甘肅省慶陽(yáng)市寧縣中2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省慶陽(yáng)市寧縣中2025屆高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．己知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點(diǎn)在四棱錐的外接球面上運(yùn)動(dòng)，記點(diǎn)到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A． B．C． D．2．某個(gè)小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A．10 B．50 C．60 D．1403．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．－23 B．17 C．20 D．634．若函數(shù)滿足，且，則的最小值是（）A． B． C． D．5．在我國(guó)傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個(gè)物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關(guān)系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個(gè)，這二者具有相生關(guān)系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.86．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．已知復(fù)數(shù)z滿足,則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．9．某高中高三（1）班為了沖刺高考，營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍，向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上，小王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對(duì)三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小王說：“入班即靜”是我寫的；小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；小李說：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜”的書寫者是（）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李10．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．12．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且，過點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為.給出下列四個(gè)命題：①在拋物線上滿足條件的點(diǎn)僅有一個(gè)；②若是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；③無論過點(diǎn)的直線在什么位置，總有；④若點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影為，則三點(diǎn)在同一條直線上.其中所有正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的T的值為________.14．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)為________.15．設(shè)為銳角，若，則的值為____________．16．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，成等差數(shù)列，則的值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且順次連接四個(gè)頂點(diǎn)恰好構(gòu)成了一個(gè)邊長(zhǎng)為且面積為的菱形．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，若對(duì)滿足條件的任意直線，不等式恒成立，求的最小值.18．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.19．（12分）已知橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn)，（?。┳C明：平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（ⅱ）當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．20．（12分）若養(yǎng)殖場(chǎng)每個(gè)月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場(chǎng)考核為合格，該養(yǎng)殖場(chǎng)在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤(rùn)/十萬元3.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場(chǎng)2019年2月到6月這5個(gè)月中任意選取3個(gè)月，求恰好有2個(gè)月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤(rùn)y（十萬元）關(guān)于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預(yù)計(jì)在今后的養(yǎng)殖中，月利潤(rùn)與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關(guān)系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計(jì)：該月利潤(rùn)約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計(jì)計(jì)算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.21．（12分）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”.在如圖所示的陽(yáng)馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)D），交PC于N（異于點(diǎn)C）.（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫出它每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）管道清潔棒是通過在管道內(nèi)釋放清潔劑來清潔管道內(nèi)壁的工具，現(xiàn)欲用清潔棒清潔一個(gè)如圖1所示的圓管直角彎頭的內(nèi)壁，其縱截面如圖2所示，一根長(zhǎng)度為的清潔棒在彎頭內(nèi)恰好處于位置（圖中給出的數(shù)據(jù)是圓管內(nèi)壁直徑大小，）.（1）請(qǐng)用角表示清潔棒的長(zhǎng)；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長(zhǎng)度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點(diǎn)的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點(diǎn)，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球心，且，設(shè)四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.2、C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為，故選C3、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為.則①出，則出，該項(xiàng)為：；②出，則出，該項(xiàng)為：；③出，則出，該項(xiàng)為：；綜上所述：合并后的項(xiàng)的系數(shù)為17.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求解方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查理解能力，計(jì)算能力，分類討論和應(yīng)用意識(shí).4、A【解析】

由推導(dǎo)出，且，將所求代數(shù)式變形為，利用基本不等式求得的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.【詳解】函數(shù)滿足，，即，，，，即，，則，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.，由于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5、B【解析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個(gè)，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

設(shè)，由得：，由復(fù)數(shù)相等可得的值，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】設(shè)，由得：，即，由復(fù)數(shù)相等可得：，解之得：，則，所以，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的求法，考查對(duì)復(fù)數(shù)相等的理解，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于?？碱}.8、D【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)題意，分別假設(shè)一個(gè)正確，推理出與假設(shè)不矛盾，即可得出結(jié)論.【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”，而否定小董說法后得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，則矛盾；若只有小董的說法正確，則小董對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，否定小李的說法后得出：小李對(duì)應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”，所以剩下小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”，但與小王的錯(cuò)誤的說法矛盾；若小李的說法正確，則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的，則否定小董的說法得出：小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”，所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是：小李.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.10、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.11、D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，求解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項(xiàng).12、C【解析】

①：由拋物線的定義可知，從而可求的坐標(biāo)；②：做關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，通過分析可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，由兩點(diǎn)間的距離公式，可求此時(shí)最小值；③：設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可知焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而可求，從而可判斷出的關(guān)系；④：計(jì)算直線的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進(jìn)而可判斷三點(diǎn)在同一條直線上.【詳解】解：對(duì)于①，設(shè)，由拋物線的方程得，則，故，所以或，所以滿足條件的點(diǎn)有二個(gè)，故①不正確；對(duì)于②，不妨設(shè)，則關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，故，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故②正確；對(duì)于③，由題意知，，且的斜率不為0，則設(shè)方程為：，設(shè)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，，整理得，則，所以，則.故的傾斜角互補(bǔ)，所以，故③正確.對(duì)于④，由題意知，由③知，則，由，知，即三點(diǎn)在同一條直線上，故④正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點(diǎn)的斜率公式.本題的難點(diǎn)在于第二個(gè)命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時(shí)取最小值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由程序中的變量、各語句的作用，結(jié)合流程圖所給的順序，模擬程序的運(yùn)行，即可得到答案.【詳解】根據(jù)題中的程序框圖可得：,執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，此時(shí)，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序和算法，依次寫出每次循環(huán)得到的，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查.14、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

∵為銳角，，∴，∴，，故.16、2【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解即可.【詳解】解：等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用,屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由已知條件列出關(guān)于和的方程，并計(jì)算出和的值，jike得到橢圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出，分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，求解出的最小值.【詳解】（1）由己知得：，解得，所以，橢圓的方程（2）設(shè)，．當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，且此時(shí)，，當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線由，得．，.要使恒成立，只需，即最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了求解橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，求解過程中需要分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，并運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的表達(dá)式進(jìn)行求解，需要掌握解題方法，并且有一定的計(jì)算量.18、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）求出的定義域，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)、分類討論得到答案.（2）設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得證.（3）由（1）可知，可得，即又即可得證.【詳解】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.由（1）知，，所以，即.當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.19、（1）（2）（?。┮娊馕觯áⅲc(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】

（1）由題意得，再由的關(guān)系求出，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)，的中點(diǎn)為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程中，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合三點(diǎn)共線的方法：斜率相等，即可得證；（ii）利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長(zhǎng)公式將表示出來，由換元法的對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系，從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解：（1）由題意得，，所以，所以橢圓方程為（2）設(shè)，的中點(diǎn)為，（?。┳C明：由，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，得，所以，所以，則直線的斜率為，因?yàn)?，所以，所以三點(diǎn)共線，所以平分線段；（ii）由兩點(diǎn)間的距離公式得由弦長(zhǎng)公式得所以，令，則，由在上遞增，可得，即時(shí)，取得最小值4，所以當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題考那可是橢圓方程和性質(zhì)，主要考查橢圓方程的運(yùn)用，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，同時(shí)考查弦長(zhǎng)公式，屬于較難題.20、（1）；（2）；（3）利潤(rùn)約為111.2萬元.【解析】

（1）首先列出基本事件，然后根據(jù)古典概型求出恰好兩個(gè)月合格的概率；（2）首先求出利潤(rùn)y和養(yǎng)殖量x的平均值，然后根據(jù)公式求出線性回歸方程中的斜率和截距即可求出線性回歸方程；（3）根據(jù)線性回歸方程代入9月份的數(shù)據(jù)即可求出9月利潤(rùn).【詳解】（1）2月到6月中，合格的月份為2，3，4月份，則5個(gè)月份任意選取3個(gè)月份的基本事件有，，，，，，，，，，共計(jì)10個(gè)，故恰好有兩個(gè)