2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)專練：一元一次方程

一元一次方程

1、概念理解錯(cuò)誤導(dǎo)致出錯(cuò).

定義用等號(hào)“=”來表示相等關(guān)系的式子,叫做等式.

學(xué)習(xí)誤區(qū)

2、性質(zhì)運(yùn)用錯(cuò)誤導(dǎo)致出錯(cuò).

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一

(1)定義不同.個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.

a=b。?！纁=b±c

1.區(qū)別

(2)代數(shù)式僅用運(yùn)算符號(hào)連接，不含等號(hào).性質(zhì)

代數(shù)式、等等式

式與方程的

方程是特殊的等式，但等式不一定是方程.區(qū)別與聯(lián)系知能提升

(3)(2)等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)不為0的數(shù),

總結(jié)知識(shí)所得結(jié)果仍是等式.

升華梳理■*>?^a=Z>,c#0Qac=bc^i+c=b+c一

(1)等式和方程的左、右兩邊都由代數(shù)式構(gòu)成.2.聯(lián)系

含有未知數(shù)的等式叫做方程.

(2)方程是含有未知數(shù)的等

如，x+3=5^+y=l^2+2x-3=0,-

定義

只要是用“="連接的式子，而

不管它是否成立.方程使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)

方程的解的值叫做方程的解，只有一個(gè)未知

數(shù)的方程的解，也叫做方程的根.

1、等式的概念

.一、?學(xué)等式.學(xué)法

兩個(gè)條件，缺一不可指導(dǎo)

常求方程的解的過程叫做解方程.

含有未知數(shù).2、方程的概念解方程

見

概念問題的

幾

它(或它們)是方程中未知數(shù)的值.種若兩個(gè)方程的解相同，則這兩個(gè)

3、方程的解方方程叫做同解方程.一

將它(們)分別代入方程的左邊和右程

邊，左邊等于右邊.

一元一次方程形如“x+/?=O（a戶0）

基本性質(zhì)1形如上x+b『,=0

二元一次方程組

若a=b,貝ija±c=b±c.性質(zhì)形叫田+%E=0

若a=b,Mac=bc.￡=微（。*0）.基本性質(zhì)2

無理一兀二次方程形如ai2+/>x+c=0(“K0)

方程

b.b

形如>/x+a+b=O,形如-

若。=6,則b=a;若a=b.b=c則a=c.基本性質(zhì):

即根號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程.分式方程即分母含有未知數(shù)的方程.

1、移項(xiàng)忘記變符號(hào).

2、違反去括號(hào)法則.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,系數(shù)

不等于0的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式

3、去分母時(shí)，漏給不含分母的項(xiàng)乘公分母.^￡?:+/>=0（a,6為常數(shù)，"0）.___________________

】忽視分?jǐn)?shù)線的“括號(hào)”作用.

學(xué)習(xí)誤區(qū)

5、忽視“0”的特性：任何數(shù)與0相乘都得0.

6、小數(shù)化為整數(shù)時(shí)，把小數(shù)以外的數(shù)也跟著擴(kuò)大.,、去分母-邊扁府壺存分刑的.小公他瞰

定義

7、小數(shù)化為整數(shù)時(shí)，同一分?jǐn)?shù)中的分子，分母擴(kuò)大的倍數(shù)不同.

知能提升二去括號(hào)—老去小括號(hào).再去中括號(hào)，最后去大括號(hào).

總結(jié)

用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本思路知識(shí)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，

3、移項(xiàng)

卜升華梳理其他項(xiàng)移到方程的右邊，移項(xiàng)要變號(hào).

數(shù)學(xué)問題--------------?已知■,未知■,等■關(guān)系解方

不程步驟4、合并同類項(xiàng)化為最簡(jiǎn)方程以=伙。工0）的形式.

合

理s

5、系數(shù)化為1x*

解的合理性，空方程的解J巴方I程

若有分母先去掉，化為整式很重要;

去分母1.弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，

各項(xiàng)都乘公分母，分子項(xiàng)多加括號(hào).用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù)____

正括號(hào)來不變號(hào)，負(fù)括號(hào)來全變號(hào);

去括號(hào)

各項(xiàng)都要乘系數(shù)，系數(shù)分配要公道」

指導(dǎo)

未知在左常數(shù)右，移項(xiàng)切記要變號(hào).移項(xiàng)

解方程

同類合并要謹(jǐn)慎，一邊一項(xiàng)處理好.合并同類項(xiàng)注意問題

系數(shù)化一有講究，分?jǐn)?shù)乘倒整數(shù)除.系數(shù)化為一

應(yīng)整藉題

找出已知與未知，相等關(guān)系列方程.

應(yīng)用解字

類型母系

解出負(fù)數(shù)要斟酌，未知范圍莫忽略.數(shù)的

一元

可化為?=/>的形式

一次

和差倍分問題、等積變形問題、數(shù)字問題、行程方程

問題（相遇、追及、航行）、勞力調(diào)配問題、工

(2)a=0,6W0.r無解.J

程問題、儲(chǔ)蓄問題、商品利潤問題……

⑶a=0力知為任意

02）知名梳理

知識(shí)點(diǎn)01：解一元一次方程

【高頻考點(diǎn)精講】

1.解一元一次方程的一般步驟

（1）一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1。

（2）所有步驟目的：使方程逐漸向x=a形式轉(zhuǎn)化。

2.解一元一次方程時(shí)，應(yīng)該先觀察方程的形式和特點(diǎn)，如果有分母一般先去分母；如果既有分母又有括號(hào)，

且括號(hào)外的項(xiàng)乘以括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號(hào)。

3.求解“a/bx=c”類型方程時(shí)，將方程左邊按照合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)，即（界6）x=c,使方程

逐漸轉(zhuǎn)化為"=6的最簡(jiǎn)形式，體現(xiàn)化歸思想。將ax=6系數(shù)化為1時(shí)，首先弄清楚求x時(shí)，方程兩邊除

以的是a還是6,尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；其次要準(zhǔn)確判斷符號(hào)，a、6同號(hào)x為正，a、6異號(hào)x為負(fù)。

知識(shí)點(diǎn)02：由實(shí)際問題抽象出一元一次方程

【高頻考點(diǎn)精講】

1.“總量=各部分量的和”是列方程解應(yīng)用題中一個(gè)基本的關(guān)系式，在此類問題中，首先表示出各部分的

量和總量，然后利用它們之間的等量關(guān)系列方程；

2.“表示同一個(gè)量的不同式子相等”是列方程解應(yīng)用題中另一個(gè)基本關(guān)系式，也是列方程的一種基本方法。

通過對(duì)同一個(gè)量從不同角度用不同的式子表示，進(jìn)而列出方程。

知識(shí)點(diǎn)03：一元一次方程的應(yīng)用

【高頻考點(diǎn)精講】

1.銷售問題：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤率=理膽X100%；

迸價(jià)

2.工程問題：

（1）工作量=人均效率X人數(shù)X時(shí)間；

（2）如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段工作量的和=工作總量；

3.行程問題：路程=速度X時(shí)間；

4.水流航行問題：

（1）順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；

（2）逆水速度=靜水速度-水流速度。

?新題速遞

檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.66

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2023?永州）關(guān)于x的一元一次方程2X+H=5的解為x=l,則/的值為（）

A.3B.-3C.7D.-7

ft?：是關(guān)于X的一元一次方程2X+R=5的解，

A2X1+%=5,

m=3,

故選：4

2.（2分）（2023?光澤縣模擬）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有三人共車,

二車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多

出9人無車坐.問人數(shù)和車數(shù)各多少？設(shè)車x輛，根據(jù)題意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2x+9

C.三+2，_gD.3（x-2）=2（x+9）

32

解：設(shè)車x輛，

根據(jù)題意得：3（x-2）=2戶9.

故選：B.

3.（2分）（2023?連云港）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，

弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬

每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬x天可追上慢馬，由題意得（）

A.上=@2B.」一=q_12

240150240150

C.240（x-12）=150xD.240x=150（矛+12）

解：；慢馬先行12天，快馬x天可追上慢馬，

...快馬追上慢馬時(shí)，慢馬行了（x+12）天.

根據(jù)題意得：240^=150（x+12）.

故選：D.

4.（2分）（2023?貴州）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有

剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設(shè)有x戶人家，則下列方程正

確的是（）

A

-x-4-=100B.3x+l=100C,X-4-X=10QD.等=100

OOo

解：根據(jù)題意得：x+』x=100.

3

故選：C.

5.（2分）（2023?日照）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，

人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)雞價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會(huì)多

出H錢；每人出6錢，又差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x,可列方程為（）

A.9x+ll=6x+16B.9x-ll=6x-16

C.9x+ll=6x-16D.9x-11=6^+16

解：根據(jù)題意得：9x-11=6^+16.

故選：D.

6.（2分）（2023?臺(tái)灣）有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時(shí)開始往

吊橋的另一頭筆直地走過去，如圖所示，已知小維從西橋頭走了84步，阿良從東橋頭走了60步時(shí)，兩

人在吊橋上的某點(diǎn)交會(huì)，且交會(huì)之后阿良再走70步恰好走到西橋頭，若小維每步的距離相等，阿良每步

的距離相等，則交會(huì)之后小維再走多少步會(huì)恰好走到東橋頭（）

A.46B.50C.60D.72

解：設(shè)交會(huì)之后小維再走x步會(huì)恰好走到東橋頭，由題意得,

X84

而爭(zhēng)

：.x=72,

故選：D.

7.（2分）（2023?新昌縣模擬）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙

發(fā)齊，七日至長安.今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安.問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；

乙從齊國出發(fā)，7日到長安.現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā).問多久后甲乙相逢？設(shè)乙出發(fā)x日,

甲乙相逢，則可列方程（）

解：設(shè)乙出發(fā)x日，甲乙相逢，則甲出發(fā)（x-2）日，故可列方程為:

三+三2=1.

75

故選：D.

8.（2分）（2023?南充）《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，

不足一尺.木長幾何？"（尺、寸是長度單位，1尺=10寸）.意思是，現(xiàn)有一根長木，不知道其長短.用

一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再度量長木，長木還剩余1尺.問長木長多少？

設(shè)長木長為x尺，則可列方程為（）

A.—(x+4.5)—x-1B.A(x+4.5)=x+l

22

C.A(x-4.5)=x+lD.A(x-4.5)=x-1

22

解：設(shè)長木長為X尺，

:用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺,

???繩子長為（-4.5）尺,

???繩子對(duì)折再量木條，木條剩余1尺，

得方程為：—（x+4.5）=x-1.

2

故選：A.

9.（2分）（2023?宿遷）古代名著《孫子算經(jīng)》中有一題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問

人與車各幾何？設(shè)有車x輛，則根據(jù)題意，可列出方程是（）

A.3（x+2）=2x-9B.3（x+2）=2矛+9

C.3（x-2）=2x-9D.3（x-2）=2x+9

解：設(shè)有x輛車，則可列方程：3（x-2）=2戶9.

故選：D.

10.（2分）（2023?棗莊）《算學(xué)啟蒙》是我國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二

百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240

里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則

下列方程正確的是（）

A.240^+150^=150X12B.240x-150x=240義12

C.240x+150x=240X12D.240^-150^=150X12

解：依題意得：240^-150^=150X12.

故選：D.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（2分）（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）定義運(yùn)算法則：a十6=a2+a6,例如3十2=3,3X2=15.若2（Bx=

10,則x的值為3.

解：十x=10,

22+2JT=10,即4+2X=10,解得X=3.

故答案為：3.

12.（2分）（2023?德陽）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動(dòng)中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加了“智取

九宮格”游戲比賽，活動(dòng)規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個(gè)數(shù)之外的每一個(gè)方格中，填入一個(gè)

數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和分別相等，且均為加王小明抽取到的題目

如圖所示，他運(yùn)用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，很快就完成了這個(gè)游戲，則卬=39.

解：設(shè)九宮格中最中間的數(shù)為X，

??,第1列中間數(shù)與第2行的最左側(cè)的數(shù)重合,

??-16+4=7+x,

x=13,

根據(jù)九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和等于最中間數(shù)的三倍，

勿=3x=39,

故答案為：39.

13.(2分)(2023?伊通縣四模)“用繩子測(cè)水井深度，如果將繩子折成三等份，井外余繩4尺：如果將

繩子折成四等份，井外余繩1尺.問繩長、井深各是多少尺？”設(shè)井深為x尺，可列一元一次方程為3

(x+4)=4(x+1).

解：井深為x尺，

由將繩三折測(cè)之，繩多4尺，可得繩長為3(x+4),

由將繩四折測(cè)之，繩多1尺，可得繩長為4(廣1).

由繩長相等，可得3(x+4)=4(x+1).

故答案為：3(x+4)=4(x+1).

14.(2分)(2023?余江區(qū)二模)我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來

到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”詩中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么

有7人無房可??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房.設(shè)有x間客房，可列方程為：7x+7

=9(x-1).

解：根據(jù)題意得：7x+7=9(x-1),

故答案為：7e7=9(x-1).

15.(2分)(2023?慈溪市一模)方程術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中最高的代數(shù)成就.《九章算

術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善

行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時(shí)間內(nèi)，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走

路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？(注：步為長度單位)”，根據(jù)題意可求得走

路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

解：設(shè)走路快的人要走X步才能追上，則走路慢的人走上義60（步），

100

根據(jù)題意得：二一X60+100=x,

100

解得：x=250,

則走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

故答案為：250.

16.（2分）（2023?柯橋區(qū)一模）甲、乙兩個(gè)足球隊(duì)連續(xù)進(jìn)打?qū)官悾?guī)定勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，

負(fù)一場(chǎng)得0分，共賽10場(chǎng)，甲隊(duì)保持不敗，得22分，甲隊(duì)勝6場(chǎng).

解：設(shè)甲勝了x場(chǎng)，

由題意：3x+（10-x）=22,

解得x=6,

甲隊(duì)勝了6場(chǎng)，

故答案為：6.

17.（2分）（2023?吉林）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，

還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數(shù)是多少？為解決此問題，設(shè)合伙人數(shù)為x人，可列方程

為5x+45=7x+3.

解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，

依題意，得：5x+45=7x+3.

故答案為：5戶45=7x+3.

18.（2分）（2023?未央?yún)^(qū)校級(jí)三模）請(qǐng)閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數(shù)，四只棲一樹，五

只沒處去，五只棲一樹，閑了一棵樹，請(qǐng)你仔細(xì)數(shù)，鴉樹各幾何？”詩中談到的鴉為45只,樹為10

棵.

解：設(shè)樹有x棵

依題意列方程：4A+5=5（x-1）

解得：x=10

所以樹有10棵，鴉的個(gè)數(shù)為：10X4+5=45

故答案為：45,10

19.（2分）（2023?大連）我國古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問題：“今有共買雞，人出九，

盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)、雞價(jià)各幾何.”其大意是：今有人合伙買雞，每人出9錢，會(huì)多

出11錢；每人出6錢，又差16錢.問人數(shù)、雞價(jià)各是多少.”設(shè)共有x人合伙買雞，根據(jù)題意，可列

方程為9x-ll=6x+16.

解：由題意得：9x-11=6A+16,

故答案為：9x-H=6A+16.

20.（2分）（2023?麗水）古代中國的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三

斤十二兩.今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古

代中國1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為團(tuán)斤.

~7~

解：設(shè)原有生絲為X斤，

X：12=30：（30-3理），

16

解得了=因.

7

故原有生絲為因斤.

7

故答案為：的.

7

三.解答題（共8小題，滿分60分）

21.（6分）（2023?浙江模擬）以下是欣欣解方程：空2_^±=］的解答過程：

32

解：去分母，得2（x+2）-3（2x-1）=1；................①

去括號(hào)：2x+2-6x+3=l；..........................②

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：-4x=-4；.........................③

解得：x=l...............................................④

（1）欣欣的解答過程在第幾步開始出錯(cuò)？（請(qǐng)寫序號(hào)即可）

（2）請(qǐng)你完成正確的解答過程.

解：（1）步驟①；

（2）去分母，得2（x+2）-3（2x-l）=6；

去括號(hào)：2廣4-6矛+3=6；

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：-4x=-1；

解得：x^--

4

22.（6分）（2023?衢州）小紅在解方程紅=^L+1時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤:

36

解：2X7x=(4x-1)+1,

(1)請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處.

(2)寫出你的解答過程.

解：(1)如圖：

解：2*7x=(4x-l)+1,

(2)去分母：2X7x=(4x-l)+6,

去括號(hào)：14x=4x-1+6,

移項(xiàng)：14x-4x=-l+6,

合并同類項(xiàng)：10x=5,

系數(shù)化1：x=」.