二次項(xiàng)展開公式應(yīng)用舉例四道習(xí)題詳解B9

高中數(shù)學(xué)：二次項(xiàng)展開公式應(yīng)用舉例※.已知(eq\f(a,90x)-eq\r(\f(x,2)))15的展開式中x3的系數(shù)為eq\f(7,4)，求常數(shù)a的值。解：展開式通式T?=C(15,r)*(eq\f(a,90x))eq\s\up10(15-r)*(-eq\r(\f(x,2)))r,=C(15,r)*aeq\s\up10(15-r)*(90x)eq\s\up10(r-15)*(-1)r*(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2)),=C(15,r)*(-1)r*aeq\s\up10(15-r)*90eq\s\up10(r-15)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-15),=C(15,r)*(-1)r*(eq\f(a,90))eq\s\up10(15-r)*(eq\f(1,2))eq\s\up20(\f(r,2))*xeq\s\up20(eq\f(3r,2)-15),根據(jù)題意有：eq\f(3r,2)-15=6,求出r=14，代入有：15-r=15-14=1,C(15,r)=C(15,14)=15，(-1)r=(-1)14=1，(eq\f(x,2))eq\s\up20(\f(r,2))=(eq\f(1,2))7,根據(jù)系數(shù)關(guān)系有：15*eq\f(a,90)*(eq\f(1,2))7=eq\f(7,4),即：a=eq\f(7,4)*27*eq\f(90,15)=1344.※.若(2x4+eq\f(2,x))n的展開式各系數(shù)的和為1024，則n和展開式的常數(shù)項(xiàng)分別是多少？解：求n時使用特殊值法計算，取x=1時，有：(2+2)n=1024,即可求出n=5.本題展開式通式為：T?=C(5,r)*(2x4)5-r*(eq\f(2,x))r=C(5,r)*25-r*x4*5-4r*2r*x-r=C(5,r)*25-r*2r*x4*5-4r-r因?yàn)榍蟪?shù)，所以：4*5-4r-r=0，即r=4，則此時的系數(shù)為：T?=C(5,r)*25-r*2r=C(5,4)*25-4*24=5*2*16=160.※.求二項(xiàng)展開式(2x+1)?中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和。解：根據(jù)題意，設(shè)：(2x+1)?=a?x?+a?x?+a?x3+a?x2+a?x+a?,偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)是a?，a?，a?，分別令x=1和x=-1，有：(2+1)?=a?+a?+a?+a?+a?+a?,(2-1)?=-a?+a?-a?+a?-a?+a?,兩式子相加有：2(a?+a?+a?)=(2+1)?+(2-1)?,即：2(a?+a?+a?)=243+1,2(a?+a?+a?)=244,所以：a?+a?+a?=122?！?在(2-x)6*(45+27x)展開式中,x3的系數(shù)是多少？解：對(2-x)6來說，展開通項(xiàng)有：T?=C(6,r)*26-r*(-x)r=C(6,r)*26-r*(-1)r*xr題意要求x3的系數(shù)，考慮到45+27x有常數(shù)項(xiàng)和x的一次項(xiàng)，所以系數(shù)是兩個系數(shù)的和，分別為r=3和r=2，則：T=T?+T?=45*C