區(qū)間上單調遞增，當時，，當時，f'x<0，當時，f'x故在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，綜上所述：當時，在區(qū)間上單調遞增，當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，當時，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.【小問3詳解】由得，即，設，則由題意在上