2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：數(shù)列的通項(xiàng)公式

第43講數(shù)列的通項(xiàng)公式

知識(shí)梳理

類型I觀察法：

已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根

據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

類型n公式法：

若已知數(shù)列的前“項(xiàng)和S”與知的關(guān)系，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)a,可用公式

S

an=['-5=)構(gòu)造兩式作差求解.

I'』,(〃")

用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為

一”，即q和％合為一個(gè)表達(dá)，(要先分〃=1和2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否

統(tǒng)一).

類型III累加法：

形如an+i=an+f5)型的遞推數(shù)列(其中/(?)是關(guān)于〃的函數(shù))可構(gòu)造：

%=/(〃T)

-4-2=/("-2)

a2-=/(I)

將上述恤個(gè)式子兩邊分別相加，可得：an=f(n-1)+/(??-2)+.../(2)+/(I)+^,(n>2)

①若/(〃)是關(guān)于"的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若/(〃)是關(guān)于〃的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

③若/(")是關(guān)于"的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

④若/(〃)是關(guān)于"的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

類型IV累乘法：

形如an+l=an-f(n)型的遞推數(shù)列(其中/(〃)是關(guān)于”的函數(shù))可構(gòu)造:

an-l

ai

—=/(H-2)

<%.2

將上述恤個(gè)式子兩邊分別相乘，可得：%=/02-1)"("-2)...."(2)〃1)4，(心2)

有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

類型V構(gòu)造數(shù)列法：

(-)形如%M=pa“+q(其中均為常數(shù)且pwO)型的遞推式：

(1)若p=l時(shí)，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(2)若q=0時(shí)，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列；

(3)若pwl且qwO時(shí)，數(shù)列｛*｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比

數(shù)列來求.方法有如下兩種：

法一：設(shè)an+1+2=p(an+2),展開移項(xiàng)整理得an+1=pan+(p-1)2,與題設(shè)

%+i=/%,+0比較系數(shù)(待定系數(shù)法)得X=",(pw0)n%+i+”)

p-1p-1p—1

-%+>二=雙%|+，二)，即構(gòu)成以a#，—為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)

P-1pTIpTJP-1

列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出卜“+高｝的通項(xiàng)整理可得為.

法二：由an+i=pan+q得=p%+q｛n>2)兩式相減并整理得———=p,即

｛4+1-4｝構(gòu)成以出為首項(xiàng)，以〃為公比的等比數(shù)列?求出｛。用-4｝的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類

型III(累加法)便可求出4.

(二)形如=pan+f(n)(pw1)型的遞推式：

(1)當(dāng)/(〃)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí)：

法一：^an+An+B=p[an_x+A(n-1)+B],通過待定系數(shù)法確定A、5的值，轉(zhuǎn)化成以

Vl\

%+A+8為首項(xiàng)，以4"=—^―為公比的等比數(shù)列｛%+An+B｝,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)

[n-my.

公式求出｛%+An+B｝的通項(xiàng)整理可得an.

法二：當(dāng)/(〃)的公差為d時(shí)，由遞推式得：an+i=pan+f(n),=p%_]+/(九一1)兩式

相減得：4+i-q=p(an-%)+d,令包=〃得:bn=pbn_x+d轉(zhuǎn)化為類型V㈠求出bn,

再用類型III(累加法)便可求出％.

(2)當(dāng)/(〃)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí)：

法一：設(shè)為十九/(〃)=夕[4_1+4/(〃-1)],通過待定系數(shù)法確定4的值，轉(zhuǎn)化成以

4+A/X1)為首項(xiàng)，以父=/不為公比的等比數(shù)列也+獷⑺｝,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式求出｛4+4/5)｝的通項(xiàng)整理可得為.

法二:當(dāng)f(n)的公比為4時(shí),由遞推式得：an+i=pan+于(ri)①，an=pan_x+f｛n-1),

兩邊同時(shí)乘以q得anq=pqan_x+qf(n-l)②，由①②兩式相減得

an「a〃q=p(an_qanT),即%,在轉(zhuǎn)化為類型V㈠便可求出4.

法三：遞推公式為%+i=U4"(其中p,q均為常數(shù))或%+i=+/"(其中p,q,

r均為常數(shù))時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以q"M,得：等引入輔助數(shù)

列也｝(其中6“=之)，得：時(shí)廣“2+工再應(yīng)用類型V㈠的方法解決.

Qqq

(3)當(dāng)/(")為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：

在*=pa“+/(〃)兩邊同時(shí)除以p向可得到雪=之+坐，令之=2，則

pppP

bn+l=2+坐，在轉(zhuǎn)化為類型III(累加法)，求出“之后得a,=p"bn.

p

類型VI對(duì)數(shù)變換法：

a

形如n+\=〃相＞0)型的遞推式：

在原遞推式%=p屋兩邊取對(duì)數(shù)得Ig.=qlg%+lgp，令2=Iga〃得：%=西+lgp,

化歸為a〃+i=〃4+4型，求出4之后得?！?10'.（注意：底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選

擇）.

類型vn倒數(shù)變換法：

形如為T-%=P4_1%（2為常數(shù)且P。。）的遞推式：兩邊同除于為_洶〃，轉(zhuǎn)化為

，=—二+0形式，化歸為%+4型求出工的表達(dá)式，再求％;

a

?%an

還有形如%M=一絲」的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成二一='，+'形式，化

pa”+qan+lqanp

歸為an+l=pan+q型求出工的表達(dá)式，再求??.

an

類型VID形如限=pa,I+l+qan型的遞推式：

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解.方法為：設(shè)

4+21她+1=皿4+1-她），比較系數(shù)得//+左=°,-碗=4，可解得無、左，于是｛%+1-3”｝是

公比為h的等比數(shù)列,這樣就化歸為??+1=pa“+q型.

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法

求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式應(yīng).

必考題型全歸納

題型一：觀察法

例1.（2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算

法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第

二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，……，則第十層有（）個(gè)球.

A.12B.20C.55D.110

【答案】C

【解析】由題意知:

“1=1,

%=%+2=1+2,

%=%+3=1+2+3,

an=an_x+〃=1+2+3++n,

以qio=1+2+3++10=55.

故選：C

例2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來華傳

教偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森

指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)

剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將正整

數(shù)中能被3除余2且被7除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列{%},則4=

（）

A.17B.37C.107D.128

【答案】C

【解析】“能被3除余2且被7除余2,.?.q-2既是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，

即是21的倍數(shù)，且4>0,=一1）,

gpan=21n-19,=21x6-19=107.

故選：C.

例3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）線性分形又稱為自相似分形，其圖形的結(jié)構(gòu)在幾何變

換下具有不變性，通過不斷迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu).一個(gè)正六邊形的線性分形圖如下圖所

示，若圖1中正六邊形的邊長(zhǎng)為1,圖〃中正六邊形的個(gè)數(shù)記為所有正六邊形的周長(zhǎng)

之和、面積之和分別記為Cn,Sn,其中圖“中每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)是圖〃-1中每個(gè)正六邊形

邊長(zhǎng)的;，則下列說法正確的是（）

C.存在正數(shù)加，使得C"V機(jī)恒成立

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)，圖1中正六邊形的個(gè)數(shù)為1,圖2中正六邊形的個(gè)數(shù)為7,

由題意得｛4｝為公比為7的等比數(shù)列，所以4=7"、故4=73=343,A錯(cuò)誤;

B選項(xiàng)，由題意知G=6,C2=-x6=14,C3=（g）x6=>B錯(cuò)誤;

7n-1

C選項(xiàng)，｛G｝為等比數(shù)列，公比為:，首項(xiàng)為6,故G,=6x7

7

因?yàn)?＞1,所以G單調(diào)遞增，不存在正數(shù)優(yōu)，使得恒成立，c錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，分析可得，圖〃中的小正六邊形的個(gè)數(shù)為=7"T個(gè)，每個(gè)小正六邊形的邊長(zhǎng)為

,故每個(gè)小正六邊形的面積為

則5'=7"-56義￥、U=乎＞＜出，D正確.

故選：D

變式1.（2024?海南??？谑协偵饺A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）大衍數(shù)列，來源于《乾坤

譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)

列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列

題，其各項(xiàng)規(guī)律如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,...,記此數(shù)列為｛凡｝,則

（%—%）+（。4一/）++（々5?！?9）=（）

A.650B.1050C.2550D.5050

【答案】A

【解析】由條件觀察可得：4-%=2,4-%=4,4-%=6,即生”一出,一1=2"，所以

他“-％1｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列?

=25X2+25X24X2=650,

故(%一4)+(。4—生)++(%()—。49)

2

故選：A

變式2.（2024?吉林?統(tǒng)考三模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”

的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍

生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道

數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,則此數(shù)列的第25項(xiàng)與

第24項(xiàng)的差為（）

A.22B.24C.25D.26

【答案】B

【解析】設(shè)該數(shù)列為｛%｝,

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，q=121=。,4=321=4,%=521=12,%='2—24,…

所以%=1，”為奇數(shù)；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a?=g=2,%=g=8,&=3*=18,%=*=32,

所以區(qū),=[,〃為偶數(shù)數(shù)；

252-1742

所以出5一=---------=24>

故選:B.

變式3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)分別是:,則該數(shù)

列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）

【答案】D

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛%｝的前4項(xiàng)分別是-g,正負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn)，分子均為1,分母

依次增加1,

所以對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，氏=w二正確.

"n+\

故選：D

變式4.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，如圖是由

每一行的第三個(gè)數(shù)，，，

“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，從第三行起,1,!LL

3610

構(gòu)成數(shù)列{q},其前〃項(xiàng)和為S“，則邑。=()

1

11

1i1

1ii1

.iii.

14641

13TOTO31

A.史4041419

B「.—C.D.

2021212W

【答案】B

【解析】由題意可知,

1_2

3-2^3

1_2

6~3^4

1_2

10-4^5

2

H(H+1)

所以其前〃項(xiàng)和為:

Sn=%+%+%+

=2」+」+3+2n

(22334〃+1

貝監(jiān)。喘40

故選：B.

變式5.(2024?新疆喀什?高三統(tǒng)考期末)若數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)為1,-事|,-｝|,-￡

則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式可以為為=()

nn

A.------B.

n+12n-l

C.(-1)〃?」一D.(7嚴(yán)

2n-l2n-l

【答案】D

【解析】通過觀察數(shù)列｛%｝的前6項(xiàng)，可以發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:

且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，故用(-1)向表示各項(xiàng)的正負(fù)；

各項(xiàng)的絕對(duì)值為分?jǐn)?shù)，分子等于各自的序號(hào)數(shù)，

而分母是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

故第"項(xiàng)的絕對(duì)值是1,

2?-1

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)可為4=(-i)"”F4，

Zn-i

故選：D

【解題方法總結(jié)】

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通

項(xiàng).使用觀察法時(shí)要注意：①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有(-1)"或者

(-1)"一部分.②考慮各項(xiàng)的變化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系.③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、

正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方｛/｝、｛2"｝與(-1)”有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們

組成的數(shù)列.

題型二：疊加法

例4.(2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考)數(shù)列1,3,7,15,……的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

nl

A.an=TB.an=2+lC.D.an=2"-

【答案】C

23

【解析】依題意得=2,a3-a2=2,-a3=2,

所以依此類推得an-%=2"T(n>2),

i-2n

以=q+%—%+%—％+%—%+…+。〃一］=1+2+22+2^+...+2"?--------=2”-1?

1-2

又％=2「1=1也符合上式，所以符合題意的一個(gè)通項(xiàng)公式是?！?2〃-1.

故選：C.

例5.(2024?新疆喀什?校考模擬預(yù)測(cè))若。〃=氏_1+〃—1,%=1貝U〃io=()

A.55B.56C.45D.46

【答案】D

【解析】由氏=。〃_1+〃—1,

%=4+1,〃3=〃2+2,

〃4=%+3,L,an=an_x+n-\{n>2),

累力口得，a〃=q+l+2+3++n-l

11i

=—n2——n+l,

22

當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立，

所以aio=；xlOO-；xlO+l=46.

故選：D

例6.（2024?陜西安康?陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛。“｝中，4=1,

111

%+1=%+〃+1，則一+—+-+——=(

^^2^^2022

,2021404420212022

A.B.-------

10112023-20222023

【答案】B

【解析】因?yàn)?+1=%+〃+1,故可得。2-6=2,%-%=3,…，冊(cè)一%=n,及%=1

累力口可得一〃“T+〃〃-12+=1+2+3++n,

則為=1+2+3++n=-------

2

羨-嬴H「募卜黑

故選：B.

變式6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4=（，〃用=%+一一，則

2n+n

｛為｝的通項(xiàng)為（）

A.——,H>1,HGN―+―,n>l,neN*

n2

313

C.---------,H>1,nGN*—,n>l,neN*

2n2n

【答案】D

【解析】因?yàn)?+1=。〃+三---，所以。用一。〃=方---=-------，則當(dāng)幾22,幾wN*時(shí),

n+n

將n—1個(gè)式子相力口可得-%=1-----1---------1-H-----------=1—,

223n-1nn

11131311

因?yàn)椋?彳，則。〃=1——+彳=大__，當(dāng)〃=1時(shí)，卬=彳―；：:；符合題意,

2n22n212

31*

所以4=彳——

故選：D.

變式7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知S”是數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，且對(duì)任意的正整數(shù)

11cC1C

n,都滿足：-------=2〃+2,若％=彳，貝US2023=（）

2023202220211010

2024202320242023

【答案】A

【解析】當(dāng)時(shí)，由累加法可得：

T1f11）/11）CC//C,小

-----------+---------------++-----------=2〃+2（〃-1）++（2x]+2）,

所以------=幾+n-2(n>2),

an《

1

所以4=麗而S2）,

11

當(dāng)〃=1時(shí)，a\~lx（l+l）一］，符合，

1

所以為而而（〃eN*）,

111

所以〃〃二

+n〃+1'

1-3+11112023

所以,^2023++=1---

232023202420242024

故選：A.

變式8.（2024?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛見｝滿足:

3

an+2~an-^,an+6~an—91,3,則%023=（

空+3q2023q

A.B.--+-

2282

32023

C.D.

82

【答案】C

3

an+2~an~^,

8

+

??。〃+4—an+2-3，an+6-an+,<y\

???%+6—q=（2+6一%4）+（%+4一q+2）+口+2一4）+3-+2+3"=3"04+3?+1）=913,

又?！?6-42913,故見+6-?！?9卜3",

a

所以4+2n=3"，4+4-??+2=S'"?，an+6-an+4

一?！?3",q=|

所以4-=3,%-。3=3^,…,區(qū)

'n+2o

故a2n+l-^1=出〃+1-a2n-l+1一。2“-3++%一〃3+。3一%=3+3^+3,+...+,

2rt1

則%〃+1=%+3+3,+3,++3,

35202132023

所以。2023=-+3+3+3+...+3=2+i

881-98

故選：c.

【解題方法總結(jié)】

數(shù)列有形如4+1+/（〃）的遞推公式，且/⑴+/（2）++/（〃）的和可求，則變形為

an+l-an=f（n）,利用疊加法求和

題型三：疊乘法

例7.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛?！ǎ凉M足%1+u.

-----=2n,q=l,貝I]a2023

an+l

A.2024B.2024C.4045D.4047

【答案】C

【解析】3^:2幾,

aa

n+l-n

BP(1-2n)冊(cè)+i=(—2〃-l)an,

,a,2n+l

可得n+

.c_°20237.2022?“2021~

..=----------X-----------X-----------X...X------X------XCl.

%02202021”2020。2%

40454043404153

xxx-x-xl=4045.

40434041403931

故選：C.

〃〃+1n

例8.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛%｝中，q=l,（〃為正整數(shù)），則

n+1

出022的值為（）

202￡2022

ABD.

-盛-+'20222021

【答案】A

因?yàn)?1n

【解析】

an〃+1

a?a_4%a2_?-23211

所以二nxvX—X—X—=—

an_xan_2a3a2axnn-\432〃

所以〃2022=蔡^

故選：A

n+1

例9.（2024?天津?yàn)I海新?高三?？计谥校┮阎猶=2,“用=—貝！1a2022=(

n

A.506B.1011C.2022D.4044

【答案】D

n+1n+1

【解析】an+i=%，'

nn

%_2%_3%_4

—,—,—4一心2,

a1a2a3

x23an-in-1

n

?芻=—=nn>2,

ax1

ax=2,an=2TJ,n>2,

顯然，當(dāng)〃=1時(shí)，q=2滿足%=2〃,

an=In,〃￡N",

。2。20=2x2022=4044

故選：D.

變式9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知％=1,??=n(a?+1-??)(?eN+),則數(shù)列｛《｝

的通項(xiàng)公式是％=()

A.2n-lB.[3)C.ft?D.n

【答案】D

【解析】由%="(%+「()，得5+1)%="4+1，

a.,n+1

BP-n=——,

ann

川芻_=」_"1也="2"=2,n>2

an_xn-1an_2n-2an_3n-3ax1

由累乘法可得，=〃，所以凡=%n>2,

又%=1,符合上式，所以。,=〃.

故選：D.

變式10.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=1,

叫用=2(4+%+…+a,J(〃eN*),則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為()

A.%=〃B.an=2n-1

D.an

【答案】A

【解析】由nt*=2(G+%+…+%)①

得("-1)q=2(4+%+…+凡一1)②

①-②得：na?+l-(n-l)an^2an,

%〃+1

即：mn+i=(n+\)an,

所以a”=M〃WN*)

故選：A.

變式11.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛氏｝滿足5+2)%+]=5+1)〃〃，且

%=1,則?！?()

n-1

2n-l

【答案】D

【解析】數(shù)列｛%｝滿足(〃+2)%+I=(〃+1)%，且％=；，

.14+1n+1

??4=5,三K，

.an_na”-n-1a2_2.

,,??-in+1'an_2n'q3'

故選：D.

變式12.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛凡｝滿足卬=?，4=三二

weN*),則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)%=()

A.zB

W-1-春

11

C(2n-l)(2n+3)D。(n+l)(n+3)

【答案】A

【解析】數(shù)列｛%｝滿足4=g，2〃一3_..

2〃+1%(九.2,〃￡N*),

a2n—3a,2n—5

整理得j-=-------=-------。2_1

建埋母4T2〃+1'*271-1q5

1x3

所有的項(xiàng)相乘得:

%(2〃+1)(2〃-1)

1

整理得：4=

4n2-T

故選：A.

在數(shù)列｛%｝中，q=；且("+2)a“+i=7/，則它的

變式13.(2024?全國(guó)-高三專題練習(xí))

前30項(xiàng)和$3。=()

A.史2928c19

B.C.D.—

31302929

【答案】A

%n

【解析】(〃+2)4+1=叫

n+2

c_c%"3冊(cè)12n-1111

an~a\---------------

“1〃21234n+1+nn+1

130

因止匕，5=1——+———++L

30223303131

故選：A.

【解題方法總結(jié)】

數(shù)列有形如為=/(〃)?的遞推公式，且/⑴"(2>"(〃)的積可求，則將遞推公式

變形為'=/(〃)，利用疊乘法求出通項(xiàng)公式與

an-l

題型四：待定系數(shù)法

例10.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知：4=1,2時(shí)，=萬冊(cè)_1+2n—l,求｛〃〃｝

的通項(xiàng)公式.

［角軍析】設(shè)a〃+A〃+3=；［a“_i+A(n_l)+3］,所以Q,=；〃〃_］一；A〃_；A—,

乙乙乙乙乙

f=2，

A=—4

7，解得:

B=6

--A--B=-1,

I22

又卬-4+6=3,；.｛q-4"+6｝是以3為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列,

n—\

%-4"+6=3出=三+4"-6

2"-1

例11.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛aJ,4=2,且對(duì)于〃>1時(shí)恒有

4=:。1+1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?

【解析】因?yàn)閍“=ga,i+l,所以4-2=：47-2）,又因?yàn)椋?2=0,

所以數(shù)列｛%-2｝是常數(shù)列0,所以4-2=0,所以%=2.

例12.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛““｝滿足：a"+[=-ga.-2,“eN*，4=4,求

an-

【解析】因?yàn)椤?+1=-：。,-2,〃eN*,q=4,

...........331311

所以兩邊同時(shí)加上不得：an+i+-=--an-2+-=--an--,

所以?！?1+；=一：“"_；=_；(%+；］，當(dāng)4=4時(shí)，a,+-|=y-

3

3。〃+1+弓1

故％+萬工0,故----y-

3

一個(gè)5

所以數(shù)列是以％+|=￡為首項(xiàng),一為公比的等比數(shù)列.

曰

于T是。“十3萬=

變式14.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為4=2,%+i=ga“+2〃+g.

⑴求｛%｝通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和S”.

【解析】(1)4+1=+2"+§,設(shè)4+1+A(〃+l)+3=](a〃+A〃+3),

一

1922A=—3

即Q”+]=§Q“一]A"_A_§3，即＜，解得

B=2

4-3+2=1,故｛q_3〃+2｝是首項(xiàng)為1,公比為;的等比數(shù)列.

n-1n-1

a-3〃+2=+3n—2.

nI

0n-l

n-l+4++0

⑵風(fēng)+3九一2,則5.+1+I+3rl—2

on-l(l+3〃-2)x〃

+(1+4++3〃-2)=lx

2

3313

x+—n2——n+—.

I222

+1

變式15.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛〃〃｝中，ai=2,a.〃+i_3,求求J的

通項(xiàng).

2x+l

【解析】因?yàn)椋?｝的特征函數(shù)為：f(x)=

3

?x.、2x+1

由f(zx)=~=%—x=ij

22+112/八

%na〃+iT=](a〃T)

3

數(shù)例J｛4,-1］是公比為］的等比數(shù)歹U,

變式16.(2024?江蘇南通?高三江蘇省通州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝中,

6=l,滿足凡+i=2%+2〃—設(shè)S〃為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.

⑴證明：數(shù)列｛4+277+1｝是等比數(shù)列;

(2)若不等式加2"+S“+4>0對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)?=2q,+2〃-l（〃eN*）,

所以%+i+2（〃+1）+1=2（a*+2〃+1）,

所以｛q+2〃+1｝是以q+2xl+l=4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

所以4+2〃+1=4x2"T=2”+1所以為=2"+1-2n-l.

（2）因?yàn)?。?2同-2w-1,

所以幺=卬+出++%=（2~—3）+（2,—5）++[2"+’—（2〃+1）]

=（22+23++2'用）一（3+5+7++2〃+1）—2-（1一2"）〃（3+2〃+1）_”+？*2n仔

1-22

若九2"+'+4>。對(duì)于VweN*恒成立，即/-2"+2,,+2-n2-2n-4+4>0,

可得A-2">?2+In-2-2即X>匚2-4對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，

2"

ll―cn2+2n.n（n+2]?,3-H2

所以彳>F一一4，令2=—m-------4，則6“+「2=方丁，

——max

72-I-?X?

所以仿<仇>4>”>…，可得（或）厘=4=/苗義/一4=-2,所以；1>-2,

所以幾的取值范圍為（-2,也）.

變式17.（2024?四川樂山?統(tǒng)考三模）已知數(shù)列｛%｝滿足。用=2%+2,%=1,貝U

【答案】3X2'T—2

【解析】由?！?1=2?！?2得a“+]+2=2（a〃+2）,又q+2=3,

62,,+2

所以上/=2,即｛?！?2｝是等比數(shù)列，

所以4+2=3x2修，即％=3x2"-1-2.

故答案為：3X2"T-2.

變式18.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝中，%=1,。用=3凡+4,則數(shù)列

｛??）的通項(xiàng)公式為.

【答案】??=3--2

【解析】因?yàn)?。?3%+4,

設(shè)an+l+1=3（%+t）,即an+l=3an+2t,

根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等則2r=4,解得t=2,故見+i+2=3（q+2）,

所以｛%+2｝是3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以a,+2=3x3"T=3",即a“=3"-2.

故答案為：an=T-2

變式19.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知數(shù)列｛4｝中，q=1,且％=2%_1+3

（/7>2,且〃eN*）,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為.

【答案】2"+1-3

【解析】由凡=2%+3,得%+3=2（的+3）,即烏三=2

an-\+J

由所以4+3=1+3=4,

于是數(shù)列｛4+3｝是以首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,

因止匕4+3=4*2"-，即。"=2"|—3,

當(dāng)“=1時(shí)，4=2|+1_3=],此式滿足。[,

所以數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為4=2向-3.

故答案為：2角-3.

【解題方法總結(jié)】

a

形如=Pn+q（p,q為常數(shù)，pqwO且"1）的遞推式,可構(gòu)造4+i+2=p[an+2）,

轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.也可以與類比式4+q作差，由為+1-4=p（a“-a”―），構(gòu)造

｛%+1-0｝為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)?

題型五：同除以指數(shù)

例13.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足%+1=2%+3-2",弓=2,求數(shù)列

｛"”｝的通項(xiàng)公式.

［解析1將%=2%+3?2"兩邊除以2同,

得％!_=&+3，貝|］4i1__氏=3,

1才2"+i2n22"+12"2

故數(shù)列［黑］是以*=］=1為首項(xiàng)，以|■為公差的等差數(shù)列，

則2=1+a（〃_1）=9〃」，

2〃222

31

數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式為an=（|n--）-2"=（3"-1）.2-

例14.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛七｝中，6=-l,a.M=2a"+4-3"T,求通項(xiàng)公

式凡.

n

【解析】。用=2q,+4?3"T可化為：?n+1-4-3=2（??-4-3^）.

Xaj-4-31-1=-1-4=-5

則數(shù)列｛4-4守7｝是首項(xiàng)為-5,公比是2的等比數(shù)列.

a“一4?3"—=-5?，則a“=4-3"i-5?2"T.

所以數(shù)列｛凡｝通項(xiàng)公式為??=4-3-1-5-2-1

例15.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足凡+i=2a“+3-5",q=6,求數(shù)列

他“｝的通項(xiàng)公式.

【解析】由=2a“+3-5”,可得'-52=2（4-5"）

又a—=6-5=1*0,

則數(shù)列｛q-5"｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則a“-5"=12。故a“=2"T+5".

則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為雙=2-1+5".

變式20.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛"“｝滿足?！癕=2a“+4x3"T,%=1,求

數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【解析】解法一：因?yàn)閍“M=2a,+4x3"T,

設(shè)。,用+加3"=為(a“+2?3"T),

所以g+i=M?3"一一4?3"=；!2a“+(猊一3X)-3"一,

即%+「4X3"=2（%-4X3"T）,

則數(shù)列｛（-4x3"—｝是首項(xiàng)為q-4x3-=-3,公比為2的等比數(shù)列,

所以一4x3"T=—3x2"一，即a"=4x3"-1-3x2片；

解法二：因?yàn)閍“M=2a“+4x3"T,兩邊同