2025屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2025屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)一模試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，集合，，則（）A． B．C． D．2．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．3．已知滿足，則（）A． B． C． D．4．盒中有6個小球，其中4個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時盒中黑球的個數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，5．“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟(jì)融合、文化包容的命運(yùn)共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設(shè)成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是()A．這五年，出口總額之和比進(jìn)口總額之和大B．這五年，2015年出口額最少C．這五年，2019年進(jìn)口增速最快D．這五年，出口增速前四年逐年下降6．若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．7．以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．08．如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額（單位：億元）的折線圖．則下列結(jié)論中表述不正確的是()A．從2000年至2016年，該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額逐年增加；B．2011年該地區(qū)環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2000年至2004年的投資總額還多；C．2012年該地區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施的投資額比2004年的投資額翻了兩番；D．為了預(yù)測該地區(qū)2019年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量t的值依次為）建立了投資額y與時間變量t的線性回歸模型，根據(jù)該模型預(yù)測該地區(qū)2019的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額為256.5億元.9．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且，則()A．9 B．5 C．2或9 D．1或510．是平面上的一定點，是平面上不共線的三點，動點滿足，，則動點的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心11．已知，則的值等于（）A． B． C． D．12．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a214．在中，，，則_________.15．設(shè)直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.16．根據(jù)如圖所示的偽代碼，若輸出的的值為，則輸入的的值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，三棱柱中，平面，點，分別在線段，上，且，，是線段的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時，的最大值為，求證：.19．（12分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點是棱的中點，，.（1）若，證明：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.20．（12分）如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點，.（1）若，求直線AP與平面所成角；（2）在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的實數(shù)m，都有，并證明你的結(jié)論.21．（12分）已知拋物線與直線.（1）求拋物線C上的點到直線l距離的最小值；（2）設(shè)點是直線l上的動點，是定點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點為A，B，求證A，Q，B共線；并在時求點P坐標(biāo).22．（10分）已知函數(shù).其中是自然對數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.2、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

利用兩角和與差的余弦公式展開計算可得結(jié)果.【詳解】，.故選：A.【點睛】本題考查三角求值，涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項.【詳解】表示取出的為一個白球，所以.表示取出一個黑球，，所以.表示取出兩個球，其中一黑一白，，表示取出兩個球為黑球，，表示取出兩個球為白球，，所以.所以，.故選：C【點睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計算，屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)的含義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對A項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額和進(jìn)口額基本相等，而2016年到2019年出口額都大于進(jìn)口額，則A正確；對B項，由統(tǒng)計圖可得，2015年出口額最少，則B正確；對C項，由統(tǒng)計圖可得，2019年進(jìn)口增速都超過其余年份，則C正確；對D項，由統(tǒng)計圖可得，2015年到2016年出口增速是上升的，則D錯誤；故選：D【點睛】本題主要考查了根據(jù)條形統(tǒng)計圖和折線統(tǒng)計圖解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍．【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運(yùn)用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應(yīng)是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1；兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越弱，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機(jī)變量的觀測值來說，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關(guān)系數(shù)、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解析】

根據(jù)圖像所給的數(shù)據(jù)，對四個選項逐一進(jìn)行分析排除，由此得到表述不正確的選項.【詳解】對于選項，由圖像可知，投資額逐年增加是正確的.對于選項，投資總額為億元，小于年的億元，故描述正確.年的投資額為億，翻兩翻得到，故描述正確.對于選項，令代入回歸直線方程得億元，故選項描述不正確.所以本題選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析能力，考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測的方法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)漸近線方程求得，再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎(chǔ)題.10、B【解析】

解出，計算并化簡可得出結(jié)論．【詳解】λ（），∴，∴，即點P在BC邊的高上，即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．故選B．【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計算是關(guān)鍵．11、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導(dǎo)公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點睛】本題考查了學(xué)生對二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡單題12、B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.【詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系，以及充要條件的判斷，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關(guān)鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結(jié)論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-2【解析】試題分析：∵a2考點：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式14、【解析】

先由題意得：，再利用向量數(shù)量積的幾何意義得，可得結(jié)果.【詳解】由知：，則在方向的投影為，由向量數(shù)量積的幾何意義得：，∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應(yīng)用，考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

不妨設(shè)雙曲線，焦點，令，由的長為實軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線，焦點，對稱軸，由題設(shè)知，因為的長為實軸的二倍，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.16、【解析】

算法的功能是求的值，根據(jù)輸出的值，分別求出當(dāng)時和當(dāng)時的值即可得解．【詳解】解：由程序語句知：算法的功能是求的值，當(dāng)時，，可得：，或（舍去）；當(dāng)時，，可得：（舍去）．綜上的值為：．故答案為：．【點睛】本題考查了選擇結(jié)構(gòu)的程序語句，根據(jù)語句判斷算法的功能是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點為，根據(jù)幾何關(guān)系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求得直線的方向向量和平面的法向量，即可求得線面角的正弦值.【詳解】（Ⅰ）取的中點，連接，.如下圖所示：因為，分別是線段和的中點，所以是梯形的中位線，所以.又，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以，.所以四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因為，且平面，故可以為原點，的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)，則，所以，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查由線線平行推證線面平行，以及用向量法求解線面角，屬綜合中檔題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，所以故，，代入點斜式可得曲線在處的切線方程；（Ⅱ）由題（1）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增.則函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時，令，即，令，即（i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時，由的單調(diào)性可得在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上的最小值是（Ⅲ）當(dāng)時，令，則是單調(diào)遞減函數(shù).因為，，所以在上存在，使得，即討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得最大值是因為，所以由此可證試題解析：（Ⅰ）因為函數(shù)，且，所以，所以所以，所以曲線在處的切線方程是，即（Ⅱ）因為函數(shù)，所以（1）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上的最小值是（2）當(dāng)時，令，即，所以令，即，所以（i）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（ii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值是（iii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以在上的最小值是綜上所述，當(dāng)時，在上的最小值是當(dāng)時，在上的最小值是當(dāng)時，在上的最小值是（Ⅲ）因為函數(shù)，所以所以當(dāng)時，令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).因為，，所以在上存在，使得，即所以當(dāng)時，；當(dāng)時，即當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，取得最大值是因為，所以因為，所以所以19、（1）見解析（2）【解析】

(1)由已知可證得平面,則有,在中,由已知可得,即可證得平面,進(jìn)而證得結(jié)論.(2)過作交于,由為的中點,結(jié)合已知有平面.則,可求得.建立坐標(biāo)系分別求得面的法向量,平面的一個法向量為,利用公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：平面，平面，,又四邊形為正方形，.又、平面，且，平面..中，，為的中點，.又、平面，，平面.平面，平面平面.（2）解：過作交于，如圖為的中點，，.又平面，平面.，.所以,又、、兩兩互相垂直，以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，設(shè)平面的法向量，則，即.令，則，..平面的一個法向量為.二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明方法,考查了空間線線、線面、面面位置關(guān)系，考查利用向量法求二面角的方法,難度一般.20、（1）；（2）存在，Q為線段中點【解析】

解法一：（1）作出平面與平面的交線，可證平面，計算，，得出，從而得出的大小；（2）證明平面，故而可得當(dāng)Q為線段的中點時.解法二，以為原點，以為建立空間直角坐標(biāo)系：（1）由，利用空間向量的數(shù)量積可求線面角；（2）設(shè)上存在一定點Q，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為，可得，由向量垂直，數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】（1）解法一：連接交于，設(shè)與平面的公共點為，連接，則平面平面，四邊形是正方形，，平面，平面，，又，平面，為直線AP與平面所成角，平面，平面，平面平面，，又為的中點，，，，直線AP與平面所成角為.（2）四邊形正方形，，平面，平面，，又,平面，又平面，，當(dāng)Q為線段中點時，對于任意的實數(shù)，都有.解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，又由，，則為平面的一個法向量，設(shè)直線AP與平面所成角為，則，故當(dāng)時，直線AP與平面所成角為.（2）若在上存在一定點Q，設(shè)此點的橫坐標(biāo)為，則，，依題意，對于任意的實數(shù)要使，等價于，即，解得，即當(dāng)Q為線段中點時，對于任意的實數(shù)，都有.【點睛