《第6章 圖形的相似》試卷及答案-初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)-蘇科版-2024-2025學(xué)年

《第6章圖形的相似》試卷(答案在后面)一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列各組圖形中，如果兩個(gè)三角形相似，則正確的是（）A.一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是3、4、5，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是6、8、10B.一個(gè)三角形的內(nèi)角分別是30°、60°、90°，另一個(gè)三角形的內(nèi)角分別是45°、45°、90°C.一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是12，另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是18，它們的面積比是4：9D.一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)比另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)長(zhǎng)20%2、如果兩個(gè)相似三角形的相似比是2：3，那么它們的面積比是（）A.2：3B.4：9C.6：9D.12：183、在下列圖形中，哪些圖形是相似圖形？（）A.一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是8cm，高是6cm，另一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是10cm，高是7.5cmB.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4cm，另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是6cmC.一個(gè)圓的半徑是5cm，另一個(gè)圓的半徑是10cmD.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是3cm和4cm，另一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是6cm和8cm4、已知兩個(gè)相似三角形的相似比為2：1，如果較大三角形的周長(zhǎng)是30cm，那么較小三角形的周長(zhǎng)是多少cm？（）A.10cmB.15cmC.20cmD.30cm5、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A.(-3,-4)B.(3,-4)C.(-3,4)D.(4,-3)6、在相似三角形中，如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角度相等，那么這兩個(gè)三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.可能全等，可能相似7、已知兩個(gè)相似三角形的面積比為9:4，那么這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是（）A.3:2B.2:3C.3:4D.4:38、在相似三角形中，如果一個(gè)角是直角，那么這個(gè)直角三角形的相似比是（）A.1:1B.任意值C.不確定D.與另一邊長(zhǎng)成比例9、在下列各組圖形中，一定成相似形的是：A.兩個(gè)等邊三角形B.兩個(gè)等腰三角形C.兩個(gè)直角三角形D.兩個(gè)矩形10、已知直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，那么下列結(jié)論正確的是：A.AB是斜邊B.BC是斜邊C.AC是斜邊D.不能確定哪條邊是斜邊二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=8cm，AC=6cm。求三角形ABC的外接圓半徑。第二題：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(8,1)是兩個(gè)頂點(diǎn)。若以O(shè)A為一邊，構(gòu)造一個(gè)與三角形AOB相似的三角形，其中另一邊OB的長(zhǎng)度是原來的1/2。請(qǐng)求出所構(gòu)造的相似三角形中，與OB對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)度。第三題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。點(diǎn)D在AC上，且AD:DC=2:3，點(diǎn)E在AB上，且AE:EB=3:2。（1）求DE的長(zhǎng)度。（2）求∠ADE的度數(shù)。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=6cm。點(diǎn)D、E分別在邊AC和BC上，使得∠ADB=∠AEB=30°，且AD=DE=EB。（1）求證：三角形ADB與三角形AEB相似。（2）求三角形ADE的面積。第二題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。點(diǎn)D在AC邊上，且AD=3cm。點(diǎn)E在AB邊上，且AE=2cm。求證：△ABC∽△AED。第三題：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=AC=2√2。點(diǎn)D在BC上，且AD⊥BC，求三角形ABD和三角形ACD的面積比。第四題：在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-1,5)。點(diǎn)C在直線y=x上，且△ABC是等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。第五題：已知三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，三角形DEF與三角形ABC相似，且DE=4cm，EF=6cm。求三角形DEF的第三邊DF的長(zhǎng)度。第六題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，使得AD:DB=2:3。求證：三角形ADC與三角形BDC相似。第七題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點(diǎn)D在邊AC上，且BD=2BC。求證：三角形ABD與三角形ACD相似?！兜?章圖形的相似》試卷及答案一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分）1、在下列各組圖形中，如果兩個(gè)三角形相似，則正確的是（）A.一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是3、4、5，另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是6、8、10B.一個(gè)三角形的內(nèi)角分別是30°、60°、90°，另一個(gè)三角形的內(nèi)角分別是45°、45°、90°C.一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是12，另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是18，它們的面積比是4：9D.一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)比另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)長(zhǎng)20%答案：C解析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的邊長(zhǎng)比相等，面積比等于邊長(zhǎng)比的平方。選項(xiàng)A中兩個(gè)三角形的邊長(zhǎng)比是3：6和4：8，即1：2，面積比是1：4，與題目中的比例不符；選項(xiàng)B中的兩個(gè)三角形都是直角三角形，但不一定相似，因?yàn)樗鼈兊慕遣灰欢ㄏ嗟?；選項(xiàng)D中只給出了邊長(zhǎng)比，沒有給出具體的數(shù)值，無法判斷相似性。選項(xiàng)C中兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比是12：18，即2：3，面積比是4：9，符合相似三角形的性質(zhì)。2、如果兩個(gè)相似三角形的相似比是2：3，那么它們的面積比是（）A.2：3B.4：9C.6：9D.12：18答案：B解析：相似三角形的面積比等于相似比的平方。如果相似比是2：3，那么面積比就是22：32，即4：9。因此，選項(xiàng)B正確。3、在下列圖形中，哪些圖形是相似圖形？（）A.一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是8cm，高是6cm，另一個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)是10cm，高是7.5cmB.一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是4cm，另一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是6cmC.一個(gè)圓的半徑是5cm，另一個(gè)圓的半徑是10cmD.一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是3cm和4cm，另一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是6cm和8cm答案：A、D解析：相似圖形的定義是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。A選項(xiàng)中兩個(gè)等腰三角形的底邊和高不成比例，因此不是相似圖形。B選項(xiàng)中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)成比例，因此是相似圖形。C選項(xiàng)中兩個(gè)圓的半徑成比例，因此是相似圖形。D選項(xiàng)中兩個(gè)直角三角形的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成比例，因此是相似圖形。4、已知兩個(gè)相似三角形的相似比為2：1，如果較大三角形的周長(zhǎng)是30cm，那么較小三角形的周長(zhǎng)是多少cm？（）A.10cmB.15cmC.20cmD.30cm答案：B解析：相似三角形的周長(zhǎng)比等于它們的相似比。因此，如果兩個(gè)相似三角形的相似比為2：1，那么它們的周長(zhǎng)比也是2：1。較大三角形的周長(zhǎng)是30cm，所以較小三角形的周長(zhǎng)是30cm÷2=15cm。5、在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A.(-3,-4)B.(3,-4)C.(-3,4)D.(4,-3)答案：A解析：點(diǎn)A(3,4)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都取相反數(shù)，因此B的坐標(biāo)是(-3,-4)。所以正確答案是A。6、在相似三角形中，如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角度相等，那么這兩個(gè)三角形（）A.必定全等B.必定相似C.必定不相似D.可能全等，可能相似答案：B解析：根據(jù)相似三角形的定義，如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角度相等，那么這兩個(gè)三角形必定相似。全等是相似的一種特殊情況，所以不一定全等，但必定相似。因此正確答案是B。7、已知兩個(gè)相似三角形的面積比為9:4，那么這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是（）A.3:2B.2:3C.3:4D.4:3答案：A解析：相似三角形的面積比等于相似比的平方，所以相似比是3:2。相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，因此周長(zhǎng)比也是3:2。8、在相似三角形中，如果一個(gè)角是直角，那么這個(gè)直角三角形的相似比是（）A.1:1B.任意值C.不確定D.與另一邊長(zhǎng)成比例答案：B解析：在相似三角形中，如果有一個(gè)角是直角，則這個(gè)直角三角形與任何其他直角三角形都是相似的，相似比可以是任意值。相似三角形的相似比只與對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)比有關(guān)，而與角度無關(guān)。9、在下列各組圖形中，一定成相似形的是：A.兩個(gè)等邊三角形B.兩個(gè)等腰三角形C.兩個(gè)直角三角形D.兩個(gè)矩形答案：A解析：兩個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)比例相同，角度也相同，因此它們一定是相似形。而其他選項(xiàng)中的三角形或矩形可能邊長(zhǎng)比例和角度不完全相同，所以不能保證一定成相似形。10、已知直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，那么下列結(jié)論正確的是：A.AB是斜邊B.BC是斜邊C.AC是斜邊D.不能確定哪條邊是斜邊答案：A解析：在直角三角形中，一個(gè)角為30°時(shí)，對(duì)邊是斜邊的一半。因此，由于∠A=30°，AB是斜邊。其他選項(xiàng)中的BC和AC不滿足這一條件。二、計(jì)算題（本大題有3小題，每小題5分，共15分）第一題：在直角三角形ABC中，∠C為直角，AB=8cm，AC=6cm。求三角形ABC的外接圓半徑。答案：外接圓半徑為4cm。解析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的外接圓半徑等于斜邊的一半。所以，三角形ABC的外接圓半徑等于斜邊AB的一半。計(jì)算外接圓半徑：半徑=AB/2半徑=8cm/2半徑=4cm因此，三角形ABC的外接圓半徑為4cm。第二題：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(8,1)是兩個(gè)頂點(diǎn)。若以O(shè)A為一邊，構(gòu)造一個(gè)與三角形AOB相似的三角形，其中另一邊OB的長(zhǎng)度是原來的1/2。請(qǐng)求出所構(gòu)造的相似三角形中，與OB對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)度。答案：3解析：首先，我們知道三角形AOB的兩邊OA和OB的長(zhǎng)度分別是2和8，它們的比是1:4。根據(jù)題意，新構(gòu)造的相似三角形中，OB的長(zhǎng)度是原來的1/2，即OB’=OB/2=8/2=4。由于三角形AOB與所構(gòu)造的三角形相似，它們的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等，即OA/OB=OB’/OB。將已知值代入，得到2/8=3/4。解這個(gè)比例，得到與OB對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)OB’=3。因此，所構(gòu)造的相似三角形中，與OB對(duì)應(yīng)的邊的長(zhǎng)度是3。第三題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。點(diǎn)D在AC上，且AD:DC=2:3，點(diǎn)E在AB上，且AE:EB=3:2。（1）求DE的長(zhǎng)度。（2）求∠ADE的度數(shù)。答案：（1）DE的長(zhǎng)度為5cm。（2）∠ADE的度數(shù)為36°。解析：（1）首先，根據(jù)勾股定理，可求出AC的長(zhǎng)度：AC=√(AB^2-BC^2)=√(6^2-8^2)=√(36-64)=√(-28)=2√7由于AD:DC=2:3，則AD的長(zhǎng)度為：AD=(2/5)*AC=(2/5)*2√7=4√7/5再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得：?ABC～?ADE所以，AE/AB=AD/AC代入已知數(shù)據(jù)，可得：2/5=(4√7/5)/(2√7)化簡(jiǎn)得：AE=4cm由于AE:EB=3:2，則EB的長(zhǎng)度為：EB=AE/(3/2)=4cm/(3/2)=8/3cm所以，DE的長(zhǎng)度為：DE=AD+AE=(4√7/5)+4=5cm（2）由于?ABC～?ADE，則∠A=∠A，∠B=∠D又因?yàn)椤螩=90°，所以∠A+∠D=90°由于∠ADE是?ADE的銳角，所以∠ADE=∠A-∠D=90°-∠D現(xiàn)在需要求出∠D的度數(shù)。由于?ABC～?ADE，且∠C=90°，則∠ABC=45°由于?ABC是直角三角形，所以∠BAC=90°-∠ABC=45°由于?ABC～?ADE，則∠BAC=∠DAE所以∠DAE=45°由于∠ADE=90°-∠D，代入∠DAE的值，可得：∠ADE=90°-∠D=90°-45°=45°所以，∠ADE的度數(shù)為36°。三、解答題（本大題有7小題，第1小題7分，后面每小題8分，共55分）第一題：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=6cm。點(diǎn)D、E分別在邊AC和BC上，使得∠ADB=∠AEB=30°，且AD=DE=EB。（1）求證：三角形ADB與三角形AEB相似。（2）求三角形ADE的面積。答案：（1）證明：由已知條件，∠ADB=∠AEB=30°，AB=AD，因此三角形ADB與三角形AEB滿足AA相似條件，即兩角對(duì)應(yīng)相等，所以三角形ADB與三角形AEB相似。（2）解：由于三角形ADB與三角形AEB相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，有AD/AB=AE/AB，即AD=AE。因?yàn)锳D=DE，所以AE=2DE。由于∠ABC=45°，∠ADB=30°，所以三角形ADB是一個(gè)30°-60°-90°的直角三角形。在這種三角形中，對(duì)邊長(zhǎng)比為1:√3:2，所以AB（斜邊）是AD（較短直角邊）的2倍。因此，AD=AB/2=6cm/2=3cm。由于AE=2DE，所以DE=AE/2=3cm/2=1.5cm。三角形ADE的面積可以用底乘以高除以2的公式計(jì)算，其中底AD=3cm，高為DE=1.5cm。所以，三角形ADE的面積S=(底×高)/2=(3cm×1.5cm)/2=4.5cm2。解析：（1）通過驗(yàn)證兩角對(duì)應(yīng)相等，應(yīng)用AA相似準(zhǔn)則，證明了三角形ADB與三角形AEB相似。（2）利用30°-60°-90°三角形的性質(zhì)確定AD的長(zhǎng)度，然后利用相似三角形的性質(zhì)和比例關(guān)系確定AE和DE的長(zhǎng)度，最后應(yīng)用三角形面積公式計(jì)算出三角形ADE的面積。第二題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6cm，BC=8cm。點(diǎn)D在AC邊上，且AD=3cm。點(diǎn)E在AB邊上，且AE=2cm。求證：△ABC∽△AED。答案：證明：因?yàn)椤螩=90°，所以△ABC是直角三角形。根據(jù)勾股定理，可得AC2=AB2+BC2=62+82=36+64=100，所以AC=10cm。在△ABC和△AED中，有：∠A在兩個(gè)三角形中都是公共角；∠C=90°，∠C=∠E（因?yàn)椤螮是直角三角形△AED的一個(gè)角）；由AAA相似條件（兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，第三個(gè)角也是公共角），可得△ABC∽△AED。解析：通過證明△ABC和△AED有兩個(gè)角分別相等（∠A和∠E），我們可以得出這兩個(gè)三角形相似。由于它們都是直角三角形，且有一個(gè)公共角∠A，因此根據(jù)AAA相似條件，可以斷定△ABC和△AED相似。第三題：已知三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=AC=2√2。點(diǎn)D在BC上，且AD⊥BC，求三角形ABD和三角形ACD的面積比。答案：三角形ABD和三角形ACD的面積比為1：2。解析：由題意知，三角形ABC為等邊三角形，所以BC=AB=2√2。又因?yàn)锳D⊥BC，所以三角形ABD和三角形ACD均為直角三角形。首先計(jì)算三角形ABC的面積：S△ABC=(1/2)*AB*BC=(1/2)*2√2*2√2=4。接下來計(jì)算三角形ABD的面積：S△ABD=(1/2)*AB*AD=(1/2)*2√2*AD。由于∠BAC=60°，在等邊三角形中，∠BDA=∠BAC=60°，所以三角形ABD為30°-60°-90°的特殊直角三角形。在30°-60°-90°的直角三角形中，斜邊是短邊長(zhǎng)度的2倍，所以AD=AB/2=√2。將AD的值代入三角形ABD的面積公式中：S△ABD=(1/2)*2√2*√2=2。同理，計(jì)算三角形ACD的面積：S△ACD=(1/2)*AC*AD=(1/2)*2√2*√2=2。最后，計(jì)算三角形ABD和三角形ACD的面積比：面積比=S△ABD:S△ACD=2:2=1:2。所以，三角形ABD和三角形ACD的面積比為1：2。第四題：在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(-1,5)。點(diǎn)C在直線y=x上，且△ABC是等腰直角三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)。答案：點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是(1,1)或(3,3)。解析：由于△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，所以AB=AC。當(dāng)AC為斜邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,a)，因?yàn)镃在直線y=x上，所以a=a。根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，我們有：解方程：2?a2+3?a得到a=0或a=5，但a=0時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，不符合題意，所以a=5，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,5)。當(dāng)AC為直角邊時(shí)，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,1)或(1,a)，因?yàn)镃在直線y=x上，所以a=1。對(duì)于a=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)，此時(shí)AC=AB，滿足條件。對(duì)于a=1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1)，此時(shí)AC=AB，滿足條件。綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是(1,1)或(3,3)。第五題：已知三角形ABC的邊長(zhǎng)分別為AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，三角形DEF與三角形ABC相似，且DE=4cm，EF=6cm。求三角形DEF的第三邊DF的長(zhǎng)度。答案：DF=8cm解析：由于三角形DEF與三角形ABC相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比例相等，即：DE/AB=EF/BC=DF/AC代入已知數(shù)據(jù)，得：4/6=6/8=DF/10解方程得DF：DF=(4/6)*10=8cm因此，三角形DEF的第三邊DF的長(zhǎng)度為8cm。第六題：已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，使得AD:DB=2:3。求證：三角形ADC與三角形BDC相似。答案：證明：首先，由于AC