第01講 函數(shù)及其性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）（學生版）-2024年高考數(shù)學一輪復習考點幫（新教材新高考）

第01講函數(shù)及其性質

（單調性、奇偶性、周期性、對稱性）

（核心考點精講精練）

考情探究

1.4年真題考點分布

4年考情

考題示例考點分析關聯(lián)考點

2023年新I卷，第4題,5分復合函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性求參數(shù)值

2023年新I卷,第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點的辨析

2023年新II卷,第4題,5分函數(shù)奇偶性的應用奇偶性求參數(shù)

抽象函數(shù)的奇偶性

2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導函數(shù)圖象之間的關系

函數(shù)對稱性的應用

2022年新II卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值

2021年新I卷，第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無

2021年新II卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的周期性的定義與求解

2021年新H卷,第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

2020年新I卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的單調性解不等式

2020年新H卷，第7題,5分復合函數(shù)的單調性對數(shù)函數(shù)單調性

2020年新II卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應用函數(shù)的單調性解不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5分

【備考策略】1.會用符號語言表達函數(shù)的單調性，掌握求函數(shù)單調區(qū)間的基本方法

2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實際意義，會求簡單函數(shù)的最值

3.能夠利用函數(shù)的單調性解決有關問題

4.了解奇偶性的概念和意義，會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性

5.了解周期性的概念和意義.會判斷、應用簡單函數(shù)的周期性解決問題

6.能綜合運用函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性、對稱性等解決相關問題.

【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，一般會以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調性、奇偶性、

周期性及對稱性，是新高考一輪復習的重點內容.

考點梳理

知識講解

1.函數(shù)的單調性

（1）單調函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設函數(shù)/（X）的定義域為/,如果對于定義域/內某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值

Xl,X2

定義

當即〈短時，都有了（即）5也），那么就說函數(shù)/W當即〈X2時，都有了（即）?但），那么就說函數(shù)

在區(qū)間。上是增函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù)

圖象描,為）|他）

01x

述Opi~~%.~~x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

（2）單調區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=/(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性,

區(qū)間。叫做y=f(x)的單調區(qū)間.

(3)函數(shù)的最值

前提設函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)"滿足

(1)對于任意的無￡/,都有/(%)WM；(3)對于任意的xGI,都有/(無)

條件

(2)存在沏￡/,使得/(xo)=M⑷存在加e/,使得/(尤0)=M

結論M為最大值M為最小值

2.單調性的常見運算

(1)單調性的運算

①增函數(shù)(/)+增函數(shù)(/)=增函數(shù)/

②減函數(shù)(、)+減函數(shù)(')=減函數(shù),

③/(x)為/,則一/⑴為、，為、

/(x)

④增函數(shù)(/)—減函數(shù)(\)=增函數(shù)/

⑤減函數(shù)(、)一增函數(shù)(/)=減函數(shù)、

⑥增函數(shù)(/)+減函數(shù)(\)=未知(導數(shù))

(2)復合函數(shù)的單調性

函數(shù)/1(x)=/z(g(x)),設"=g(x),叫做內函數(shù)，貝叭%)=力(4/)0可做外函數(shù),

'內函數(shù)T,外函數(shù)復合函數(shù)T

內函數(shù)J,外函數(shù)復合函數(shù)T任人閂+的日什

'內函數(shù)T,外函數(shù)jq復合函數(shù)尸結論：同"減

、內函數(shù)J,外函數(shù)T,二復合函數(shù)J

3.奇偶性

①具有奇偶性的函數(shù)定義域關于原點對稱(大前提)

②奇偶性的定義：

奇函數(shù)：/(-%)=-/(%),圖象關于原點對稱

偶函數(shù)：/(-x)=/(x),圖象關于y軸對稱

③奇偶性的運算

/(工)g(z)/O)+g(z)/(?X)—g(z)/[g(Z)]

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

4.周期性(差為常數(shù)有周期)

①若/(x+a)=/(x),則/(x)的周期為：T=|?|

@^f(x+a)=f(x+b),則/(x)的周期為：T=\a-k\

③若/(x+a)=—/(x),則/(x)的周期為：T=\2a\(周期擴倍問題)

④若/(x+a)=土上，則/(x)的周期為：T=|2a|(周期擴倍問題)

/㈤

5.對稱性(和為常數(shù)有對稱軸)

軸對稱

①若f(x+a)=/(-x),則/(x)的對稱軸為》=■!

②若f(x+a)=f(-x+b),則f(x)的對稱軸為x=彳

點對稱

①若/(x+4)=—/(—x),則/(x)的對稱中心為o]

②若f(x+a)+/(-x+Z7)=c,則/(x)的對稱中心為|—

6.周期性對稱性綜合問題

①若/(a+x)=/(a—x),f{b+x)=f(b-x),其中awh,則/(x)的周期為：T=2|a—4

?^f[a+x)=-f(a-x),f[b+x)=-f{b-x),其中“工兒則/(x)的周期為：

T=2|a-Z?|

③若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=-f(b-x),其中則/(x)的周期為：

T=4\a-b\

7.奇偶性對稱性綜合問題

①已知/（x）為偶函數(shù)，/（x+a）為奇函數(shù)，則/（x）的周期為：T=4|a|

②已知了（X）為奇函數(shù)，/（x+a）為偶函數(shù)，則/（x）的周期為：T=4|a|

考點一、根據(jù)函數(shù)的單調性求參數(shù)值

☆典例引領

1.（2023年新高考全國I卷數(shù)學真題）設函數(shù)〃%）=2心甸在區(qū)間（0,1）上單調遞減，則。的取值范圍是（）

A.3，-2]B.[-2,0）

C.（0,2]D.[2,+co）

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)＞=2、在R上單調遞增，而函數(shù)/（?=2傘旬在區(qū)間（0,1）上單調遞減，

2

則有函數(shù)了=*5-°）=（》-@）2-幺在區(qū)間（0,1）上單調遞減，因此5對，解得。22,

242

所以。的取值范圍是[2,+8）.

故選：D

2.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)八％）=/_2%+1在區(qū)間（3,4）上單調遞減，則〃的取值范圍是.

【答案】卜鞏:

【分析】按。值對函數(shù)f（x）=ax2-2x+l進行分類討論，再結合函數(shù)/（X）的性質求解作答.

【詳解】由于函數(shù)〃彳）=依2-21+1在區(qū)間（3,4）上單調遞減，

①當。=0時，函數(shù)〃x）=-2x+l,在區(qū)間（3,4）上單調遞減，符合題意；

②當a＜0時，開口向下，對稱軸為了=-9=,則±43,可得函數(shù)在區(qū)間（3,4）上單調遞減，符合題

2aaa

思；

__r）iii

③當。＞0時，開口向上，對稱軸為x==L〃尤）在區(qū)間（3,4）上單調遞減需滿足上24,因此0＜。4；

2aaa4

綜上所述，。的取值范圍是，鞏；,

故答案為：11Gon

即時檢測

1.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)〃力=卜-同+1在[2,+8）上單調遞增，則實數(shù)”的取值范圍是.

【答案】（-8,2].

【分析】先求得“X）的單調遞增區(qū)間為3,+8）,根據(jù)題意得到[2,+8）口°,+8）,即可求解.

【詳解】由函數(shù)"x）=|x-d+l,可得函數(shù)〃X）的單調遞增區(qū)間為出,+8）,

因為“X）在[2,+8）上單調遞增，可得[2,+8）口圓+8）,解得OW2,

所以實數(shù)。的取值范圍為（-8,2].

故答案為：（3,2].

2.（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)〃力=五二在上單調遞增，則實數(shù)。的取值范圍為_______

X~1

【答案】口，2）

【分析】化簡/尤=i+y,根據(jù)題意得到，，即可求解.

尤-1[<7>1

【詳解】由函數(shù)〃無）=葉一=土衛(wèi)^2=1+佇1,

x-1x-1x-1

—2<0

因為f（X）在（。，收）上單調遞增，貝I」?jié)M足,解得14a<2,

所以實數(shù)。的取值范圍為口,2）.

故答案為：口,2）.

3.（2023?全國?高三專題練習）函數(shù)”x）="口在（2,+8）上單調遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

x+a

【答案】[―2,—1?（1,+8）

【分析】先利用反比例函數(shù)的單調性得到y(tǒng)一在（-8,-〃）與（-。，”）上單調遞減，再利用參數(shù)分離法得

x+a

至|]〃彳）=。+匕且，從而得到關于。的不等式組，解之即可.

x+a

【詳解】因為y=—匚在（9,-。）與（-。，”）上單調遞減，

x+a

而/（x）=竺擔=a+匕土在（2,+◎上單調遞增，

x+ax+a

所以<0,解得或。>1,

-a<2

所以。的取值范圍是（1,+8）.

故答案為：［-2,-1）J（l,+8）

考點二、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調性

☆典例引領

1.（2023?北京?統(tǒng)考高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間（。,口）上單調遞增的是（）

A.f（x）=-ln尤B./（x）=L

2

C./?=--D./（X）=3M

【答案】C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調性，結合復合函數(shù)的單調性判斷ABC,舉反例排除D即可.

【詳解】對于A,因為y=inx在（0,+8）上單調遞增，y=-x在（0,+巧上單調遞減，

所以“x）=-lnx在（0,+8）上單調遞減，故A錯誤；

對于B,因為y=2,在（0,+。）上單調遞增，y=（在（0,+e）上單調遞減，

所以/（x）=g在（0,+e）上單調遞減，故B錯誤；

對于c,因為>=:在（0,+8）上單調遞減，丁=-%在（0,+8）上單調遞減，

所以〃無）=-工在（0,+8）上單調遞增，故C正確；

X

對于D,因為/（￡|=3曰=3；=有，/⑴=3卜"=3°=1,〃2）=3研=3,

顯然〃x）=3月在（0,+“）上不單調，D錯誤.

故選：C.

2.（2021?全國?高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A.=fB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.f(x)=也

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質逐項判斷后可得正確的選項.

【詳解】對于A,〃x)=f為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于B,〃尤)=[|)為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于C,/卜)=＞在(-=0)為減函數(shù),不合題意，舍.

對于D,〃力=a為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

即時檢測

1.(2023?浙江?統(tǒng)考二模)下列函數(shù)在區(qū)間(0,2)上單調遞增的是()

21

A.)=(%—2)2B.y=--

x—2

C.y=sin(x-2)D.y=cos(x-2)

【答案】D

【分析】對于BCD,根據(jù)各個選項觀察均是AM向右平移兩個單位長度的形式，根據(jù)原函數(shù)的單調區(qū)間可

以判斷平移后的單調區(qū)間，進而判斷(。，2)上的單調性得到結論，而根據(jù)二次函數(shù)的單調性可判斷A的正誤.

【詳解】對于A選項：y=(x-2)2開口向上，對稱軸x=2,所以在(一叫2)上單調遞減，故不符合題意.

對于B選項：＞=」=是丫=」向右平移了兩個單位長度，所以在在(一j2)上單調遞減，故不符合題意.

對于C選項：＞=sin-2)是y=sin%向右平移了兩個單位長度，

所以y=sin(x-2)在(-弓+2,-1+2)上單調遞減，在(一]+25+2)上單調遞增，

因為?！?￡+2＜2,所以不符合題意.

對于D選項：y=cos(x-2)是＞=8$》向右平移了兩個單位長度，

所以丫=0?(彳-2)在(-無+2,2)上單調遞增，則在(0,2)上單調遞增，符合題意.

故選D.

2.(2023?北京海淀??？既?下列函數(shù)中，在區(qū)間(-8,0)上是減函數(shù)的是()

A.J=X3B.y=c.y=logj-x)D.y=/

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調性及對數(shù)型復合函數(shù)的單調性判斷即可.

【詳解】對于A：y=x3在定義域R上單調遞增，故A錯誤；

對于B：、=[3],=2”在定義域口上單調遞增，故B錯誤；

對于C：丫二垢8/一月定義域為口才⑼，因為y=-%在（-8,0）上單調遞減且值域為（0,+8）,

2

又y=i°g：在定義域上單調遞減，所以〉=蜒￥川在（_8,0）上單調遞增，故c錯誤；

對于D：y=函數(shù)在（-8,0）上單調遞減，故D正確；

故選：D

3.（2023?吉林?統(tǒng)考二模）下列四個函數(shù)中，在其定義域內單調遞增的是（）

A.＞=%B.y=tanxC.y=1D.y=

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)單調性即可判斷出A正確，C錯誤，再根據(jù)正切函數(shù)和指數(shù)函數(shù)圖象即可得出BD錯誤.

【詳解】由塞函數(shù)性質可知，〉=1=石定義域為[0,+8）,且在定義域內單調遞增；即A正確；

、=：=/在其定義域（0,+s）,（-.0）上分別單調遞減，即C錯誤；

由正切函數(shù)圖像可知，＞=tan尤為周期函數(shù)，在定義域內不是單調遞增，B錯誤；

由指數(shù)函數(shù)性質可知，＞=在xeR上為單調遞減，所以D錯誤.

故選：A

考點三、根據(jù)函數(shù)單調性解不等式

典例引領

1.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)〃—log2（x+2）,若加一2）＞3,則。的取值范圍是

【答案】（0,1）

【分析】利用函數(shù)的單調性解不等式.

【詳解】解：因為＞=&）在R上遞減，y=logz（x+2）在（-2,+8）上遞增，

所以/'（尤）=—log]（x+2）在定義域（一2,十8）上是減函數(shù)，且/（—1）=3,

由加-2）＞3,得加一2）切一1）,

\a-2<-\

|—2>—2

解得0<a<l.

故答案為：(0,1)

Inx,x>1

2.(2023?黑龍江大慶?鐵人中學校考二模)已知函數(shù)〃X)=0,0Wx<l,若/(2a—l)—140,則實數(shù)。的取

x,x<0

值范圍是()

B.’應一5口[°，-_

A.屋e+1,+8j)

e+1(e+1

D.

12J

【答案】D

【分析】討論2。一1與0、1的大小關系，寫出了(24-1)的解析式，解出不等式后，再求并集即為答案.

【詳解】因為/(2。一l)-lV0n/(2a—1”n.

①當2“一121時，/(2a-l)=ln(2fl-l)<l^l<a<—.

②當042。-1<1時，/(2a-l)=0<l^1<a<l.

③當2a—1<0時，/(2。-1)=2。一

綜上所述：〃工e詈+1,

故選：D.

/即時檢測

1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/⑴是定義在區(qū)間[0,+◎上的函數(shù),且在該區(qū)間上單調遞增，則滿

足了(2xT)</]1的x的取值范圍是()

a-Q,t]b-[?t)c-Q4)。

【答案】D

【分析】由已知有0W2x—l<g,即可求取值范圍.

【詳解】因為函數(shù)/⑺是定義在區(qū)間[0,+8)上的增函數(shù)，滿足/(2x-l)</(

112

所以。4—角筆得—<x<—.

323

故選：D

Q~X尤<(J

2.(2023春?山西太原?高二太原五中校考階段練習)已知函數(shù)〃x)=2'；八，若

[—X-2x+l,x>0

則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(一/B.緊)C.1D.加

【答案】A

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達式，判斷函數(shù)的單調性，利用函數(shù)的單調性進行求解即可.

【詳解】函數(shù)/(力=6一三(，)，在(—,0]上為減函數(shù)，

函數(shù)y=-%2-2x+l的圖像開口向下，對稱軸為x=-l,

所以函數(shù)〃切=-尤2-2尤+1在區(qū)間(0,+巧上為減函數(shù)，

Me-0^-02-2x0+1.

所以函數(shù)“X)在(YO,??)上為減函數(shù).

由。)得a-lW-a.解得

故選:A.

考點四、根據(jù)函數(shù)單調性比較函數(shù)值大小關系

典例引領

■■■■■■■■■■■

25

1.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(0=2-工一4\a=0.3^,fo=log0250.3,c=log032.5,則()

A./(^)</(?)</(c)

B./(c)</(/j)</(a)

C./(c)</(a)</(Z?)

D./(a)</(^)</(c)

【答案】D

【分析】由函數(shù)解析式可知/(x)是R上的減函數(shù)，可得出0.3?”>1,0<log0250.3<l,log032.5<0,然后即可

得出“，b,c的大小關系，進而得出〃a),以〉,/(c)的大小關系.

【詳解】解：y=2-'是&上的減函數(shù)，>=-4、是R上的減函數(shù)，

"(x)=2f-4,是R上的減函數(shù),

-025

O.3->0.3°=1,0=log0251<log0250.3<log0250.25=1,log032.5<log031=0,

:.a>b>c,

.-./(?)</(/?)</(c).

故選：D.

2.（2023?全國,高三專題練習）已知函數(shù)y=在［。,+8）上單調遞增，記”/1J,b=/（log后2）,

c=f（2）,則6,c的大小關系為（）

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性可得［；［"』og"2,2的大小，再利用y

II的單調性可得答案

【詳解】因為y=是單調遞減函數(shù)，所以

因為y=logg_r是單調遞增函數(shù)，

所以1=log有正<log有2<log由（君）=2,

所以出log有2<2

又函數(shù)y=/（x）在［0,+8）上單調遞增，所以c>b>a,

故選：C.

【點睛】比較大小的方法有：

（1）根據(jù)單調性比較大??；

（2）作差法比較大??；

（3）作商法比較大??；

（4）中間量法比較大小.

即時檢測

1.（2021?江蘇淮安?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/⑴/言，設a=/（4°）b=/（（括r）,C=/（25°2）,則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

【答案】c

【分析】由解析式可判斷了⑺的定義域及其對應的單調區(qū)間，利用有理數(shù)指數(shù)幕的性質判斷(括)3,25叱4°4

的大小關系，根據(jù)f(x)的區(qū)間單調性判斷函數(shù)值的大小.

【詳解】(W=5°-7\250-2=50-4,

0(</5)3>250,2>40-4>1,

2

由函數(shù)解析式知：(%—1)(%+1)>0,即兀6(—8,—1)。(1,+8),又/(九)=ln(l——；)在(1,+8)上單調遞增，

團b>c>a.

故選：C.

2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)=a=log23,b=log34,c=log58,貝ij()

A.f(a)<f(c)<f(b)B.f(a)</(Z?)</(c)

C./(c)</(6z)</(Z?)D.f(c)<f(b)<f(a)

【答案】A

3

【分析】由對數(shù)運算性質，借助中間量:得匕<c<a,進而在結合函數(shù)的單調性比較大小即可.

2

【詳解】解：由就>0得(2—x)(3+x)>0,解得—3<x<2,

所以，函數(shù)〃x)=In就的定義域為(—3,2),

5-(x+3)

因為〃x)=lnM=In=In5-1

3+xx+3

由于函數(shù)r=j-l在(-3,2)上單調遞減，函數(shù)y=lnt在定義域上單調遞增，

所以，根據(jù)復合函數(shù)的單調性得"X)=In旨在(-3,2)上單調遞減，

因為6=k>g34=log2764=J^,c=log58=log2564=^^,Ig27>lg25>l,

lg27lg25

所以6<c,

3-Q3

2

|3>gc--=log58-log55=log5法<w=。所以。

3-33

2

因為〃-務=log23—log22=log2>log21=0所以

所以，log33=l<b<c<a<log24=2,

所以，由函數(shù)單調遞減的性質得</(6).

故選：A

考點五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值

■典■■例■■■引■■■領■■

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）若/⑺=（尤+a）ln7君Y-為1偶函數(shù)，貝巾=（）.

A.-1B.0C.yD.1

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為八處為偶函數(shù)，貝U/（I）=/（-I）,（1+?）In1=（-1+a）In3,解得a=0,

當a=0時，=（2x-l）（2x+l）＞0,解得x＞上或尤＜一；，

2x+122

則其定義域為［x|x?或關于原點對稱.

/（T）==/（x）,

故此時了（無）為偶函數(shù).

故選：B.

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知了（乃=/—是偶函數(shù)，則"=（）

e—1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.

【詳解】因為/（力=」^為偶函數(shù)，則"尤）_八一）=-^_0/=止

e-1J\/J1一"一1e一如一］e?一1

又因為X不恒為0,可得e—e（i）x=0,即e，=e（"-小，

則無=（a—1）%,BP1=a—l,解得〃=2.

故選：D.

3.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）若〃無）=（x-l）2+ax+sin（x+Tj為偶函數(shù)，貝巾=

【答案】2

【分析】利用偶函數(shù)的性質得到=從而求得a=2,再檢驗即可得解.

【詳解】因為＞=/（尤）=（x-l『+ax+sinx+曰=（x-l『+ax+cosx為偶函數(shù)，定義域為R,

則兀＜2=[5+1)—[5―I=2兀，故a=2,

止匕時/(x)=(x-l)2+2x+COSX=X2+1+COSX,

所以/(-X)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定義域為R,故/(%)為偶函數(shù)，

所以。=2.

故答案為：2.

4.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若=+----1■匕是奇函數(shù)，則。=_____，b=______

1—x

【答案】-；；In2.

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】［方法一］：奇函數(shù)定義域的對稱性

若。=0,則〃幻的定義域為不關于原點對稱

若奇函數(shù)的/（%）=歷1。+J-I+。有意義，貝1J%W1且。+J-WO

1一41-x

「.XW1且"1+L

a

「函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，定義域關于原點對稱，

1H■—=-1,解得〃=一二

a2

由/（。）=。得，*+8=0,

:.b=ln2,

故答案為：-;；ln2.

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

，/、71I77一奴+L7Iax-a-X7

/（x）=lna-\----\+b=ln\--------\+b7=ln\---------Fb

1-x1-x1-x

、jax+a+l7

/(-x)=ln------+b

1+x

函數(shù)〃%)為奇函數(shù)

//、//、7ax-a-l,ax+a+l八

/(x)+f(-x)=In--------\}+ln\[----------b2b=0

1-x\+x

,J〃2%2_(Q+])2

..In--------------F2/7=0

—=^fl+lr^>2a+l=0^fl=--

112

—2b=In—=—2ln2=>b=ln2

4

17c

a=——,7b=Ini

2

［方法三］:

因為函數(shù)/(x)=lna+J—+b為奇函數(shù)，所以其定義域關于原點對稱.

1-X

由a+J—/0可得，(l-x)(a+l-or)^0,所以工=3=-1,解得:。=-3，即函數(shù)的定義域為

1-xa2

(^-l)u(-l,l)u(l,^>),再由〃0)=0可得，b=］n2.即〃x)=ln-；+；+ln2=ln手，在定義域

/LX1,X

內滿足/(T)=-〃X),符合題意.

故答案為：-萬；In2.

*即時檢測

___

I.(2023?湖南?校聯(lián)考模擬預測)已知/(元)=(x-2)(x+a)是偶函數(shù)，貝巾=()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】D

【分析】方法一：由偶函數(shù)的性質/(x)=/(-x),即可求得。的值；方法二：由偶函數(shù)圖像關于y軸對稱，求

出二次函數(shù)對稱軸，列出方程求解即可.

【詳解】方法一：因為〃x)=f+(a—2)龍—2a,

所1以/(_x)—￡__2)x_2a,

由f(—x)—f(x),彳導%2—(Q—2)%—2a—九2+(〃一2)%—2a,

解得a=2；

方法二：/(x)=x2+(tz-2)x-2<7,

因為/(尤)是偶函數(shù)，

所以fM圖像關于直線x=0對稱,

所以一三二°'解得”=2'

故選：D.

2.（2023?廣東佛山?華南師大附中南海實驗高中?？寄M預測）已知函數(shù)〃力=右（4>0）為偶函數(shù)，則

/（2）的值為.

2

【答案】j/0.4

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可求解解析式，代入即可求解.

【詳解】.函數(shù)〃力=工一（4>0）是偶函數(shù)，

2+1

?心=?."2)=亙=2

,()2、+l')2?+l5

2X+12X+1a

故答案為：!2

3.（2023?湖北黃岡?滴水縣第一中學校考模擬預測）已知函數(shù)〃x）=號望為偶函數(shù)，則”

【答案】1

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質〃r）=/（x）即可得到（“-1乂4*-1）=0對VxeR均成立，從而求出參數(shù)的值.

【詳解】由題設，〃_尤）=1^=2，（47+4=/（尤）=今當，

所以4，（4-工+力=4工+a,得1+夕4'=4，+。，得（。一1）（4'-1）=。對,€11均成立.

所以a—1=0,解得a=l.

經(jīng)檢驗，。=1滿足要求.

故答案為：1

4.（2。23?河北?校聯(lián)考一模）若函數(shù)=的圖象關于原點對稱,則實數(shù)”的值為

【答案】-2

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質根據(jù)/（-x）=-/（x），即可求解.

“、“、口”.4-mx,4+mx,4+mx4-2%-,,,?,

【詳解】依題意，ATM即lnw=ln,‘所以不丁匚前'解倚吁±2,當加=2時,

/(x)=ln|5||.定義域卜|尤*2}不關于原點對稱，故舍去，

當m=-2時，/(x)=ln1±||,定義域為何-2<x<2},符合要求，故加=-2,

故答案為：-2

考點六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應用

典例引領

^4■■■■■■■■■■■

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)(多選)已知函數(shù)外力的定義域為R,/(xy)=//(x)+x7(y),則().

A."0)=0B./(1)=0

C.〃x)是偶函數(shù)D.尤=0為了⑺的極小值點

【答案】ABC

【分析】方法一：利用賦值法，結合函數(shù)奇遇性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例/(x)=0即可排除選項

D.

方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D,可構造特殊函數(shù)/(%)='進行判斷即可.

[0,x=0

【詳解】方法一：

因為/(孫)=//(%)+X2/(J),

對于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(1)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令x=y=-l,/(1)=/(-1)+/(-1)=2/(-1),則/(-1)=0,

令y==/(x)+x2/(-l)=/(尤)，

又函數(shù)/(X)的定義域為R,所以“X)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,不妨令了。)=0,顯然符合題設條件，此時Ax)無極值，故D錯誤.

方法二：

因為f(xy)=y2f(x)+尤干(y),

對于A,令x=y=0,/(0)=0/(0)+Of(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=l,/(I)=1/(1)+1/(1),則/⑴=0,故B正確.

對于C,令元=y=-l,/(I)=/(-I)+/(-I)=2/(-1),則/(_l)=0,

令y==/(x)+x2/(-l)=/(x),

又函數(shù)的定義域為R,所以f(x)為偶函數(shù)，故C正確，

對于D,當一好力。時，對/(沖)=y2/(x)+x"(y)兩邊同時除以得到號?=’，+；￡，

當x>0月寸，f(x)=x2In%,則/''(%)=Zxlnx+f.J_=；v(21nx+1),

x

令r(%)<。，得0℃彳；4/^x)>0,得》>N；

故/(x)在1o,e2上單調遞減，在e2,+GO上單調遞增，

(」、(

因為/(X)為偶函數(shù)，所以f(x)在-e-5,0上單調遞增，在-8,e-a上單調遞減,

V)<)

顯然，此時x=0是/(無)的極大值，故D錯誤.

故選：ABC.

2.(2021.全國?統(tǒng)考高考真題)寫出一個同時具有下列性質①②③的函數(shù)“X)：

①“不巧)=/&)F(W)；②當xe(0,+oo)時,f\x)>0；③/'(x)是奇函數(shù).

【答案】〃x)=Y(答案不唯一，”x)=/(〃eN*)均滿足)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質可得所求的/(x).

【詳解】取/(0=/,貝I"中2)=(中2)4=%：工；，滿足①，

r(x)=4x3,尤>0時有^^)>。，滿足②，

-(X)=4d的定義域為R,

又/X)=TX3=—『'(X),故((無)是奇函數(shù)，滿足③.

故答案為：/(%)=/(答案不唯一，〃尤)=/(〃eN*)均滿足)

即時檢測

1.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預測)(多選)已知〃力，g(x)都是定義在R上且不恒為0的函數(shù)，則()

A.y=〃x)"(—x)為偶函數(shù)

B.y=g(x)+g(—x)為奇函數(shù)

c.若g(元)為奇函數(shù)，/(〈為偶函數(shù),則y=〃g(x))為奇函數(shù)

D.若“X)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù),則y=/(x)-g(x)為非奇非偶函數(shù)

【答案】AD

【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】選項A：

因為f(x)是定義在R上的函數(shù)，所以〃(力的定義域為R,

/2(-X)=/(-%)-/(x)=/z(x),所以網(wǎng)力為偶函數(shù)，故A正確；

選項B：

r(x)=g(x)+g(-x),

因為g(x)是定義在R上的函數(shù)，所以f(x)的定義域為R,/(-x)=g(-x)+g⑺=r(x),所以f(x)為偶函數(shù),

故B錯誤；

選項C：

設〃z(x)=/(g(x)),

因為/(X),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，所以加(X)的定義域為R,

因為g(x)為奇函數(shù)，"X)為偶函數(shù)，所以制-x)=〃g(-x))=y(—g(x))=〃g(x))="2(x),

所以〃7(X)為偶函數(shù)，故C錯誤；

選項D：

設”(x)=〃x)-g(x)，

因為〃X)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，所以“(X)的定義域為R,

“(X)+"(f)="X)-g(X)+/m)="X)-g(X)-“X)-g⑺=-2g(X),

因為g(x)是不恒為0的函數(shù)，

所以"(x)+”(-x)=0不恒成立，所以“(X)不是奇函數(shù)，

Z7(X)-M(-X)=/(x)-g(X)-[/(-X)-g(-尤)]=/(尤)一g(x)+f(x)+g(尤)=2/(x),

因為“X)是不恒為0的函數(shù)，所以〃(X)=〃(T)不恒成立，

所以“(X)不是偶函數(shù)，所以“(X)是非奇非偶函數(shù)，故D正確,

故選：AD.

2.(2023?湖南長沙?雅禮中學?？家荒?(多選)已知不恒為0的函數(shù)/(X),滿足Vx,yeR都有

〃x)+"y)=2,寧三].則()

A."0)=0B."0)=1

C.為奇函數(shù)D.〃x)為偶函數(shù)

【答案】BD

【分析】令x=y=0和y=x,即可判斷選項AB；令丁=一%即可判斷選項CD.

【詳解】令x=y=o,則/(0)+/(0)=2/(0)./(0),回〃0)=0或1.

令…，貝U/")+/(尤)=2/(尤)?〃())，若"0)=0,則〃尤)=0,與"X)不恒為0矛盾，回〃0)=1,0

選項B正確選項A錯誤；

令》=一%,貝i]/(x)+〃-x)=2〃0)"(x)=2〃x),0/(x)=/,(-x),回〃x)為偶函數(shù)，團選項D正確選項C

錯誤.

故選：BD.

3.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預測)(多選)已知偶函數(shù)＞=/(無)與奇函數(shù)y=g(x)的定義域均為R,且滿足

/(x)-g(x+l)=l,g(x)+〃5-尤)=3,則下列關系式一定成立的是()

A./(尤+2)-g(無+3)=1B.f(1)=3

C.g(x)=-g(x+3)D./(x+8)=/(x)

【答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及所給抽象函數(shù)的性質，利用尤換為x+2可判斷A,利用賦值可判斷B,推理得

出g(x)+g(6-x)=2后賦值可判斷C,由條件推理可得〃x+4)+〃x)=4,即可判斷D.

【詳解】由〃x)—g(x+l)=l,將x換為x+2知/(x+2)—g(x+3)=l,故A對；

/(x)-g(x+l)=l,奇函數(shù)y=g(x)中g(0)=。，

則〃T)—g(o)=l，，〃T)=1，由y=F(x)為偶函數(shù)，..."1)=1，故B錯;

"(x)=g(x+l)+l，；"(5-x)=g(6-x)+l,

又g(x)+〃5-x)=3,.?.g(x)+g(6-x)+l=3,

；.g(x)+g(6-x)=2,g(3)=1,g(0)=0,g(0)-g(3),故C錯,

.?f(x)-g(x+l)=l,則/(x-l)-g(x)=l,即=

g(x)+/(5-x)=3,/./(x-l)-l+/(5-x)=3,

.-./(x-l)+/(5-x)=4,即/(x)+/(4-x)=4,

為偶函數(shù)，.?"(T)+〃-x+4)=4,

.?"(x+4)+/(x)=4①，二/(x+8)+/(x+4)=4②

由①②知f(x+8)=〃x),故D對.

故選：AD.

4.(2023?云南昆明?云南省昆明市第十中學?？寄M預測)(多選)定義在R上的函數(shù)/⑺滿足

了(尤+y)=f(x)+f(y),當x<o時，〃尤)>0,則函數(shù)/a)滿足()

A./(0)=0B.y=/(x)是奇函數(shù)

C./(X)在［山,網(wǎng)上有最大值fgD./(尤T)>0的解集為

【答案】AB

【分析】由抽象函數(shù)滿足f(x+y)=/(尤)+/"),令x=y=o可得A。)，利用奇偶性，單調性的定義可推導

函數(shù)的奇偶性和單調性，可