2025屆高考數(shù)學一輪復習近8年真題分類匯編專題2基本不等式

PAGEPAGE1專題2—基本不等式考試說明：1、了解基本不等式的證明過程；會用基本不等式解決簡潔的最大值、最小值問題高頻考點：1、利用基本不等式求最大值、最小值問題；2、以函數(shù)應用題為載體，結合新背景考查基本不等式的實際應用。在高考中本專題一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)在解答題的某一問中，有肯定的難度。同學們在學習過程中留意總結題型及其方法。典例分析1．（2024?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．2．（2024?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是A． B． C． D．3．（2015?上海）已知，，若，則A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值4．（2015?福建）若直線過點，則的最小值等于A．2 B．3 C．4 D．55．（2015?湖南）若實數(shù)，滿意，則的最小值為A． B．2 C． D．46．（2014?重慶）若，則的最小值是A． B． C． D．7．（2013?山東）設正實數(shù)，，滿意．則當取得最大值時，的最大值為A．0 B．1 C． D．38．（2024?天津）已知，，且，則的最小值為．9．（2024?江蘇）已知，則的最小值是．10．（2024?天津）設，，，則的最小值為．真題集訓1．（2013?福建）若，則的取值范圍是A．， B．， C．， D．，2．（2012?浙江）若正數(shù)，滿意，則的最小值是A． B． C．5 D．63．（2012?陜西）小王從甲地到乙地的來回時速分別為和，其全程的平均時速為，則A． B． C． D．4．（2024?山東）（多選）已知，，且，則A． B． C． D．5．（2024?上海）若，，且，則的最大值為．（2024?天津）已知，，且，則的最小值為．（2017?天津）若，，，則的最小值為．（2011?湖南）設，，且，則的最小值為．（2014?浙江）已知實數(shù)，，滿意，，則的最大值是．10．（2011?浙江）設，為實數(shù)，若，則的最大值是．11．（2011?浙江）若實數(shù)，滿意，則的最大值是．（2011?重慶）若實數(shù)，，滿意，，則的最大值是．典例分析答案1．（2024?上海）下列不等式恒成立的是A． B． C． D．分析：利用恒成立，可干脆得到成立，通過舉反例可解除．解答：解：．明顯當，時，不等式不成立，故錯誤；．，，，故正確；．明顯當，時，不等式不成立，故錯誤；．明顯當，時，不等式不成立，故錯誤．故選：．點評：本題考查了基本不等式的應用，考查了轉化思想，屬基礎題．2．（2024?乙卷）下列函數(shù)中最小值為4的是A． B． C． D．分析：利用二次函數(shù)的性質求出最值，即可推斷選項，依據(jù)基本不等式以及取最值的條件，即可推斷選項，利用基本不等式求出最值，即可推斷選項，利用特別值驗證，即可推斷選項．解答：解：對于，，所以函數(shù)的最小值為3，故選項錯誤；對于，因為，所以，當且僅當，即時取等號，因為，所以等號取不到，所以，故選項錯誤；對于，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為4，故選項正確；對于，因為當時，，所以函數(shù)的最小值不是4，故選項錯誤．故選：．點評：本題考查了函數(shù)最值的求解，涉及了二次函數(shù)最值的求解，利用基本不等式求解最值的應用，在運用基本不等式求解最值時要滿意三個條件：一正、二定、三相等，考查了轉化思想，屬于中檔題．3．（2015?上海）已知，，若，則A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值分析：依據(jù)基本不等式的性質推斷即可．解答：解：，，且，，有最小值，故選：．點評：本題考查了基本不等式的性質，是一道基礎題．4．（2015?福建）若直線過點，則的最小值等于A．2 B．3 C．4 D．5分析：將代入直線得：，從而，利用基本不等式求出即可．解答：解：直線過點，，所以，當且僅當即時取等號，最小值是4，故選：．點評：本題考查了基本不等式的性質，求出，得到是解題的關鍵．5．（2015?湖南）若實數(shù)，滿意，則的最小值為A． B．2 C． D．4分析：由，可推斷，，然后利用基礎不等式即可求解的最小值解答：解：，，，（當且僅當時取等號），，解可得，，即的最小值為，故選：．點評：本題主要考查了基本不等式在求解最值中的簡潔應用，屬于基礎試題6．（2014?重慶）若，則的最小值是A． B． C． D．分析：利用對數(shù)的運算法則可得，，再利用基本不等式即可得出解答：解：，，．，，，．，，則，當且僅當取等號．故選：．點評：本題考查了對數(shù)的運算法則、基本不等式的性質，屬于中檔題．7．（2013?山東）設正實數(shù)，，滿意．則當取得最大值時，的最大值為A．0 B．1 C． D．3分析：依題意，當取得最大值時，代入所求關系式，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：，，又，，均為正實數(shù)，（當且僅當時取“”，，此時，．，，當且僅當時取得“”，滿意題意．的最大值為1．故選：．點評：本題考查基本不等式，由取得最大值時得到是關鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．8．（2024?天津）已知，，且，則的最小值為4．分析：由，利用基本不等式即可求出．解答：解：，，且，則，當且僅當，即，或，取等號，故答案為：4點評：本題考查了基本不等式的應用，考查了運算求解實力，屬于中檔題．9．（2024?江蘇）已知，則的最小值是．分析：方法一、由已知求得，代入所求式子，整理后，運用基本不等式可得所求最小值；方法二、由，運用基本不等式，計算可得所求最小值．解答：解：方法一、由，可得，由，可得，，則，當且僅當，，可得的最小值為；方法二、，故，當且僅當，即，時取得等號，可得的最小值為．故答案為：．點評：本題考查基本不等式的運用：求最值，考查轉化思想和化簡運算實力，屬于中檔題．10．（2024?天津）設，，，則的最小值為．分析：利用基本不等式求最值．解答：解：，，，則；，，，由基本不等式有：，，，故：；（當且僅當時，即：，時，等號成立），故的最小值為；故答案為：．點評：本題考查了基本不等式在求最值中的應用，屬于中檔題．真題集訓答案1．解：，變形為，即，當且僅當時取等號．則的取值范圍是，．故選：．2．解：正數(shù)，滿意，當且僅當時取等號，，即的最小值是5．故選：．3．解：設小王從甲地到乙地按時速分別為和，行駛的路程則綜上可得，故選：．4．解：①已知，，且，所以，則，故正確．②利用分析法：要證，只需證明即可，即，由于，，且，所以：，，故正確．③，故錯誤．④由于，，且，利用分析法：要證成立，只需對關系式進行平方，整理得，即，故，當且僅當時，等號成立．故正確．故選：．5．解：，；故答案為：6．解：，，且，可得：，則，當且僅當．即時取等號．函數(shù)的最小值為：．故答案為：．7．解：【解法一】，，，，當且僅當，即，即，或，時取“”；上式的最小值為4．【解法二】，，，，當且僅當，即，即，或，時取“”；上式的最小值為4．故答