高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題06 立體幾何中的翻折問題(原卷版)

第三篇立體幾何專題06立體幾何中的翻折問題常見考點(diǎn)考點(diǎn)一翻折問題典例1．如圖1五邊形中，，，，，將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖2，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且平面．（1）求證：平面；（2）若直線與所成角的正切值為，求二面角余弦值．變式1-1．如圖，在中，，，，，，沿將點(diǎn)折至處，使得，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.變式1-2．如圖，在等腰梯形ABCD中，，，，，AE為梯形ABCD的高，將沿AE折到的位置，使得．

（1）求證：平面ABCE；（2）求平面PBC與平面PAE所成二面角的余弦值．變式1-3．已知邊長為2的等邊（圖1），點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊、上的中點(diǎn)，將沿直線折到的位置，使得平面平面（圖2），此時點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊、上的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.典例2．如圖1，在高為6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，將它沿對稱軸OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如圖2，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上(不同于A，B兩點(diǎn))，連接OE并延長至點(diǎn)Q，使AQ∥OB.（1）證明：OD⊥平面PAQ；（2）若BE＝2AE，求二面角C-BQ-A的余弦值．變式2-1．如圖1，四邊形是正方形，四邊形和是菱形，，.分別沿，將四邊形和折起，使、重合于，、重合于，得到如圖2所示的幾何體.在圖2中，、分別是、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.變式2-2．如圖，已知四邊形是邊長為的正方形，與相交于點(diǎn)，為等邊三角形．現(xiàn)將沿折起到的位置，將沿折起到的位置，使得折后平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。兪?-3．如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)、分別在線段、上，且，，現(xiàn)將沿折到的位置，連結(jié)，，如圖2（1）證明：；（2）記平面與平面的交線為.若二面角為，求與平面所成角的正弦值.鞏固練習(xí)練習(xí)一翻折問題1．如圖1，在平面五邊形中，是等邊三角形.現(xiàn)將沿折起，記折后的點(diǎn)為，連接得到四棱錐，如圖2.(1)證明：；(2)若平面平面，求二面角的余弦值.2．如圖所示，在邊長為12的正方形中，點(diǎn)B，在線段上，且，，作，分別交、于點(diǎn)、，作，分別交、于點(diǎn)、，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖2所示的三棱柱．(1)試判斷直線AQ是否與平面平行，并說明理由；(2)求平面APQ與平面ABC所成二面角的余弦值．3．如圖，四邊形是一個邊長為2的菱形，且，現(xiàn)沿著將折到的位置，使得平面平面，，是線段，上的兩個動點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值；(3)設(shè)平面與平面所成銳二面角為，當(dāng)時，求的值.4．如圖，正方形的邊長為2，的中點(diǎn)分別為，正方形沿著折起形成三棱柱，三棱柱中，，.(1)證明：當(dāng)時，求證：平面；(2)若二面角的余弦值為，求的值.5．如圖甲所示，在矩形ABCD中，，，為的中點(diǎn)，沿AE將翻折，使D折至處，且二面角為直二面角（如圖乙）．（1）求證：；（2）求平面與平面ECB所成角的正切值．6．如圖1，中，，，，D，E分別是，的中點(diǎn).把沿折至的位置，平面，連接，，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，如圖2.（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積為時，求直線與所成角的正切值.7．如圖是矩形和邊為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿折疊，使平面垂直于半圓所在的平面，若點(diǎn)是折后圖形中半圓上異于的點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，且異面直線和所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．8．如圖是由正方形和長方形組成的平面圖