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PAGE4PAGE3考點(diǎn)1線面垂直的判定與性質(zhì)(2024·浙江卷)如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)證明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.【解析】方法一(1)證明由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得AB1=A1B1=22,所以A1B12+AB12故AB1⊥A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC,得B1C1=5.由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=23.由CC1⊥AC,得AC1=13,所以AB12+B1C12故AB1⊥B1C1.又因?yàn)锳1B1∩B1C1=B1,A1B1,B1C1?平面A1B1C1,因此AB1⊥平面A1B1C1.(2)如圖,過點(diǎn)C1作C1D⊥A1B1,交直線A1B1于點(diǎn)D,連接AD.由AB1⊥平面A1B1C1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1.由C1D⊥A1B1,平面A1B1C1∩平面ABB1=A1B1,C1D?平面A1B1C1,得C1D⊥平面ABB1.所以∠C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.由B1C1=5,A1B1=22,A1C1=21,得cos∠C1A1B1=427,sin∠C1A1B1=7所以C1D=3,故sin∠C1AD=C1DAC因此直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913方法二(1)證明如圖,以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線OB,OC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:A(0,-3,0),B(1,0,0),A1(0,-3,4),B1(1,0,2),C1(0,3,1).因此AB1=(1,3,2),A1B1=(1,3,-2),由AB1·A1B1=0,得AB1⊥A由AB1·A1C1=0,得AB1⊥A又A1B1∩A1C1=A1,A1B1,A1C1?平面A1B1C1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為θ.由(1)可知AC1=(0,23,1),AB=(1,3,0),BB設(shè)平面ABB1的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).由n·AB=可取n=(-3,1,0).所以sinθ=|cos〈AC1,n〉|=AC1因此直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是3913【答案】見解析(2024·全國Ⅱ卷(文))如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).(1)證明:PO⊥平面ABC;(2)若點(diǎn)M在棱BC上,且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.【解析】(1)證明因?yàn)镻A=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)P⊥AC,且OP=23.如圖,連接OB.因?yàn)锳B=BC=22AC所以△ABC為等腰直角三角形,所以O(shè)B⊥AC,OB=12AC由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.因?yàn)镺P⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,OB,AC?平面ABC,所以PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足為H,作CH⊥OM,垂足為H,又由(1)可得OP⊥CH,因?yàn)镺M∩OP=P,OM,OP?平面POM,所以CH⊥平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題意可知OC=12AC=2,
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