高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練27最值、范圍問(wèn)題含答案及解析

2025二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練27最值、范圍問(wèn)題[考情分析]解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)模塊，最值、范圍問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)，在解答題中一般會(huì)綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大，多次以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、最值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法一是幾何方法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為關(guān)于某個(gè)(些)變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．二、范圍問(wèn)題范圍問(wèn)題的求解策略解決有關(guān)范圍問(wèn)題時(shí)，先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)、角、斜率等)，其方法有：(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等式；(2)利用已知參數(shù)的取值范圍；(3)利用隱含的不等關(guān)系；(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式；(5)利用函數(shù)值域的求法．一、單選題1．（22-23高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．4 C．6 D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·山東煙臺(tái)·二模）已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．C．當(dāng)P為C與的交點(diǎn)時(shí)， D．的最小值為14．（24-25高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是左、右焦點(diǎn)為，的橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和三、填空題5．（23-24高二上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）過(guò)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)分別向圓：和圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為.6．（22-23高三上·安徽阜陽(yáng)·期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為為C上一點(diǎn)滿足，則C的離心率取值范圍是．四、解答題7．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率為12．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立．若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．5 B． C． D．62．（21-22高二上·陜西西安·期末）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．63．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積分別為和，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．85．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．26．（21-22高二·江蘇·假期作業(yè)）已知雙曲線：，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為C．與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線一定沒(méi)有交點(diǎn)D．若直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍為三、填空題7．（23-24高二上·重慶沙坪壩·期中）若P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最大值為．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.9．（2023·浙江·一模）已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)P使得，則a的取值范圍是．四、解答題10．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知，是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2022·江蘇鹽城·三模）已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)，時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)若，求面積的最小值．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（22-23高三上·山西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．64 B．54 C．50 D．482．（2023·河北邯鄲·三模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．（2023·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·河北唐山·二模）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過(guò)時(shí)，光由所經(jīng)過(guò)的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則5．（23-24高二上·廣西南寧·期中）已知橢圓，、分別為它的左右焦點(diǎn)，、分別為它的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1B．的最小值為C．若為直角三角形，則的面積為D．的范圍為6．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，則（）A．的最小值為8B．為定值C．若直線與雙曲線相切，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為；D．若直線經(jīng)過(guò)，且與雙曲線交于另一點(diǎn)，則的最小值為.三、填空題7．（2023·遼寧·一模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、在橢圓C上，滿足，，若橢圓C的離心率，則實(shí)數(shù)λ取值范圍為.8．（21-22高二上·江西撫州·階段練習(xí)）橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的取值范圍是.9．（2022高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題10．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率為12．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立．若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2023·廣西柳州·二模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于.(1)求直線斜率的取值范圍；(2)證明：存在定點(diǎn)，使得，且.12．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為上一動(dòng)點(diǎn)，且異于兩點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點(diǎn)，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.13．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．14．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知橢圓，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，垂足為點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的取值范圍．

2025二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練27最值、范圍問(wèn)題[考情分析]解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)模塊，最值、范圍問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)，在解答題中一般會(huì)綜合考查直線、圓、圓錐曲線等，試題難度較大，多次以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、最值問(wèn)題圓錐曲線中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法一是幾何方法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為關(guān)于某個(gè)(些)變量的函數(shù)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解．二、范圍問(wèn)題范圍問(wèn)題的求解策略解決有關(guān)范圍問(wèn)題時(shí)，先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?如點(diǎn)的坐標(biāo)、角、斜率等)，其方法有：(1)利用判別式來(lái)構(gòu)造不等式；(2)利用已知參數(shù)的取值范圍；(3)利用隱含的不等關(guān)系；(4)利用已知不等關(guān)系構(gòu)造不等式；(5)利用函數(shù)值域的求法．一、單選題1．（22-23高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．4 C．6 D．2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上異于的一點(diǎn)．若橢圓的離心率的取值范圍是，則直線，斜率之積的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2023·山東煙臺(tái)·二模）已知雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．雙曲線C的離心率為 B．C．當(dāng)P為C與的交點(diǎn)時(shí)， D．的最小值為14．（24-25高二上·重慶渝中·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是左、右焦點(diǎn)為，的橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點(diǎn)有6個(gè)C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和三、填空題5．（23-24高二上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）過(guò)橢圓上一動(dòng)點(diǎn)分別向圓：和圓：作切線，切點(diǎn)分別為，，則的取值范圍為.6．（22-23高三上·安徽阜陽(yáng)·期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為為C上一點(diǎn)滿足，則C的離心率取值范圍是．四、解答題7．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率為12．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立．若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（22-23高二下·浙江杭州·期末）設(shè)拋物線，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)，.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知點(diǎn)，直線，分別與拋物線交于點(diǎn)，.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②求與面積之和的最小值.參考答案：題號(hào)1234答案DDACDBCD1．D【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化，再結(jié)合圖象，求的最小值，再聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立.而直線的方程為，由可得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為32,所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為32,12時(shí)，的最小值為故選：D.2．D【分析】先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將的坐標(biāo)代入方程中，相減，構(gòu)造出直線，的斜率，相乘轉(zhuǎn)化只含有的表達(dá)式，再根據(jù)的關(guān)系以及橢圓的離心率的取值范圍是建立不等式，求出直線，斜率之積的取值范圍即可.【詳解】設(shè)，由直線與橢圓交于兩點(diǎn)可知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以且，由題意知：，兩式相減得：，即，又，由橢圓的離心率的取值范圍是，即，所以，即，故選：D.3．ACD【分析】根據(jù)題意中的點(diǎn)求出雙曲線方程，結(jié)合離心率的定義即可判斷A；根據(jù)雙曲線的漸近線，結(jié)合圖形即可判斷B；根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可判斷C；由兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】A：由題意，，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為，得其離心率為，故A正確；B：由A選項(xiàng)的分析知，雙曲線的漸近線方程為，如圖，，所以，得，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)P為雙曲線和橢圓在第一象限的交點(diǎn)時(shí)，由橢圓和雙曲線的定義知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正確；D：設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD.4．BCD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積的相關(guān)結(jié)論即可判斷A；結(jié)合橢圓性質(zhì)可判斷B；結(jié)合橢圓定義可求線段和差的最值，判斷CD.【詳解】A選項(xiàng)：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)或時(shí)為直角三角形，這樣的點(diǎn)有4個(gè)，設(shè)橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，，則,同理，知，所以當(dāng)位于橢圓的上、下頂點(diǎn)時(shí)也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點(diǎn)有6個(gè)，故B正確；C選項(xiàng)：由于，所以當(dāng)最小即時(shí)，取得最大值，故C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，又，則的最大、最小值分別為和，當(dāng)點(diǎn)位于直線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：BCD5．【分析】易知兩圓的圓心為橢圓的兩焦點(diǎn)，由勾股定理可得，，由橢圓的定義可得，設(shè)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】，，，易知、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，

根據(jù)橢圓定義，設(shè)，則，即，則，當(dāng)時(shí)，取到最小值．當(dāng)時(shí)，取到最大值．故的取值范圍為：.故答案為：.6．【分析】設(shè)，，利用余弦定理可得，再結(jié)合基本不等式推出，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓C的方程為，設(shè)，，則，在中，，有,得，即，故，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，即，故，解得，由，所以C的離心率取值范圍是，故答案為：7．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪?，故，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).8．(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②.【分析】（1）利用弦長(zhǎng)求解p，即可求解拋物線方程；（2）（i）設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，韋達(dá)定理找到坐標(biāo)關(guān)系，表示出直線方程，即可求出定點(diǎn)；（ii）利用面積分割法求出兩個(gè)三角形面積表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由題意，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，代入拋物線方程得，則，所以，即，所以拋物線.（2）（i）設(shè)，，直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，.設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立，得，因此，，則.同理可得.所以.因此直線，由對(duì)稱(chēng)性知，定點(diǎn)在軸上，令得，，所以直線過(guò)定點(diǎn).（ii）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．5 B． C． D．62．（21-22高二上·陜西西安·期末）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．63．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積分別為和，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（23-24高二上·江西·階段練習(xí)）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B．3 C．6 D．85．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．26．（21-22高二·江蘇·假期作業(yè)）已知雙曲線：，下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為C．與雙曲線的漸近線平行的直線與雙曲線一定沒(méi)有交點(diǎn)D．若直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍為三、填空題7．（23-24高二上·重慶沙坪壩·期中）若P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，，則的最大值為．8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，則的最小值為.9．（2023·浙江·一模）已知，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，且C上存在點(diǎn)P使得，則a的取值范圍是．四、解答題10．（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知，是過(guò)點(diǎn)的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)若線段，的中點(diǎn)分別為M，N，證明直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（2022·江蘇鹽城·三模）已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，漸近線方程為，直線是雙曲線右支的一條切線，且與的漸近線交于A，B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值．12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)，時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)若，求面積的最小值．參考答案：題號(hào)123456答案BABBCBCABD1．B【分析】由題意設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，作出圖形，結(jié)合圖形和橢圓的定義可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到最大值.【詳解】由題意知，，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，如圖，P為C上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，，半徑為1，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：B2．A【分析】由雙曲線方程求出，再根據(jù)點(diǎn)在雙曲線的兩支之間，結(jié)合可求得答案【詳解】由，得，則，所以左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的兩支之間，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故選：A3．B【分析】設(shè)出直線，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，得，，，利用基本不等式即可求出最值.【詳解】由題意得：，設(shè)直線，聯(lián)立得：，設(shè)，不妨令，則，故，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B4．BC【分析】根據(jù)到焦點(diǎn)距離的范圍求解即可.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：BC.5．BC【分析】設(shè)直線方程，并與拋物線聯(lián)立方程，再用根的判別式來(lái)處理，即可求得斜率范圍.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，

準(zhǔn)線為，Q點(diǎn)的坐標(biāo)，又直線l過(guò)點(diǎn)Q，且斜率必存在，可設(shè)l：，聯(lián)立，可得，當(dāng)時(shí)，得，即交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，由得，即，解得，或，綜上，k的取值范圍是．故選：BC.6．ABD【分析】A選項(xiàng)，利用焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解；C選項(xiàng)，與漸近線平行的直線與雙曲線有一個(gè)焦點(diǎn)；D選項(xiàng)，直線的斜率與漸近線斜率相比較，得到的取值范圍．【詳解】解：對(duì)于，由雙曲線：，則，，所以其漸近線方程為，故A正確；對(duì)于B，由雙曲線：，則，，，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其漸近線方程為，所以一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故B正確；對(duì)于C，與漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故C不正確；對(duì)于D，若直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，則的斜率應(yīng)該和雙曲線漸近線斜率比較，則或，故D正確．故選：ABD．7．4【分析】令，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式有，結(jié)合橢圓的有界性求最大值.【詳解】令，則，又，所以，又，當(dāng)時(shí)，的最大值為4.故答案為：48．【分析】設(shè)，求出到圓的圓心的距離的最小值，然后根據(jù)勾股定理求解MA的最小值．【詳解】設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取最小值.又由圓的切線性質(zhì)可得此時(shí).故答案為：9．【分析】根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得，即得.【詳解】因?yàn)?，雙曲線，又，所以，，又，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.10．(1)；(2)證明見(jiàn)解析；定點(diǎn).【分析】（1）根據(jù)直線，均與橢圓相交，聯(lián)立方程利用求解；（2）利用韋達(dá)定理分別求M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程判斷定點(diǎn)．【詳解】（1）根據(jù)題意直線，的斜率均存在且不為0直線，分別為，，聯(lián)立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設(shè)，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡(jiǎn)整理得因此直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．11．(1)(2)2【分析】（1）由漸近線可得，再把點(diǎn)代入方程即可解得；（2）點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的即為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理可求，分析求解即可，但要注意討論直線的斜率是否存在．【詳解】（1）由題設(shè)可知，解得則：．（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，則直線：易知點(diǎn)到軸的距離為﹔當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，聯(lián)立，整理得，，整理得聯(lián)立，整理得，則，則，即則，即∴此時(shí)點(diǎn)到軸的距離大于2；綜上所述，點(diǎn)到軸的最小距離為2．12．(1)(2)【分析】（1）已知條件直線的解析式為，設(shè)Ax1,y1，B（2）利用得到m，n的關(guān)系，利用面積公式將的面積表示為關(guān)于n的函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）當(dāng)，時(shí)，直線的解析式為．設(shè)Ax1,y1，Bx2，，，解得．，，整理得，解得（舍負(fù)），拋物線的方程為．（2）由（1）知，，設(shè)Ax1,y1消去并整理得，，，，．，，即，整理得．將，，代入上式得．又，，且，解得或．點(diǎn)到直線的距離，，的面積．又或，當(dāng)時(shí)，的面積最小，且最小面積為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時(shí)需先換元后再求最值）．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（22-23高三上·山西·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．64 B．54 C．50 D．482．（2023·河北邯鄲·三模）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則（）的最小值是（

）A． B．2 C．4 D．163．（2023·安徽蚌埠·一模）若橢圓上存在兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2022·河北唐山·二模）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線m交雙曲線右支于點(diǎn)P，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線n的反向延長(zhǎng)線過(guò)左焦點(diǎn)．若雙曲線C的方程為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．當(dāng)n過(guò)時(shí)，光由所經(jīng)過(guò)的路程為13C．射線n所在直線的斜率為k，則D．若，直線PT與C相切，則5．（23-24高二上·廣西南寧·期中）已知橢圓，、分別為它的左右焦點(diǎn)，、分別為它的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為3，最小值為1B．的最小值為C．若為直角三角形，則的面積為D．的范圍為6．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線的右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，則（）A．的最小值為8B．為定值C．若直線與雙曲線相切，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為；D．若直線經(jīng)過(guò)，且與雙曲線交于另一點(diǎn)，則的最小值為.三、填空題7．（2023·遼寧·一模）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、在橢圓C上，滿足，，若橢圓C的離心率，則實(shí)數(shù)λ取值范圍為.8．（21-22高二上·江西撫州·階段練習(xí)）橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的取值范圍是.9．（2022高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交雙曲線左支于，兩點(diǎn)，則的最小值為．四、解答題10．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率為12．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），的面積為．(1)求橢圓的方程．(2)過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)，使得恒成立．若存在，求出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2023·廣西柳州·二模）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于.(1)求直線斜率的取值范圍；(2)證明：存在定點(diǎn)，使得，且.12．（23-24高三下·江西撫州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為上一動(dòng)點(diǎn)，且異于兩點(diǎn).(1)求的離心率；(2)若△的重心為，點(diǎn)，求的最小值；(3)若△的垂心為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.13．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．14．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知橢圓，直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，垂足為點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)求面積的取值范圍．參考答案：題號(hào)123456答案CCBCDACDAB1．C【分析】利用韋達(dá)定理表示出弦長(zhǎng)和，利用基本不等式可求最小值.【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以直線，斜率存在，且均不為0.設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，所以，因?yàn)?，所以將中的替換為可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故的最小值是50.故選:C.2．C【分析】由題意求出點(diǎn)P的軌跡方程，則可以看成圓上動(dòng)點(diǎn)與定直線上動(dòng)點(diǎn)的距離，求得其最小值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，?dòng)點(diǎn)滿足，則，整理得，可以看成圓上動(dòng)點(diǎn)與定直線上動(dòng)點(diǎn)的距離，其最小值為圓心到直線的距離減去圓的半徑2，即，因此，的最小值是，故選：C.3．B【分析】利用點(diǎn)差法可得直線AB的斜率，從而可得AB垂直平分線直線方程，由點(diǎn)P在AB垂直平分線上，結(jié)合AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)可解.【詳解】記中點(diǎn)為，則，由題意點(diǎn)在線段的中垂線上，將坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減可得，所以，得，所以的中垂線的方程為，令得，由題意，，故，所以所以故選：B.4．CD【分析】對(duì)于A：判斷出，由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對(duì)于B：利用雙曲線的定義直接求得；對(duì)于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到n所在直線的斜率的范圍；對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.利用相切解得，進(jìn)而求出.即可求出.【詳解】對(duì)于A：若，則.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以.由勾股定理得：二者聯(lián)立解得：.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：光由所經(jīng)過(guò)的路程為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線的方程為.設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為A、B.如圖示：當(dāng)與同向共線時(shí)，的方向?yàn)?，此時(shí)k=0，最小.因?yàn)镻在雙曲線右支上，所以n所在直線的斜率為.即.故C正確.對(duì)于D：設(shè)直線PT的方程為.，消去y可得：.其中，即，解得代入，有，解得：x=9.由P在雙曲線右支上，即，解得：（舍去），所以.所以.故D正確故選：CD5．ACD【分析】對(duì)于A,利用焦半徑的范圍求解即可；對(duì)于B，利用位于橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大求解即可；對(duì)于C，利用點(diǎn)坐標(biāo)求的面積即可；對(duì)于D，設(shè)利用二次函數(shù)求的范圍即可.【詳解】對(duì)A，易知，則，故A正確；對(duì)B，位于橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)最小，且故此時(shí)為等邊三角形，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若為直角三角形，由B知，，所以或，不妨設(shè)，則此時(shí)點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入，得，故的面積為：，故C正確；對(duì)D，,設(shè)則，由得：，故，故，故D正確.故選：ACD6．AB【分析】設(shè)，由，可判定A正確；化簡(jiǎn)，可判定B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，得到，在化簡(jiǎn)，可判定C不正確；根據(jù)通經(jīng)長(zhǎng)和實(shí)軸長(zhǎng)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由題意，雙曲線，可得，則，所以焦點(diǎn)，且，設(shè)，則，且，即，雙曲線的兩條漸近線的方程為，對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，（定值），所以B正確；對(duì)于C中，不妨設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，若直線與雙曲線相切，則，整理得，聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，解得，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為所以C不正確；對(duì)于D中，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，則通經(jīng)最短，其中通經(jīng)長(zhǎng)為，若點(diǎn)在雙曲線的左支上，則實(shí)軸最短，實(shí)軸長(zhǎng)為，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.7．【分析】先寫(xiě)出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓C方程即可化簡(jiǎn)出實(shí)數(shù)λ與離心率的關(guān)系，從而得到實(shí)數(shù)λ取值范圍.【詳解】根據(jù)題意知，由得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.由知，且，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓C方程得，整理得，即，所以.又因?yàn)?，所以，即?shí)數(shù)λ取值范圍為.故答案為：.8．【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則有，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?，所以，所以，即，所以的取值范圍?故答案為：.9．22【分析】由雙曲線的定義可得，，據(jù)此，再由兩點(diǎn)的位置特征可得是雙曲線的通徑時(shí)，最小，從而可得答案.【詳解】根據(jù)雙曲線，得，，由雙曲線的定義可得：①，②，①+②可得：，由于過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)的直線交雙曲線的左支于，兩點(diǎn)，可得，即有．則，當(dāng)是雙曲線的通徑時(shí)最小，故.故答案為：2210．(1)(2)存在，使得恒成立.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程并消元，結(jié)合韋達(dá)定理和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可用表示，再根據(jù)可求的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，故，，其中為半焦距，所以，故，故，所以，，故橢圓方程為：.（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：，設(shè)，由可得，故且而，故，因?yàn)楹愠闪?，故，解?若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線的斜率不存在，則或，此時(shí)需，兩者結(jié)合可得.綜上，存在，使得恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).11．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由拋物線過(guò)可求得拋物線方程，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立，由可得的范圍，并確定韋達(dá)定理結(jié)論；根據(jù)可求得且，由此可確定的范圍；（2）易知在軸上，設(shè)，利用向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算可得，，求得方程后，令可推導(dǎo)得到，同理得到，代入中，整理后代入韋達(dá)定理的結(jié)論可構(gòu)造方程求得的值，從而確定定點(diǎn).【詳解】（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，解得：，拋物線；由題意知：直線斜率存在，設(shè)，，，由y=kx+1x2，解得：或；，x1x2=?4k，，又直線與軸相交于兩點(diǎn)，，即，解得：且；綜上所述：直線斜率的取值范圍為.（2）設(shè)點(diǎn)，，由，，知：共線，即在軸上，則可設(shè)，，，，，，同理可得：，，直線，令得：，同理可得：，，，由（1）知：，x1x，解得：，存在定點(diǎn)滿足題意.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中存在定點(diǎn)滿足某條件的問(wèn)題，求解此類(lèi)問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出所求量，將所求量轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的函數(shù)的形式或構(gòu)造方程；④化簡(jiǎn)所得函數(shù)式或方程，整理可得定點(diǎn)坐標(biāo).12．(1)(2)(3)（去除點(diǎn)）.【分析】（1）將點(diǎn)代入雙曲線的方程求出值，即可求得的離心率；（2）根據(jù)三角形的重心公式求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出的最小值；（3）根據(jù)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，