高二年級(jí) 人教A版 數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第六章《組合數(shù)》課件

高二年級(jí)—人教A版—數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第六章廣東仲元中學(xué)

白帆6.2.4組合數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解組合數(shù)的概念及公式；2、運(yùn)用組合數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題；3、體會(huì)類比的思想方法，從特殊到一般的推理方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)計(jì)算素養(yǎng)。知識(shí)回顧1、排列的定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2、組合的定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.問(wèn)題：排列與組合的定義有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？并按照一定的順序排成一列作為一組取出取出共同點(diǎn)：都要“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)，而組合則與元素的順序無(wú)關(guān).知識(shí)回顧3、排列數(shù)的概念與公式：我們把從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.其公式為：?jiǎn)栴}：能否通過(guò)類比得出組合數(shù)的概念呢？學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)一：類比分析，引出概念從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)（或）表示.舉例說(shuō)明：從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)表示為，從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)表示為.組合數(shù)是一個(gè)正整數(shù)學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}探究，導(dǎo)出公式組合——元素相同，順序不同，兩組合相同排列——元素相同，順序也相同，兩排列才相同問(wèn)題1：組合數(shù)等于多少呢？從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為3.從甲、乙、丙3個(gè)元素中取出2個(gè)元素學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}探究，導(dǎo)出公式問(wèn)題2：從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)分析：類比求的過(guò)程，假設(shè)這4個(gè)元素分別為，從中取出3個(gè)元素的排列數(shù)為，分別為以下情況：通過(guò)該圖，我們可以從另一個(gè)角度理解“從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)為”.第一步（取出）有種不同的組合第二步（排序）有種不同的排列每一種組合組內(nèi)根據(jù)分步乘法的計(jì)數(shù)原理，有,學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}探究，導(dǎo)出公式問(wèn)題3：如何將結(jié)論從特殊推廣到一般的情況呢？求“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)”，可以看作由以下兩個(gè)步驟得到：第1步：從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作為一組，有種不同的組合；第2步：將取出的m個(gè)元素作全排列，有種不同的排列；最后，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有.因此，這里，并且m≤n.這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.另外，我們規(guī)定.上式也可以寫(xiě)成,由，階乘式乘積式學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)三：應(yīng)用舉例，解決問(wèn)題解：根據(jù)組合數(shù)計(jì)算公式可得：例1

計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）思考：觀察這兩組結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)習(xí)新知拓展內(nèi)容1：在例題中，我們發(fā)現(xiàn)與，與都是相同的數(shù).

與與與它們的上標(biāo)之和等于下標(biāo)組合數(shù)的性質(zhì)1：取出m個(gè)元素剩下的n-m個(gè)元素表示從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)表示從n個(gè)不同元素中取出n-m個(gè)元素的組合數(shù)學(xué)習(xí)新知拓展內(nèi)容1：等式左邊等式右邊所以左邊=右邊，證畢.證明組合數(shù)性質(zhì)1：解：根據(jù)組合數(shù)計(jì)算公式可得：思考：兩種計(jì)算公式，你覺(jué)得哪一種更好用？計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)組合數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.例1

計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）分析：1）式子中分母是100！2）分子是101個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積

最大的為n＋100，最小的為n公式的理解要到位：①分母的階乘與分子中乘式的個(gè)數(shù)要統(tǒng)一；②分子最大的數(shù)為組合數(shù)的下標(biāo)學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)三：應(yīng)用舉例，解決問(wèn)題例2式子

可表示為(

)A.B.C.D.根據(jù)公式：得：學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)三：應(yīng)用舉例，解決問(wèn)題例3

在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？思考（1）：這是一個(gè)排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題？學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)三：應(yīng)用舉例，解決問(wèn)題例3

在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？思考（2）：如何抽取才能使得抽出的3件產(chǎn)品恰好有1件是次品？先從2件次品中抽出1件，再?gòu)?8件正品中抽出2件.學(xué)習(xí)新知環(huán)節(jié)三：應(yīng)用舉例，解決問(wèn)題例3

在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？思考（3）：抽出的3件產(chǎn)品至少有1件是次品，可以包括那些情況？有1件次品和有2件次品兩種情況.解：（1）所有的不同抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的組合數(shù)，所以抽法種數(shù)為（2）從2件次品中抽出1件的抽法有種，從98件合格品中抽出2件的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數(shù)為思考：能否將上式中的改為呢？不可以，雖然數(shù)值一樣，但是意義不同.（3）方法1

從100件產(chǎn)品抽出3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為

方法2

分析：從100件產(chǎn)品中抽出3件有0件次品有1件次品有2件次品至少有1件是次品抽出3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法種數(shù)，即類比組合數(shù)性質(zhì)1的解釋，你能利用分類加法計(jì)數(shù)原理，說(shuō)明組合數(shù)的性質(zhì)2嗎？

學(xué)習(xí)新知假設(shè)一批產(chǎn)品中有n件正品和1件次品，共n+1件產(chǎn)品.等式的左側(cè)表示從n+1件產(chǎn)品中取出m件產(chǎn)品的組合數(shù)，包含了沒(méi)有次品（m件正品+0件次品）和有次品（m-1件正品和1件次品）兩種情況.拓展內(nèi)容2：組合數(shù)性質(zhì)2：

你能證明這個(gè)式子嗎？學(xué)習(xí)新知證明等式成立拓展內(nèi)容2：證明：根據(jù)組合數(shù)的公式，左邊右邊所以，左邊=右邊，證畢.回顧總結(jié)1、組合數(shù)的概念與計(jì)算公式2）組合數(shù)的計(jì)算公式有兩種：3）巧用組合數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算.1）從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，記為.回顧總結(jié)2、運(yùn)用組合數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題1）分析所求問(wèn)題是一個(gè)組合問(wèn)題還是排列問(wèn)題;2）帶有“含”與“不含”問(wèn)題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計(jì)數(shù)；3）帶有“至多”“至少”問(wèn)題,其解法常有兩種思路：一是直接分類法，確保不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對(duì)立面．課后作業(yè)：課后配套練習(xí)謝謝觀看！高二年級(jí)—人教A版—數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)第六章廣東仲元中學(xué)

白帆6.2.4組合數(shù)答疑探究問(wèn)題1組合中的分組、分配問(wèn)題例1按以下要求分配6本不同的書(shū)，各有幾種方法？(1)平均分配給甲、乙、丙3人，每人2本；(2)分成3份，每份2本；(3)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．解：(1)可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3個(gè)人一個(gè)一個(gè)地來(lái)取書(shū)，每人取2本；首先甲從6本不同的書(shū)中任取2本的方法有

種其次乙從剩下的4本書(shū)中任取2本的方法有

種最后丙從余下的2本書(shū)中取2本的方法有

種所以按照分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有

種方法探究問(wèn)題1組合中的分組、分配問(wèn)題例1按以下要求分配6本不同的書(shū)，各有幾種方法？(1)平均分配給甲、乙、丙3人，每人2本；(2)分成3份，每份2本；(3)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．(2)可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先從6本書(shū)中任取2本作為一組，再?gòu)氖Ｏ碌?本書(shū)中任取2本作為一組，最后還剩下2本作為一組；但是由于在進(jìn)行上述選取過(guò)程中，出現(xiàn)了先后順序，因此，選出來(lái)的三組之間自然形成了排序，如果要將6本書(shū)分成3份，應(yīng)該要去掉這種順序有種方法所以，其結(jié)果為種平均分組，組間自然有序探究問(wèn)題1組合中的分組、分配問(wèn)題例1按以下要求分配6本不同的書(shū)，各有幾種方法？(1)平均分配給甲、乙、丙3人，每人2本；(2)分成3份，每份2本；(3)分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；(4)甲、乙、丙3人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本．(3)與第（2）不同之處在于，分成的3個(gè)組之間元素個(gè)數(shù)是有區(qū)別的，因此我們只需要考慮第一次取1本，第二次取2本，第三次取3本.有種方法(4)在第（3）問(wèn)已經(jīng)分成3組的情況下，分配給3個(gè)人，可以認(rèn)為是3組之間的全排列.有種方法探究問(wèn)題2元素相同（指標(biāo)分配）問(wèn)題隔板策略例2.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，所以，第一步：把它們排成一排，這樣相鄰名額之間形成了9個(gè)空隙.第二步：在9個(gè)空隙中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，把名額分成7份，從左到右對(duì)應(yīng)７個(gè)班級(jí).一班二班三班四班五班六班七班所以，分配方案有種解：(1)方法一：要構(gòu)成三角形，必須三點(diǎn)不在同一條直線上.因此可以分為以下三種情況：①三點(diǎn)都在圓周上；②兩點(diǎn)在圓周上，一點(diǎn)在直徑上；③一點(diǎn)在圓周上，兩點(diǎn)在直徑上.例3如圖，在以

為直徑的半圓周上，有異于

的6個(gè)點(diǎn)

，

線段

上有異于

的4個(gè)點(diǎn).ABC1C2C3C4C5C6D1D2D3D4方法二：從10個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，再去掉三點(diǎn)共線的情況.探究問(wèn)題3與幾何圖形有關(guān)的組合問(wèn)題(1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？(2)以圖中12個(gè)點(diǎn)(包括

)中的4個(gè)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？所以，一共可以作個(gè)三角形所以，一共可以作個(gè)三角形(2)方法一：要構(gòu)成四邊形，則四點(diǎn)必須不共線，三點(diǎn)也必須不共線.因此可以分為以下三種情況：①四點(diǎn)都在圓周上；②三點(diǎn)在圓周上，一點(diǎn)在直徑上；③兩點(diǎn)在圓周上，兩點(diǎn)在直徑上.例3如圖，在以

為直徑的半圓周上，有異于

的6個(gè)點(diǎn)

，

線段

上有異于

的4個(gè)點(diǎn)