四川省綿陽市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題含解析

Page262024屆高三上學(xué)期12月階段性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)交集的定義計(jì)算．【詳解】由題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，駕馭交集定義是解題關(guān)鍵，本題屬于簡潔題．2.已知，，，，則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷命題的真假，再推斷復(fù)合命題的真假即可求解.【詳解】因?yàn)閷?，恒成立，所以命題，為假命題；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以命題，為假命題，則，均為假命題，因?yàn)闉榧倜}，所以為假命題，因?yàn)榫鶠榧倜}，所以為真命題，故選：.3.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事務(wù)期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事務(wù)在一段時(shí)間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標(biāo)記為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.依據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，肯定符合該標(biāo)記的是A.甲地：總體均值為3，中位數(shù)為4 B.乙地：總體均值為1，總體方差大于0C.丙地：中位數(shù)為2，眾數(shù)為3 D.丁地：總體均值為2，總體方差為3【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由于甲地總體均值為，中位數(shù)為，即中間兩個(gè)數(shù)（第天）人數(shù)的平均數(shù)為，因此后面的人數(shù)可以大于，故甲地不符合.乙地中總體均值為，因此這天的感染人數(shù)總數(shù)為，又由于方差大于，故這天中不行能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為，眾數(shù)為，出現(xiàn)的最多，并且可以出現(xiàn)，故丙地不符合，故丁地符合.考點(diǎn)：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差4.如圖所示的圖形來自中國古代的太極圖，白色小圓和黑色小圓的圓心分別為A，B．過點(diǎn)A作與AB垂直的弦與大圓交于C，D兩點(diǎn)，則的面積與圓的面積之比為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】作出示意圖，找到圖中的幾何關(guān)系，利用垂徑定理求得線段長度間的關(guān)系，最終求出面積比例.【詳解】如圖：做出示意圖，易知A,B,O為圓O直徑的4等分點(diǎn)，設(shè)圓O半徑為2，,而，中，，,，又，，故選：C.5.在下列條件中，使與，，肯定共面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)空間共面對量定理以及其結(jié)論一一推斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對于A選項(xiàng)，,由于，所以不能得出共面.對于B選項(xiàng)，由于，則為共面對量，所以共面.對于C選項(xiàng),，由于，所以不能得出共面.對于D選項(xiàng)，由得，而，所以不能得出共面,故選：B6.為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁，(如圖)，要測量，兩點(diǎn)的距離，測量人員在岸邊定出基線，測得，，．就可以計(jì)算出，兩點(diǎn)的距離為（）．A.m B.m C.m D.m【答案】D【解析】【分析】由三角形內(nèi)角和定理求出，再利用正弦定理即可求解【詳解】由三角形內(nèi)角和定理可知：，由正弦定理得:，故選：D7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若F，G分別是棱AB，CC1的中點(diǎn)，則直線FG與平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】過F作BD的平行線交AC于M，則∠MGF即為直線FG與平面A1ACC1所成的角，易得，從而可得解.【詳解】方法一過F作BD的平行線交AC于M，則∠MGF即為直線FG與平面A1ACC1所成的角．設(shè)正方體棱長為1，由,所以面A1ACC1，所以則MF＝，GF＝，∴sin∠MGF＝.方法二如圖，分別以AB，AD，AA1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)正方體棱長為1，則易知平面A1ACC1的一個(gè)法向量為n＝(－1,1,0)．∵F，G，∴＝.設(shè)直線FG與平面A1ACC1所成角為θ，則sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝.答案：D【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成的角的求解，考查學(xué)生的推理論證實(shí)力，屬中檔題．求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．面面角一般是要么定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，要么建系來做.8.已知圓，過點(diǎn)的直線，，…，被該圓M截得的弦長依次為，，…，，若，，…，是公差為的等差數(shù)列，則n的最大值是（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】求出弦長的最小和最大值，依據(jù)等差數(shù)列的關(guān)系即可求出n的最大值【詳解】解：由題意在圓中∴圓心，半徑為3，過點(diǎn)直線，，…，被該圓M截得的弦長依次為，，…，過圓心作弦的垂線，交圓于兩點(diǎn)，如下圖所示：由幾何學(xué)問得，當(dāng)時(shí)，為最短弦長；為最長弦長，為6.此時(shí)，直線的解析式為：直線的解析式為：圓心到弦BC所在直線的距離：連接,由勾股定理得，∴，∴最短弦長，∵，，…，是公差為的等差數(shù)列∴設(shè)∵最長弦長為6∴解得：故選：D.9.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得在和上的單調(diào)性，由此可解除錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞增，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤，A正確.故選：A.10.如圖，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使直線與圓相切于點(diǎn)P,設(shè)直線交雙曲線的左右兩支分別于A、B兩點(diǎn)（A、B位于線段上），若,則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，，設(shè)則，由題意可知，，即，即，則，求解離心率即可.【詳解】連接，，設(shè)則，即，，依據(jù)雙曲線定義可知，即即直線與圓相切于點(diǎn)P在中①在中②在中③②③聯(lián)立得，即①②聯(lián)立得即④將代入④，即，整理得即故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲的離心率，解決本題的關(guān)鍵是依據(jù)雙曲線的定義表示出與，本題屬于中檔題.11.已知，為函數(shù)的零點(diǎn)，，若，則（）A. B.C. D.與大小關(guān)系不確定【答案】C【解析】【分析】為函數(shù)的零點(diǎn)，則可以將三個(gè)根代入方程得到三個(gè)方程，再將這三個(gè)方程進(jìn)行運(yùn)算湊出，可解出為定值，然后再依據(jù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)求出的范圍可得答案.【詳解】易知為函數(shù)的零點(diǎn)，又解之：，負(fù)根舍去；又，即與有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，如下圖先計(jì)算過原點(diǎn)的切線方程，不妨設(shè)切點(diǎn)為切線方程為：過原點(diǎn)，此時(shí)的斜率比切線斜率小，結(jié)合圖像簡潔分析出，故選：C【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的求解與推斷方法：(1)干脆求零點(diǎn)：令f(x)＝0，假如能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連綿不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必需結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．12.已知函數(shù)，若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，則實(shí)數(shù)a取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，做出函數(shù)圖像，分析的實(shí)根狀況，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且滿意，或，或；然后探討計(jì)算得出結(jié)果即可.【詳解】解：依據(jù)函數(shù)，做出其圖像如下：設(shè)，依據(jù)函數(shù)圖像有：當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)若的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，且滿意，或，或；設(shè)函數(shù)；則，，，解得，或，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，二次方程根的分布問題，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于較難題型；解題方法就是先令，再依據(jù)的圖像得出不同取值時(shí)，的實(shí)根個(gè)數(shù)，然后構(gòu)造方程，求出當(dāng)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)時(shí)的的組合，再構(gòu)造方程求解即可；解題的關(guān)鍵點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合求出在取不同值時(shí)的實(shí)根個(gè)數(shù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.小小的火柴棒可以拼成幾何圖形，也可以拼成數(shù)字．如下圖所示，我們可以用火柴棒拼出1至9這9個(gè)數(shù)字比如：“1”須要2根火柴棒，“7”須要3根火柴棒．若用8根火柴棒以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胗颐娴谋砀裰校]有放入火柴棒的空位表示數(shù)字“0”），那么最多可以表示無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有______個(gè)【答案】20【解析】【分析】依據(jù)表示數(shù)字的火柴棒的根數(shù)分類探討，結(jié)合排列組合即可求解．【詳解】由題意可得，用2根火柴棒表示數(shù)字1，3根火柴棒表示數(shù)字7，4根火柴棒表示數(shù)字4，5根火柴棒表示數(shù)字2，3或5，6根火柴棒表示數(shù)字6或9，7根火柴棒表示數(shù)字8，數(shù)字不重復(fù)，因此8根火柴棒只能分成兩類：2和6，3和5，組成兩個(gè)數(shù)字，還有數(shù)字只能為0，這樣組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)為：．故答案為：2014.若實(shí)數(shù)a，b滿意，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】可化為，令，只需求出的范圍，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用的幾何意義，即可求出的范圍，進(jìn)而可求出的取值范圍．【詳解】，令，則，作出原不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，易知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)，過點(diǎn)時(shí)，取得最小值；當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，故，所以，所以的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃學(xué)問的應(yīng)用，關(guān)鍵是將可化為，利用數(shù)形結(jié)合求出的范圍．15.如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個(gè)角的陰影部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧.某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都相等，此人投鏢4000次，鏢擊中空白部分的次數(shù)是854次.據(jù)此估算：圓周率π約為__.【答案】3.146【解析】【分析】先求出擊中空白部分的概率對應(yīng)的平面區(qū)域的面積，再依據(jù)幾何概型概率公式易求解．【詳解】解：圖中空白部分的面積為：，則他擊中空白部分的概率是，投鏢4000次，鏢擊中空白部分的次數(shù)是854次，，．故答案為：3.146．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形的面積、幾何概型．幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形態(tài)和位置無關(guān)．16.如圖為某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，它的表面是由正三角形和正方形組成，設(shè)被截正方體的棱長為2a，若球О以該幾何體的中心為球心，且與正三角形表面相切，則該球被其中一個(gè)正方形表面截得的截面面積為__________.【答案】【解析】【分析】由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)球的性質(zhì)，求得半徑，利用勾股定理，結(jié)合圓的面積計(jì)算公式，可得答案.【詳解】如圖建系，，，，，，四面體OABM為正四面體，O到平面ABM距離，易知球心到正方形所在平面的距離為，球被正方體ABCD截得的圓為圓，，.故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列中，，，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）通過遞推公式求出的值，求出與的差，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過放縮法即可證明.【小問1詳解】由題意在數(shù)列中，，，，∴，，∴∴∴∵∴小問2詳解】由題意及（1）證明如下，在數(shù)列中，，，，在數(shù)列中，，，∴∴

18.某公司生產(chǎn)一種消毒液，為測試消殺效果，測試車間用該消毒液對8個(gè)染菌不銹鋼載片進(jìn)行測試：第一輪測試，逐一對著8個(gè)載片進(jìn)行消殺檢測，若檢測出不超過1個(gè)載片沒有消殺效果，則該消毒液合格，測試結(jié)束；否則，10分鐘后對沒有產(chǎn)生消殺效果的載片進(jìn)行其次輪測試，假如其次輪被測試的載片都產(chǎn)生消殺效果，則消毒液合格，否則須要對該消毒成分進(jìn)行改良．假設(shè)每個(gè)染菌載片是否產(chǎn)生消殺效果相互獨(dú)立，每次消殺檢測互不影響，且每次消殺檢測每一個(gè)染菌片產(chǎn)生效果的概率為．（1）求經(jīng)過第一輪測試該消毒液即合格的概率；（2）每進(jìn)行一次載片測試視為一次檢測，設(shè)檢測次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：．【答案】（1）（2）見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得經(jīng)過第一輪測試該消毒液即合格有兩種狀況：8個(gè)載片均有效果，或7個(gè)載片均有效果.利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可得出結(jié)論.（2）第一輪測試，逐一對這8個(gè)載片進(jìn)行消殺檢測，共檢測8次，第一輪未產(chǎn)生效果的有個(gè)載片.因此其次輪檢測的次數(shù)為，進(jìn)而證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意可得經(jīng)過第一輪測試該消毒液即合格有兩種狀況：8個(gè)載片均有效果，或7個(gè)載片均有效果.所以經(jīng)過第一輪測試該消毒液即合格的概率為：.【小問2詳解】證明：第一輪測試，逐一對這8個(gè)載片進(jìn)行消殺檢測，共檢測8次，則，因?yàn)槊看蜗麣z測每一個(gè)染菌片產(chǎn)生效果的概率為，所以第一輪未產(chǎn)生效果的有個(gè)載片.因此其次輪檢測的次數(shù)為，所以，即為最多次數(shù).所以.19.如圖（1），菱形中，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上（不含端點(diǎn)），且，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖（2）所示．（1）當(dāng)何值時(shí)，;（2）若直線與平面所成角的正切值為，求平面和平面夾角的大小．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）證明，延長交于點(diǎn)N，確定O為的重心，計(jì)算得到答案.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)線面夾角得到，再計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，依據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【小問1詳解】菱形中，，故，，是等邊三角形，又，故，故也是等邊三角形，取的中點(diǎn)O，連接，則，平面平面，平面，平面平面，故平面，平面，故，由，而，故平面，平面，故，延長交于點(diǎn)N，則，，故O為的重心，又O點(diǎn)在上，，故，即．【小問2詳解】以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，y軸，之軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），設(shè)菱形邊長為2，則，，，，，平面，即為與平面所成的角，，解得，平面，故即為平面的法向量．設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，平面與平面的夾角為．20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓右頂點(diǎn)為，離心率為，P是直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線PA，PM，PB的斜率分別為，，，問：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）依據(jù)右頂點(diǎn)和離心率求出和，進(jìn)而求出，即可得到橢圓的方程.（2）假設(shè)存在，然后對直線斜率是否存在進(jìn)行分類探討，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入，即可求出的值.【小問1詳解】由題意在橢圓中，右頂點(diǎn)為，離心率為，∴，∴∴∴橢圓的方程為：【小問2詳解】由題意及（1）得在橢圓中，設(shè)存在常數(shù)，使得當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，其方程為：，代入橢圓方程得，，此時(shí),可得當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程代入橢圓方程得：∴，∵P是直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)且與PM垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)∴直線的方程為：∴由幾何學(xué)問得：，，∵∴將，，，代入方程，并化簡得：解得：綜上，存在常數(shù)，使得21.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)解，結(jié)合一元二次函數(shù)性質(zhì)即可求解a的取值范圍；（2）由（1）的韋達(dá)定理得，化簡代換得，變形整理得，令，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)探討的單調(diào)性，求出，進(jìn)而得解.【小問1詳解】由得，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)解，令，則有兩個(gè)不同的正根，即，解得，所以；【小問2詳解】由（1）依據(jù)韋達(dá)定理得，所以，所以，因?yàn)椋?，令，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，所以在單減，，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值問題可難可簡潔，本題由韋達(dá)定理代換參