2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：函數(shù)模型及其應(yīng)用

第13講函數(shù)模型及其應(yīng)用

知識(shí)梳理

1、幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f{x}=ax+b{a,Z?為常數(shù)且〃關(guān)0)

反比例函數(shù)模型

f{x}=-+b{k,b為常數(shù)且4/0)

二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,。為常數(shù)且a。。)

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=bax+c{a,b,。為常數(shù)，bwO,a>0,

aw1)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù)，bwO,a>0,

QW1)

幕函數(shù)模型/(x)=axn+b(a,Z?為常數(shù)，awO)

2、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用已有知識(shí)

建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

必考題型全歸納

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

[例1]（2024?全國?高三專題練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑

行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要

依據(jù).在一個(gè)限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎

車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過6m,乙車的剎車距離略超

過10m.已知甲車的剎車距離sm與車速ykm/h之間的關(guān)系為S甲=$y2-：乙乙車的剎

車距離sm與車速vkm/h之間的關(guān)系為$乙=焉F一《v?請(qǐng)判斷甲、乙兩車哪輛車有超速

現(xiàn)象（）

A.甲、乙兩車均超速B.甲車超速但乙車未超速

C.乙車超速但甲車未超速D.甲、乙兩車均未超速

【答案】C

【解析】對(duì)于甲車，令焉寸一5丫*6,gPv2-10v-600?0

解得"-20km/h（舍）或vx30kin/h,所以甲未超速；

對(duì)于甲車，令』一，一3丫210,即1?_101，_200020

20020

解得vaT0km/h（舍）或VQ50km/h,所以乙超速；

故選:C.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，

為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線上距離邊線5米的尸點(diǎn)處接球，此

時(shí)1皿44尸8=5，假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)。處射門，為獲得最

佳的射門角度（即NAQ3最大），則射門時(shí)甲離上方端線的距離為（）

15T

線單位:米

A.56B.546c.IO近D.10A/3

【答案】B

【解析】設(shè)AB=x,并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

所以tan/3P”=^=W=2,>tanZAPS

HP25531

52

所以tanZAPH=tan(/APB+ZBPH)=r---]*—5=_3,

AB+BHx+10所以守=|'解得x=5'即他=5,

2

設(shè)QH=h,/ZG[0,25],則A。=JQH+A//?=正+15?,

BQ=+BH?="2+1()2,所以在.AQB中,

。2+時(shí)2_.2

4川+150

有cos^AQB=

2AQxBQJ/+325/+22500

令%=層+150(15。Wm4775),所以/=加一150,

cosZ.AQB=/=]=

所以J(m-150)2+325(m-150)+22500I3750?25?1,

Vm2m

因?yàn)?50W機(jī)W775,所以；--~r~＞則要使NAQB最大，

775m150

cosZAQB=]I3750~25

即375025?要取得最小值,即J-W+2+1取得最大值,

J——^+―+1Vm2m

Xmm

即一W3750+上25+1在1w—1V1取得最大值,

mm775m150

人11___1

令/=—e/⑺=_3750?+25，+1,

m

所以/■?）的對(duì)稱軸為：/=擊，所以/⑺在4,擊單調(diào)遞增，在看單調(diào)遞

減,

所以當(dāng)『=工時(shí)，f⑺取得最大值，即NAQ8最大，此時(shí)J_=工，即m=300,

300m300

所以肥=150,所以/2=5?,即為獲得最佳的射門角度（即NAQB最大）,

則射門時(shí)甲離上方端線的距離為：5^6.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024?云南?統(tǒng)考二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價(jià)格:

一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買這

種玩具（）

A.116件B.110件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設(shè)購買的件數(shù)為了,花費(fèi)為y元，

37x,l<x<10

32x,ll<x<50

則y=,30x,51<x<100,當(dāng)x=107時(shí)，=2889<2990,

27x,101<x<300

25x,x>300

當(dāng)x=108時(shí)，y=2916>2900,所以最多可購買這種產(chǎn)品107件，

故選：C.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024?全國-高三專題練習(xí)）某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)

遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)力萬件該產(chǎn)品，需另

X2+10%,0<X<40

投入成本萬元.其中。（無）=<10000，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全

71尤+------945,尤>40

、尤

部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

【答案】C

70%-+10%+25),0<x<40

【解析】該企業(yè)每年利潤為/（%）=

70x-[71x+^^一945+25卜>40

當(dāng)0<xW40時(shí)，/(X)=—廠+60x—25=—(x—30)~+875

在x=30時(shí),/（無）取得最大值875；

10000<920-2^-^^=720

當(dāng)x>40時(shí)，/(x)=920-XH------------

X

（當(dāng)且僅當(dāng)x=100時(shí)等號(hào)成立），即在x=100時(shí)，〃尤）取得最大值720；

由875>720,可得該企業(yè)每年利潤的最大值為875.

故選：C

【解題方法總結(jié)】

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，

將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏.

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

[例2]（2024?全國?高三專題練習(xí)）某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的

運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)

備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)

需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x（xeN*）,設(shè)備年平均費(fèi)用為丫萬元，

則x年后的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2+4+6++2X=X（2｝）=X（X+I）,

也小集中小100+0.5x+x（x+l）1003、J100343,小一、

所以％年的平均費(fèi)用為y=------------------——^=尤+—+->2x——+-=—（萬兀），

xx2\x22

當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，等號(hào)成立，

因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2024?全國?高三專題練習(xí)）網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未

來一段時(shí)期內(nèi)，成為商業(yè)的一個(gè)主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1

月起開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個(gè)月運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量

2

x萬件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用f萬元之間滿足函數(shù)關(guān)系式尤=3-一；.已知網(wǎng)店每月固

定的各種費(fèi)用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進(jìn)貨價(jià)格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價(jià)定為

“進(jìn)貨價(jià)的150%”與“平均每件產(chǎn)品的實(shí)體店體驗(yàn)安裝費(fèi)用的一半”之和，則該公司最大月利

潤是萬元.

【答案】37.5

2

【解析】根據(jù)題意，得到r=J--1,（1＜》＜3）,進(jìn)而得到月利潤的表示，結(jié)合基本不等

5-X

式，即可求解.由題意，產(chǎn)品的月銷量了萬件與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用t萬元之間滿足

x1—J-2,

t+l

2

即/=-----1,(1<%<3),

3—x

所以月利潤為＞=[32x1.5+1x-32x-3-Z=16x---3=16x------......—

23-x2

=45.5-[16(3-x)+-^―]<45.5-2屈=37.5,

3-x

當(dāng)且僅當(dāng)16(3-%)=」時(shí)，即尤=日時(shí)取等號(hào),

3-x4

即月最低利潤為37.5萬元

故答案為：37.5.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2024?全國?高三專題練習(xí)）迷你K7V是一類新型的娛樂設(shè)施，外形通

常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人

3

的歡迎.如圖是某間迷你K7V的橫截面示意圖，其中AB=A￡=4，

2

ZA=NB=ZE=90。,曲線段CO是圓心角為90°的圓弧，設(shè)該迷你K7V橫截面的面積為

S,周長為上，則]的最大值為.（本題中取萬=3進(jìn)行計(jì)算）

[答案]12-3^/15

33

【解析】設(shè)圓弧的半徑為根據(jù)題意可得：BC=DE=AB-x=--x

S=A￡-r>E+(AB-r>E)-(AE-x)+|^x2=|xj^|-x^|-xjx=1-x2+^

__._^7TXr―TVX

L-2AB+BC+DEH.........-6—2xH------

42

9-Y21

兀=3:.S=?~,L=6——x

42

S9-x2

L-24-2x

令t=24-2x(21Vt<24),則

根據(jù)基本不等式，；+予2行=3屏，當(dāng)卻僅當(dāng)%]

即/=6小時(shí)取

6^e[21,24),.「=6歷時(shí)，[f]=12-3A

V)max

故答案為：12-3JB.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練61(2024?全國?高三專題練習(xí))磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)

形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖是一扇環(huán)形成雕，可視為扇形

0co截去同心扇形O4B所得部分.已知扇環(huán)周長=300cm,大扇形半徑O￡)=100cm,設(shè)

小扇形半徑。4=xcm,=e弧度，貝!J

①。關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式6(x)=.

②若雕刻費(fèi)用關(guān)于尤的解析式為以尤)=10x+1700,則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為

O

【答案】上尸，(0,100)；3

100+X

【解析】由題意可知，ZAOB=0,OA=x,00=100,

所以AD=BC=100—x,DC=1000,

扇環(huán)周長48+AD+BC+DC=0-x+2OO-2x+lOO0=3OO,

解得。=噤立,xe(0,100),

磚雕面積即為圖中環(huán)形面積，記為S,

貝扇形一扇形

IS=S00cSAOB=3.DC-g.04

11f)(r2^100q-?Y

=-xlOOxlOO<9--x-6>x=5OOO<9——x2=5000——------------,

222I2J100+x

即雕刻面積與雕刻費(fèi)用之比為加，

_s_(10000-X2)(100+2X)_(100-x)(50+x)

""~^x)~2(100+x)(10x+1700)~~10(7+170)~，

令，=x+170，則x=1-170,

(2707)(120)-?+390^-120x270t12x270“

m=--------------------=---------------------------=-------------------+39

10/10/10t

12x270+39=-36+39=3，當(dāng)且僅當(dāng)/=180時(shí)(即x=10)取等號(hào),

V10t

所以磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為3.

故答案為：粵a，xe(0,100);3

【解題方法總結(jié)】

1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；

b

2、利用模型/'(x)=ax+—求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件.

x

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、塞函數(shù)模型

[例3](2024?全國?高三專題練習(xí))2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘

帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企

業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng).該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增

長率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬元.若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，

資金的年平均增長率應(yīng)為(參考值：^/1?82-1.22,^73?1.2)()

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)年平均增長率為％,貝1150(1+?3+10=270,

儂-1°1.2-1=0.2,故年平均增長率為20%.

所以x=?

15

故選：B

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】(2024?云南?高三云南師大附中校考階段練習(xí))近年來，天然氣表觀消費(fèi)

量從2006年的不到6OOxl()8m3激增到2021年的3726xl()8m3.從2000年開始統(tǒng)計(jì)，記k

表示從2000年開始的第幾年，OM左，左eN.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費(fèi)量隨

時(shí)間的變化情況符合乂=%（1+4?，其中匕是從2000年后第4年天然氣消費(fèi)量，匕是

2000年的天然氣消費(fèi)量，ra是過去20年的年復(fù)合增長率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為

9OOxlO8m3,2018年的天然氣消費(fèi)量為2880xl08m3,根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測2024年

的天然氣消費(fèi)量約為（）

222

（參考數(shù)據(jù)：2.883x2.02'3.2§?2.17,。2.52

A.5817.6x10sm3B.6249.6xl08m3

C.6928.2xl08m3D.7257.6xl08m3

【答案】B

【解析】據(jù)題意％=%（1+匕）9=900x1013,兀=%（1+了=2880x1013,兩式相除可得

（1+心3.2,

又因?yàn)橐?幾（1+匕）6=2880x108x（3.2）3?6249.6x108m3?

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024?陜西咸陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血

紅蛋白的容量占全部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循

環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于96%,否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)

境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：S（f）=S°e"描述血氧飽和度SO）（單位％）

隨機(jī)給氧時(shí)間I（單位:時(shí)）的變化規(guī)律，其中又為初始血氧飽和度，左為參數(shù).已知

S0=60,給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為70,若使血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間至

少還需要（）小時(shí).（參考數(shù)據(jù)：ln5=1.61,ln6=1.79,ln7=1.95,ln8=2.07）

A.1.525B.1.675C.1.725D.1.875

【答案】D

【解析】由題意可得，60e"=70,60efa>96,則左=InW=ln7-ln6,>In—=In8-ln5,

6060

..In8—In52.07—1.61

所以--------=---------=2.875,

In7-ln61.95-1.79

則使血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要2.875-1=1.875小時(shí).

故選：D.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024?全國?高三專題練習(xí)）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交

配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分

子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信

息素、性信息素等.人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的

病蟲害的預(yù)報(bào)和防治中較多使用.研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素r秒后，在距釋放處x米

的地方測得的信息素濃度y滿足其中七。為非零常數(shù).已知釋放

信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為儂若釋放信息素4秒后，距釋

放處6米的位置，信息素濃度為?，則6=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】由題意lnzn=T■左+a,ln'=—」ln4-“62+。，

224

所以111租-1113=-4左+a-1-gln4-/b2+）,

即-4左+062=0.又k豐。,所以"=16.

4

因?yàn)?>0,所以匕=4.

故選：B.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10]（2024?全國?高三專題練習(xí)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理

屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以募函數(shù)形式表示.比如，某類動(dòng)物的新陳代謝率V與其

體重x滿足>=履。，其中左和a為正常數(shù)，該類動(dòng)物某一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重

增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則&為（）

A.-B.1C.-D.-

4234

【答案】D

【解析】設(shè)初始狀態(tài)為（七,％）,則％=16%，%=8%，

又％=日1,y2=kx^,即8%=左（16%『=入16。#,

8M入16“無：3

16"=8,24a=23,4a=3,a=-.

%何"4

故選：D.

【解題方法總結(jié)】

1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一

類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、暴函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確

定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題.

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題

【例4】（2024?全國?高三專題練習(xí)）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：

。=儲(chǔ)-4,毋+4,其中t為時(shí)間（單位：min）,。。為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，0

為冷卻后溫度），假設(shè)在室內(nèi)溫度為2（TC的情況下，一桶咖啡由100C降低到60C需要

20min.貝！!k的值為.

?小田、In2

【答案】三

【解析】由題意，把4=20,4=100,。=60,/=20代入。=（4—4）片如+4中，

得80曰"+20=60,所以片2"=上

2

所以-20左=-山2,解得上=近.

20

故答案為：野.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練111（2024?四川宜賓?統(tǒng)考模擬預(yù)測）當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)碳14會(huì)按照

確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內(nèi)

t

碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式嬴，（其中左。為生物死亡之初體內(nèi)的

碳14含量，f為死亡時(shí)間（單位：年），通過測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為

O

則該生物的死亡時(shí)間大約是年前.

【答案】17190

1A5730

【解析】由題意，生物體內(nèi)碳14含量與死亡時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式=E2)

因?yàn)闇y定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為:及,

O

令人仕產(chǎn)」可得?丫73。=、所以上=3,解得上17190年.

8\85730

故答案為：17190年.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12](2024?全國?高三專題練習(xí))某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量f(x)

510<x<l

(毫克/毫升)隨時(shí)間》(小時(shí))變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式/("=3門丫《酒

---X>1

[5⑸

后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過0.02毫克/毫

升此駕駛員至少要過小時(shí)后才能開車.(精確到1小時(shí))

【答案】4

【解析】當(dāng)04x41時(shí)，由f(x)W0.02得5>2<0.02,

解得x42+log5002=log505<0,舍去；

Q1

當(dāng)x>l時(shí)，由/(x)W0.02得￡(7，V0.02,即3』W0.1,

^x>l-log30.1=l+log310,

因?yàn)?<l+log310<4,所以此駕駛員至少要過4小時(shí)后才能開車.

故答案為：4

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13](2024?全國?高三專題練習(xí))能源是國家的命脈，降低能源消耗費(fèi)用是

重要抓手之一，為此，某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備

建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層造價(jià)成本是9萬元人民

幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費(fèi)用N(單

位：萬元)與隔熱層厚度〃(單位：厘米)滿足關(guān)系："他)=王尢(04〃410),經(jīng)測

算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元人民幣.設(shè)

廠伍)為隔熱層的建造費(fèi)用與共30年的能源消耗費(fèi)用總和，那么使尸仍)達(dá)到最小值時(shí)，

隔熱層厚度h=__________厘米.

【答案】y

【解析】由題意得，當(dāng)〃=0時(shí)，N(h)=2=10,解得加=40,

4

40

又F(h)=9%+30xN(h)=9%+30x-------(0</z<10),

3/z+4

所以尸(/z)=9。+^^=3(30+4)+^^—1222/3(3/1+4“^^~—12=108,

3。+43/z+4V3/z+4

當(dāng)且僅當(dāng)3（3〃+4）=詈;即〃=￥時(shí)，等號(hào)成立.

3/1+43

故答案為：—.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練141（2024?全國?高三專題練習(xí)）某地在20年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長，G￡＞尸的值

P（單位，億元）與時(shí)間t（單位：年）之間的關(guān)系為P（f）=片（1+10%）',其中《為￡=0

時(shí)的P值.假定4=2,那么在f=10時(shí)，GZJP增長的速度大約是.（單位：億元

/年，精確到0.01億元/年）注：1.嚴(yán)。2.59，當(dāng)了取很小的正數(shù)時(shí)，ln（l+x卜x

【答案】0.52

【解析】由題可知尸⑺=2（1+10%）'=2x1.1',

所以尸'⑺=2xlllnl.l,

所以P'（10）=2x1.嚴(yán)Inl.la2x2.59x0.1=0.518々0.52,

即GZ）尸增長的速度大約是0.52.

故答案為：0.52.

【解題方法總結(jié)】

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題

[例5]（2024?浙江?高三專題練習(xí)）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過

水橫斷面為底角為120。的等腰梯形（如圖）水渠底面與側(cè)面的修建造價(jià)均為每平方米100

元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當(dāng)過水

橫斷面面積最大時(shí)，水果的深度（即梯形的高）約為（）（參考數(shù)據(jù)：L732）

A.0.58米B.0.87米C.1.17米D.1.73米

【答案】B

【解析】如圖設(shè)橫截面為等腰梯形ABC。，BELCD于E,ZBAD=ZABC=120°,

要使水橫斷面面積最大，則此時(shí)資金3萬元都用完，

貝iJ100*（AB+3C+AD）xl00=30000,解得AB+8C+AD=3米，

設(shè)BC=x,貝UA8=3-2x,BE=#x,CE=gx,故CD=3-x,MO<x<|,

梯形ABCD的面積§=