山東省濟(jì)寧市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期階段教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高三階段教學(xué)質(zhì)量聯(lián)合測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自已的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出結(jié)合M,再應(yīng)用交集運(yùn)算得出選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定復(fù)數(shù)，再求復(fù)數(shù)的模.【詳解】，所以，所以.故選：C3.已知向量滿足：，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由投影向量的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.詳解】由，得，即，由已知得，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A4.已知數(shù)列滿足：且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由計(jì)算出數(shù)列前4項(xiàng)，得到數(shù)列周期數(shù)列，從而得到.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，，故?shù)列為周期是3的數(shù)列，所以.故選：A5.已知，都是銳角，，，求（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得，，再利用兩角差的余弦公式可得結(jié)果.【詳解】由，以及，都是銳角可得，；所以.故選：A6.已知，且，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，問題可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，由題設(shè)條件得到，進(jìn)而得到，接著結(jié)合基本不等式求得最小值得到即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，可得對(duì)任意的恒成立，又因?yàn)?，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為，所以，可得，即，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.7.已知函數(shù)，存在常數(shù)，使為偶函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，由題意確定的值，進(jìn)而可得為奇函數(shù)，即可得出的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榇嬖诔?shù)，為偶函數(shù)，則，此時(shí)為奇函數(shù)，所以，即，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故選：B8.已知函數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用定義法證明為奇函數(shù)，化簡(jiǎn)解析式可知為增函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，又因?yàn)?，所以為上的增函?shù).因?yàn)?，為奇函?shù)，所以，又為上的增函數(shù)，所以，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在下列四個(gè)命題中，正確的是（）A.命題“，使得”的否定是“，都有”B.當(dāng)時(shí)，的最小值是5C.函數(shù)的最小值為2D.“”是“”的充要條件【答案】AB【解析】【分析】利用存在量詞命題的否定判斷A；利用基本不等式求解判斷B；求出指數(shù)型復(fù)合函數(shù)最值判斷C；利用充分條件必要條件定義判斷D.【詳解】對(duì)于A，命題“，使得”的否定是“，都有”，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而函數(shù)在上遞減，則，所以函數(shù)在處取得最大值2，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，由，得或，即推不出，D錯(cuò)誤.故選：AB10.關(guān)于復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.D.若是關(guān)于的方程：的根，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)虛數(shù)單位乘方的周期性可判斷A選項(xiàng)，設(shè)根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長公式可判斷BC選項(xiàng)，再根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的解互為共軛復(fù)數(shù)且滿足根于系數(shù)關(guān)系，判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由虛數(shù)單位的定義，，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)，B選項(xiàng)：由，則，且，則，，又，所以當(dāng)時(shí)取最小值為，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，，，所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由已知復(fù)數(shù)范圍內(nèi)二次方程的兩根滿足，且與互為共軛復(fù)數(shù)，由可知，則，即，D選項(xiàng)正確；故選：BD.11.數(shù)列an前n項(xiàng)和，且滿足，，則（）A. B.C. D.數(shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項(xiàng)由即可判斷；C,D選項(xiàng)由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.【詳解】對(duì)于A：，正確；對(duì)于B:，有，兩式相加，得，又，所以，為偶數(shù)由，得：，也即，為奇數(shù)，所以，正確；對(duì)于C:由B可知：，則，錯(cuò)誤.對(duì)于D：數(shù)列的前項(xiàng)和記為，，正確故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且成等比?shù)列，可得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：.13.已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，是扇形的內(nèi)接矩形，則的最大值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè),用表示出的長度,進(jìn)而用三角函數(shù)表示出,結(jié)合輔助角公式即可求得最大值.【詳解】設(shè)，扇形的半徑為1，則，，，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí),取得最大值.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用三角函數(shù)表示線段長，利用三角恒等變換求得最值是常用方法.14.設(shè)向量，，滿足，，，則的最大值等于______.【答案】2【解析】【分析】令，，，可得，，所以，，，共圓，由正弦定理可得圓的直徑，從而可得，當(dāng)為直徑時(shí)最大，即可求解.【詳解】由題設(shè)，，而，則，令，，，則，，又，如下圖示：所以，，則，故，，，共圓，而，即，故外接圓直徑，對(duì)于，當(dāng)為直徑時(shí)最大，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求銳角的大??；（2）若，且的周長為，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）首先求出，即可得到，再由正弦定理得到，，，由周長求出，即可得到，，再由面積公式計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，因，代入得，又因，則，又為銳角，故；【小問2詳解】由可得，因?yàn)?，則.由（1）可得，由正弦定理，其中，設(shè)比值為，則，，，因的周長為，即，即，則，，故的面積.16.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，即，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）可知：，則，所以.17.已知函數(shù)，（1）若，求在點(diǎn)處的切線方程.（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求導(dǎo)后，分別在、和的情況下，求得單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定符合題意的取值范圍.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，則，而，則在上有唯一零點(diǎn)；由（1）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，在上有唯一零點(diǎn)；因此當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.三角形中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，已知，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上，且，線段CD與線段交于點(diǎn)M.（1）求角B的大小;（2）若，求的值；（3）若點(diǎn)G是三角形的重心，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化，由三角函數(shù)值求角即得；（2）利用兩組三點(diǎn)共線，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值；（3）結(jié)合圖形和條件將化簡(jiǎn)成，通過兩邊取平方，將化為，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由正弦定理可得，整理得，故，因?yàn)锽∈0,π【小問2詳解】如圖，由題意可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故可設(shè)

，又因三點(diǎn)共線，故，所以，故.【小問3詳解】因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以，于是，兩邊平方化?jiǎn)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即.所以的最小值為.19.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)在上恒成立，分離變量轉(zhuǎn)化即可求解.（2）將問題轉(zhuǎn)化為沒有實(shí)數(shù)根，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,分類討論，進(jìn)而結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.【小問1詳解】由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為；【小問2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，所以，即無實(shí)根，所以當(dāng)時(shí)，無實(shí)根，因?yàn)?，即是偶函?shù)，所以在上無實(shí)根.，，記，則，①當(dāng)時(shí)，，又，則，所以，滿足在上無實(shí)根.②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，不合題意，舍去.③當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足在上無實(shí)根.④當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則存在唯一的，使，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，則，又因?yàn)?，且在上連續(xù)，所以在