理論力學(xué)課件 第二章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)1

理論力學(xué)ClassicalMechanics2024第二章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述現(xiàn)象：基于定量測(cè)量的運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1解釋機(jī)制：基于因果關(guān)系的動(dòng)力學(xué)2.2增加對(duì)象：多質(zhì)點(diǎn)共同運(yùn)動(dòng)的情況2.312.1描述現(xiàn)象：基于定量測(cè)量的運(yùn)動(dòng)學(xué)2.1.1變化：運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的本質(zhì)彈弓斷竹，續(xù)竹；飛土，逐宍?，F(xiàn)代：科學(xué)技術(shù)拋物系統(tǒng)技術(shù)賦能VS古代：經(jīng)驗(yàn)技藝天賦加持的技巧長(zhǎng)時(shí)間訓(xùn)練經(jīng)驗(yàn)槍械1、質(zhì)點(diǎn)理想模型：具有一定質(zhì)量，不考慮其形狀與大小的物體?？梢詫⑽矬w簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)的兩種情況：（1）物體不變形，只作平動(dòng)。（2）物體本身線度和它活動(dòng)范圍相比小得很多。2.1.1變化：運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的本質(zhì)2.1.1變化：運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的本質(zhì)(1)質(zhì)點(diǎn)位置由其相對(duì)距離和方向確定(2)任一時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)只能占據(jù)一個(gè)空間位置(3)質(zhì)點(diǎn)不能瞬間從一個(gè)位置跳轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，最明顯的變化是它的位置改變。運(yùn)動(dòng)時(shí)，最顯著的特點(diǎn)是對(duì)象的某些屬性在發(fā)生變化單值連續(xù)矢量函數(shù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

2.質(zhì)點(diǎn)位置的變化—位移2.1.2變量：位移、速度與加速度變化的定量描述（差值）：目標(biāo)量在末時(shí)刻的值減去其初始時(shí)刻值。質(zhì)點(diǎn)的位置變化被稱作位移：區(qū)分位移與路程:出租車計(jì)費(fèi)是按位移還是路程？2.1.2變量：位移、速度與加速度

2.位移的快慢—速度極限短時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位矢變化率:“瞬時(shí)速度”或簡(jiǎn)稱為“速度”。時(shí)光無(wú)法倒流速度的方向必然與位移的極限方向保持一致，當(dāng)兩點(diǎn)靠近時(shí)，的方向沿軌道的切線，速度的方向也沿著軌道的切線，指向位移方向。2.1.2變量：位移、速度與加速度

2.速度變化的快慢—加速度求加速度的方法與求速度類似，需要求速度矢量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為什么不定義加速度的變化快慢矢量？這與牛頓定律有關(guān)，力只與速度的變化快慢相關(guān)。2.1.2變量：位移、速度與加速度描述概念符號(hào)說(shuō)明位置位矢相對(duì)于參考點(diǎn)的距離和方向位置變化位移位矢的增加值位置變化快慢速度無(wú)限短時(shí)間內(nèi)的單位時(shí)間位移速度變化快慢加速度無(wú)限短時(shí)間內(nèi)的單位時(shí)間速度增長(zhǎng)變化增加值做減法，末時(shí)刻值減去初始時(shí)刻值瞬間變化無(wú)限短時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)對(duì)減法求極限瞬間變化率無(wú)限短時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)率對(duì)減法和除法的復(fù)合運(yùn)算求極限（求導(dǎo)）長(zhǎng)時(shí)間的變化瞬間增長(zhǎng)的長(zhǎng)時(shí)間積累求瞬間增長(zhǎng)率的長(zhǎng)期累積效果矢量及其運(yùn)算在運(yùn)動(dòng)描述中的核心地位2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

1.參考系經(jīng)驗(yàn)：遠(yuǎn)近和方向是相對(duì)的；定量地描述相對(duì)，需要一個(gè)參照物（參考點(diǎn)）；參考點(diǎn)，以及與參考點(diǎn)有幾何關(guān)系的所有點(diǎn)所構(gòu)成的空間，統(tǒng)稱為參考系。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

2.坐標(biāo)系參考系位矢速度加速度明確定量描述矢量運(yùn)算幾何方法代數(shù)方法坐標(biāo)系2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

2.坐標(biāo)系（1）直角坐標(biāo)系：基矢方向恒定且互相垂直恒定垂直單位矢量任意矢量可以用基矢量展開(kāi)變化的只有坐標(biāo)2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（1）直角坐標(biāo)系：基矢方向恒定且互相垂直①位矢質(zhì)點(diǎn)的位矢，將其用基矢展開(kāi)其坐標(biāo)表示為2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系②運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)的位矢隨時(shí)間的變化，用基矢展開(kāi)有運(yùn)動(dòng)方程的坐標(biāo)表示為③軌道方程消去時(shí)間t

（1）直角坐標(biāo)系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系④位移位移用基矢展開(kāi)有其坐標(biāo)表示為

（1）直角坐標(biāo)系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系⑤速度運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有其坐標(biāo)表示為

（1）直角坐標(biāo)系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有其坐標(biāo)表示為⑥加速度

（1）直角坐標(biāo)系：基矢方向恒定且互相垂直2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系例題2.1設(shè)橢圓規(guī)尺AB的端點(diǎn)A與B沿導(dǎo)槽Ox及Oy滑動(dòng)，而B(niǎo)以勻速度運(yùn)動(dòng)。求橢圓規(guī)尺上一點(diǎn)M的軌道方程、速度及加速度。設(shè)AM=a，BM=b，。解（1）軌道方程求軌道方程，就是求坐標(biāo)之間的關(guān)系。如圖所示，首先建立直角坐標(biāo)系。由幾何關(guān)系(1)消去可以得到軌道方程。(2)可見(jiàn)M點(diǎn)的軌道是一橢圓。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（2）速度和加速度由M的位置關(guān)系，即式(1)，兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可以建立M點(diǎn)的速度和角度變化之間的關(guān)系(3)其中，是未知量。類似地，B點(diǎn)也可以建立相應(yīng)關(guān)系,而且B點(diǎn)的速度為已知，所以對(duì)B點(diǎn)有(4)2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系求解可得(5)所以M點(diǎn)的速度為(6)M點(diǎn)的加速度為(7)2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（2）平面極坐標(biāo)系：動(dòng)態(tài)變化的基矢①

位矢②運(yùn)動(dòng)方程③速度變化量質(zhì)點(diǎn)P的位置用距離和角度

共同來(lái)確定。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系③速度

（2）平面極坐標(biāo)系：基矢的動(dòng)態(tài)變化基矢發(fā)生變化，首先確定其變化方向組成等腰三角形幾何方法代數(shù)方法2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系③速度

（2）平面極坐標(biāo)系：基矢的動(dòng)態(tài)變化基矢發(fā)生變化，再確定其變化大小對(duì)應(yīng)的三角形邊長(zhǎng)對(duì)于

的變化，

與

的方向相反徑向速度橫向速度2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（2）平面極坐標(biāo)系：基矢的動(dòng)態(tài)變化④加速度徑向加速度2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（2）平面極坐標(biāo)系：基矢的動(dòng)態(tài)變化④加速度的物理意義在紙面上繞參考點(diǎn)作橢圓運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)掃過(guò)的陰影扇形面積該扇形面積變化的瞬時(shí)速率——掠面速度2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化引入第三個(gè)坐標(biāo)來(lái)完整地描述立體空間中的點(diǎn)①

位矢②

速度③

加速度將柱坐標(biāo)系視為極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的融合2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化引入第三個(gè)坐標(biāo)來(lái)完整地描述立體空間中的點(diǎn)④角速度熟悉的角速度假設(shè)角速度不僅有大小，而且有明確的方向，為一矢量大小方向利用右手定則規(guī)定角速度矢量的方向2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化引入第三個(gè)坐標(biāo)來(lái)完整地描述立體空間中的點(diǎn)④角速度引入角速度矢量后，矢量變化的時(shí)間導(dǎo)數(shù)形式得到了統(tǒng)一。對(duì)于任意長(zhǎng)度固定、方向變化的矢量2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化引入第三個(gè)坐標(biāo)來(lái)完整地描述立體空間中的點(diǎn)④角速度矢量必須滿足代表其分解合成規(guī)律的加法法則角速度可分解，代表旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可分解，并遵循交換律表明轉(zhuǎn)動(dòng)的順序是可以交換的。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化④角速度宏觀旋轉(zhuǎn)的次序并不總是可交換的交換繞x軸和繞y軸的旋轉(zhuǎn)順序，所得結(jié)果并不相同.難道，為角速度添加方向并直接將其擴(kuò)展為矢量的做法可能并不合適?2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化④角速度角速度代表的是瞬時(shí)值，對(duì)應(yīng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)。定義一個(gè)無(wú)限小轉(zhuǎn)角矢量大小方向方向有幾何關(guān)系2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化④角速度如果質(zhì)點(diǎn)做一次無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)

，其位矢變化為緊接著，質(zhì)點(diǎn)再做一次無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)

，其位矢變化為2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化④角速度省略掉其中的二階小量可以得到我們交換轉(zhuǎn)動(dòng)的順序，先執(zhí)行轉(zhuǎn)動(dòng)2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系

（3）柱坐標(biāo)系：極坐標(biāo)的三維化④角速度再執(zhí)行轉(zhuǎn)動(dòng)省略掉其中的二階小量確認(rèn)無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)的順序是可交換，角速度可視為矢量。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。沿著固定軌道的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位矢

與弧長(zhǎng)

是一一對(duì)應(yīng)。自由空間中需用三個(gè)變量描述質(zhì)點(diǎn)位置，在固定軌道上只需一個(gè)變量。自然坐標(biāo)系：

以軌道上的任選點(diǎn)為原點(diǎn)，

以軌道弧長(zhǎng)S作為坐標(biāo)變量。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。回顧空間曲線的相關(guān)幾何概念：一個(gè)空間矢量的方向，可以通過(guò)其與主法線、切線（以及由它們決定的密切平面）、次法線和主法線（以及由它們決定的法平面）的關(guān)系來(lái)確定。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。P點(diǎn)附近的部分軌跡做放大展示，只要這一段曲線足夠短，我們就以認(rèn)為它處于平面內(nèi)。在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的切線

上建立第一個(gè)基矢在與其垂直的主法線

上建立第二個(gè)基矢類似柱坐標(biāo)系，利用這兩個(gè)基矢的外積構(gòu)造第三個(gè)基矢次法線

上的單位矢量。2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述?；复_定后，任何矢量均可以分解為對(duì)上式進(jìn)行求導(dǎo)，求矢量隨時(shí)間的變化計(jì)算上面的式子，需要對(duì)3個(gè)基矢進(jìn)行求導(dǎo)2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。自然坐標(biāo)系中矢量的運(yùn)動(dòng)變化2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。質(zhì)點(diǎn)曲線運(yùn)動(dòng)的信息被包含在了軌道長(zhǎng)度與切線方向的夾角關(guān)系之中。包含曲線形狀信息的變量使用

作為自變量表述基矢量變化更為常用2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。由于位移方向沿曲線切向：包含曲線形狀信息的變量據(jù)此進(jìn)一步導(dǎo)出速度和加速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式①速度2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。②加速度切向加速度法向加速度2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系（4）自然坐標(biāo)系：基于軌跡定基矢以終為始，利用運(yùn)動(dòng)的信息，來(lái)構(gòu)建專用坐標(biāo)系，簡(jiǎn)化描述。②加速度曲率半徑微分2.1.3描述：參考系與坐標(biāo)系例題2.2一質(zhì)點(diǎn)沿圓滾線的弧線運(yùn)動(dòng)，

b為常數(shù)。試證明如果為

常數(shù)，則其加速度亦為常數(shù)。式中

為圓滾線上某點(diǎn)P的切線與水平線（x軸）所成的角度，s為P點(diǎn)與曲線最低點(diǎn)之間的曲線弧長(zhǎng)。