新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對(duì)點(diǎn)題型第33講高考題中的解答題四（概率統(tǒng)計(jì)）（學(xué)生版）

高考題中的解答題四（概率統(tǒng)計(jì)）微專(zhuān)題(一)統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析(一)用樣本估計(jì)總體[典例]從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)頻數(shù)62638228(1)根據(jù)上表補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？方法技巧利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問(wèn)題的依據(jù)(1)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平；標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大?。畼?biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．(2)用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征．針對(duì)訓(xùn)練為了比較兩種復(fù)合材料制造的軸承(分別稱(chēng)為類(lèi)型Ⅰ軸承和類(lèi)型Ⅱ軸承)的使用壽命，檢驗(yàn)了兩種類(lèi)型軸承各30個(gè)，它們的使用壽命(單位：百萬(wàn)圈)如下表：類(lèi)型Ⅰ6.26.48.38.69.49.810.310.611.211.411.611.611.711.811.812.212.312.312.512.512.612.712.813.313.313.413.613.814.214.5類(lèi)型Ⅱ8.48.58.79.29.29.59.79.79.89.810.110.210.310.310.410.610.810.911.211.211.311.511.511.611.812.312.412.713.113.4根據(jù)上述表中的數(shù)據(jù)回答下列問(wèn)題：(1)對(duì)于類(lèi)型Ⅰ軸承，應(yīng)該用平均數(shù)還是中位數(shù)度量其壽命分布的中心？說(shuō)明理由；(2)若需要使用壽命盡可能大的軸承，從中位數(shù)或平均數(shù)的角度判斷，應(yīng)選哪種軸承？說(shuō)明理由；(二)一元線(xiàn)性回歸模型及其應(yīng)用[典例]某公司對(duì)某產(chǎn)品作市場(chǎng)調(diào)查，獲得了該產(chǎn)品的定價(jià)x(單位：萬(wàn)元/噸)和一天的銷(xiāo)量y(單位：噸)的一組數(shù)據(jù)，根據(jù)這組數(shù)據(jù)制作了如下統(tǒng)計(jì)表和散點(diǎn)圖．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,t)eq\o\al(2,i)eq\i\su(i＝1,10,x)iyieq\i\su(i＝1,10,t)iyi0.331030.16410068350表中t＝eq\f(1,x).(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))與eq\o(y,\s\up6(^))＝cx－1＋d哪一個(gè)更適合作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)若生產(chǎn)1噸該產(chǎn)品的成本為0.25萬(wàn)元，依據(jù)(2)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)計(jì)每噸定價(jià)多少時(shí)，該產(chǎn)品一天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).方法技巧求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟針對(duì)訓(xùn)練1．(2022·全國(guó)乙卷)某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10顆這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積(單位：m2)和材積量(單位：m3)，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．2．現(xiàn)代物流成為繼勞動(dòng)力、自然資源外影響企業(yè)生產(chǎn)成本及利潤(rùn)的重要因素．某企業(yè)去年前八個(gè)月的物流成本和企業(yè)利潤(rùn)的數(shù)據(jù)(單位：萬(wàn)元)如下表所示：月份12345678物流成本x8383.58086.58984.57986.5利潤(rùn)y114116106122132114m132殘差eq\o(e,\s\up6(^))i＝y(tǒng)i－eq\o(y,\s\up6(^))i0.20.61.8－3－1－4.6－1根據(jù)最小二乘法公式求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8.(1)求m的值，并利用已知的經(jīng)驗(yàn)回歸方程求出8月份對(duì)應(yīng)的殘差值eq\o(e,\s\up6(^))8；(2)請(qǐng)先求出線(xiàn)性回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝3.2x－151.8的決定系數(shù)R2(精確到0.0001)；若根據(jù)非線(xiàn)性模型y＝267.76lnx－1069.2求得解釋變量(物流成本)對(duì)于響應(yīng)變量(利潤(rùn))決定系數(shù)Req\o\al(2,0)＝0.9057，請(qǐng)說(shuō)明以上兩種模型哪種模型擬合效果更好？(3)通過(guò)殘差分析，懷疑殘差絕對(duì)值最大的那組數(shù)據(jù)有誤，經(jīng)再次核實(shí)后發(fā)現(xiàn)其真正利潤(rùn)應(yīng)該為116萬(wàn)元．請(qǐng)重新根據(jù)最小二乘法的思想與公式，求出新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．附1(修正前的參考數(shù)據(jù))：eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝78880，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝56528，eq\x\to(x)＝84，eq\i\su(i＝1,8,)(yi－eq\x\to(y))2＝904.附2：R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2).附3：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).(三)獨(dú)立性檢驗(yàn)[典例]2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告(2022)》顯示，北京冬奧會(huì)簽約了50家贊助企業(yè)，為了解這50家贊助企業(yè)每天的銷(xiāo)售額與每天線(xiàn)上銷(xiāo)售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對(duì)這50家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線(xiàn)上銷(xiāo)售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，剩下的企業(yè)中，每天的銷(xiāo)售額不足30萬(wàn)元的企業(yè)占這剩下的企業(yè)數(shù)量的eq\f(3,5)，統(tǒng)計(jì)后得到如下2×2列聯(lián)表.每天線(xiàn)上銷(xiāo)售時(shí)間每天銷(xiāo)售額合計(jì)不少于30萬(wàn)元不足30萬(wàn)元不少于8小時(shí)18不足8小時(shí)合計(jì)(1)完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷(xiāo)售額與每天線(xiàn)上銷(xiāo)售時(shí)間有關(guān)？(2)按每天線(xiàn)上銷(xiāo)售時(shí)間進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，在上述贊助企業(yè)中抽取5家企業(yè)，再?gòu)倪@5家企業(yè)中抽取2家企業(yè)，求抽取的2家企業(yè)中至少有1家企業(yè)每天線(xiàn)上銷(xiāo)售時(shí)間不少于8小時(shí)的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828方法技巧獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算．(3)比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷．針對(duì)訓(xùn)練(2022·昌吉質(zhì)檢)某中學(xué)組織一支“鄒鷹”志愿者服務(wù)隊(duì)，帶領(lǐng)同學(xué)們利用周末的時(shí)間深入居民小區(qū)開(kāi)展一些社會(huì)公益活動(dòng)．現(xiàn)從參加了環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助這兩項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng)的志愿者中，隨機(jī)抽取男生80人，女生120人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(假設(shè)每人只參加環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助中的一項(xiàng))，整理數(shù)據(jù)后得到如下統(tǒng)計(jì)表：女生男生合計(jì)環(huán)境保護(hù)8040120社會(huì)援助404080合計(jì)12080200(1)能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生參加社會(huì)公益活動(dòng)所選取的項(xiàng)目與學(xué)生性別有關(guān)？(2)從本校隨機(jī)抽取的120名參與了問(wèn)卷調(diào)查的女生中用分層隨機(jī)抽樣的方法，從參加環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助的同學(xué)中抽取6人開(kāi)座談會(huì)，現(xiàn)從這6人(假設(shè)所有的人年齡不同)中隨機(jī)抽取參加環(huán)境保護(hù)和社會(huì)援助的同學(xué)各1人，試求抽取的6人中參加社會(huì)援助的年齡最大的學(xué)生被選中且參加環(huán)境保護(hù)的年齡最大的學(xué)生未被選中的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k0)0.0250.0100.0050.001k05.0246.6357.87910.828eq\a\vs4\al([課時(shí)驗(yàn)收評(píng)價(jià)]綜合性考法針對(duì)練——統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析)1．自中國(guó)進(jìn)入工業(yè)化進(jìn)程以來(lái)，個(gè)人的文化水平往往影響或在某種程度上決定了個(gè)人的薪酬高低．將個(gè)人的文化水平用數(shù)字表示，記“沒(méi)有接受過(guò)系統(tǒng)學(xué)習(xí)或自學(xué)的成年人”為最低分25分，“頂級(jí)尖端人才”為最高分95分．為了分析A市居民的受教育程度，從A市居民中隨機(jī)抽取1000人的文化水平數(shù)據(jù)X，將樣本分成小學(xué)[25,35)，初中[35,45)，高中[45,55)，專(zhuān)科[55,65)，本科[65,75)，碩士[75,85)，博士[85,95]七組，整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(保留一位小數(shù))；(2)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，請(qǐng)估計(jì)該市居民的平均文化水平．2．(2022·晉中調(diào)研)在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或者對(duì)機(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱(chēng)為潛伏期．一研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了某地區(qū)1000名患者的相關(guān)信息，得到如下表格：潛伏期(單位：天)[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]人數(shù)501502003002006040(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均數(shù)值eq\x\to(x)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果四舍五入為整數(shù))；(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)8天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從上述1000名患者中抽取200人，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%的前提下，認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).潛伏期≤8天潛伏期＞8天合計(jì)50歲以上(含50歲)10050歲以下65合計(jì)200附：P(χ2≥k)0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.8793．某地面工作站有甲、乙兩個(gè)專(zhuān)門(mén)從事種子培育小組，為了比較他們的培育水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩個(gè)小組在過(guò)去一年里其中經(jīng)過(guò)15次各自培育的種子結(jié)果如下：(x，y)，(x，eq\x\to(y))，(x，y)，(eq\x\to(x)，y)，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，(x，y)，(x，y)，(x，eq\x\to(y))，(eq\x\to(x)，y)，(x，eq\x\to(y))，(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，(x，y)，(x，eq\x\to(y))，(eq\x\to(x)，y)，(x，y)，其中x，eq\x\to(x)分別表示甲組培育種子發(fā)芽與不發(fā)芽，y，eq\x\to(y)分別表示乙組培育種子發(fā)芽與不發(fā)芽．(1)根據(jù)上面這組數(shù)據(jù)，計(jì)算至少有一組種子發(fā)芽的條件下，甲、乙兩組同時(shí)都發(fā)芽的概率；(2)若某組成功培育一種新品種種子，則該組可直接為本次培育實(shí)驗(yàn)創(chuàng)造經(jīng)濟(jì)效益5萬(wàn)元，否則就虧損1萬(wàn)元，試分別計(jì)算甲、乙兩組種子培育的經(jīng)濟(jì)效益的平均數(shù)；(3)若某組成功培育一種新品種種子，單位獎(jiǎng)勵(lì)給該組1千元，否則獎(jiǎng)勵(lì)0元，分別計(jì)算甲、乙兩組的獎(jiǎng)金的方差，并且根據(jù)以上數(shù)據(jù)比較甲、乙兩組的種子培育水平．4．(2022·南京模擬)佩戴頭盔是一項(xiàng)對(duì)家庭與社會(huì)負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對(duì)此不斷進(jìn)行安全教育．下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年度2019202020212022年度序號(hào)x1234不戴頭盔人數(shù)y125010501000900(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)y與年度序號(hào)x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并估算該路口2023年不戴頭盔的人數(shù)；(2)交警統(tǒng)計(jì)2019～2022年通過(guò)該路口的開(kāi)電瓶車(chē)出事故的50人，分析不戴頭盔行為與事故是否傷亡的關(guān)系，得到下表，能否有95%的把握認(rèn)為不戴頭盔行為與事故傷亡有關(guān)？不戴頭盔戴頭盔傷亡73不傷亡13275．某團(tuán)隊(duì)收集了10組某作物畝化肥施用量和畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2,3，…，10，其中xi(單位：公斤)表示畝化肥施用量，yi(單位：百公斤)表示該作物畝產(chǎn)量．并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了一些統(tǒng)計(jì)量的值如下表所示：表中ti＝lnxi，zi＝lnyi，i＝1,2,3，…，10.通過(guò)對(duì)這10組數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)畝化肥施用量在合理范圍內(nèi)變化時(shí)，可用函數(shù)y＝cxd模擬該作物畝產(chǎn)量y關(guān)于畝化肥施用量x的關(guān)系.eq\i\su(i＝1,10,t)izieq\i\su(i＝1,10,t)ieq\i\su(i＝1,10,z)ieq\i\su(i＝1,10,t)eq\o\al(2,i)38.51517.547(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)實(shí)際生產(chǎn)中，在其他生產(chǎn)條件相同的條件下，出現(xiàn)了畝施肥量為30kg時(shí)，該作物畝產(chǎn)量?jī)H約為510kg的情況，請(qǐng)給出解釋?zhuān)?3)合理施肥、科學(xué)管理，能有效提高該作物的投資效益(投資效益＝產(chǎn)出與投入比)．經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)可知，該研究團(tuán)隊(duì)的投資效益ξ服從正態(tài)分布N(4,1)，政府對(duì)該研究團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若ξ≤3，則不予獎(jiǎng)勵(lì)；若3＜ξ≤6，則獎(jiǎng)勵(lì)10萬(wàn)元；若ξ＞6，則獎(jiǎng)勵(lì)30萬(wàn)元．求政府對(duì)該研究團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)金額的數(shù)學(xué)期望．附：①ln15≈2.7，ln30≈3.4；②若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(二)概率(一)古典概型的綜合問(wèn)題[例1]在二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開(kāi)式，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，有理項(xiàng)中恰有兩項(xiàng)相鄰的概率為()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C.eq\f(5,12) D．eq\f(15,28)[例2]正2022邊形A1A2…A2022內(nèi)接于單位圓O，任取其兩個(gè)不同頂點(diǎn)Ai，Aj，則|eq\o(OAi,\s\up7(→))＋eq\o(OAj,\s\up7(→))|≤1的概率是()A.eq\f(676,2021) B．eq\f(675,2021)C.eq\f(674,2021) D．eq\f(673,2021)[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)由|eq\o(OAi,\s\up7(→))＋eq\o(OAj,\s\up7(→))|≤1，得出cos∠AiOAj的范圍障礙點(diǎn)不能根據(jù)∠AiOAj的范圍確定∠AiOjAj的最小范圍方法技巧(1)利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率．(2)利用分析法求解古典概型．①任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個(gè)基本事件概率的和．②求試驗(yàn)的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法．針對(duì)訓(xùn)練1．傳說(shuō)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家在沙灘上面畫(huà)點(diǎn)或用小石子表示數(shù)，他們將1,3,6,10,15，…，eq\f(nn＋1,2)，稱(chēng)為三角形數(shù)；將1,4,9,16,25，…，n2，稱(chēng)為正方形數(shù)．現(xiàn)從200以?xún)?nèi)的正方形數(shù)中任取2個(gè)，則其中至少有1個(gè)也是三角形數(shù)的概率為()A.eq\f(25,91) B．eq\f(24,91)C.eq\f(23,78) D．eq\f(11,26)2．某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)博物館，采取競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司中選取一家建筑公司，經(jīng)過(guò)層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最后的招標(biāo)．現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專(zhuān)家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案：兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中各隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題回答，已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中，甲公司可正確回答其中的4道題目，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為eq\f(2,3)，甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立的，則甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率為()A.eq\f(1,45) B．eq\f(1,15)C.eq\f(1,10) D．eq\f(2,45)(二)條件概率[例1](2022·沈陽(yáng)一模)某次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，甲、乙兩個(gè)班的同學(xué)共同在一社區(qū)進(jìn)行民意調(diào)查．參加活動(dòng)的甲、乙兩班的人數(shù)之比為5∶3，其中甲班中女生占eq\f(3,5)，乙班中女生占eq\f(1,3).則該社區(qū)居民遇到一位進(jìn)行民意調(diào)查的同學(xué)恰好是女生的概率是__________．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)用符號(hào)表示事件隱藏點(diǎn)P(B|A1)＝eq\f(3,5)，P(B|A2)＝eq\f(1,3)遷移點(diǎn)全概率公式[例2](2022·新高考Ⅰ卷)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi))的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱(chēng)為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱(chēng)為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，eq\f(PB|A,P\x\to(B)|A)與eq\f(PB|\x\to(A),P\x\to(B)|\x\to(A))的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.①證明：R＝eq\f(PA|B,P\x\to(A)|B)·eq\f(P\x\to(A)|\x\to(B),PA|\x\to(B))；②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|eq\x\to(B))的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R的估計(jì)值．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828方法技巧求條件概率的常用方法定義法分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)樣本點(diǎn)法先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)針對(duì)訓(xùn)練1．(2022·泰安一模)(多選)甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則()A．P(A)＝eq\f(3,5) B．P(B|A)＝eq\f(2,5)C．P(B)＝eq\f(13,25) D．P(A|B)＝eq\f(9,13)2．根據(jù)社會(huì)人口學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，一個(gè)家庭有X個(gè)孩子的概率模型為：X1230Peq\f(α,p)αα(1－p)α(1－p)2其中α＞0,0＜p＜1.每個(gè)孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為eq\f(1,2)且相互獨(dú)立，事件Ai表示一個(gè)家庭有i個(gè)孩子(i＝0,1,2,3)，事件B表示一個(gè)家庭的男孩比女孩多(例如：一個(gè)家庭恰有一個(gè)男孩，則該家庭男孩多)(1)若p＝eq\f(1,2)，求α，并根據(jù)全概率公式P(B)＝eq\i\su(i＝0,3,P)(B|Ai)P(Ai)，求P(B)；(2)為了調(diào)控未來(lái)人口結(jié)構(gòu)，其中參數(shù)p受到各種因素的影響(例如，生育保險(xiǎn)的增加，教育、醫(yī)療福利的增加等)．若希望P(X＝2)增大，如何調(diào)控p的值？(三)相互獨(dú)立事件[典例]2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專(zhuān)業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑