2024年新高考II卷數(shù)學(xué)高考試卷（原卷+答案）

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考II卷）

（適用地區(qū):遼寧、重慶、海南、山西、新疆、廣西、貴州、黑龍江、甘肅、吉林、云南）

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案書寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1已知z=-1—i,則忖=（）

A.0B.1V2D.2

2.已知命題p：\/xGR,|x+l|>l；命題q：3x>0,x3=x則（）

A.p和鄉(xiāng)都是真命題B.和q都是真命題

C.p和~都是真命題D.~^P和「9都是真命題

3.已知向量滿足忖=1,卜+2目=2,且僅一2〃）_1方，則|0=（）

A|B.也C.2D,1

222

4.某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如

下表

畝產(chǎn)[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

量950)1000)1050)1100)1150)1200)

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

5.已知曲線C：x2+r=16（y>o）,從C上任意一點(diǎn)尸向X軸作垂線段尸尸'，P為垂足，則線段尸尸'的中

點(diǎn)M的軌跡方程為（）

r2V2r22

A.一+2_=1（y>0）B.—+v^-=1（y>0）

164168

1/20

2222

C.-^+―=1(y>0)D.匕+工=1(y>0)

164168

6.設(shè)函數(shù)/(%)=。(％+1)2-1,g(x)=cosx+2ox,當(dāng)時(shí)，曲線y=/(x)與y=g(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

則。=()

A.-1B.IC.1D.2

52

7.已知正三棱臺(tái)ABC-A4G的體積為可，AB=6,4與=2,則4A與平面所成角的正切值為()

A.1B.1C.2D.3

8.設(shè)函數(shù)，(x)=(x+a)ln(x+b),若/(函20,則小+/的最小值為()

111

A.—B.一C.-D.1

842

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

7T

9.對(duì)于函數(shù)/(x)=sin2x和g(x)=sin(2x—a)，下列說法中正確的有()

A.7(x)與g(x)有相同的零點(diǎn)B./⑺與g(無)有相同的最大值

C./a)與g(x)有相同最小正周期D.7(x)與g(x)的圖象有相同的對(duì)稱軸

10.拋物線C：y2=4x的準(zhǔn)線為/,P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作。A：r+(y—4)2=1的一條切線，0為切點(diǎn)，過

P作/的垂線，垂足為2,貝U()

AJ與OA相切

B.當(dāng)尸，A,8三點(diǎn)共線時(shí)，|「。|=店

C.當(dāng)|尸3|=2時(shí)，PA1AB

D.滿足|PA|=|P3|的點(diǎn)P有且僅有2個(gè)

11.設(shè)函數(shù)F(x)=2x3-3a?+L則()

A.當(dāng)。>1時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，％=0是/。)的極大值點(diǎn)

C.存在a,b,使得x=b為曲線y=/(x)的對(duì)稱軸

D.存在a,使得點(diǎn)(1,7。))為曲線>=/(x)的對(duì)稱中心

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.記S”為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，若%+%=7,3%+%=5，則工0=.

13.已知a為第一象限角，尸為第三象限角，tana+tan〃=4,tanatan夕=血+1,則sin(a+夕)=.

14.在如圖的4x4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在

所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是.

2/20

11213140

12223342

13223343

15243444

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.記的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sinA+J^cosA=2.

(1)求N.

(2)若a=2,V2Z?sinC=csin25-求AABC的周長.

16.已知函數(shù)/(x)=e*-ax—.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)。,/(1))處的切線方程;

(2)若Ax)有極小值，且極小值小于0,求a的取值范圍.

17如圖，平面四邊形/BCD中，AB=8,CD=3,AD=5百，ZADC=90°-NBA。=30°，點(diǎn)區(qū)尸滿

__.2__,__.]__.

足荏=二人。，AF=-AB,將△AEF沿即翻折至使得尸。=46.

P

(1)證明：EFA.PD；

(2)求平面PCD與平面P2尸所成的二面角的正弦值.

3/20

18.某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員

投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階

段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總

和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為D乙每次投中的概率為分各次投中與否相互獨(dú)

立.

(1)若p=0.4,<7=0.5,甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分的概率.

(2)假設(shè)0<p<g,

(i)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

(ii)為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰參加第一階段比賽？

19.已知雙曲線C：f—丁2=根(相>0),點(diǎn)片(5,4)在0上，左為常數(shù)，0〈左<1.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)

^5=2,3,…)：過作斜率為左直線與C的左支交于點(diǎn)Qa，令匕為關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，記巴的坐

標(biāo)為(乙，%).

(1)若k=求工2，%；

(2)證明：數(shù)列｛%-%｝是公比為月的等比數(shù)列；

(3)設(shè)S"為+2的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)”，Sjs〃+1.

4/20

參考答案

1.【答案】c

【詳解】若z=-l-i,則|z|=J(-1『+(—1)2=叵.

故選：C.

2.【答案】B

【詳解】對(duì)于0而言，取x=—1,則有|尤+1|=0<1,故"是假命題，可是真命題，

對(duì)于4而言，取x=l,則有丁=13=1=%,故q是真命題，是假命題，

綜上，「，和4都是真命題.

故選：B.

3.【答案】B

【詳解】因?yàn)閮H一2q工況所以僅—2可出=0,即片=2￡0，

又因?yàn)殁?1,,+2?=2,

所以1+4ZZ+4片=1+6片=4,

從而忖=乎.

故選：B.

4.【答案】C

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知，6+12+18=36<50,

所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于1050kg,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,畝產(chǎn)量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34,

100-34

所以低于1100kg的稻田占比為］00=66%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200—900=300,最小為H50—950=200,故C正確；

對(duì)于D,由頻數(shù)分布表可得，平均值為

^x(6x925+12x975+18xl025+30xl075+24xll25+10xll75)=1067,故D錯(cuò)誤.

故選；C.

5.【答案】A

【詳解】設(shè)點(diǎn)M(尤,y),則P(x,%),P(x,0),

因?yàn)镸為尸P的中點(diǎn)，所以%=2y,即P(x,2y),

又尸在圓/+丁=16口>0)上，

所以X2+4y~=16(>>0),BP——+=l(y>0),

164

22

即點(diǎn)M的軌跡方程為J+J=l(y>0).

5/20

故選：A

6.【答案】D

【詳解】解法一：令/(%)=(?(%)，即〃(％+1)2—l=cosx+2〃x,可得ax1+?-1=cosx，

令F^x)=ax1+a-l,G(x)=cosx,

原題意等價(jià)于當(dāng)xe(―1,1)時(shí)，曲線y=尸(x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

注意到尸(x),G(x)均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，

可得F(0)=G(0),即＞1=1,解得a=2,

若a=2,令F(x)=G(x),可得2x?+1-cosx=0

因?yàn)閤e(—1,1),則Z/^oj—cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得2f+1-cosxNO，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

則方程2爐+1—cosx=0有且僅有一個(gè)實(shí)根0,即曲線y=砥x)與y=G(x)恰有一個(gè)交點(diǎn)，

所以4=2符合題意；

綜上所述：a=2.

解法二：令/z(x)=/(x)-g(x)=ox2+a-i-cosA：,xe(-l,l),

原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)椤?一x)=a(-x)~+a-l-cos(-x)=ax2+a-l-cosx=/z(x),

則/2(X)為偶函數(shù)，

根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知/Z(x)的零點(diǎn)只能為0,

即/2(0)=a-2=0,解得a=2,

若a=2,則//(%)=2f+1-C0Sx,xe(-l,l),

又因?yàn)?/之0/一cosx20當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

可得刈了”0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立，

即力(X)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0,所以。=2符合題意；

故選：D.

7.【答案】B

【詳解】解法一：分別取BCBJG的中點(diǎn)。，2,則AD=3百，4。=6,

6/20

可知s='x6x6義也=9百，SARC=-x2xV3=V3.

△ADC22>C|2

設(shè)正三棱臺(tái)ABC-A4G的為力，

則VABCG=1（9A/3+V3+，9心義—）”=y,解得力=殍,

如圖，分別過A，2作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)AM=X,

則朋=^AM^+A^M-,DN=AD-AM-MN=273-x，

222

可得DD[=^DN+DXN=^（2A/3-x）+y,

結(jié)合等腰梯形BCCIB1可得BB；=+DD；,

即八？=僅G-4+?+4,解得x=3l,

333

所以AA與平面/3C所成角的正切值為tanz^AD=金絲=1；

AM

解法二：將正三棱臺(tái)ABC-AgG補(bǔ)成正三棱錐p-ABC,

則AA與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角,

外=兇」則上*」，

PAAB3VP_ABC27

2652

可知匕BC—A/C=刀Vp_ABC=,則％-A3C=18,

設(shè)正三棱錐尸—ABC的高為d,則解得d=2百，

7/20

取底面A8C的中心為。，則P。1底面N3C,且40=26，

P0

所以PA與平面ABC所成角的正切值tanZPAO=——=1.

A0

故選：B.

8.【答案】C

【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?-瓦+。)，

令x+a=O解得尤=一。；令ln(x+b)=O解得x=l—b；

若一aW—b,當(dāng)xe(一瓦1一/?)時(shí)，可知x+a>O,ln(九+Z?)<0,

此時(shí)/(x)<0,不合題意；

若一b<-a<l-b,當(dāng)xe(一。,1一匕)時(shí)，可知x+a>O/n(尤+Z?)<0,

此時(shí)/(x)<0,不合題意；

若一a=l->，當(dāng)xe(一瓦1—匕)時(shí)，可知x+a<0,In(x+Z?)<0,此時(shí)/(x)〉0；

當(dāng)xe[l—瓦+<z>)時(shí)，可知x+a?O/n(x+Z?)NO,此時(shí)/(x)?0：

可知若一a=1-符合題意；

若一a>l->，當(dāng)xe(l—O,-a)時(shí)，可知x+a(O』n(x+)?O,

此時(shí)/(x)<0,不合題意；

綜上所述：一。=1一>，即Z?=a+1,

則/+/=/+(。+1)2=2(。+工]當(dāng)且僅當(dāng)。=一2力=2時(shí)，等號(hào)成立,

所以/最小值為3；

解法二：由題意可知：/⑺的定義域?yàn)?-瓦+。)，

令x+a=0解得尤=一。；令ln(x+b)=0解得x=l—b；

則當(dāng)xe(一瓦1一匕)時(shí)，ln(x+Z?)<0,故尤+a?0,所以l—/?+aK0；

xe(l—Z?,+oo)時(shí)，ln(x+Z?)>0,故無+?！?,所以l-Z?+aNO；

故1—b+a=O,則/+/=/+g+])2=21a+g]

當(dāng)且僅當(dāng)a=—:力=：時(shí)，等號(hào)成立，

22

所以/+/的最小值為g.

8/20

故選：c.

9.【答案】BC

lz>rr

【詳解】A選項(xiàng)，令f(x)=sin2x=0,解得x=寸內(nèi)eZ,即為了⑴零點(diǎn)，

令g(x)=sin(2x—十)=0,解得x=W+￡,左eZ,即為g(x)零點(diǎn)，

顯然/(x),g(x)零點(diǎn)不同，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，顯然/(X)max=g(x)max=1，B選項(xiàng)正確；

2兀

C選項(xiàng)，根據(jù)周期公式，/5)送(幻的周期均為彳=兀，C選項(xiàng)正確；

jrKTTjr

D選項(xiàng)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)/⑺的對(duì)稱軸滿足2x=kn+-^x=—+-,keZ,

224

JTjrKTTiTT

g(x)的對(duì)稱軸滿足2x——=E+—u>x=—H---，左eZ,

4228

顯然/(x),g(x)圖像的對(duì)稱軸不同，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

10.【答案】ABD

【詳解】A選項(xiàng)，拋物線丁=4%的準(zhǔn)線為尸―1,

OA的圓心(0,4)到直線工=-1的距離顯然是1,等于圓的半徑，

故準(zhǔn)線/和G)A相切，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即則P的縱坐標(biāo)力=4,

由次=4%尸,得到xp=4,故P(4,4),

此時(shí)切線長|PQ|=="2一12=岳，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng),當(dāng)|尸耳=2時(shí),xP=l,此時(shí)說=4/=4,故尸(1,2)或尸(1,一2),

4-24-2

當(dāng)P(l,2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),即A==—2,k=——=2,

1)—1ABU—(―i)

不滿足=-1；

當(dāng)尸(1,一2)時(shí)，A(0,4),B(-l,2),即=—6,左科=壯《=6,

0—1U—(―1)

不滿足左P4&B=-1

于是PALAB不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化

根據(jù)拋物線的定義，|尸耳=|尸耳,這里B(1,0),

9/20

于是|[科=|PB|時(shí)P點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成|PA|=|P同時(shí)p點(diǎn)的存在性問題,

A(0,4),F(l,0),A/中點(diǎn)13,211

AF中垂線的斜率為一廠=[,

。I1二

于是A廠的中垂線方程為：丁=三丁，與拋物線>2=4x聯(lián)立可得V—I6y+3O=O,

8

A=162-4X30=136>0.即A/的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),

即存在兩個(gè)尸點(diǎn)，使得|E4|=|Pb|,D選項(xiàng)正確.

方法二：(設(shè)點(diǎn)直接求解)

設(shè)尸1J,由可得3(-1,。，又40,4),X|PA|=|PB|,

42

■?-+?—4)2=二+1，整理得/―16/+30=0,

J164

△=16?—4x30=136〉0，則關(guān)于/的方程有兩個(gè)解,

即存在兩個(gè)這樣的P點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD

【詳解】A選項(xiàng)，f(X)-6x2-6ax-6x(x-a),由于a>l,

故xe(-8,0)u(a,+。)時(shí)/'(x)>0,故/O)在(-oo,0),(?,+<?)上單調(diào)遞增，

xw(0,a)時(shí)，f'(x)<0,/a)單調(diào)遞減，

則在x=0處取到極大值，在x=a處取到極小值，

由f(0)=l>0,f(a)=l-a3<0,則/(0)/(a)<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理"X)在(。，。)上有一個(gè)零點(diǎn)，

又1)=-1-3a<0,/(2a)=4/+i>0,則/?(—1)/(0)<0"(a)/(2a)<0,

則/(x)在(-1,0),(a,2a)上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是a>1時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)，f'(x)=6x(x-a),a<0時(shí),xe(a,0),/'(x)<0,單調(diào)遞減,

10/20

xe(0,+CO)時(shí)f\x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

此時(shí)/(x)在x=0處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的。力，使得x=b為/(x)的對(duì)稱軸,

即存在這樣的使得/(%)=于Qb-x),

即2x3-3a/+1=2(26-x)3-3a(26-x)2+l,

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊(26-療展開式含有丁的項(xiàng)為2C；(20)°(-xf=-2三,

于是等式左右兩邊V的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的a,。，使得x=b為/(x)的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，

方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡

/⑴=3—3。，若存在這樣的。，使得(1,3—3a)為的對(duì)稱中心，

則/(x)+/(2-x)=6-6a,事實(shí)上,

/(%)+/(2一x)=2x3-3ax2+1+2(2-x)3-3a(2-x)2+l=(12-6a)x2+(12a—24)x+18-12a,

于是6-6a=(12-6a)x2+(12a-24)x+18-12a

12-6。=0

BPJ12a-24=0,解得a=2,即存在。=2使得(1,/■⑴)是/⑴的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

18—12〃—6—6a

方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論

任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，

/(x)=2x3-3ax2+1,/'(%)=6x2-6ax,/"(%)=llx-6a,

由/"(%)=0ox=3于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為

由題意(1,/⑴)也是對(duì)稱中心，故￡=1=。=2,

即存在a=2使得(1,7(1))是fM的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.

故選：AD

12.【答案】95

+2d+a1+3d=7ci.=—4

【詳解】因?yàn)閿?shù)列?！榈炔顢?shù)列，則由題意得“小<，解得：Q

3(q+d)+q+4d=5[d=3

]0x9

則4o=10。1+^—1=10x(—4)+45x3=95.

故答案為：95.

11/20

13.【答案】—逆

3

/x_tancr+tanp_4_信

【詳解】法一：由題意得t皿“+0=匚嬴嬴而=可研二一2”,

因?yàn)椤^2^7i,2fei+^,yff￡[2根兀+兀，2根兀+費(fèi)],k,meZ,

則a+/￡((2冽+2k)7i+7i,(2m+2k)兀+2兀)，k,m^Z,

又因?yàn)閠an(a+/?)=-2也<0,

則a+〃（2加+2左）兀+三，（2m+2左）兀+2兀），

k,meZ,則sin(a+￡)v0,

sin(a+0=_20

則聯(lián)立sin2(6z+^)+cos2(cz+^)=l,解得sin(a+〃)=—

COS(6Z+B)

法二：因?yàn)閍為第一象限角，尸為第三象限角，則cosa〉0,cos〃<0,

1,cos"co,尸.=一

Vsin2cif+cos2a71+tan2aJsin20+cos2/?^/1+tan2[3

則sin(cif+〃)=sinacos/3+cosasin4=cosacos/?(tana+tan/)

2V2

=4COSOLcosB——/~/--/-―1-

V1+tan26^5/1+tan20J(tana+tan/?)2+(tan6ztan/?-l)2V42+2丁

故答案為：—久2.

3

14.【答案】①.24112

【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，

則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，

第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，

所以共有4x3x2x1=24種選法；

每種選法可標(biāo)記為(a,0,c,d),a,b,c,d分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字,

則所有的可能結(jié)果為：

(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),

所以選中的方格中，(15,21,33,43)的4個(gè)數(shù)之和最大，為15+21+33+43=112.

故答案為：24；112

12/20

7T

15.【答案】(1)A=-

6

(2)2+76+372

【解析】

【分析】(1)根據(jù)輔助角公式對(duì)條件sinA+石cosA=2進(jìn)行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角

函數(shù)的關(guān)系解方程組，亦可利用導(dǎo)數(shù)，向量數(shù)量積公式，萬能公式解決；

(2)先根據(jù)正弦定理邊角互化算出8,然后根據(jù)正弦定理算出4c即可得出周長.

【小問1詳解】

方法一：常規(guī)方法(輔助角公式)

由sinA+V3COSA=2可得,sinA+^^cosA=1，即sin(A+1)=1,

223

,,4/八、471/兀47l.兀71.71

由于Aw(0,兀)n4+7￡(7,丁)x，故A+；=不，解得zA=：

333326

方法二：常規(guī)方法(同角三角函數(shù)的基本關(guān)系)

由sinA+GcosA=29又sin2A+cos2A=1，消去sinA得到：

4cos2A—46cosA+3=0=(2cosA—逝)2=0,解得cosA=1，

IT

又Ae(0,兀)，故A=：

6

方法三：利用極值點(diǎn)求解

設(shè)/(%)=sinx+gcosx(0<x<兀)，則/(%)=2sin[%+三](0<%<兀)，

顯然x=巴時(shí),/(x)max=2,注意到/(A)=sinA+6cosA=2=2sin(A+^),

63

/(%)max=/(A),在開區(qū)間(0,兀)上取到最大值，于是％=A必定是極值點(diǎn)，

即/'(A)=0=cosA-V3sinA,即tanA=,

7T

又Ae(0,兀)，故A=：

6

方法四：利用向量數(shù)量積公式(柯西不等式)

設(shè)〃=(1,V3),b-(sinA,cosA)，由題意，a-b=sinA+V3COSA=2，

根據(jù)向量的數(shù)量積公式，a-^=|a||^|cos^a,b^=2cos^a,,

則2cos1,5=20cos萬,5=1,此時(shí)=0,即a,B同向共線，

根據(jù)向量共線條件，l?cosA=G,sinA=tanA=Y3，

3

13/20

7T

又Ae(O,兀)，故A=：

6

方法五：利用萬能公式求解

設(shè)/=tan2,根據(jù)萬能公式，sinA+6cosA=2=二+小。J),

21+t2l+/

整理可得，〃_2（2_百）/+（2—?。?0=Q_（2—百）產(chǎn),

解得tang=f=2—6，根據(jù)二倍角公式，tanA=2v=M

21"3

IT

又Ae（0,7t）,故A=：

6

【小問2詳解】

由題設(shè)條件和正弦定理

0bsinC=csin2B=V2sinBsinC=2sinCsinBcosB，

又B,Cw(0,兀)，則sinBsinC/O,進(jìn)而cosB=交，得到3=百

24

7兀

于是。=兀一A—

12

sinC=sin（兀一A—3）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=④+"

4

2b

Qb

由正弦定理可得,，即.兀.兀.7兀，

sinAsinBsinCsin—sin—sin——

6412

解得b=2^2,c—V6+V2，

故AABC的周長為2+&+3庭

16.【答案】(1)(e-l)x-y-l=0

(2)(l,+oo)

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；

(2)解法一：求導(dǎo)，分析aW0和。>0兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值，分析可得/+ina-1>0,構(gòu)

建函數(shù)解不等式即可；解法二：求導(dǎo)，可知/'(x)=e，-a有零點(diǎn)，可得。>0,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求/(力的單調(diào)性

和極值，分析可得/+ina-1>0,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.

【小問1詳解】

當(dāng)Q=1時(shí)，貝U/(%)=e*—1,fr(x)=ex-1,

14/20

可得“D=e-2,/,(l)=e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(l,e-2),切線斜率左=e-1,

所以切線方程為y—(e—2)=(e—l)(x—l),即(e—l)x—y—1=0.

【小問2詳解】

解法一：因?yàn)?⑺的定義域?yàn)镽,且/''(x)=ex—。，

若aWO,則/'(x)20對(duì)任意xeR恒成立，

可知了(幻在R上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；

若。>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(-e,lna)內(nèi)單調(diào)遞減，在(Ina,+功內(nèi)單調(diào)遞增，

則了⑺有極小值/'(ina)=a-aIna-d,無極大值，

由題意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即q2+[na—1>0，

構(gòu)建g(a)=a2+Ina-l,a>0,則g'(a)=2a+，〉0,

可知g(a)在(0,+動(dòng)內(nèi)單調(diào)遞增，且g⑴=0,

不等式/+ina—1>0等價(jià)于g(a)>g⑴，解得a>l,

所以°的取值范圍為(L+。)；

解法二：因?yàn)榱刷说亩x域?yàn)镽,且/'(x)=e*—a,

若/(x)有極小值，則尸(x)=e，-a有零點(diǎn),

令/'(x)=e*—a=0,可得e'=a，

可知y=e，與y=a有交點(diǎn)，則a>0,

若。>0,令/''(x)>0,解得x>lna；令/'(x)<0,解得x<lna；

可知/(x)在(r?,lna)內(nèi)單調(diào)遞減，在(lna,+a?)內(nèi)單調(diào)遞增，

則了⑺有極小值/'(lna)=a—alna—a3,無極大值，符合題意，

由題意可得：f(lna)=a-alna-a3<0,即a2+[nq_]>0,

構(gòu)建g(a)=a?+Ina-l,a>0,

因?yàn)閯ty=",y=lna-l在(0,+“)內(nèi)單調(diào)遞增,

可知g(a)在(0,+“)內(nèi)單調(diào)遞增，且g⑴=0,

15/20

不等式tz2+lntz-l>0等價(jià)于g(a)>g⑴,解得a>1,

所以a的取值范圍為(L+”).

17.【答案】(1)證明見解析

力8765

65

【小問1詳解】

由AB=8,AD=5后在=2而,9」,

52

得AE=2?,AF=4,又NBAD=30°，在/XAEE中，

由余弦定理得EF=VAE2+AF2-2AE-AFcosZBAD=^16+12-2-4-2A/3-^=2,

所以AE?+砰2=A/2,則AE_LEF,即跖1AD,

所以EF_LPE,EF_LOE,又PECDE=E,PE、OEu平面P￡)E,

所以EF工平面PDE,又PDu平面PDE,

故EF工PDx

【小問2詳解】

連接CE,由NA￡>C=90",ED=3g,C￡>=3,則CE?=+CD?=36,

在APEC中，PC=4y/3,PE=2y/3,EC=6,WEC2+PE2=PC2>

所以PELEC,由(1)知PEL跖，又ECCEF=E,EC、Mu平面ABCD,

所以PE,平面ABCD,又EDu平面ABCD,

所以PELED,則尸E,E￡E。兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系石一孫z,

則E(0,0,0。。(0,0,26),0(0,3百,0),C(3,3百,0),尸(2,0,0),A(0,-2抬,0),

由歹是AB的中點(diǎn)，得8(4,26,0),

所以卮=(3,3區(qū)-2?PD=(0,36,一2后),PB=(4,25-2#)),PF=(2,0,-273),

設(shè)平面PCD和平面PBF的一個(gè)法向量分別為3=&,%,Z]),肩=(%,%，Z2)，

n-PC=3x+3y/3y-2s[3z=0m-PB=4x,+2近%-2A/3Z,=0

則<-./x-l/-i，<一.l"，

n-PD=3j3M—2j3z1=0\rhPF=2x2—2V3z2=0

令％=2,冗2=6,得%=0，Z=3,%=-1/2=1,

所以方二(0,2,3),而=(6,-1,1),

?_\fh-n\1^65

所以1cosm,n\1=?-pp-j-=亍一j==,

網(wǎng)同V5-V1365

16/20

設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為e,則sine=A/I-COS20='叵

65

即平面PCD和平面PBF所成角的正弦值為座5

65

>

y

18.【答案】(1)0.686

(2)(i)由甲參加第一階段比賽；(i)由甲參加第一階段比賽；

【解析】

【分析】(1)根據(jù)對(duì)立事件的求法和獨(dú)立事件的乘法公式即可得到答案；

(2)(i)首先各自計(jì)算出脩=口—(l—p)3]/,鄉(xiāng)=[1一(1—4)31/,再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得

到x和y的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計(jì)算出各自期望，再次作差比較大小即可.

【小問1詳解】

甲、乙所在隊(duì)的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，

二比賽成績不少于5分的概率f=(1—0.63)(1—0.53)=0.686.

【小問2詳解】

(i)若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為辱=[1-(1-pF]",

若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊(duì)的比賽成績?yōu)?5分的概率為2=口-(1-幻3)。3,

?;0<p<q,

:?辱_%=q3-(q-pqY-p3+(P-pq)，

=(q—p)(/+pq+p2)+(p—q)-[(p—pq)2+(q—政戶+⑺-pq)(q-pq)]

=(p-q)(3p2/_3p2q_3Pqi)

=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)(Q—p)Q—q[—l]>0,

二埼〉與，應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績X的所有可能取值為0,5,10,15,

P(X=0)=(l-p)3+[l—(l—p)3].(l—q)3,

P(X=5)=[l-(l-p)[Cj(j)2,

17/20

p(x=10)=[1—(1-p)3].C；q2(I_q),

P(X=15)=[1-(1-p)31/,

E(X)=15[l_(l-p)3]q=15(p3_3p2+3p).q

記乙先參加第一階段比賽，比賽成績丫的所有可能取值為0,5,10,15,

同理E(y)=15(/—342+3q).p

E(X)—E(Y)=15[pq(p+q)(p—q)—3pq(p—q)]

=15(p-q)pq(p+q-3),

因?yàn)?<.p<.Q,貝ijp—q<0,p+q—3<1+1—3<0,

則（，一4）。式"+4-3）〉0,

二應(yīng)該由甲參加第一階段比賽.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵是計(jì)算出相關(guān)概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關(guān)

系，最后得到結(jié)論.

19.[答案](1)x2=3,%=0

（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

【小問1詳解】

由已知有加=5?—42=9，故C的方程為x2-y-=9.

當(dāng)4=g時(shí)，過片（5,4）且斜率為3的直線為丁=2芋與r一,2=9聯(lián)立得到必

解得x=-3或尤=5,所以該直線與C的不同于片的交點(diǎn)為2（-3,0）,該點(diǎn)顯然在C的左支上.

故鳥（3,0）,從而赴=3,%=°?

【小問2詳解】

由于過月（七,笫）且斜率為左的直線為丁=左（％-尤"）+”,與/一V=9聯(lián)立，得到方程

2

x-（k（x-xn）+yn^=9.

18/20

展開即得(1—有9―2%(y“—您)x—(%—您)2—9=0,由于匕(當(dāng)，笫)已經(jīng)是直線y=M%—x“)+y”和

爐―,2=9的公共點(diǎn)，故方程必有一根工=%.

2k{y-kx)

從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根x=nn,相應(yīng)

12l~k*2

y=k(x-)+y=

Xnn1-k2

所以該直線與c的不同于匕的交點(diǎn)為2■,而注意到?！钡臋M坐標(biāo)亦可通