安徽省淮南市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考含解析

Page22安徽省淮南市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考（考試時間：2小時分值：150分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.過兩點、的直線的傾斜角為，則的值為（）A.4或－1 B.－1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】依據(jù)斜率與傾斜角之間的關(guān)系得到分式方程，解出值，最終不忘檢驗.【詳解】由題意得，化簡得，解得或4，又，，故選：D.2.已知橢圓C：的左右焦點分別為F1、F2，過左焦點F1，作直線交橢圓C于A、B兩點，則三角形ABF2的周長為（）A.10 B.15 C.20 D.25【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義求解即可【詳解】由題意橢圓的長軸為，由橢圓定義知∴故選：C3.點M，N是圓＝0上的不同兩點，且點M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意可得：直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心（－，－1），代入運算解得k＝4，再代入求圓的半徑．【詳解】圓＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，則圓心坐標(biāo)為（－，－1），半徑為因為點M，N在圓＝0上，且點M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圓的方程為：＝0，圓的半徑＝3.故選：C．4.三棱柱中，為棱的中點，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算法則與空間向量基本定理，求解即可．【詳解】．故選：D．5.“”是“直線與直線相互垂直”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩直線垂直的性質(zhì)分析推斷.【詳解】∵直線與直線相互垂直∴，∴或，而“”是“或”的充分不必要條件∴“”是“直線與直線相互垂直”的充分不必要條件，故選：A.6.若直線：與曲線：有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直線恒過定點，曲線表示右半圓，畫出草圖可得有兩個交點，需求臨界相切時的斜率（1個交點）與臨界過點A的直線的斜率（2個交點）.【詳解】∵直線l：恒過定點曲線C：即：∴曲線C表示：以（1，1）為圓心，1為半徑的的那部分圓.∵直線l與曲線C有兩個交點，∴如圖所示，當(dāng)過點M的直線與圖中這部分圓相切時有1個交點，此時解得：當(dāng)過點M的直線也過點時有2個交點，此時∴故選：B.7.已知，是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，且，則的內(nèi)切圓的半徑（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】依據(jù)橢圓方程求出、、的值，即可得到、、的值，從而求出的面積，再利用等面積法求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】解：橢圓中，，，則，、∴，，∴．∵，，∴，∵，∴，解得．故選：C．8.已知點在直線上，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，點在圓上，則點到直線距離的最大值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，由切線的性質(zhì)得點、在以為直徑的圓上，求出該圓的方程，與圓的方程聯(lián)立可得直線的方程，將其變形分析可得直線恒過的定點，由點到直線的距離分析可得答案．【詳解】依據(jù)題意，設(shè)為直線上的一點，則，過點作圓的切線，切點分別為、，則有，，則點、在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的圓心為C，，半徑，則其方程為，變形可得，聯(lián)立，可得圓C和圓O公共弦AB為：，又由，則有，變形可得，則有，解可得，故直線恒過定點，點在圓上，則點到直線距離的最大值為．故選：B．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）9.已知橢圓的上下焦點分別為，左右頂點分別為，是該橢圓上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A.該橢圓的長軸長為B.使為直角三角形點共有6個C.若點的縱坐標(biāo)為1，則的長度為D.若點是異于，的點，則直線與的斜率之積為－2【答案】BCD【解析】【分析】A.由橢圓方程知，則橢圓的長軸長為.B.為直角三角形要從分別為直角動身考慮.C.求出點的坐標(biāo)，進而得到答案.D.把點的坐標(biāo)設(shè)出來，干脆求直線與的斜率之積，利用橢圓方程把點的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示出來即可得到答案.【詳解】A.由橢圓方程知，則橢圓的長軸長為.故選項A不正確.B.當(dāng)軸時，滿意為直角三角形，此時點有2個；軸時，滿意為直角三角形，此時點有2個；又因為，滿意為直角三角形，此時點可以為左右頂點.所以使為直角三角形的點共有6個.故選項B正確.C.若點的縱坐標(biāo)為1,則，則的長度為.故選項C正確.D.設(shè)點，則，則直線與的斜率之積.故選項D正確.故選：BCD10.如圖，正方體的棱長為，、、分別為、、的中點，則（）A.直線與直線垂直 B.直線與平面平行C.平面截正方體所得的截面面積為 D.點與點到平面的距離相等【答案】BC【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可推斷ABD選項；作出截面，計算出截面面積，可推斷C選項.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、、、，對于A選項，，，則，所以，直線與直線不垂直，A錯；對于B選項，設(shè)平面法向量為，，，則，取，可得，，所以，，即，因為平面，平面，B對；對于C選項，連接、、，因為、分別為、的中點，則，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，所以，，所以，、、、四點共面，故平面截正方體所得截面為，且，同理可得，，所以，四邊形等腰梯形，分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別、，如下圖所示：因為，，，所以，，故，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，，故，故梯形的面積為，C對；對于D選項，，則點到平面的距離為，，則點到平面的距離為，所以，點與點到平面的距離不相等，D錯.故選：BC.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓上有且僅有四個點到直線的距離為，則實數(shù)的取值可能是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】分析可知直線平行且與該直線間距離為的直線的方程為、，由題意可知，直線、與圓均相交，可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即可得出合適的選項.【詳解】設(shè)與直線平行且與該直線間距離為的直線的方程為，則，解得或，所以，直線、均與圓相交，而圓心為原點，圓的半徑長為，所以，，解得，故選：CD.12.古希臘聞名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺了平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”在平面直角坐標(biāo)系中，已知點滿意，設(shè)點的軌跡為圓，則下列說法正確的是（）A.圓的方程是B.過點向圓引切線，兩條切線的夾角為C.過點作直線，若圓上恰有三個點到直線的距離為，則該直線的斜率為D.過直線上的一點向圓引切線，則四邊形的面積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，設(shè)點坐標(biāo)，依據(jù)代入化簡，可得A正確；對于B，設(shè)切線夾角為，可得，解得B正確；對于C，若圓上恰有三個點到直線的距離為，可推斷直線與圓相切，進而可解得，故C錯誤；對于D，由條件可表達四邊形的面積為，求的最小值，計算可得D正確.【詳解】對于A，因為，點滿意，設(shè)，則，化簡得，，即，故A正確；對于B，因為，設(shè)兩條切線的夾角為，所以，解得，則，故B正確；對于C，易知直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，因為圓上恰有三個點到直線的距離為2，所以圓心到直線的距離，解得，故C錯誤；對于D，由題意可得，故只需求的最小值即可，的最小值為點到直線的距離，即，所以四邊形的面積的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.設(shè)是橢圓：上隨意一點，為的右焦點，的最小值為，則橢圓的離心率為_________．【答案】##【解析】【分析】利用已知條件推出，然后求解橢圓的離心率即可．【詳解】解：是橢圓上隨意一點，為的右焦點，的最小值為，可得，所以，即，所以，解得，所以．故答案為：．14.過點，并且在兩軸上的截距相等的直線方程是______.【答案】或【解析】【分析】先設(shè)出直線方程，然后令，求出兩軸上的截距，再依據(jù)截距相等求出斜率，即可得出直線方程.【詳解】有題意可知，直線的斜率存在且不為0，因為直線過點，所以可設(shè)直線方程為，即為，令可得；令可得，因為直線在兩軸上的截距相等，所以，解得或，代入可得直線方程為或.故答案為：或.【點睛】本題主要考查直線點斜式方程和截距，解題的關(guān)鍵是找出直線的橫縱截距.15.如圖所示，在正四棱柱中，若，，則異面直線與所成角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和的方向向量，利用向量夾角公式求向量夾角，由此可得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】以點為原點，，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以，，，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.16.平面直角坐標(biāo)系中，，過點作兩條直線，被圓M截得弦AB，CD，滿意.設(shè)線段AC的中點為N，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點為，依據(jù)題意，確定為定值，再依據(jù)向量的基本運算，結(jié)合為定值可確定的軌跡方程，求得的最小值即可【詳解】設(shè)的中點為，因為，故，由垂徑定理，，故.即，所以，因為，且，故，即，故，故的軌跡方程為，所以的最小值為.故答案為：四、解答題（本題共6小題，第17題10分，18-22題每題12分，共70分）17.已知的頂點，邊AB上的中線CM所在直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為．求：（1）頂點C的坐標(biāo)；（2）直線BC的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先依據(jù)直線AC與直線BH垂直，斜率乘積為-1，得到，從而利用點斜式求出直線AC方程，與CM所在直線聯(lián)立求出點C坐標(biāo)；（2）先設(shè)出點的坐標(biāo)為，利用中點坐標(biāo)公式表達出點坐標(biāo)，再把B點坐標(biāo)代入BH所在直線，求出，從而求出點B坐標(biāo)，結(jié)合第一問求解的點C的坐標(biāo)，求出直線BC的方程【小問1詳解】因為邊AC上的高BH所在直線方程為∴，且∴∵的頂點∴直線AC方程：，即與聯(lián)立，，解得：所以頂點C的坐標(biāo)為【小問2詳解】因為CM所在直線方程為故設(shè)點的坐標(biāo)為因為是中點，所以因為在BH所在直線上所以，解得：所以點坐標(biāo)為由第一問知：C的坐標(biāo)為故直線BC的方程為，整理得：18.橢圓C：左右焦點為，，離心率為，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點，傾斜角為直線l與橢圓交于B，C兩點，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用橢圓的離心率，過點，及，列方程解出即可得橢圓方程；（2）由已知可得直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式求解.【小問1詳解】解：由題意得，解得，又因為點在橢圓C上，帶入得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：易得直線l的解析式為，設(shè)，聯(lián)立橢圓的方程得，所以．19.如圖，在直三棱柱中，為的中點，交于點，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，是的中點，為的中點，可得，再利用線面平行的判定定理即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，由求解.【小問1詳解】證明：因為為三棱柱，所以平面是平行四邊形，又交于點，所以是的中點．又為的中點，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】解：在直三棱柱中，平面，又，所以、、兩兩相互垂直，所以以為坐標(biāo)原點，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，則，，，，，所以，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，不妨令，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，所以，不妨令，則．所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知圓E經(jīng)過點，，且______.從下列3個條件中選取一個，補充在上面的橫線處，并解答.①與y軸相切；②圓E恒被直線平分；③過直線與直線的交點（1）求圓E的方程；（2）求過點的圓E的切線方程，并求切線長.【答案】（1）（2）切線方程為或，切線長【解析】【分析】（1）依據(jù)題意設(shè)出圓的一般方程或標(biāo)準(zhǔn)方程，對①②③逐個分析，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先推斷點P在圓外，知切線有兩條，分狀況探討即可.【小問1詳解】選①，設(shè)圓E的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為選②，直線恒過，而圓E恒被直線平分，所以恒過圓心，因為直線過定點，所以圓心為，可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由圓E經(jīng)過點，得，則圓E的方程為選③，由條件易知，設(shè)圓的方程為，由題意可得，解得，則圓E的方程為，即【小問2詳解】因為，所以點P在圓E外，若直線斜率存在，設(shè)切線的斜率為，則切線方程為，即所以，解得所以切線方程為，若直線斜率不存在，直線方程為，滿意題意.綜上過點的圓E的切線方程為或，切線長21.用文具盒中的兩塊直角三角板（直角三角形和直角三角形）圍著公共斜邊翻折成的二面角，如圖和，，，，，將翻折到，使二面角成，為邊上的點，且．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取BC中點F，連接，可證明平面，再由線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角即可.【小問1詳解】取BC中點F，連接，如圖，由已知知；又，則，，，，即，又，平面，平面，.【小問2詳解】以F為坐標(biāo)原點建系如圖，