安徽省頂級名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

高二數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘滿分：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.B.C.D.2.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則等于（）A.B.C.D.3.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱B.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱C.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對稱D.點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱4.已知直線的斜率的范圍為，則直線的傾斜角的取值范圍為（）A.或B.C.D.或5.已知點(diǎn)，則外接圓的方程為（）A.B.C.D.6.與橢圓有相同焦點(diǎn)，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.7.已知是橢圓的兩個焦點(diǎn)，焦距為6.若為橢圓上一點(diǎn)，且的周長為16，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.8.已知是圓上的兩個不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線和直線，下列說法正確的是（）A.直線始終過定點(diǎn)B.若，則或C.若，則或D.當(dāng)時，不過第四象限10.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則（）A.兩個圓的公切線有2條B.的取值范圍為C.兩個圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在該圓上D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為11.如圖，在棱長為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，是線段上的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.直線與平面所成角的余弦值的取值范圍為B.點(diǎn)到平面的距離為C.點(diǎn)到所在直線的距離為2D.若線段的中點(diǎn)為，則一定平行于平面12.雙紐線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點(diǎn)的距離之積等于的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線.已知曲線為一條雙紐線，曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離之積為4，點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上B.面積的最大值為1C.點(diǎn)在橢圓上，若，則點(diǎn)也在曲線上D.的最大值為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的一般式方程為__________.14.已知圓與圓相交，則的取值范圍為__________.15.加斯帕爾?蒙日是18~19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”.已知橢圓，若直線上存在點(diǎn)，過可作的兩條互相垂直的切線，則橢圓離心率的取值范圍是__________.16.閱讀材料：數(shù)軸上，方程可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)；平面直角坐標(biāo)系中，方程不同時為0可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的直線；空間直角坐標(biāo)系中，方程不同時為0可以表示坐標(biāo)空間內(nèi)的平面.過點(diǎn)且一個法向量為的平面的方程可表示為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為__________.四?解答題：本題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分8分）已知的頂點(diǎn)邊上的中線所在直線方程邊上的高所在直線方程為.（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的斜率.18.（本小題滿分10分）已知圓的方程為.（1）過點(diǎn)的直線截圓所得弦長為，求直線的方程；（2）過直線上任意一點(diǎn)向圓引切線，切點(diǎn)為，求的最小值.19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長為2的正三角形，，平面平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20.（本小題滿分12分）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求直線的方程；（2）求的面積.21.（本小題滿分12分）如圖，已知多面體的底面為矩形，四邊形為平行四邊形，平面平面是的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）在棱（不包括端點(diǎn)）上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.22.（本小題滿分12分）已知橢圓分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn).過的直線與橢圓交于的最小值為，且橢圓上的點(diǎn)到的最小距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓的右頂點(diǎn)為是橢圓上的動點(diǎn)（不與頂點(diǎn)重合）.若直線與直線交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).記直線的斜率為，直線的斜率為，求的最小值.高二期中考試數(shù)學(xué)答案一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.12345678BABDABCA8.解析：由題設(shè)知，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，因?yàn)?，所?設(shè)為的中點(diǎn)，所以.所以點(diǎn)的軌跡方程為.其軌跡是以為圓心，半徑為的圓.設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，所以，所以.因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，即，所以.所以的取值范圍為.故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9101112ACBCBCDACD12.解析：對選項(xiàng)A，動點(diǎn)，由題可得的軌跡方程.把點(diǎn)代入上式，上式顯然成立.所以點(diǎn)在曲線上，故A正確；對選項(xiàng)B，.當(dāng)時，即當(dāng)時，即當(dāng)或時，，此時，的面積取得最大值，即，故B錯誤；對選項(xiàng)C，橢圓上的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，又，所以，故，所以點(diǎn)也在曲線上，C正確；對選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以由余弦定理得，于是有因?所以，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，所以的最大值為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.或14.15.16.15.解析：由題可知，點(diǎn)在橢圓的蒙日圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，問題轉(zhuǎn)化為直線和蒙日圓有公共點(diǎn).由橢圓方程可知蒙日圓半徑為，所以蒙日圓方程為，因此，需滿足圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，所以橢圓離心率，所以.故答案為：.16.解析：平面的方程為，所以平面的法向量可取，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)兩平面的交線的方向向量為，由，所以可取.設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.【答案】（1）；（2）.解析：（1）高所在直線方程為，其斜率為，故直線的斜率為，則直線的方程為：，即，聯(lián)立方程與中線所在直線方程，可得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在直線上可得；的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程，即；故可得，即點(diǎn)坐標(biāo)為.則直線的斜率為.18.【答案】（1），或；（2）6.解析：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.①當(dāng)斜率不存在時，直線的方程為：，直線截圓所得弦長為，符合題意；②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線，圓心到直線的距離為根據(jù)垂徑定理可得，，解得.直線的方程為，或（2）圓心.因?yàn)榕c圓相切，所以.當(dāng)最小.所以.所以19.【答案】（1）證明見解析（2）解析：（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L為2的正三角形，所以，在菱形中，，則為等邊三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）由（1）得，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因，則.設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，所以，因?yàn)?，記直線與平面所成角為，則所以直線與平面所成角的正弦值為.20.【答案】（1）；（2）.解析：（1）設(shè)，由是橢圓上兩點(diǎn)得，，兩式相減得，即，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，即，所以直線的方程為，即.（2）由得，，則，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.21.【答案】（1）證明見解析（2）不存在解析：（1）如圖，取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，平面平面，又平面，平面平面，所以平面，又底面為矩形，則.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，已知是的中點(diǎn).則，可知，，由四邊形為平行四邊形，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，則平面的一個法向量故，則.且平面，則平面.（2）設(shè).設(shè).因?yàn)椋?于是有.