北師版初中九年級上冊數(shù)學單元檢測卷(全一冊)

《第1章特殊平行四邊形》

一、選擇題

1.下列給出的條件中，不能判斷四邊形ARCD是平行四邊形的是（）

A.AB〃CD,AD=BCB.ZA=ZC,ZB=ZDC.AB〃CD,AD//BC

D.AB=CD,AD=BC

2.下列說法中，錯誤的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.菱形的對角線互相垂直

D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

3.如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D'、C'的

A.50°B.55°C.60°D.65°

4.如圖，口ABCD中,EF過對角線的交點0,AB=4,AD=3,0F=l.3,則四

邊形BCEF的周長為()

A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6

5.如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，ZBAD=60°,則花

壇對角線AC的長等于（）

A.6畬米B.6米C.3正米D.3米

6.已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm,其中一個內(nèi)角的平分線分

長邊為兩部分，這兩部分的長為（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm

7.如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添

加的條件是

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD

8.如圖，D是AABC內(nèi)一點，BD1CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（）

B

A.7B.9C.10D.11

9.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形

AB'C'）,邊B'C'與DC交于點0,則四邊形AB'0D的周長是（）

A.2V2B.3C.V2D.1+V2

10.如圖，正方形ABCD的面積為4,4ABE是等邊三角形，點E在正方形

ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為

()

A.2B.3C.2V3D.代

二、填空題

11.（5分）已知菱形的兩條對角線長分別為2cm,3cm,則它的面積是_

cm2.

12.（5分）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點。且AC=8,如果/

A0D=60°,那么AD=

13.（5分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,H為AD

邊中點，菱形ABCD的周長為28,則0H的長等于.

14.（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為1,以對角線AC為邊作第二個

正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,如此下去，第n個正

方形的邊長為.

三、解答題（15題12分，16題12分，17題16分）

15.如圖，已知平行四邊形ABCD,DE是NADC的角平分線，交BC于點E.

(1)求證：CD=CE；

(2)若BE=CE,ZB=80°，求NDAE的度數(shù).

16.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F

點處，DF交BC于點E

(1)求證：△DCEgABFE；

(2)若CD=2,ZADB=30°,求BE的長.

17.已知，如圖1,BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分NDBC

交DC于點E,延長BC到點F,使CF=CE,連接DF,交BE的延長線于點G.

(1)求證：△BCEgADCF；

(2)求CF的長;

(3)如圖2,在AB上取一點H,且BH二CF,若以BC為x軸，AB為y軸建

立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P,使得以B、H、P為頂點的

三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不

存在，說明理由.

《第1章特殊平行四邊形》

參考答案與試題解析

一、選擇題

1.下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A.AB〃CD,AD=BC3.ZA=ZC,NB=NDC.AB〃CD,AD〃BC

D.AB=CD,AD=BC

【考點】平行四邊形的判定.

【分析】直接根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可.

【解答】解：平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四

邊形????c能判斷，

平行四邊形判定定理1,兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；.??B

能判斷;

平行四邊形判定定理2,兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；???D

能判定;

平行四邊形判定定理3,對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

平行四邊形判定定理4,一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形；

故選A.

【點評】此題是平行四邊形的判定，解本題的關(guān)鍵是掌握和靈活運用平行

四邊形的5個判斷方法.

2.下列說法中，錯誤的是（）

A.平行四邊形的對角線互相平分

R.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.菱形的對角線互相垂直

D.對角線互相垂直的四邊形是菱形

【考點】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)對各個選項進行分析從而得到最后

答案.

【解答】解：根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)得到ABC均正確，而D不正確,

因為對角線互相垂直的四邊形也可能是梯形，

故選：D.

【點評】主要考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的特性，并利用性質(zhì)解

題.平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊

形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊

形的對角線互相平分.菱形的特性是：四邊相等，對角線互相垂直平分.

3.如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D'、C'的

位置，若NEFB=65°,則NAED'等于（）

【考點】翻折變換(折疊問題).

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【分析】首先根據(jù)AD〃BC,求出NFED的度數(shù)，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，

折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等，則可

知NFED=NFED',最后求得NAED'的大小.

【解答】解：???AD〃BC,

.,.ZEFB=ZFED=65°,

由折疊的性質(zhì)知，NFED二NFED'=65°,

???NAED'=180°-2ZFED=50°.

故NAED'等于50。.

故選：A.

【點評】本題考查了：1、折疊的性質(zhì)；2、矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

平角的概念求解.

4.如圖,口ABCD中,EF過對角線的交點0,AB=4,AD=3,0F=1.3,則四

邊形BCEF的周長為()

A.8.3B.9.6C.12.6D.13.6

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可知EF把平行四邊形分成兩個

相等的部分，先求平行四邊形的周長，再求EF的長，即可求出四邊形BCEF

的周長.

【解答】解：根據(jù)平行四邊形的中心對稱性得：OF=OE=1.3,

???門ABCD的周長二(4+3)X2=14

???四邊形BCEF的周長［XQABCD的周長+2.6=9.6.

【點評】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題.平行四邊

形基本性質(zhì)：

①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；

③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分.平

行四邊形是中心對稱圖形.

5.如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，ZBAD=60°,則花

壇對角線AC的長等于()

AR

A.6正米B.6米C.3立米D.3米

【考點】菱形的性質(zhì).

【專題】應用題.

【分析】由四邊形ARCD為菱形，得到四條邊相等，對角線垂直且互相平

分，根據(jù)NBAD=60°得到三角形ABD為等邊三角形，在直角三角形ABO

中，利用勾股定理求出0A的長，即可確定出AC的長.

【解答】解：?.?四邊形ABCD為菱形，

AAC±BD,0A=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24+4=6（米），

VZBAD=60°,

:?△ABD為等邊三角形，

BD=AB=6（米），0D=0B=3（米），

在RtZSAOB中，根據(jù)勾股定理得：在刃6?-3KJ（米），

則AC=20A=6立米，

故選A.

【點評】此題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性

質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

6.已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm,其中一個內(nèi)角的平分線分

長邊為兩部分，這兩部分的長為（）

A.6cm和9cmB.5cm和10cmC.4cm和11cmD.7cm和8cm

【考點】矩形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)已知條件以及矩形性質(zhì)證AABE為等腰三角形得到AB二AE,

注意“長和寬分別為15cm和10cm”說明有2種情況，需要分類討論.

【解答】解：如圖，?.?矩形ABCD中，BE是角平分線.

JZABE=ZEBC.

???AD〃BC.

，ZAEB=ZEBC.

AZAEB=ZABE

AAB=AE.

當AB=15cm口寸：則AE=15cm,不滿足題意.

當AB二10cm時：AE=10cm,貝！JDE=5cm.

故選B.

【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì).注意出現(xiàn)角

平分線，出現(xiàn)平行線時，一般出現(xiàn)等腰三角形，需注意等腰三角形相等邊

的不同.

7.如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添

加的條件是

()

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AOBD

【考點】矩形的判定.

【分析】由四邊形ABCD的對角線互相平分，可得四邊形ABCD是平行四邊

形，再添加AC=BD,可根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明四邊形

ABCD是矩形.

【解答】解：可添加AOBD,

???四邊形ABCD的對角線互相平分，

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AC=BD,根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，

???四邊形ABCD是矩形，

故選：D.

【點評】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是矩形的判定:

①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形.

8.如圖，D是4ABC內(nèi)一點，BD±CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H

分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是()

A.7B.9C.10D.11

【考點】三角形中位線定理；勾股定理..

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)三角形的中位線定理得到

HG二,BOEF,EH=FG4AD,求出EF、HG、EH、FG的長，代入即可求出四邊

形EFGH的周長.

【解答】W：VBD±DC,BD=4,CD=3,由勾股定理得：BC二屈布至5,

VE>F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點,

AHG=1BC=EF,EH=FG=1AD,

VAD=6,

AEF=HG=2.5,EH=GF=3,

J四邊形EFGH的周長是EF+FG+HG+EH=2X(2.5+3)=11.

故選D.

【點評】本題主要考查對勾股定理，三角形的中位線定理等知識點的理解

和掌握，能根據(jù)三角形的中位線定理求出EF、HG、EH、FG的長是解此題

的關(guān)鍵.

9.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形

AB'C'D',邊B'C與DC交于點0,則四邊形AB'0D的周長是（）

A.2&B.3C.V2D.1+^2

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【分析】當AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后，剛回落在正方形對角線AC上,

可求三角形與邊長的差B'C,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理

可求B'0,0D,從而可求四邊形AB'0D的周長.

【解答】解：連接B,C,

???旋轉(zhuǎn)角NBAB'=45°,ZBAC=45°,

???B'在對角線AC上,

VAB=AB,=1,用勾股定理得AO后,

???B'C=V2-1,

在等腰RtZ\0B，C中，OB'=B'C=V2-h

在直角三角形OB'C中，由勾股定理得0C二正（訛-1）=2-亞,

AOD=1-OC=V2-1

???四邊形AB'0D的周長是：2AD+OB'+0D=2+亞-1+&-1=2后.

故選A.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形邊長的求

法.連接B’C構(gòu)造等腰Rt^OB'C是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，正方形ABCD的面積為4,Z\ABE是等邊三角形，點E在正方形

ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為

()

A.2B.3C.2V3D.V3

【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì).

【專題】幾何圖形問題.

【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BE,與AC的交點即為P

點.此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊4ABE的邊，BE=AB,由正方形ABCD

的面積為4,可求出AB的長，從而得出結(jié)果.

【解答】解：連接而，與AC交于點F.

丁點B與D關(guān)于AC對稱，

APD=PB,

JPD+PE=PB+PE=BE最小.

;正方形ABCD的面積為4,

AAB=2.

又〈△ABE是等邊三角形，

ABE=AB=2.

???所求最小值為2.

【點評】此題主要考查軸對稱--最短路線問題，要靈活運用對稱性解決

此類問題.

二、填空題

11.已知菱形的兩條對角線長分別為2cm,3cm,則它的面積是3cm2.

【考點】菱形的性質(zhì).

【分析】由知菱形的兩條對角線長分別為2cm,3cm,根據(jù)菱形的面積等

于對角線乘積的一半，即可求得答案.

【解答】解：I菱形的兩條對角線長分別為2cm,3cm,

???它的面積是:-^X2X3=3(cm2).

故答案為：3.

【點評】此題考查了菱形的性質(zhì).注意菱形的面積等于對角線乘積的一半.

12.如圖，在矩形ABCD中,AC、BD相交于點。且AO8,如果NA0D=60°,

那么那二4

【考點】矩形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OA=OD=,AC,然后判斷出

△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊都相等解答即可.

【解答】解:在矩形ABCD中,OA=OD=-^AC=1X8=4,

VZA0D=60°，

：.AAOD是等邊三角形,

AAD=0A=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，等邊三角形的

判定與性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在菱形ARCD中，對角線AC、RD相交于點0,H為ADii中點,

菱形ABCD的周長為28,則0H的長等于3.5.

【考點】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理.

【分析】由菱形的四邊相等求出邊長，再根據(jù)對角線互相垂直得出N

A0D=90°,然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果.

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形，

???AB=BC=CD=DA,AC1BD,

AZA0D=90°,

VAB+BC+CD+DA=28,

AAD=7,

???H為AD邊中點,

A0H=^AD=3.5；

故答案為：3.5.

【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌

握菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

14.如圖，正方形ABCD的邊長為1,以對角線AC為邊作第二個正方形，

再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH,如此下去，第n個正方形的邊

長為一（W）….

【考點】正方形的性質(zhì).

【專題】壓軸題；規(guī)律型.

【解答】解：.??四邊形ABCD為正方形，

???AB=BC=1,ZB=90°,

AAC2=12+12,AC=V2;

同理可求：AE=（V2）＞HE=（V2）

???第n個正方形的邊長（亞）一.

故答案為（V2）n-1.

【點評】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應用問題；應牢固

掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運用.

三、解答題（15題12分，16題12分，17題16分）

15.（?株洲）如圖，已知平行四邊形ABCD,DE是NADC的角平分線，交

BC于點E.

（1）求證：CD=CE；

（2）若BE=CF,ZB=80°,求NDAE的度數(shù).

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【專題】計算題；證明題.

【分析】（1）根據(jù)DE是NADC的角平分線得到N1=N2,再根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)得到N1二N3,所以N2=N3,根據(jù)等角對等邊即可得證；

（2）先根據(jù)BE二CE結(jié)合CD=CE得到aABE是等腰三角形，求出NBAE的度

數(shù)，再根據(jù)平行四邊形鄰角互補得到NBAD=100。，所以NDAE可求.

【解答】（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，

?.?AD〃BC

AZ1=Z3

又???/1二/2,

AZ2=Z3,

ACD=CE；

（2）解：???四邊形ABCD是平行四邊形,

???AB=CD,AD〃BC,

又〈CD=CE,BE=CE,

AAB=BE,

AZRAE=ZREA.

VZB=80°,

AZBAE=50°,

AZDAE=180°-50°-80°=50°.

【點評】（1）由角平分線得到相等的角，再利用平行四邊形的性質(zhì)和等

角對等邊的性質(zhì)求解；

（2）根據(jù)"BE=CE"得出AB=BE是解決問題的關(guān)鍵.

16.（?樂山）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平

面上的F點處，DF交BC于點E.

（1）求證：4DCE之ABFE；

（2）若CD=2,ZADB=30°,求BE的長.

【考點】翻折變換(折疊問題)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)由AD〃BC,知NADB=NDBC,根據(jù)折疊的性質(zhì)NADB=/BDF,

所以NDBC=NBDF,得BE=DE,即可用AAS證△DCE^^BFE；

(2)在RtZ\BCD中，CD=2,ZADB=ZDBC=30°,知BC=2T，在RtZ\BCD

中，CD=2,ZEDC=30°,知CE=華，所以BE=BC-EC二年.

【解答】解：(1)VAD/7BC,

???ZADB=ZDBC,

根據(jù)折疊的性質(zhì)NAD3=NBDF,NF=NA=NC=90°,

???NDBONBDF,

ABE=DE,

在ADCE和aBFE中，

'NBEF=NDEC

<ZF=ZC,

BE=DE

AADCE^ABFE；

(2)在RtABCD中，

VCD=2,ZADB=ZDBC=30°,

ABC=2V3,

在Rt^ECD中，

VCD=2,ZEDC=30°,

ADE=2EC,

/.(2EC)2-EC2=CD2,

【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊、

平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質(zhì)是解決本

題的關(guān)鍵.

17.(春?歷下區(qū)期末)已知，如圖1,BD是邊長為1的正方形ABCD的對

角線，BE平分NDBC交DC于點E,延長BC到點F,使CF二CE,連接DF,

交BE的延長線于點G.

(1)求證：△BCEZZXDCF；

(2)求CF的長；

(3)如圖2,在AB上取一點H,且BH二CF,若以BC為x軸，AB為y軸建

立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P,使得以B、H、P為頂點的

三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不

存在，說明理由.

【考點】四邊形綜合題.

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)，由全等三角形的判定定理SAS即可證

得4BCE之Z\DCF；

(2)通過△DBGgZiFBG的對應邊相等知BD二BF=加；然后由CF=BF-BC=

即可求得；

(3)分三種情況分別討論即可求得.

【解答】(1)證明：如圖1,

在aBCE和aDCF中，

rBC=DC

<ZBCE=ZDCF=90°,

CE=CF

AABCE^ADCF(SAS)；

(2)證明：如圖1,

〈BE平分NDBC,OD是正方形ABCD的對角線,

AZEBC=|ZDBC=22.5°，

由⑴知△BCEgZkDCF,

AZEBC=ZFDC=22.5°（全等三角形的對應角相等）；

???ZBGD=90°（三角形內(nèi)角和定理），

/.ZRGF=90°；

在△DBG和△FBG中，

'/DBG二NFBG

<BG=BG,

ZBGD=ZBGF

.,.△DBG^AFBG（ASA）,

???BD=BF,DG=FG（全等三角形的對應邊相等），

VBD^AB^AD^,

ABF=V2,

JCF=BF-BC=V2-1;

（3）解：如圖2,VCF=V2-1,BH=CF

JBH=V2-1,

①當BH=BP時,貝UBP/加

VZPBC=45°,

設(shè)P（x,x）,

A2x2=（A/2-1）2,

解得x=l-乎或-1+寫

???P（1一冬1一堂）或（一1+寫-1+號）；

②當BH=HP時，貝ijHP=PB=V2-1，

YNABD=45。,

???△PBH是等腰直角三角形，

???P(V2-hV2-1);

③當PH=PR時，*/NABD=45°,

是等腰直角三角形，

.?.p,

22

綜上，在直線BD上是否存在點P,使得以B、H、P為頂點的三角形為等

腰三角形，所有符合條件的P點坐標為（1考，1-爭、（-1+冬

-1+茅、（&-1,11）、（返A(chǔ)年）.

【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判

定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

《第1章特殊的平行四邊形》

一、選擇題（請把答案填寫到下面指定位置，每小題3分，共36分）

1.矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.每一條對角線平分一組對角B.對角線相等

C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,若BD、AC

的和為18cm,CD：DA=2：3,AA0B的周長為13cm,那么BC的長是（)

D

B*------------------C

A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm

3.在RtaABC中，/ACB=90。,ZA=30°,AO^cm,則AB邊上的中線

長為（）

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.V3cm

4.如圖，矩形ABCD中，E在AD上，且EF1EC,EF=EC,DE=2,矩形的周

長為16,則AE的長是（）

A.3B.4C.5D.7

5.下列說法正確的是（）

A.對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

C.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

6.已知：如圖，在矩形ABCD中，BC=2,AE1BD,垂足為E,NBAE=30°,

A.2V3B?立C?卓D.烏

ZJ

7.用兩個全等的直角三角形拼成下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③

菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形.則一定可以拼成的圖形

是（）

A.①④⑤B.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤

8.如圖為菱形ABCD與AABE的重疊情形，其中D在BE上.若AB=17,BD=16,

AE=25,則DE的長度為何？（）

A.8B.9C.11D.12

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BO5,點E、F分別在AB、CD上，將

矩形ABCD沿EF折疊,使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點」、D1處,

則陰影部分圖形的周長為（）

A.15B.20C.25D.30

10.如圖，矩形ABCD的長為a,寬為b,如果S1=524以+54），則S1（)

DC

C.-^-abD--^~ab

Jz

A.③B.①②C.②③D.③④

12.如圖，正方形ABCD中，AB=3,點E在邊CD上，且CD=3DE.將AADE

沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.下列結(jié)論:

①點G是BC的中點；②FG=FC；③NGAE=45°.

其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題：

13.等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形四個圖形中，既是軸對稱圖

形又是中心對稱圖形的是.

14.如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,試添加一

個條件：，使得平行四邊形ABCD為菱形.

對角線AC、BD相交于點0,點E、F分別是

AO、AD的中點，若AH=6cm,RC=8cm,則△AEF的周長二cm.

16.如圖在菱形ABCD中，ZB=ZEAF=60°,NBAE=20°,則NCEF的大

小為

三、解答題：（共52分）

17.如圖，BD是△ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB,BD,BC

于點E,F,G,連接ED,DG.請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由.

18.如圖，已知菱形ABCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點,連接AE、

CF.

(1)證明：四邊形AECF是矩形;

(2)若AB=8,求菱形的面積.

19.已知：如圖，在四邊形ABCD中，點G在邊BC的延長線上，CE平分

ZBCD,CF平分NGCD,EF〃BC交CD于點0.

(1)求證:0E=0F；

(2)若點0為CD的中點，求證：四邊形DECF是矩形.

20.點M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC±,已知aMCN的周長等于

正方形ABCD周長的一半，求NMAN的度數(shù).

21.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，NBAD的角平分線AE交CD亍點F,

交BC的延長線于點E.

(1)求證:BE=CD；

(2)連接BF,若BFLAE,ZBEA=60°,ABE,求平行四邊形ABCD的面

22.已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點，E、F

分別是線段BM、CM的中點.

(1)求證:BM=CM；

(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論;

(3)當AD：AB=時，四邊形MENF是正方形(只寫結(jié)論，不需證明).

1Mp

23.如圖，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得頂點E,F,P分別在線段

AB,AD,AC上，已知EP二FP二6,EF二6“，NBAD=60°,且AB>6加?

(1)求NEPF的大小;

(2)若AP=8,求AE+AF的值.

EB

《第1章特殊的平行四邊形》

參考答案與試題解析

一、選擇題（請把答案填寫到下面指定位置，每小題3分，共36分）

1.矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)是（）

A.每一條對角線平分一組對角B.對角線相等

C.對角線互相平分3.對角線互相垂直

【考點】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形具

有的性質(zhì)就是矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì).

【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性質(zhì)：對角線互相平分.故選

C.

【點評】本題主要考查的是對矩形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì)的理解.

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點0,若BD、AC

的和為18cm,CD：DA=2：3,AA0B的周長為13cm,那么BC的長是（）

A.6cmB.9cmC.3cmD.12cm

【考點】平行四邊形的性質(zhì).

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，先求出AB的長，再根據(jù)所給比值，求

出AD的長，進一步求解BC即可.

【解答】解：I平行四邊形ABCD

?,.()A+OB二卷(BD+AC)=9cm

XVAAOB的周長為13cm,

/.AB=CD=4cm,

XVCD：DA=2：3,

/.BC=AD=6cm

故選A.

【點評】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題.平行四邊

形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊

分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互

相平分.

3.在RtZ^ABC中，/ACB=90。,ZA=30°,AC二加cm,則AB邊上的中線

長為()

A.1cmB.1.5cmC.2cmD.無cm

【考點】直角三角形斜邊上的中線.

【分析】設(shè)斜邊AB=2x,根據(jù)直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的

一半可得BC=x,再利用勾股定理列式求出x的值，從而得到AB,然后根

據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.

【解答】解：設(shè)斜邊AR=2x,

VZACB=90°,ZA=30°,

ABC=|AB=x,

由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

即(2x)2=(Vs)2+.

故選A.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，直

角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的?半的性質(zhì)以及勾股定理，熟

記性質(zhì)并列出方程是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，矩形ABCD中，E在AD上，且EFLEC,EF=EC,DE=2,矩形的周

長為16,則AE的長是()

A.3B.4C.5D.7

【考點】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】計算題.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和EF，EC,EF=EC求證△AEFg△DCE,可得AE=CD,

再利用矩形的周長為16,即可求出AD,然后用AD減DE即可得出答案.

【解答】解：???矩形ABCD中,EF1EC,

.\ZDEC+ZDCE=90°,ZDEC+ZAEF=90°

JZAEF=ZDCE,

又???EF=EC,

AAAEF^ADCE,

AAE=CD,

??,矩形的周長為16,即2CD+2AD=16,

???CD+AD=8,

AAD-2+AD=8,

AD=5,

JAE=AD-DE=5-2=3.

故選A.

【點評】此題主要考查學生對全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形性質(zhì)的理解

和掌握，解答此題的關(guān)鍵是求證4AEF絲Z^DCE.

5.下列說法正確的是（）

A.對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形

B.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形

C.對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

【考點】正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定.

【分析】分別根據(jù)菱形、正方形、平行四邊形和矩形的判定逐項判斷即可.

【解答】解：

對角線相等且互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，更不一定是菱形，

故A不正確；

對角線互相垂直平分的四邊形為菱形，但不一定是正方形，故B不正確；

對角線互相垂直的四邊形，其對角線不一定會平分，故不一定是平行四邊

形，故C不正確；

對角線互相平分說明四邊形為平行四邊形，又對角線相等,可知其為矩形,

故D正確；

故選D.

【點評】本題主要考查平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，掌握平行四

邊形及特殊平行四邊形的對角線所滿足的條件是解題的關(guān)鍵.

6.已知：如圖，在矩形ABCD中，BC=2,AE.LBD,垂足為E,ZBAE=30°,

AD

那么4ECD的面積是（)

B

A.2V3B?bC?卓D.*

乙o

【考點】矩形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

【分析】根據(jù)已知條件，先求Rt4AED的面積，再證明4ECD的面積與它

相等.

【解答】解:如圖:

過點C作CF_LBD于F.

,矩形ABCD中，BC=2,AE±BD,

AZABE=ZCDF=60°,AB=CD,AD=BO2,NAEB=NCFD=90°.

AAABE^ACDF.

AAE=CF.

S△AED=4-ED?AE，S^EcrF^-EDeCF

**?SAAED=SACDE***AE=1,DE-A/3,

???△ECD的面積是零.故選C.

【點評】此題考查了學生的識圖能力，解題的關(guān)鍵是要注意問題的轉(zhuǎn)化.此

題還考查了直角三角形的性質(zhì)，直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜

邊的一半.

7.用兩個全等的直角三角形拼成下列圖形：①平行四邊形；②矩形；③

菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等邊三角形.則一定可以拼成的圖形

是（）

A.①④⑤R.②⑤⑥C.①②③D.①②⑤

【考點】圖形的剪拼.

【分析】此題需要動手操作或畫圖，用完全相同的直角三角形一定可以拼

成平行四邊形、矩形、等腰三角形.

【解答】解：根據(jù)題意，用形狀和大小完全相同的直角三角形一定能拼出

平行四邊形、矩形和等腰三角形，共3種圖形.

畫出圖形如下所示：

平行四邊形矩形等腰二角形

故選D

【點評】本題考查了圖形的剪拼，同時考查了學生的動手操作能力和想象

觀察能力，難度一般.

8.如圖為菱形ABCD與Z\ABE的重疊情形，其中D在BE上,若AB=17,BD=16,

AE=25,則DE的長度為何？（）

A

A.8B.9C.11D.12

【考點】菱形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】壓軸題.

【分析】首先連接AC,設(shè)AC交BD于。點，由四邊形ABCD為菱形，利用

菱形對角線互相垂直且平分的性質(zhì)及勾股定理，即可求得DE的長度.

【解答】解：連接K,設(shè)AC交BD于。點，

???四邊形ABCD為菱形，

AAC1BD,且B0=DO二竽二8,

在AAOD中，

VZA0D=90°,

**-AO=7AD2-OD^Vn2-82=15,

在aAOE中，

VZA0E=90°,

?二OE=VAE2-A02=7252-152=20,

又OD=8,

ADE=OE-0D=20-8=12.

故選D.

【點評】此題考查了勾股定理與菱形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合

思想的應用.

9.如圖，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,點E、F分別在AB、CD±,將

矩形ABCD沿EF折疊，使點A、D分別落在矩形ABCD外部的點A-口處，

則陰影部分圖形的周長為（）

A.15B.20C.25D.30

【考點】翻折變換（折疊問題）.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得AE=AE,A.DFAD,D,F=DF,則陰影部分的周

長即為矩形的周長.

【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，得

AE二AE,A。尸AD,DF=DF.

則陰影部分的周長二矩形的周長=2（10+5）=30.

故選：D.

【點評】此題主要考查了翻折變換，關(guān)鍵是要能夠根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對

應的線段相等，從而求得陰影部分的周長.

10.如圖，矩形ABCD的長為a,寬為b,如果S]=S2=￡（S3+SP，貝）

C.|abD.

o，

【考點】三角形的面積.

【專題】計算題.

【分析】連接DB,由S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4,5”2二去b利用則SaDCbJab,

同理EB=5AE,求得S3,然后即可求得S“.

【解答】解:S矩形ABCD=S1+S2+S3+S4

~2（S3+S4）+-2（S3+Sp+Ss+Sq

=2（S3+S4）

二ab

??63+Sq二5ab

??S]+S2=oab

連接DB,如圖，則SADCB=|ab

CF：BC=S2:=Vabi,公二1：2

???FB=1BC

同理，EB=1AE

???S4^C4^4ab

J3乙LLLo

13

?二S^—ab-s=—ab,

r4/O3

故選A

【點評】此題考查學生對三角形面積的理解和掌握，此題關(guān)鍵是連接DB,

有一定難度，屬于難題.

A.③B.①②C.②③D.③④

【分析】分別根據(jù)矩形、菱形及正方形的性質(zhì)進行逐?判斷即可.

【解答】解：①錯誤，例如等腰梯形；

②錯誤，例如對角線互相垂直的等腰梯形；

③正確，符合正方形的判定定理；

④正確，符合菱形的性質(zhì).

故選D.

12.如圖，正方形AECD中，AB=3,點E在邊CD上，且CD=3DE.將AADE

沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG,CF.下列結(jié)論：

①點G是BC的中點；②FG=FC；③NGAE=45°.

其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考點】翻折變換（折疊問題）；正方形的性質(zhì).

【分析】①如圖1，根據(jù)正方形邊長求DE的長，由折疊得：AD=AF二3,

DE=EF=1,根據(jù)HL證明RtZ\ABGgRtZXAFG,BG=FG,設(shè)BG=x,在直角4EGC

中利用勾股定理列方程求出x的值，比較BG和CG的大小；

②如圖2,作輔助線，根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求FH和GH的長,

根據(jù)勾股定理求FC,發(fā)現(xiàn)FGWFC；

③如圖1,根據(jù)正方形的內(nèi)角為90°,及/DAE=NFAE,NBAG二NFAG,得

ZGAE=45°.

【解答】解：①如圖1,??,四邊形ABCD是正方形，

ACD=AB=3,

VCD=3DE,

ADE=1,

ACE=2,

由折疊得:DE=EF=1,AD=AF=3,

AAB=AF,

VZB=ZAFG=90°,AG=AG,

ARtAABG^RtAAFG,

ARG=FG,

設(shè)BG=x,則CG=3-x,FG=x,

由勾股定理得：EG2=CG2+EC2,

(x+1)2=22+(3-x)2,

解得：xj

ABG=|,

?o33

.?CG=3方亍

???點G是BC的中點；

所以①正確；

②如圖2,過F作FHJLBC于H,

???FH〃DC,

.FHJFJH

**EC=GE=GC，

???FH《GH端,

???F（＞je）2+e）2二等

由①得FG二BG二5

???FGWFC,

所以②不正確；

③如圖1,VZDAE=ZFAE,NBAG=NFAG,

/.ZRAG+ZDAE=ZFAG+ZFAE,

VZDAB=90°,

AZEAG=-^ZDAB=45°,

所以③正確；

故結(jié)論正確的是：①③,

故選B.

【點評】本題考查了正方形和折疊的性質(zhì)，明確折疊前后的對應角相等，

正方形的四邊相等且四個角都是直角；利用勾股定理列方程求邊的長度，

恰當?shù)刈鬏o助線，構(gòu)建平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式求

邊長；從而比較邊的大小關(guān)系.

二、填空題：

13.等邊三角形、平行四邊形、矩形、正方形四個圖形中，既是軸對稱圖

形又是中心對稱圖形的是矩形、正方形.

【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形.

【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與

原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做時稱中

心；軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形

叫做軸對稱圖形進行分析即可.

【解答】解：等邊三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；

矩形是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

正方形是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

故答案為：矩形、正方形.

【點評】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵

是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中

心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

14.如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,試添加一

個條件：AD=DC，使得平行四邊形ABCD為菱形.

【考點】平行四邊形的判定；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】開放型.

【分析】根據(jù)菱形的定義得出答案即可.

【解答】解：???鄰邊相等的平行四邊形是菱形，

???平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點0,試添加一個條件：可以

為：AD=DC；

故答案為：ADRC.

【點評】此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的

定義得出是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點()，點E、F分別是

AO、AD的中點，若A3=6cm,BC=8cm,則△AEF的周長二9cm.

【考點】三角形中位線定理；矩形的性質(zhì).

【分析】先求出矩形的對角線A3根據(jù)中位線定理可得出EF,繼而可得

出4AEF的周長.

【解答】解：在Rt^ABC中，AC=VAB2+BC^10CIH,

???點E、F分別是AO、AD的中點，

，EF是AAOD的中位線，EF-^OD二；BDEcqcm,AF*D=卻O4cm,

AE二點\0得Ao|cnb

/.△AEF的周長=AE+AF+EF=9cm.

故答案為：9.

【點評】本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理及矩形的性質(zhì)，解答

本題需要我們熟練掌握三角形中位線的判定與性質(zhì).

16.如圖在菱形ABCD中，ZB=ZEAF=60°,ZBAE=20°,則NCEF的大

小為20。.

【考點】菱形的性質(zhì).

【專題】數(shù)形結(jié)合.

【分析】首先證明△ABEgZXACF,然后推出AE二AF,證明4AEF是等邊三

角形，得NAEF=60°,最后求出NCEF的度數(shù).

【解答】解：連接AC,

在菱形ABCD中,AB=CB,

VZB=60°,

/.ZBAC=60°，AABC是等邊三角形,

VZEAF=60°,

JZBAC-NEAONEAF-ZEAC,

即：ZBAE=ZCAF,

在△ARE和AACF中，

rZBAE=ZCAF

<AB=AC,

ZB=ZACF

AAABE^AACF(ASA),

AAE=AF,

又NEAF=ND=60°,則AAEF是等邊三角形,

AZAFE=60°,

又NAEC=NB+NBAE=80°,

則NCEF=800-60°=20°.

故答案為：20°.

【點評】此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定以及三角形的內(nèi)角

和定理，有一定的難度，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，然后熟練掌

握菱形的性質(zhì).

三、解答題：（共52分）

17.如圖，BD是AABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB,BD,BC

于點E,F,G,連接ED,DG.請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由.

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【分析】結(jié)論四邊形EBGD是菱形.只要證明BE=ED二DG二GB即可.

【解答】解：四邊形EBGD是菱形.

理由：TEG垂直平分BD,

AEB=ED,GB=GD,

AZEBD=ZEDB,

VZEBD=ZDBC,

AZEDF=ZGBF,

在aEFD和AGFR中，

'NEDF二NGBF

<ZEFD=ZGFB,

DF=BF

AAEFD^AGFB,

AED=BG,

ABE=ED=DG=GB,

???四邊形EBGD是菱形.

【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性

質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是求出△EFD^^GFB.

18.如圖，已知菱形ARCD,AB=AC,E、F分別是BC、AD的中點，連接AF、

CF.

（1）證明：四邊形AECF是矩形；

（2）若AB=8,求菱形的面積.

【考點】矩形的判定；勾股定理；菱形的性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】（1）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC,然后判斷出AABC

是等邊三角形，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AE_LBC,Z

AEC=90°,再根據(jù)菱形的對邊平行且相等以及中點的定義求出AF與EC

平行且相等，從而判定出四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是

直角的平行四邊形是矩形即可得證；

（2）根據(jù)勾股定理求出AE的長度，然后利用菱形的面積等于底乘以高計

算即可得解.

【解答】（1）證明：??,四邊形ABCD是菱形，

AAB=BC,

又〈AB=AC,

:?△ABC是等邊三角形，

???E是BC的中點，

/.AF±RC（等腰三角形三線合一），

AZ1=90°,

YE、F分別是BC、A3的中點，

AAF=|AD,EC=|BC,

???四邊形ABCD是菱形，

???AD〃BC且AD=BC,

???AF〃EC且AF=EC,

???四邊形AECF是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊

形），

又.??/1=90°,

???四邊形AECF是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）；

（2）解：在Rt^ABE中，AE=標二近,

所以，S菱形ABO）=8X4V^32加.

RE

【點評】本題考查了矩形的判定，菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，勾股

定理的應用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明得到四邊形AECF是平行四

邊形是解題的關(guān)鍵，也是突破口.

19.已知：如圖，在四邊形ABCD中，點G在邊BC的延長線上，CE平分

ZBCD,CF平分NGCD,EF〃BC交CD于點（）.

（1）求證:OE-OF；

（2）若點0為CD的中點，求證：四邊形DECF是矩形.

【考點】矩形的判定；平行四邊形的判定與性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】（1）由于CE平分NBCD,那么NDCE=NBCE,而EF〃BC,于是

ZOEC=ZBCE,等量代換NOEC二NDCE,那么0E=0C,同理0C=OF,等量代

換有OE=OF；

（2）由于。是CD中點，故0D=03而0E=OF,那么易證四邊形DECF是平

行四邊形，又CE、CF是NBCD、NDCG的角平分線，ZBCD+ZDCG=180°

那么易得NECF=90°,從而可證四邊形DECF是矩形.

【解答】證明：（1）;CE平分/BCD、CF平分NGCD,

???NBCE=NDCE,ZDCF=ZGCF,（1分）

???EF〃BC,

???NBCE=NFEC,ZEFC=ZGCF,（1分）

/.ZDCE=ZFEC,NEFONDCF,（1分）

A0E=0C,0F=0C,

?,.（）E=OF；（2分）

（2）???點0為CD的中點，

A0D=0C,

又0E=0F,

???四邊形DECF是平行四邊形，（2分）

TCE平分NBCD、CF平分NGCD,

???ZDCE-yZBCD,ZDCF=i-ZDCG,（2分）

/.ZDCE+ZDCF=y（ZBCD+yZDCG）=90°，（2分）

即NECF=90。,

???四邊形DECF是矩形.（1分）

【點評】本題利用了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等角對等邊、等量

代換、平行四邊形的判定、矩形的判定.

20.點M、N分別在正方形ABCD的邊CD、BC上，已知aMCN的周長等于

正方形ABCD周長的一半，求NMAN的度數(shù).

D.M

/

-

【考點】正方形的性質(zhì).

【專題】計算題.

【分析】先利用△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半可得到

MN=DM+BN,4ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE,如圖，利用旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得AE=AM,BE=DM,ZABE=ZADM,NMAE=90°,接著證明

AEN得到NMAN二NEAN,從而得到4m二24即；45°.

【解答】解：:△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半，

JMN+CM+CN=CD+CB,

AMN=DM+BN,

VAD=AB,ZDAB=90°,

??.△ADM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AABE,如圖，

AAE=AM,BE=DM,ZABE=ZADM,ZMAE=90°,

VZABC=90°,

???點E在CB的延長線上，

???EN=BE+NB=DM+BN=MN,

在△AMN和AAEN中

'AM二AE

<AN=AN,

MN二EN

???AAMN^AAEN,

???ZMAN=ZEAN,

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是

直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一

組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).解決

本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△AEN與AAMN全等.

21.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，NBAD的角平分線AE交CD于點F,

交BC的延長線于點E.

(1)求證：BE=CD；

(2)連接BF,若BFJLAE,ZBEA=60°，AB=4,求平行四邊形ABCD的面

【考點】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線得出NBAE二NBEA,即可得

出AB=BE；

(2)先證明4ABE是等邊三角形，得出AE=AB=4,AF=EF=2,由勾股定理

求出RF,由AAS證明△ADF/ZXECF,得出aADF的面積二△ECF的面積，

因此平行四邊形ABCD的面積=AABE的面積二如E?BF,即可得出結(jié)果.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.AD〃BC,AB〃CD,AB=CD,

???NB+NC=180°,ZAEB=ZDAE,

???AE是/BAD的平分線，

AZBAE=ZDAE,

AZBAE=ZAEB,

AAB=BE,ABE=CD；

(2)解：VAB=BE,ZBEA=60°,

.?.△ABE是等邊三角形，

AAE=AB=