專題20-相似三角形中的壓軸題專練(一)(解析版)-九下數(shù)學專題培優(yōu)訓練

第=page22頁，共=sectionpages22頁專題20相似三角形中的壓軸題專練（一）班級：___________姓名：___________得分：___________一、選擇題已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，如圖所示放置，邊AE，AD與BC于點M，N.則圖中一定相似的三角形有(????)對．

A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【分析】

此題考查了相似三角形的判定(有兩個角分別對應(yīng)相等的三角形相似).解此題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．

根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進行分析，從而得到答案．

【解答】

解：依題意可知，△ABC∽△DAE，△BNA∽△ANM∽△CAM；

理由：∵△ABC與△ADE是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，

∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，

∵∠CMA=∠B+∠MAB，∠NAB=∠NAM+∠MAB，

∴∠CMA=∠BAN，

∴△CAM∽△BNA，

又∵∠ANM=∠ANB，∠NAM=∠NBA=45°，

∴△BNA∽△ANM，

∴△BNA∽△ANM∽△CAM；

由題意易知△ABC∽△DAE，

∴共有4對，

AD是△ABC的中線，E是AD上一點，AE=14AD，BE的延長線交AC于F，則AFAC的值為(????)A.14 B.15 C.16【答案】D【分析】

作DH//BF交AC于H，根據(jù)DH//BF得到AFFH=AEED，F(xiàn)HHC=BDDC即可求出AFAC的值．

本題考查了平行線分線段成比例.正確找到比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

【解答】

解：作DH//BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中線，

∴BDDC=FHHC=1，

∴FH=HC，

∵DH//BF，AE=如圖，矩形ABCD∽矩形BCFE，且AD=AE.則AB：AD的值是(????)

A.2：1 B.3：1 C.5+12 【答案】C【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)列出比例式，計算得到答案．

本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．

【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形BCFE，

∴FCAD=ADAB，即AB?ADAD=ADAB，

整理得，AB2?AD如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG.則下列結(jié)論正確的有A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③【答案】B【分析】

本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面積．

①由折疊可知∠1=∠2，∠3=∠4，即可得∠EBG=45°；

②由ABDE≠AGDF，可知②錯誤；

③通過計算S△ABG與S△FGH即可得結(jié)論；

④通過計算AG+DF=5，而FG=5，故④正確．

【解答】

解：如圖

∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的

點F處，

∴∠1=∠2，

∵△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，

∴∠3=∠4，

∴∠2+∠3=12∠ABC=45°，

即∠EBG=45°，

所以?①正確;

∵△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的

點F處，

∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，

在Rt△ABF中，

∵AB=6，BF=10，

∴AF=102?62=8，

∴DF=AD?AF=10?8=2，

設(shè)EF=x，則CE=x，

DE=CD?CE=6?x，

在Rt△DEF中，

∵DE2+DF2=EF2，

∴(6?x)2+22=x2

解得x=103，

∴ED=83，

HF=BF?BH=10?6=4，

設(shè)AG=y，則GH=y，GF=8?y，

在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，

∴y2+如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，則下列結(jié)論：①∠CAD=30°；②BD=7；③S平行四邊形ABCD=AB?AC；④OE=14A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】①先根據(jù)角平分線和平行得：∠BAE=∠BEA，則AB=BE=1，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：∠ACE=30°，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；

②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE=12AB=12，OE//AB，根據(jù)勾股定理計算OC=12?(12)2=32和OD的長，可得BD的長；

③因為∠BAC=90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；

④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷；

⑤根據(jù)同高三角形面積的比等于對應(yīng)底邊的比可得：S△AOE=S△EOC=12OE?OC=38，，代入可得結(jié)論．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵，并熟練掌握同高三角形面積的關(guān)系．

【解答】解：①∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE=1，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=BE=1，

∵BC=2，

∴EC=1，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ACE，

∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，

∴∠ACE=30°，

∵AD//BC，

∴∠CAD=∠ACE=30°，

故①正確；

②∵BE=EC，OA=OC，

∴OE=12AB=12，OE//AB，

∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，

Rt△EOC中，OC=12?(12)2=32，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠BCD=∠BAD=120°，

∴∠ACB=30°，

∴∠ACD=90°，

Rt△OCD中，OD=12+(32)2=72，

∴BD=2OD=7，

故②正確；

③由②知：∠BAC=90°，

∴S?ABCD=AB?AC，

故③正確；二、填空題如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則AGGF的值是______．

【答案】6【分析】如圖，作FN//AD，交AB于N，交BE于M.設(shè)DE=a，則AE=3a，利用平行線分線段成比例定理解決問題即可；

本題考查正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，學會利用參數(shù)解決問題．

【解答】解：如圖作，F(xiàn)N//AD，交AB于N，交BE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB//CD，∵FN//AD，

∴四邊形ANFD是平行四邊形，

∵∠D=90°，

∴四邊形ANFD是矩形，

∵AE=3DE，設(shè)DE=a，則AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，

∵AN=BN，MN//AE，

∴BM=ME，

∴MN=32a，

∴FM=52a，

∵AE//FM，如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=2，點O在AC邊上，⊙O與AB、BC分別切于點D、E，則⊙O的半徑長為______．

【答案】6【分析】

本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能求出△OEC∽△ADO是解此題的關(guān)鍵．

連接OE、OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OEC=∠ODA=90°，∠ODB=∠OEB=90°，求出四邊形OEBD是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OE=OD=BE=BD，根據(jù)相似三角形的判定得出△OEC∽△ADO，得出比例式，代入求出即可．

【解答】

解：

連接OE、OD，

∵⊙O與AB、BC分別切于點D、E，∠B=90°，

∴∠OEC=∠ODA=90°，∠ODB=∠B=∠OEB=90°，

∵OD=OE，

∴四邊形OEBD是正方形，

∴OE=OD=DB=BE，

設(shè)OE=OD=DB=BE=R，

∵四邊形OEBD是正方形，

∴OE//AB，

∴∠COE=∠A，

∵∠OEC=∠ODA=90°，

∴△OEC∽△ADO，

∴ADOD=OECE，

∴3?RR=如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是CD延長線上一點，連接BE交AD于點F，連接CF，若△ABF與△CEF的面積相等，則DE的長為________．【答案】5【分析】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．

設(shè)DE=x.利用相似三角形的性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形的面積相等構(gòu)建方程即可解決問題．

【解答】

解：設(shè)DE=x．∵DF?//?BC，∴△EFD∽△EBC，∴DF∴DF∴DF=4xx+2，∵△ABF與△CEF的面積相等，∴1∴8∴解得x=5?1或x=?5∴DE的長為5?1

如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A，B，C，D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的解析式為y=x2?2x?3，AB為半圓的直徑，則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為________．【答案】3+【分析】

本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了拋物線與坐標軸的交點問題、解一元二次方程、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，讀懂題目信息，理解“果圓”的定義是解題的關(guān)鍵．連接AC，BC，由拋物線的解析式可求出A，B，C的坐標，進而求出AO，BO，DO的長，在直角三角形ACB中，利用△ACO∽△COB，可求出CO的長，進而可求出CD的長．

【解答】

解：連接AC，BC，

∵拋物線的解析式為y=x2?2x?3，

∴點D的坐標為(0,?3)，

∴OD的長為3，

設(shè)y=0，則0=x2?2x?3，

解得：x=?1或3，

∴A(?1,0)，B(3,0)

∴AO=1，BO=3，

∵AB為半圓的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵CO⊥AB，

∴∠COA=∠COB，

．

∴∠OCA=∠CBO

∴△ACO∽△COB

∴COAO=OBCO

∴C如圖，在正方形ABCD中，E是BC上一點，BE=13BC，連接AE，作BF⊥AE，分別與AE、CD交于點K、F，G、H分別在AD、AE上，且四邊形KFGH是矩形，則HGAB=【答案】7【分析】本題考查正方形，矩形的性質(zhì)，射影定理，勾股定理和相似三角形的性質(zhì)和判定，能根據(jù)相關(guān)知識解決問題.分析題意，設(shè)BE=x，則BC=3x=AB，根據(jù)射影定理可求出BK的長，易證△BEK∽△BFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可求出BF的長，從而求出KF的長，就可得出答案．【解答】解：∵四邊形KFGH是矩形，∴∠GHK=∠HKF=90°，∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠DAB=90°，設(shè)BE=x，則BC=3x=AB，∴AE=10∴BK=AB·BE根據(jù)射影定理可得BE∴EK=10易證△BEK∽△BFC，∴BE∴BF=10∴KF=BF?BK=7∴GH=7∴HG

三、解答題如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm.點D由點A出發(fā)沿AB方向向點B勻速運動，同時點E由點B出發(fā)沿BC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s.連接DE，設(shè)運動時間為t(s)(0<t<10)，解答下列問題：

(1)當t為何值時，△BDE的面積為7.5cm2；

(2)在點D，E的運動中，是否存在時間t，使得△BDE與△ABC相似？若存在，請求出對應(yīng)的時間t；若不存在，請說明理由．

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)求三角形BDE邊BE的高即可求解；

(2)根據(jù)等腰三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)分兩種情況說明即可．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是動點變化過程中形成不同的等腰三角形．

【解答】解：(1)分別過點D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足為F、G

如圖

∴DF//AG，DFAG=BDAB

∵AB=AC=10，BC=16，

∴BG=8，

∴AG=6．

∵AD=BE=t，

∴BD=10?t，

∴DF6=10?t10

解得DF=35(10?t)

∵S△BDE=12BE?DF=7.5

∴35(10?t)?t=15

解得t=5．

答：t為5秒時，△BDE的面積為7.5cm2．

(2)存在．理由如下：

①當BE=DE時，△BDE∽△BCA，

∴BEAB=BDBC即t10=10?t16如圖，Rt△ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=8cm.點P從點C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CA向點A勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC向點C勻速運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止．

(1)求經(jīng)過幾秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25？

(2)經(jīng)過幾秒，△PCQ與△ABC相似？【分析】本題考查了三角形的面積，相似三角形的判定等知識點，能得出關(guān)于x的一元二次方程是解(1)的關(guān)鍵，能求出符合的所有情況是解(2)的關(guān)鍵．

(1)設(shè)經(jīng)過x秒，△PCQ的面積等于△ABC面積的25，根據(jù)三角形的面積和已知列出方程，求出方程的解即可；

(2)根據(jù)相似三角形的判定得出兩種情況，再求出t即可．

【解答】解：

(1)設(shè)經(jīng)過x秒，則CP=2x，BQ=x，CQ=8?x，

△PCQ的面積等于△ABC面積的25，可得

12?2x?(8?x)=12×10×8×25，

解得：x1=x2=4，

答：經(jīng)過4秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的25；

(2)設(shè)經(jīng)過t秒，△PCQ與△ABC相似，

因為∠C=∠C，

所以分為兩種情況：

①PCBC=CQAC，

2t8=8?t10，如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形ABCO是矩形，點A，C的坐標分別是A(0,2)和C(23,0)，點D是對角線AC上一動點(不與A，C重合)，連結(jié)BD，作DE⊥DB，交x軸于點E，以線段DE，DB為鄰邊作矩形BDEF．

(1)填空：點B的坐標為______；

(2)是否存在這樣的點D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，請求出AD的長度；若不存在，請說明理由；

(3)①求證：DEDB=33；

②設(shè)AD=x，矩形BDEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(可利用①的結(jié)論)【答案】解：(1)(23,2)；

(2)存在．理由如下：

∵OA=2，OC=23，

∵tan∠ACO=AOOC=33，

∴∠ACO=30°，∠ACB=60°，

①如圖1中，當E在線段CO上時，△DEC是等腰三角形，

觀察圖象可知，只有，

∴∠DCE=∠EDC=30°，

∴∠CDB=∠BCD=60°，

∴△DBC是等邊三角形，

∴DC=BC=2，

在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，

∴AC=2AO=4，

∴AD=AC?CD=4?2=2．

∴當AD=2時，△DEC是等腰三角形．

②如圖2中，當E在OC的延長線上時，

△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，

此時∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，

∴∠ABD=∠ADB=75°，

∴AB=AD=23，

綜上所述，滿足條件的AD的值為2或23．

(3)①如圖1，

過點D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，

∵A(0,2)和C(23,0)，

∴直線AC的解析式為y=?33x+2，

設(shè)D(a,?33a+2)，

∴DN=?33a+2，BM=23?a，

∵∠BDE=90°，

∴∠BDM+∠NDE=90°，∠BDM+∠DBM=90°，

∴∠DBM=∠EDN，∵∠BMD=∠DNE=90°，

∴△BMD∽△DNE，

∴DEBD=DNBM=?33a+223?a=33．

②如圖2中，作DH⊥AB于H．

在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，

∴DH=12AD=12x【分析】

本題考查相似形綜合題、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是會恰當添加輔助線，會構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．

(1)求出AB、BC的長即可解決問題；

(2)存在．分當E在線段CO上時，當E在OC的延長線上時兩種情況進行討論即可；

(3)①過點D作MN⊥AB交AB于M，交OC于N，先求出直線AC解析式，設(shè)D橫坐標為a，用a表示出DN，BM，再判斷出△BMD∽△DNE，利用相似比化簡，即可得出結(jié)論；

②作DH⊥AB于H.用x表示BD、DE的長，構(gòu)建二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值，即可解決問題．

【解答】

解：(1)∵四邊形AOCB是矩形，

∴BC=OA=2，OC=AB=23，∠BCO=∠BAO=90°，

∴B(23,2)．

故答案為(2若三角形的一條角平分線與被平分的角的一邊相等，則稱這個三角形為“弱等腰三角形”，這條角平分線叫做這個三角形的“弱線”，如圖①，AD是ΔABC的角平分線，當AD=AB時，則ΔABC是“弱等腰三角形”，線段AD是ΔABC的“弱線”．

(1)如圖②，在ΔABC中.∠B=60°，∠C=45°.求證：ΔABC是“弱等腰三角形”；

(2)如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.以B為圓心在矩形內(nèi)部作弧AE，交BC于點E，點F是弧AE上一點，連結(jié)CF，且CF與弧AE有另一個交點G.連結(jié)BG.當BG是ΔBCF的“弱線”時，求CG的長．

(3)已知ΔABC是“弱等腰三角形”，AD是“弱線”，且AB=3BD，求【分析】本題考查了圓的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．

(1)根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC=12∠ABC=30°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A=180°?∠ABC?∠C=180°?60°?45°=75°，于是得到結(jié)論；

(2)如圖③，連接EG，根據(jù)角平分線的定義得到∠FBG=∠GBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BGF=∠BGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)①如圖④，當AB=AD時，在AC上取一點E，使得AE=AB，連接DE，根據(jù)角平分線的定義得到∠FBG=∠GBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BGF=∠BGE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；②當AC=AD時，如圖⑤，在AB上取一點E，使AE=AC，連接DE，同理可得結(jié)論．

【解答】(1)證明：如圖②作△ABC的角平分線BD，交AC于D，

∴∠DBC=0.5∠ABC=30°，

∵∠ABC=60°，∠C=45°，

∴∠A=180°?∠ABC?∠C=180°?60°?45°=75°，

∵∠ADB=∠DBC+∠C=30°+45°=75°，

∴∠ADB=∠A，

∴BA=BD，

∴△ABC是“弱等腰三角形”；

(2)如圖③，連接EG，

∵BG是△BCF的“弱線”，

∴BG平分∠FBC，

∴∠FBG=∠GBE，

∵BF=BE，BG=BG，

∴△BGF≌△BGE(SAS)，

∴∠BGF=∠BGE，

∵BG=BE，

∴∠BGE=∠BEG=0.5(180°?∠GBE)，

∴∠FGE=180°?∠GBE，

∵∠CGE=180°?∠FGE，

∴∠CGE=∠CBG，

∵∠GCE=∠BCG，

∴△GCE∽△BCG，

∵CE=4?3=1，

∴CG2=CE?BC=1×4=4，

∴CG=2；

(3)①如圖④，當AB=AD時，在AC上取一點E，使得AE=AB，連接DE，

∵AD是“弱線”，

∴AD是△ABC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AD=AD，

∴△ABD≌△AED(SAS)，

∴DE=BD，∠B=∠AED，

∵AD=AB，

∴∠B=∠ADB，

∴∠AED=∠ADB，

∴∠CED=180°?∠AED，∠ADC=180°?∠ADB，

∴∠CED=∠ADC，

∵∠C=∠C，

∴△ADC∽△DEC，

∴AC：BC=27：17；

②當AC=AD時，如圖⑤，在AB上取一點E，使AE=AC，連接DE，

同理可得，

∵AC=3CD，

∴AC：BC=24：17．

故AC：BC=24：[初步嘗試]

(1)如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，將△AB