2025年初中數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)突破：三角形中的新定義問題（含答案及解析）

專題三角形中的新定義問題

【例1】.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比

值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形

中建立邊角之間的聯(lián)系.定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如

圖，在△ABC中，AB^AC,頂角A的正對記作s以/A,這時生.容易知

腰AB

道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下

歹(J問題:

(1)sad60°=；

(2)對于0°<A<180°,NA的正對值的取值范圍是；

(3)如圖，已知cosA=生，其中乙4為銳角，試求sadA的值.

A變式訓(xùn)練

【變17工定義：如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍

角三角形”.若AABC是“倍角三角形"，ZA=90°,BC=4,貝的面積

為.

【變1-21.定義：如果三角形的兩個內(nèi)角a與0滿足a+2p=100°,那么我們稱這樣的三

角形為“奇妙三角形”.

(1)如圖1,△ABC中，ZACB=80°,2。平分NABC.

求證：△A3。為“奇妙三角形”

(2)若△ABC為“奇妙三角形"，且NC=80°.求證：△ABC是直角三角形；

(3)如圖2,△ABC中，2D平分/ABC,若△42。為“奇妙三角形"，且乙4=40°,

直接寫出/C的度數(shù).

圖1圖2

【例2].定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為60°,那么這樣的三角形叫做“準等邊三角

形”.

【理解概念】

(1)頂角為120°的等腰三角形“準等邊三角形”.(填“是”或“不是”)

【鞏固新知】

(2)已知△ABC是“準等邊三角形”，其中NA=35°,ZC>90°.求的度數(shù).

【解決問題】

(3)如圖，在中，ZACB=90°,NA=30°,BC=1+J§，點。在AC邊上，

若△BC。是“準等邊三角形”，求8。的長.

A變式訓(xùn)練

【變2-11新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖所示，△

ABC中AF、3E是中線，且垂足為P,像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三

角形"，如果/A8E=30°,AB=6,那么此時AC的長為

c.

【變2-2】.【了解概念】

定義：如果一個三角形一邊上的中線等于這個三角形其中一邊的一半，則稱這個三角形

為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線.

【理解運用】

(1)如圖1,在△A8C中，AB=AC,ZBAC=120°,試判斷△ABC是否為半線三角形，

并說明理由；

【拓展提升】

(2)如圖2,在△ABC中，AB^AC,。為的中點，M為△ABC外一點，連接MB,

MC,若△ABC和均為半線三角形，且和分別為這兩個三角形8C邊的半

線，求NAMC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若加。=旦，AM=1,直接寫出的長.

實戰(zhàn)演練

1.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角B是另外一個內(nèi)角a的/時，我們稱此三角形為“友好三角形”，a

為友好角.如果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為42°,那么這個“友好三角形”的

“友好角a”的度數(shù)為.

2.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角P的兩倍時，我們稱此三角形為“奇妙三角形”，

其中a稱為“奇妙角”.如果一個“奇妙三角形”的一個內(nèi)角為60°,那么這個“奇妙

三角形”的另兩個內(nèi)角的度數(shù)為.

3.新定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心.根據(jù)準外心的定

義，探究如下問題：如圖，在中，ZC=90°,45=10,AC=6,如果準外心尸

在BC邊上，那么PC的長為.

4.定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱為垂足三角形.在銳角三角形A8C的每

條邊上各取一點D,E,F,稱為△A8C的內(nèi)接三角形.垂足三角形的性質(zhì)：在銳

角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長最短的三角形是它的垂足三角形.已知，在4

ABC中，點。，E,F分別為AB,BC,AC上的動點，AB=AC=5,BC=6,則△OEF

周長的最小值為.

5.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖①在△ABC中，AB

=AC,頂角A的正對記作這時相心=粵?塔.容易知道一個角的大小與這個

腰AB

角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題:

(1)sad60°=.

(2)sad90°=.

(3)如圖②，己知sinA=3,其中NA為銳角，試求相公的值.

5

6.定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三

角形的三分線.

(1)如圖①，△ABC是頂角為36°的等腰三角形，這個三角形的三分線已經(jīng)畫出，判

斷△D4B與△EBC是否相似:(填“是”或“否”);

(2)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=3,/C=2/8,則AABC的三分線的長為

圖②

7.概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形

互為”等角三角形”.

從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線

段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角開中一個為等腰三角形，

另一個與原來三角形是“等角三角形”,我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

理解概念:

(1)如圖1,在中，NACB=90°,CD±AB,請寫出圖中兩對''等角三角形”.

概念應(yīng)用：

(2)如圖2,在△ABC中，CD為角平分線，ZA=40°,ZB=60°.求證：CD為△

ABC的等角分割線.

動手操作：

(3)在△ABC中，若/A=50°,C￡＞是△ABC的等角分割線，請求出所有可能的NACB

的度數(shù).

8.定義：在△ABC中，若8C=a,AC=b,AB=c,a,b,c滿足改+“2=戶則稱這個三角

形為“類勾股三角形”.請根據(jù)以上定義解決下列問題：

(1)命題：“直角三角形都是類勾股三角形”是(填“真”或“假”)命題.

(2)如圖1所示，若等腰三角形ABC是“類勾股三角形"，AB=BC,AC>AB,請求N

A的度數(shù).

(3)如圖2所示，在△ABC中，且/O/A,求證：△A2C為“類勾股

三角形”.志明同學(xué)想到可以在上找一點。使得AO=C￡>,再作CEL8。，請你幫助

志明完成證明過程.

（圖1）（圖2）

9.我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度.

如圖1,在△ABC中，AB=AC,旭的值為△ABC的正度.

BC

已知：在△ABC中，AB=AC,若。是△ABC邊上的動點(Z)與A,B,C不重合).

(1)若NA=90°,則AABC的正度為；

(2)在圖1,當(dāng)點。在腰A8上(。與A、8不重合)時，請用尺規(guī)作出等腰△AC。，

保留作圖痕跡；若△AC。的正度是亞，求NA的度數(shù).

2

(3)若NA是鈍角，如圖2,△ABC的正度為反，八旬。的周長為22,是否存在點0,

5

使△ACD具有正度？若存在，求出△AC。的正度；若不存在，說明理由.

AA

/\

BCBC

圖1圖2

10.定義：一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”.

(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有(只填寫序號).

①頂角是30°的等腰三角形；

②等腰直角三角形；

③有一個角是30°的直角三角形.

(2)如圖1,在AABC中，AB=AC,N54C290°,將△ABC沿邊AB所在的直線翻折

180°得到△42,延長DA到點E,連接BE.

①若BC=BE,求證：△ABE是“倍角三角形”；

②點尸在線段AE上，連接8P.若/C=30°,3P分△A8E所得的兩三角形中，一個是

等腰三角形，一個是“倍角三角形”，請直接寫出NE的度數(shù).

11.定義：若某個圖形可分割為若干個都與他相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形.

探究：

(1)如圖甲，已知△ABC中NC=90°,你能把△ABC分割成2個與它自己相似的小直

角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由.

(2)一般地，''任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連接三角形各邊中點，則可將原

三分割為四個都與它自己相似的小三角形.我們把△DEF（圖乙）第一次順次連接各邊

中點所進行的分割，稱為1階分割（如圖1）;把1階分割得出的4個三角形再分別順次

連接它的各邊中點所進行的分割，稱為2階分割（如圖2）…依次規(guī)則操作下去.”階分

割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（w為正整數(shù)），設(shè)此時小三角形的面積為SN.

①若ADEF的面積為10000,當(dāng)n為何值時，2<S”<3?（請用計算器進行探索，要求

至少寫出三次的嘗試估算過程）

②當(dāng)”>1時，請寫出一個反映5；〃,S〃+i之間關(guān)系的等式.（不必證明）

DD

/0\

EFEFEFEF

圖乙圖1（1階）圖2（2階）圖3（3階）

K圖甲

12.定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到這邊所

對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖1,AABC中，點。是

BC邊上一點，連接4。，若4￡>2=B￡）.cr?,則稱點。是△ABC中BC邊上的“好點”.

（1）如圖2,△A8C的頂點是4X3網(wǎng)格圖的格點，請僅用直尺畫出（或在圖中直接描

出）邊上的所有“好點”點D；

（2）△ABC中，BC=1,tanB=3,tanC=l,點。是BC邊上的“好點”，求線段8。

4

的長；

（3）如圖3,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，點H在AB上，連結(jié)CH并延長交。。于點

D.若點X是△BCD中CO邊上的“好點”.

①求證：0H_LA2；

②若OH〃BD,。。的半徑為r,且r=308,求型的值.

DH

13.定義1：如圖1,若點H在直線/上，在/的同側(cè)有兩條以H為端點的線段M”、NH,

滿足/1=/2,則稱和NH關(guān)于直線/滿足“光學(xué)性質(zhì)”；

定義2：如圖2,在△ABC中，△PQR的三個頂點尸、Q、R分別在8C,AC、AB±.,若

RP和QP關(guān)于BC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)

于AB滿足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱△PQR為LABC的光線三角形.

閱讀以上定義，并探究問題：

在△ABC中，乙4=30°,AB=AC,△￡>￡尸三個頂點￡）、E、尸分別在2C、AC,AB±.

（1）如圖3,若FE〃BC,DE和FE關(guān)于AC滿足“光學(xué)性質(zhì)”，求NEDC的度數(shù)；

（2）如圖4,在△ABC中，作于尸，以A8為直徑的圓分別交AC,BC于點E,

D.

①證明：為△ABC的光線三角形；

②證明：AABC的光線三角形是唯一的.

A

A

14.新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”.

(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”,AB=AC,寫出NBA。，

NA4C和NA4E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)如圖②，△ABC和△&￡>￡互為“兄弟三角形"，AB=AC,AD=AE,點。、點E均

在△ABC外，連接8。、CE交于點連接AM,求證：AM■平分

(3)如圖③，若AB=AC,ZBAC=ZA￡)C=60°,試探究NB和NC的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

圖①

圖②圖③

15.我們定義：三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，那么稱這個三角形是2倍角三

角形.

（1）定義應(yīng)用

如果一個等腰三角形是2倍角三角形，則其底角的度數(shù)為；

（2）性質(zhì)探索

小思同學(xué)通過從“特殊到一般”的過程，對2倍角三角形進行研究，得出結(jié)論：

如圖1,在△ABC中，如果那么BC2=ACCAB+AC）.

下面是小思同學(xué)對其中一種特殊情形的證明方法.

已知：如圖2,在△ABC中，ZA=90°,ZB=45°.

求證：BC2=AC（AB+AC）.

16.在平面直角坐標系xOy中，有任意三角形，當(dāng)這個三角形的一條邊上的中線等于這條

邊的一半時，稱這個三角形叫“和諧三角形"，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫

“和諧距離”.

(.1)已知A(2,0),B(0,4),C(1,2),D(4,1),這個點中，能與點。組成“和

諧三角形”的點是，“和諧距離”是；

(2)連接8。，點N是8。上任意兩個動點(點N不重合)，點E是平面內(nèi)任意

一點，△EMN是以跖V為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點E的橫坐標f的取值范圍；

(3)已知。。的半徑為2,點P是上的一動點，直線y=w+b與無軸、y軸分別交

于點X、G,點。是線段HG上一點，若存在△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”

是2,直接寫出6的取值范圍.

17.定義：若連結(jié)三角形一個頂點和對邊上一點的線段能把該三角形分成一個等腰三角形和

一個直角三角形，我們稱這條線段為該三角形的智慧線，這個三角形叫做智慧三角形.

(1)如圖1,在智慧三角形ABC中，ADLBC,為該三角形的智慧線，CD=1,AC

=遙，則2。長為,48的度數(shù)為.

(2)如圖2,△A3C為等腰直角三角形，ZBAC=90°,尸是斜邊延長線上一點，

連結(jié)AF,以為直角邊作等腰直角三角形AFE(點A,F,E按順時針排列)，ZEAF

=90°,AE交BC于點、力,連結(jié)EC,EB.當(dāng)時，求證：EDMAEBC

的智慧線.

(3)如圖3,2XABC中，AB=AC=5,BC=4、而.若△BCD是智慧三角形，且AC為

智慧線，求△8C。的面積.

AA

D

圖1

18.定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個三角形叫做“友好三角形”.

性質(zhì)：如果兩個三角形是“友好三角形”，那么這兩個三角形的面積相等.

理解：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACZ）和是“友好三

角形”，并且SAACD=SABCD.

應(yīng)用：如圖②，在矩形A8CD中，A8=4,8c=6,點E在4。上，點尸在8c上，AE

=BF,A尸與BE交于點O.

（1）求證：ZkAOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）連接。。，若△AOE和是“友好三角形”，求四邊形C。。尸的面積.

探究：在△ABC中，NA=30°,A8=8,點。在線段AB上，連接CD,△ACD和△BCD

是“友好三角形”，將△AC。沿CD所在直線翻折，得到CD,若CD與AABC

重合部分的面積等于△ABC面積的工，求出△ABC的面積.

圖①圖②

19.定義：如果一個三角形中有兩個內(nèi)角a,p滿足a+20=9O°,那我們稱這個三角形為

“近直角三角形”.

（1）若△ABC是“近直角三角形"，ZB>90°,NC=50°,則NA=°；

（2）如圖1,在RtZxABC中，ZJBAC=90°,AB=3,AC=4.若8。是/ABC的平分

線，

①求證：△BOC是“近直角三角形”；

②在邊AC上是否存在點￡（異于點。），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，

請求出CE的長；若不存在，請說明理由.

（3）如圖2,在RtaABC中，ZBAC=90°，點。為AC邊上一點，以3。為直徑的圓

交8c于點E,連結(jié)AE交8。于點R若△BC。為“近直角三角形”，且AB=5,AF=3,

求的長.

圖1圖2

20.愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩

條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AM,BN

是ABC的中線，AML3N于點尸，像A5C這樣的三角形均為“中垂三角形”.設(shè)3C=〃，

AC=b,AB=c.

【特例探究】

(1)如圖1,當(dāng)NE4B=45°,。=如歷時，a=,b=；如圖2,當(dāng)NP4B

=30°,c=2時，a2+b2=；

【歸納證明】

(2)請你觀察(1)中的計算結(jié)果，猜想/、射、°2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，

并利用圖3證明你的結(jié)論.

【拓展證明】

(3)如圖4,在EL4BC。中，E、尸分別是A。、BC的三等分點，MAD=3AE,BC=3BF,

連接AF、BE、CE,且3E_LCE于E,Ab與BE相交點G,AD=3岳,AB=3,求AF

21.定義：若△ABC中，其中一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的一半，則稱△ABC為“半角三角形”.

(1)若Rt^ABC為半角三角形，ZA=90°,則其余兩個角的度數(shù)為.

(2)如圖1,在回ABC。中，NC=72°,點E在邊CD上，以BE為折痕，將△8CE向

上翻折，點E恰好落在邊上的點R若2廠，A。，求證：△￡￡)尸為半角三角形；

(3)如圖2,以△ABC的邊A3為直徑畫圓，與邊AC交于與邊BC交于N,已知△

ABC的面積是面積的4倍.

①求證：ZC—6Q°.

②若△ABC是半角三角形，直接寫出的度數(shù).

圖1圖2

22.定義：若兩個三角形有一對公共邊，且另有一組對應(yīng)邊和一對對應(yīng)角分別對應(yīng)相等，那

么這兩個三角形稱為鄰等三角形.

例如：如圖1,△ABC中，AD=AD,AB^AC,NB=NC,則△42。與△AC。是鄰等

三角形.

(1)如圖2,O。中，點。是黃的中點，那么請判斷△42。與△AC。是否為鄰等三角

形，并說明理由.

(2)如圖3,以點4(2,2)為圓心，OA為半徑的。A交了軸于點8(4,0),AOBC

是OA的內(nèi)接三角形，ZCOB=30°.

①求/C的度數(shù)和OC的長；

②點尸在OA上，若△OCP與△OBC是鄰等三角形時，請直接寫出點P的坐標.

23.定義：在△ABC中，若有兩條中線互相垂直，則稱△A2C為中垂三角形，并且把

+以2叫做△MC的方周長，記作Lgp￡=AB2+BC2+CA2.

(1)如圖1,已知△ABC是中垂三角形，BD,AE分別是AC,8C邊上的中線，若AC

=BC,求證：△AOB是等腰直角三角形；

(2)如圖2,在中垂三角形ABC中，AE,8。分別是邊BC,AC上的中線，且AE_LB。

于點。，試探究△ABC的方周長L與4爐之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)如圖3,已知拋物線y=j-ax2」ax-2a與x軸正半軸相交于點A，與y軸相交

164

于點B,經(jīng)過點B的直線與該拋物線相交于點C,與x軸負半軸相交于點且BD=CD,

連接AC交y軸于點E.

①求證：△ABC是中垂三角形；

②若△ABC為直角三角形，求△ABC的方周長L的值.

例題精講

【例1】.通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比

值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化.類似的，可以在等腰三角形

中建立邊角之間的聯(lián)系.定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如

圖，在△ABC中，AB^AC,頂角A的正對記作s以/A,這時生.容易知

腰AB

道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下

歹(J問題:

(1)sad60°=1；

(2)對于0°<A<180°,NA的正對值sadA的取值范圍是0<s〃dAV2；

(3)如圖，已知cosA=^,其中乙4為銳角，試求sadA的值.

5

解：(1)根據(jù)正對定義，

當(dāng)頂角為60°時，等腰三角形底角為60°,

則三角形為等邊三角形，

則sad60°=—=1.

1

故答案為：1.

(2)當(dāng)NA接近0°時，sadA接近0,

當(dāng)/A接近180。時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2.

于是sadA的取值范圍是OVs4dA<2.

故答案為OVs以/AV2.

(3)如圖，過5作3O_LAC于D

在RtZ\AB￡）中，cosA=包.=段.

AB5

設(shè)4。=4公AB=5k,則80=3%,

.\DC=5k-4k=k.

在RtZ\BDC中，2。=心口202=百54,

【變17].定義：如果三角形的一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角的2倍，那么稱這個三角形為“倍

角三角形”.若△ABC是“倍角三角形"，NA=90°,BC=4,則AABC的面積為4

或2y.

解：「△ABC是“倍角三角形”，

分四種情況：

當(dāng)/A=2/B=90°時，

.\ZB=45O,

/.AABC是等腰直角三角形，

VBC=4,

AB=AC=尊=￡=2五，

V2V2

AABC的面積=AAB-AC=-1X2V2X2V2=4；

22

當(dāng)NA=2NC=90°時，同理可得：/XABC的面積為4；

當(dāng)/B=2/C時，

VZA=90°,

.\ZB+ZC=90°,

VZB=2ZC,

AZC=30°,ZB=60°,

VBC=4,

.?.AB=ABC=2,AC=?AB=2我，

△ABC的面積=AAB?AC=Jx2><2百=2?；

當(dāng)NC=2NB時，

VZA=90°,

：.ZB+ZC=90°,

VZC=2ZB,

.\ZB=30°,ZC=60°,

"：BC=4,

：.AC=-^BC=2,AB=MAC=2M，

2

△ABC的面積=^AB'AC=AX2A/3X2=2M；

22

綜上所述：△ABC的面積為4或2?,

故答案為：4或2?.

【變1-2].定義：如果三角形的兩個內(nèi)角a與0滿足a+2B=100。，那么我們稱這樣的三

角形為“奇妙三角形”.

(1)如圖1,△ABC中，ZACB=80°,平分NABC.

求證：△A3。為“奇妙三角形”

(2)若△ABC為“奇妙三角形"，且/C=80°.求證：△ABC是直角三角形；

(3)如圖2,ZXABC中，8。平分NABC,若△A3。為“奇妙三角形"，且NA=40°,

直接寫出NC的度數(shù).

圖1圖2

(1)證明：：8。平分/ABC,

NABC=2NABD.

在△ABC中，VZACB=80°,

ZA+ZABC=180°-ZACB=180°-80°=100°,

即NA+2/ABr>=100°,

：.△ABD為“奇妙三角形

(2)證明：在△A8C中，VZC=80°,AZA+ZB=100°,

:△ABC為“奇妙三角形”，.\ZC+2ZB=100°或/C+2/A=100°,

.,.ZB=10°或/A=10°,

當(dāng)/B=10°時，ZA=90°,AABC是直角三角形.

當(dāng)/A=10°時，ZB=90°,ZiABC是直角三角形.

由此證得，△ABC是直角三角形.

(3)解：：2。平分NARC,

NABC=2NABD,

?：AABD為“奇妙三角形”，

AZA+2ZABD=100°或2/A+/ABO=100°,

①當(dāng)NA+2NABO=100°時，ZABD=(100°-40°)4-2=30°,

/.ZABC=2ZABD=60°,

AZC=80°；

②當(dāng)2NA+NABZ)=100°時，ZABD=100°-2ZA=20°,

AZABC=2ZABD=40°,

AZC=100°；

綜上得出：/C的度數(shù)為80°或100°.

【例21定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為60°,那么這樣的三角形叫做“準等邊三角

形”.

【理解概念】

(1)頂角為120°的等腰三角形不是“準等邊三角形”.(填“是”或“不是”)

【鞏固新知】

(2)已知△ABC是“準等邊三角形”，其中NA=35°,ZC>90°.求的度數(shù).

【解決問題】

(3)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=1+愿，點D在AC邊上，

若△BCD是“準等邊三角形”，求BD的長.

解：(1)二?等腰三角形的頂角為120°,

等腰三角形的兩個底角度數(shù)分別為30°,30°,

頂角為120°的等腰三角形不是“準等邊三角形”；

(2):△ABC是“準等邊三角形"，ZA=35°,ZC>90°,

；?分兩種情況：

當(dāng)/C-/A=60°時，

.\ZC=ZA+60°=95°,

.,.ZB=180°-ZC-ZA=50°；

當(dāng)/。-/2=60°時，

VZA=35°,

/.ZC+ZB=180°-ZA=145°,

；.2/B=85°,

AZB=42.5°；

綜上所述：NB的度數(shù)為50°或42.5°；

(3)VZACB=90°,ZA=30°,BC=1+E，

90°-ZA=60°,AB=2BC=2+2y[j,

'：ABCD是“準等邊三角形”，

分兩種情況：

當(dāng)/C-NCB￡>=60°時，

：.ZCBD=ZC-60°=30°,

J.BD^ICD,

'：CD1+BC2=BD2,

：.CD2+(1+V3)2=(2CD)2,

解得：cr>=?+3或C￡>=-F+3(舍去),

33

:.BD=2CD=2a+6；

3

當(dāng)NBDC-NCBD=60°時，

過點。作DELAB,垂足為E,

VZC=90°,

：.ZBDC+ZCBD^90°,

.?.2ZBDC=150°,

：.ZBDC=15°,

：.ZABD=ZBDC-ZA=45°,

/.LBDE是等腰直角三角形，

：.BE=DE,BD=^2DE,

設(shè)DE=BE=x,

在RtZXADE中，NA=30°,

：.AE=yj3DE=y[3x,

\'BE+AE^AB,

x+"\j~^x=2.+2yj~3,

解得：x=2,

：?BE=DE=2,

:.BD=?DE=2瓜

[變2-1],新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖所示，△

A3C中AF、BE是中線，且APLBE,垂足為P,像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三

角形"，如果/A8E=30°,AB=6,那么此時AC的長為3夜.

C

：.ZAPB=ZAPE=90°,

在RtA4BP中，VZABP=30°,

.?.AP=JLAB=3,

2

BP=MAP=3M，

,：AF.BE是中線，

：.AE^CE,點P為4ABC的重心,

；.PE=LBP=373

2~T~

2-3A/7

在RtZXAPE中，AE=

2

：.AC=2AE=3-f7.

故答案為377.

c.

【變2-2】.【了解概念】

定義：如果一個三角形一邊上的中線等于這個三角形其中一邊的一半，則稱這個三角形

為半線三角形，這條中線叫這條邊的半線.

【理解運用】

(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,試判斷△ABC是否為半線三角形，

并說明理由；

【拓展提升】

(2)如圖2,在△ABC中，AB=AC,。為的中點，M為△ABC外一點，連接M8,

MC,若△ABC和均為半線三角形，且和KD分別為這兩個三角形8c邊的半

線，求NAMC的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若反，AM=1,直接寫出8W的長.

2

解：(1)AABC是半線三角形，理由如下:

取BC得中點連接線＞,

C.ADLBC,

'：AB=AC,ZBAC=12Q°,

.?.ZB=ZC=30°,

在RtZXAB。中，ZB=30°,

：.AD=—AB,

2

AABC是半線三角形.

(2)過點A作AAaAM交MC于點N,如圖,

;MD為△MBC的BC邊的半線，

；.MD=—BC=BD=CD,

2

ZDBM=ZDMB,ZDMC=ZDCM,

：.ZBMC=9Q°,

同理NBAC=90°,

又?：NMOB=/AOC,

：.ZMBA=ZMCA,

?.,/AMN=NBAC=90°,

NMAB=NNAC.

'：AB=AC,

：./\MAB^/\NAC(ASA),

：.AM=AN,

又：NM4V=90°,

/.ZAMC=ZANM^45°.

(3)由題意可知，BC=2MD=3,

由(2)知△M48名/XNAC(ASA),

：.MB=NC,AM=AN=1,

：.MN=42,

在RtzXMBC中，由勾股定理可得，MB2+MC1=BC2,

：.MB2+(近+MB)2=32,

解得，MB=2-叵(負值舍去).

2

故M2的值為2-亞.

2

實戰(zhàn)演練

1.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角0是另外一個內(nèi)角a的/時，我們稱此三角形為“友好三角形”，a

為友好角.如果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為42°,那么這個“友好三角形”的

“友好角a”的度數(shù)為42°或84°或92°.

解：①42°角是a,則友好角度數(shù)為42°；

②42°角是0,則a=20=84°,

.?.友好角a=84°；

③42°角既不是a也不是仇

則a+0+42°=180°,

所以，a+—a+42°=180°,

2

解得a=92°,

綜上所述，友好角度數(shù)為42°或84°或92°.

故答案為：42°或84°或92°?

2.當(dāng)三角形中一個內(nèi)角a是另一個內(nèi)角0的兩倍時，我們稱此三角形為“奇妙三角形”，

其中?稱為“奇妙角”.如果一個“奇妙三角形”的一個內(nèi)角為60°,那么這個“奇妙

三角形”的另兩個內(nèi)角的度數(shù)為3三，90°或40°,80°.

解：由題意得：

①當(dāng)60°的角為“奇妙角”時，

有另一個角為30°,

第三個內(nèi)角為180°-60°-30°=90°；

②當(dāng)60°的角不是“奇妙角”時，設(shè)另兩個內(nèi)角分別為Nl,Z2,且N1=2N2,

有/1+/2+60。=180°,

BP2Z2+Z2=120°,

解得：N2=40°,

故/1=80°.

綜上所述：這個“奇妙三角形”的另兩個內(nèi)角的度數(shù)為30°,90°或40°,80°.

故答案為：30°,90°或40°,80°.

3.新定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心.根據(jù)準外心的定

義，探究如下問題：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,如果準外心P

在邊上，那么PC的長為4或1.

B,

解：在RtZXABC中，

VC=90°,AB=10,AC=6f

BC=VAB2-AC2=V102-62=8'

若尸連接RI,

設(shè)尸C=尤，貝I]24=尸3=8-尤，

在Rt△以C中，

VB42=CP2+AC2,

/.(8-x)2=X2+62,

即產(chǎn)。=工，

44

若PB=PC,貝！JPC=4,

若以=PC,由圖知，在Rt△朋C中，不可能,

故PC的長為：4或工.

4

故答案是：4或1.

4.定義：銳角三角形三條高的垂足形成的三角形稱為垂足三角形.在銳角三角形A8C的每

條邊上各取一點。，E,F,△。跖稱為△ABC的內(nèi)接三角形.垂足三角形的性質(zhì)：在銳

角三角形ABC的所有內(nèi)接三角形中，周長最短的三角形是它的垂足三角形.已知，在4

ABC中，點、D,E,尸分別為A3,BC,AC上的動點，AB=AC=5,BC=6,則△￡>￡1/

周長的最小值為盤.

—25―

解：'：AB=AC=5,BC=6,

：?BE=CE=3,

AA￡=VAB2-BE2=4,

'JCDLAB,BF±AC

：.DE=EF=^BC=3,

2

'：SAABC=~AC'BF=—BC'AE,

22

.?.2尸=建，

5

ACF=VBC2-BF2=^'

工，

5

AADF^AABC,

.AF=DF

"ACBC"

二.。尸二絲，

25

.?.△DEN的周長的最小值=3+3+絲■=&■

2525

故答案為：理

5.我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad).如圖①在△ABC中，AB

=AC,頂角A的正對記作附公，這時相以=粵?塔.容易知道一個角的大小與這個

腰AB

角的正對值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題:

(1)sad60°=1.

(2)sad90°=_V2_.

(3)如圖②，已知sinA=旦，其中NA為銳角，試求saMl的值.

5

(2)W90°=&；

(3)設(shè)4B=5a,BC=3a,則AC=4a,

在AB上取AD=AC=4a,作￡>E_LAC于點E,如圖所示:

則￡)E=AO?sinA=44?3=_l^_AE=AO?cosA=4〃?里

55a55a

CE=4a--^-=—,

aaCD=7CE2+DE2=J2+(a)2a,

5a5a春)卷

：.sadA=^-^~^.

6.定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三

角形的三分線.

（1）如圖①，AABC是頂角為36。的等腰三角形，這個三角形的三分線已經(jīng)畫出，判

斷與△班C是否相似：是（填“是”或“否”）；

（2）如圖②，△ABC中，AC=2,BC=3,NC=2/B,則△ABC的三分線的長為工

一5

5

A

解：(1)是，

故答案為：是；

(2)如圖3所示，CD、4E就是所求的三分線.

B8-----------aA

圖33

設(shè)NB=a,則/￡)CB=/￡)CA=NEAC=a,NADE=NAED=2a,

此時△AECs/^J5￡>C,AACD^AABC,

設(shè)AE=A￡>=x,BD=CD=y,

'：△AECs^BDC,

.,.x：y=2：3,

"CDs△ABC,

A2：x=(%+y)：2,

(v.v=2-3

所以聯(lián)立得方程組I-y,,

2：x=(x+y)：2

x=4V10

解得，Q，

y^pflO

即三分線長分別是2折和3W3.

55

故答案為：2國和旦J而.

55

7.概念學(xué)習(xí)

規(guī)定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形

互為”等角三角形”.

從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線

段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角開中一個為等腰三角形，

另一個與原來三角形是“等角三角形”,我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”.

理解概念：

(1)如圖1,在中，ZACB=90°,CD±AB,請寫出圖中兩對“等角三角形”.

概念應(yīng)用：

(2)如圖2,在△ABC中，CZ)為角平分線，ZA=40°,ZB=60°.求證：CD為丁

ABC的等角分割線.

動手操作：

(3)在△ABC中，若NA=50°,C￡)是△ABC的等角分割線，請求出所有可能的NACB

的度數(shù).

解：(1)/XABC與△AC。，△ABC與△BCD,△AC。與△BCD是“等角三角形”；

(2)在△ABC中，ZA=40°,ZB=60°

AZACB=180°-ZA-ZB=80°

為角平分線，

ZACD=ZDCB=^ZACB=40°,

2

：.ZACD=ZA,ZDCB=ZA,

:.CD=DA,

在△■D2C中，NDCB=40°,ZB=60°,

：.ZBDC=180°-ZDCB-ZB=80°,

/BDC=ZACB,

,:CD=DA,ZBDC=ZACB,ZDCB=ZA,ZB=ZB,

CD為AABC的等角分割線；

(3)當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖2,D4=DC時，ZACD=ZA=50°,

AZACB=ZBDC=500+50°=100°,

當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖3,D4=AC時，ZACD=ZADC=65°,ZBCD=ZA=

50°,

AZACB=500+65°=115°,

當(dāng)△ACO是等腰三角形，C