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文檔簡介
2025屆四川省鄰水市實驗中學高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設集合(為實數(shù)集),,,則()A. B. C. D.2.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.04.在三角形中,,,求()A. B. C. D.5.中心在原點,對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩條漸近線與圓都相切,則雙曲線的離心率是()A.2或 B.2或 C.或 D.或6.祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.意思是說:兩個同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設、為兩個同高的幾何體,、的體積不相等,、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知,是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A.4 B.6 C.8 D.108.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使直線與圓相交的概率為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),存在實數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.10.已知直三棱柱中,,,,則異面直線與所成的角的正弦值為().A. B. C. D.11.已知函數(shù)在上可導且恒成立,則下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、12.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.割圓術是估算圓周率的科學方法,由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)立,他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積,從而得出圓周率.現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點,則該點取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為________.14.已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實數(shù)的取值范圍是__________.15.已知函數(shù),則關于的不等式的解集為_______.16.已知集合,,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)當時,①求函數(shù)在點處的切線方程;②比較與的大小;(2)當時,若對時,,且有唯一零點,證明:.19.(12分)平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的非負半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,點.(1)求曲線的極坐標方程與直線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線交于點,曲線與曲線交于點,求的面積.20.(12分)已知函數(shù)和的圖象關于原點對稱,且.(1)解關于的不等式;(2)如果對,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,滿足.有三個條件:①;②;③.其中三個條件中僅有兩個正確,請選出正確的條件完成下面兩個問題:(1)求;(2)設為邊上一點,且,求的面積.22.(10分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對任意n,恒成立.①當數(shù)列為等差數(shù)列時,求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)集合交集與補集運算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點睛】本題考查了集合交集與補集的混合運算,屬于基礎題.2、D【解析】
利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當、時,成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.3、D【解析】分析:因為題設中給出了的值,要求的值,故應考慮兩者之間滿足的關系.詳解:由題設有,故有,所以,從而,故選D.點睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關系.4、A【解析】
利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【詳解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故選:A.【點睛】本題考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應用,考查計算能力,屬于中等題.5、A【解析】
根據(jù)題意,由圓的切線求得雙曲線的漸近線的方程,再分焦點在x、y軸上兩種情況討論,進而求得雙曲線的離心率.【詳解】設雙曲線C的漸近線方程為y=kx,是圓的切線得:,得雙曲線的一條漸近線的方程為∴焦點在x、y軸上兩種情況討論:
①當焦點在x軸上時有:②當焦點在y軸上時有:∴求得雙曲線的離心率2或.
故選:A.【點睛】本小題主要考查直線與圓的位置關系、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想.解題的關鍵是:由圓的切線求得直線的方程,再由雙曲線中漸近線的方程的關系建立等式,從而解出雙曲線的離心率的值.此題易忽視兩解得出錯誤答案.6、A【解析】
由題意分別判斷命題的充分性與必要性,可得答案.【詳解】解:由題意,若、的體積不相等,則、在等高處的截面積不恒相等,充分性成立;反之,、在等高處的截面積不恒相等,但、的體積可能相等,例如是一個正放的正四面體,一個倒放的正四面體,必要性不成立,所以是的充分不必要條件,故選:A.【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定,意在考查學生的邏輯推理能力.7、C【解析】
畫出函數(shù)和的圖像,和均關于點中心對稱,計算得到答案.【詳解】,驗證知不成立,故,畫出函數(shù)和的圖像,易知:和均關于點中心對稱,圖像共有8個交點,故所有解之和等于.故選:.【點睛】本題考查了方程解的問題,意在考查學生的計算能力和應用能力,確定函數(shù)關于點中心對稱是解題的關鍵.8、C【解析】
根據(jù)直線與圓相交,可求出k的取值范圍,根據(jù)幾何概型可求出相交的概率.【詳解】因為圓心,半徑,直線與圓相交,所以,解得所以相交的概率,故選C.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系,幾何概型,屬于中檔題.9、A【解析】
畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應用,考查了學生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.10、C【解析】
設M,N,P分別為和的中點,得出的夾角為MN和NP夾角或其補角,根據(jù)中位線定理,結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:設M,N,P分別為和的中點,則的夾角為MN和NP夾角或其補角可知,.作BC中點Q,則為直角三角形;中,由余弦定理得,在中,在中,由余弦定理得所以故選:C【點睛】此題考查異面直線夾角,關鍵點通過平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角,屬于較易題目.11、A【解析】
設,利用導數(shù)和題設條件,得到,得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增,得到,進而變形即可求解.【詳解】由題意,設,則,又由,所以,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則,即,變形可得.故選:A.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應用,以及利用單調(diào)性比較大小,其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關鍵,著重考查了構(gòu)造思想,以及推理與計算能力,屬于中檔試題.12、B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,平面向量夾角的求法,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積,再用幾何概型公式求出即可.【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形,可分割為12個頂角為,腰為1的等腰三角形,∴該正十二邊形的面積為,根據(jù)幾何概型公式,該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為,故答案為:.【點睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計算,屬于基礎題.14、【解析】
首先解不等式,再由在區(qū)間上恒成立,即得到不等組,解得即可.【詳解】解:且,即解得,即因為在區(qū)間上恒成立,解得即故答案為:【點睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題,屬于基礎題.15、【解析】
判斷的奇偶性和單調(diào)性,原不等式轉(zhuǎn)化為,運用單調(diào)性,可得到所求解集.【詳解】令,易知函數(shù)為奇函數(shù),在R上單調(diào)遞增,,即,∴∴,即x>故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于中檔題.16、【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理化簡已知條件,由此求得的值,進而求得的大小.(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式,求得的表達式,進而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題設知,,即,所以,即,又所以.(2)由題設知,,即,又為銳角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范圍,求邊的比值的取值范圍,屬于中檔題.18、(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點斜式求函數(shù)在點處的切線方程;②令,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當時,;當時,;當時,.(2)由題意,,在上有唯一零點.利用導數(shù)可得當時,在上單調(diào)遞減,當,時,在,上單調(diào)遞增,得到.由在恒成立,且有唯一解,可得,得,即.令,則,再由在上恒成立,得在上單調(diào)遞減,進一步得到在上單調(diào)遞增,由此可得.【詳解】解:(1)①當時,,,,又,切線方程為,即;②令,則,在上單調(diào)遞減.又,當時,,即;當時,,即;當時,,即.證明:(2)由題意,,而,令,解得.,,在上有唯一零點.當時,,在上單調(diào)遞減,當,時,,在,上單調(diào)遞增..在恒成立,且有唯一解,,即,消去,得,即.令,則,在上恒成立,在上單調(diào)遞減,又,,.在上單調(diào)遞增,.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程,考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查邏輯思維能力與推理論證能力,屬難題.19、(1).(2)【解析】
(1)根據(jù)題意代入公式化簡即可得到.(2)聯(lián)立極坐標方程通過極坐標的幾何意義求解,再求點到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解:(1)曲線,即.∴.曲線的極坐標方程為.直線的極坐標方程為,即,∴直線的直角坐標方程為.(2)設,,∴,解得.又,∴(舍去).∴.點到直線的距離為,∴的面積為.【點睛】此題考查參數(shù)方程,極坐標,直角坐標之間相互轉(zhuǎn)化,注意參數(shù)方程只能先轉(zhuǎn)化為直角坐標再轉(zhuǎn)化為極坐標,屬于較易題目.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由函數(shù)和的圖象關于原點對稱可得的表達式,再去掉絕對值即可解不等式;(2)對,不等式成立等價于,去絕對值得不等式組,即可求得實數(shù)的取值范圍.試題解析:(1)∵函數(shù)和的圖象關于原點對稱,∴,∴原不等式可化為,即或,解得不等式的解集為;(2)不等式可化為:,即,即,則只需,解得,的取值范圍是.21、(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進而可得出,則①②中有且只有一個正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計算出和,計算出,可得出,進而可求得的面積.【詳解】(1)因為,所以,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個正確,③正確.顯然,得.當①③正確時,由,得(無解);當②③正確時,由于,,得;(2)如圖,因為,,則,則,.【點睛】本題考查解三角形綜合應用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應用,考查計算能力,屬于中等題.22、(1)(2)①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進行求解;(2)①設數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,得出;當n為偶數(shù)時,得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設可以為等比數(shù)列,結(jié)合題意得出矛盾,進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因為,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項,2為公差的等
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