2025屆襄陽市四中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月考試卷及答案解析

襄陽四中2025屆高三上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

‘3'

A=＜xeZ-----GZ＞

1.已知集合〔X—1J,則用列舉法表示4=（）

A.{-2,0,1,2,4}B.{-2,0,2,4}C.{0,2,4}D.{2,4}

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得x-1可為±1、±3,計(jì)算即可得.

【詳解】由題意可得x-l可為±1、±3,

即x可為0,2,—2,4,即4={—2,0,2,4}.

故選：B.

2.設(shè)=其中i為虛數(shù)單位.則—1”是“目〉麗”的（

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)z,再求出目，令目〉所求出相應(yīng)的。的取值范圍，最

后根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.

【詳解】因?yàn)閦=3+0=3、。=a_3i,所以忖=J/+9.

令目〉JHL即J/+9解得a〉l或。＜一1,

所以。＜-1推得出目＞廂，故充分性成立；

由目＞而推不出。＜-1,故必要性不成立；

所以“a＜-1”是“目＞廂”的充分不必要條件

故選：A

3.已知向量2,B不共線，且己=22+3，7=5+(2%+1)3,若乙與才同向共線，則實(shí)數(shù)X的值為()

1

A.1B.

2

一1一1

C.1或一一D.—1或一

22

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)向量平行求參數(shù)X，再根據(jù)向量同向進(jìn)行取舍.

【詳解】因?yàn)?與2共線，所以4(24+1)-1=0,解得X=—1或幾=；.

若幾=一1,貝!)3=-2+彼，d=a-b>所以7=—乙所以e與2方向相反，故舍去；

111

若4=2,則d=a+2b,所以7=2)，所以1與2方向相同，故2=5為所求.

故選：B

4.已知V—<2-￡_2->,則下列結(jié)論中正確的是()

A.ln(j-x+l)>0B,ln|—1>0C,ln|j+x|>0D,ln|j-x|>0

【答案】A

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù),利用/(x)的單調(diào)性可得x<y,進(jìn)而可得.

［詳解］由/_/<2-_2r得X3-2T</—2.1

設(shè)/(%)=》3一2一"因函數(shù)y=x3與>=_2-工都是R上的增函數(shù)，

故/(x)為R上的增函數(shù)，

又因V—27</一2一>，故x<》,

ln(j-x+l)>lnl=O,故A正確，

因。，卜+x|,卜一乂與1的大小都不確定，故B,C,D錯(cuò)誤，

X

故選：A

5.從0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)中任選5個(gè)組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的“五位凹數(shù)為a24344a5”（滿

足見〉％〉。3<%<。5），則這樣的“五位凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）

A.126個(gè)B.112個(gè)C.98個(gè)D.84個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得.

【詳解】第一步，從0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)中任選5個(gè)共有C；種方法，

第二步，選出的5個(gè)數(shù)中，最小的為名，從剩下的4個(gè)數(shù)中選出2個(gè)分給％,出，由題意可知，選出后

就確定了，共有C1種方法，

故滿足條件的“五位凹數(shù)"C；C：=126個(gè)，

故選：A

6.若數(shù)列｛%｝滿足q=1,a2=1,an=an_x+an_2（?>3,〃為正整數(shù)），則稱數(shù)列｛%｝為斐波那契數(shù)

列，又稱黃金分割數(shù)列.在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列都有直接的應(yīng)用.設(shè)S“是

數(shù)列｛4｝的前力項(xiàng)和，則下列結(jié)論成立的是（）

A.%=8B.%+%+---+。2019=02020

C.S7=54D.+。4+。6+?,?+。2020=%021

【答案】B

【解析】

【分析】按照斐波那契數(shù)列的概念，找出規(guī)律,得出數(shù)列的性質(zhì)后逐個(gè)驗(yàn)證即可.

【詳解】解析：按照規(guī)律有4=1,a2=l,a3=2,%=3，a5=5,a6=8,tz7=13,S7=33,故

A、C錯(cuò)；an+2=a,,”+an=an+%+an_}+an_2=an+an_x+an_2+an_3+an_,+an_4=…=+1,

貝U〃2020~$2018+1=1+%+%+,,,+。2018=1+Q3++***+。2019=%++〃5+'''+。2019，

故B對(duì)；

+。4+。6+,,?+。2020=。2+。2+。3+。4+。5+'''+。2018+。2019

=。］+。2+。3+。4+。5+??,+。2018+。201902019=。2021-1

故D錯(cuò).

故選:B.

22

7.已知々，凡是橢圓C:二+A=l（a〉b〉O）的左，右焦點(diǎn)，A,2是橢圓C上的兩點(diǎn).若

a~b~

----------------7T

FXA=2F2B,且NZ片與=[,則橢圓C的離心率為（）

1V2V32

A-B.—C.—D.-

■3333

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)以周=2am，結(jié)合題意可得|/月|,根據(jù)橢圓定義整理可得2后a-2c=2，根據(jù)向量關(guān)系

m

可得片N〃88,且忸巴|=行機(jī)，同理結(jié)合橢圓定義可得力a+c=Z,進(jìn)而可求離心率.

m

【詳解】由題意可知：片（一。,0）,月（c,0）,

設(shè)以片|=2^2?,m>0,

因?yàn)槠?；,則N（—c+2叫2根），可得|幺閭=,4-+（2c-2必J,

由橢圓定義可知：|幺川+|幺6|=2。，即2叵n+14fH2+（2c—=2。，

整理可得2行a-2c=d；

m

又因?yàn)橛?2月瓦則與4〃月8,且忸閭=3以用=虛機(jī)，

則8（c+機(jī),機(jī)），可得忸周=｛（2c+in?+/,

由橢圓定義可知：\BF1\+\BF2\^2a,即,伽+才+/+昌=2°,

整理可得后4+C

m

即2行Q-2c=41a+c，可得41a=3c，

所以橢圓c的離心率e=￡=也.

a3

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓的離心率(離心率范圍)的求法

求橢圓的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a,b,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把6用

a,c代換，求e的值.

8.圓錐的表面積為H，其內(nèi)切球的表面積為S2,則空的取值范圍是()

A.[l,+oo)B.[2,+cojC.12亞,+e)D.[4,+co)

【答案】B

【解析】

【分析】選擇/08C(角。)與內(nèi)切球半徑R為變量，可表示出圓錐底面半徑廠和母線/,由圓錐和球的

E1

表面積公式可得不=0+2Ah+2小，再由/=tan2￡e(0,l)換元，轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)值域，進(jìn)而

/tan(711—ianu1

￡

得U的取值范圍.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為廠，母線長(zhǎng)為/,圓錐內(nèi)切球半徑為R,

如圖作出圓錐的軸截面，其中設(shè)。為外接圓圓心，D,E為切點(diǎn),48,NC為圓錐母線，

連接。民

R

0<tan0<\:.r------

tan?

?/ODVAB,0EVBC,:./DBE+/DOE=TI,又NAOD+/DOE=凡,

/.ZAOD=ZDBE=20,.?.4D=Rtan2e,

2R

.../+〃=AD+BD+r=AD+2r=Rtan20d-------,

tan6^

則圓錐表面積E=兀/+?！?兀/（/+一），圓錐內(nèi)切球表面積S2=4兀相，

KR[27?tane?2R]

，所求比值為縣=tan<〔l—tan'dtandj=_______1_______,

222

S24nR2tan^（^1-tan0^

令/=tan2￡〉0,則g（7）=2《lT）=—2〃+2/=—20—￡|+；,

則o<g（/）Wg,且當(dāng)/=（時(shí)，g?）取得最大值;，

故322,即富的取值范圍是［2,+8）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解立體幾何中的最值問題一般方法有兩類，一是設(shè)變量（可以是坐標(biāo)，也可以是

關(guān)鍵線段或關(guān)鍵角）將動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值；二是幾何法，利用圖

形的幾何性質(zhì)，將空間問題平面化，將三維問題轉(zhuǎn)化為二維問題來研究，以平面幾何中的公理、定義、定

理為依據(jù)，以幾何直觀為主要手段直接推理出最值狀態(tài)何時(shí)取到，再加以求解.

二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)A,8為隨機(jī)事件，且尸（幺），尸（8）是A,8發(fā)生的概率.尸（⑷，P（5）e（0,l）,則下列說法正

確的是（）

A.若A,B互斥,則尸（2。8）=尸（Z）+P（8）B.若尸（48）=尸（Z）尸（8）,則A,8相互獨(dú)立

C若A,B互斥,則A,8相互獨(dú)立D.若A,8獨(dú)立，則尸（8］幺）=尸（8）

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用互斥事件的概率公式可判斷A選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念可判斷B選項(xiàng)；由互斥事件和相

互獨(dú)立事件的概念可判斷C選項(xiàng)；由相互獨(dú)立事件的概念，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,若48互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則尸（幺。8）=尸（2）+尸（8）,所以選項(xiàng)

A正確,

對(duì)于選項(xiàng)B,由相互獨(dú)立事件的概念知，若P(AB)=P(A)P(B),則事件48是相互獨(dú)立事件，所以選

項(xiàng)B正確，

對(duì)于選項(xiàng)c,若45互斥，則45不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件A：“正面朝

上”，事件8：“反面朝上”，事件A與事件8互斥，但尸(48)=0,P(4)=P(B)=；,不滿足相互獨(dú)立

事件的定義，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，

對(duì)于選項(xiàng)D,由相互獨(dú)立事件的定義知，若A,8獨(dú)立，則尸(8|2)=尸(8),所以選項(xiàng)D正確，

故選：ABD.

10.已知函數(shù)/(x)=sinHsinx|—cos2x,則()

A./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱

B./(x)的值域?yàn)閇-1,2]

C.若方程/(x)=-9在(0,加)上有6個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(手，坐

4163」

6

D.若方程2叭%)+/=1僅￡即在(0,2兀)上有6個(gè)不同的實(shí)根毛?=1,2,3,6),貝恒2>，的

Z=1

取值范圍是(0,5兀)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)/(2兀)=-/(乃是否成立判斷A,利用分段函數(shù)判斷BC,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性畫出分段函

數(shù)/(x)的圖象，求出的取值范圍，再利用對(duì)稱性判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x)=sinx|sinx|-cos2x,

所以/(2兀-x)=sin(2兀-x)卜in(2兀-x)|-cos2(2兀-x)=-sinx|sinx|-cos2x力-f(x),

所以/(x)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(K,0)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；

當(dāng)sinx20時(shí)，/(x)=sin2x-(1-2sin2x^=3sin2x-l,

由sinxe[0,1]可得/(x)e[-1,2],

當(dāng)sinx<0時(shí)，/(x)=-sin2x—(l-2sin2x)=sin2x-l,

由sinxe[-1,0)可得f(x)e(-1,0],

綜上/(x)e[T,2],故B正確：

,11

當(dāng)sinxNO時(shí)，由/0)=35由2%一1=一4解得5也》=5，

1

當(dāng)sinx<0時(shí)，由/(%)—sin9x—1=—解得sinx=----，

42

LLt、i、m「/、1.Z、r/>、JX3八rri、r兀Sit4兀5兀13兀17兀1Ojl

所以方程/(x)=——在(A0,+8)上的前7個(gè)A實(shí)根分別為一，一，——，一,——，―,——，

466336o3

LL…17兀,10兀丁〃

所以——<m<——,故C正確；

63

由"(')『一2可(x)+/=1解得/(x)=Q-1或/(x)=a+1,

“、3sinx-1,sinx>0,,“、

又因?yàn)?(x)=〈.2.，所以根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得/(X)圖象如圖所示，

sinx-l,sinx<0

所以/(%)=a—1有4個(gè)不同的實(shí)根，/(x)=a+1有2個(gè)不同的實(shí)根,

-1<4/-1<0

所以＜解得0<a<1,

0<a+1<2

設(shè)再<%2<%3<%4<%5<%6，則再+%4=%2+%3=兀，/+%6=3兀，

66

所以2%=5兀，所以的取值范圍是(°，5兀)，故D正確.

Z=1Z=1

故選：BCD.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，定義d(45)=max｛民-口」%—乃1｝為兩點(diǎn)幺(匕/1)、4/，%)的“切比雪

夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及/上任意一點(diǎn)0,稱一(尸,0)的最小值為點(diǎn)P到直線/的“切比雪夫距離”，記作

d(P,\給出下列四個(gè)命題，正確的是()

A對(duì)任意三點(diǎn)4B,C,都有d(C,Z)+d(C,3)2/48)；

Q

B.己知點(diǎn)尸(2,1)和直線/:x—2y—2=0,則d(P,/)=『

C.到定點(diǎn)M的距離和到M的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.

D.定點(diǎn)片(-。,0)、F2(C,0),動(dòng)點(diǎn)尸(x,y)滿足|d(PM)-d(P,g)|=2a(2c〉2a〉0),則點(diǎn)P的軌跡

與直線y（左為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).

【答案】AD

【解析】

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A,根據(jù)新定義，利用絕對(duì)值不等性即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)點(diǎn)。是直線了=2x—1上一點(diǎn)，且。（x,2x-l）,可得d（P,0）=max1|x—2],2—gx,,

討論|x-2|,的大小，可得距離d,再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

對(duì)于選項(xiàng)C,運(yùn)用新定義，求得點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D,根據(jù)定義得|max{|x+d，M}-max{|x-c|，M|=2a,再根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行討論，求得軌跡方程,

即可判斷.

【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)4（%力）,8（%,力）,。（％,無）,由題意可得：

d(C,4)+d(C,B)=max何-XcI，［->/}+max{|4-專|，|力-先|}

>\xA-xc\+\xB-xc\>\xA-x^\,

同理可得:同C,4）+d（C,8）?！币辉~,則:

d（C,A）+d（C,B）>max{\xA-x^\,\yA-yB\\=d（A,B）,

則對(duì)任意的三點(diǎn)A,B,C,都有d（C,7）+d（C,B）?d（43）;故A正確;

B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)。是直線x—2y—2=0上一點(diǎn)，且—1；

可得d（尸,0）=max（卜—2|,2—>,

1QQ9

由,一2|22-5%，解得xVO或x2—,即有"（尸,。）=,一2|,當(dāng)》=公時(shí)，取得最小值一；

2333

1Q1（2\

由卜―2|<2-5%，解得0<x<§,即有d（P,Q）=2—,d（P,。）的范圍是無最值,

2

綜上可得，P,。兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為],故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，設(shè)則=max'x-dJy-印,

若小—耳之,一同，則=『小兩邊平方整理得x=。；此時(shí)所求軌跡為x

(y26或yV—b)

若A一4<k-4,則J（i1+口一片=卜一《,兩邊平方整理得>=b；此時(shí)所求軌跡為歹=6

（x2?；騲<-a）,

故沒法說所求軌跡是正方形，故C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，定點(diǎn)片（-。,0）、F2（C,0）,動(dòng)點(diǎn)尸（x,y）滿足|d（PM）-d（P,凡）|=2a（2c>2a>0）,則:

|max||x+c|,|y|j-max{X-C嗣｝|=2。，

顯然上述方程所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不妨設(shè)定0,?出.

x+c\^yx-a

⑴當(dāng)x-c\>y^'有卜+c|-|x-d|=2a,得：<

Q<y<a-c"

⑵當(dāng)x—d”時(shí)，有0=2”，此時(shí)無解;

x+c>y

⑶當(dāng)時(shí),有x+。-y=2a,a<x；

x-c<y

則點(diǎn)P的軌跡是如圖所示的以原點(diǎn)為中心的兩支折線.

結(jié)合圖像可知，點(diǎn)尸的軌跡與直線^=左（左為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義

去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新

概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新

題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若（4-區(qū)）"的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,且Jr-的系數(shù)為80,則實(shí)數(shù)。的值為.

x

【答案】-2

【解析】

【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和先求〃，再利用通項(xiàng)(+1亍得到獷2的指數(shù)確定「值，由X-2的系數(shù)

為80,建立關(guān)于。的方程求解可得.

【詳解】因?yàn)?五-q)"的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,

X

所以C：+C；+C；+…+C：=2"=32,解得“=5.

5-3r

所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為刀+1=C；(五廣，(―與，=q(—a)'x工，

X

由33=-2,解得「=3,

2

所以廣2的系數(shù)為CK-?)3=-10a3=80,解得a=-2.

故答案為：-2.

13.已知函數(shù)/(》)=(%-4(必-X)在x=a處取得極小值，貝i]a=.

【答案】1

【解析】

【分析】求得/'(x)=x2—x+(x—a)(2x—1),根據(jù)/心)=0,求得。的值，結(jié)合實(shí)數(shù)。的值，利用函

數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)的概念，即可求解.

【詳解】由函數(shù)](力=(%_司卜2一X),可得/=》2-x+(x-a)(2x-l),

因?yàn)閤=a處函數(shù)/(x)極小值，可得/'(a)=/-a=0,解得a=0或a=l,

若a=0時(shí)，可得/'(x)=x(3x—2),

2?

當(dāng)x<0時(shí)，/，(x)>0；當(dāng)0cx<§時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)x〉§時(shí)，/,(x)>0,

此時(shí)函數(shù)/(X)在(-8,0),(§,+8)單調(diào)遞增，在(0,§)上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)/(x)取得極大值，不符合題意，(舍去)；

若a=l時(shí)，可得/'(X)=(x—l)(3x—l),

當(dāng)x<』時(shí)，/,(x)>0；當(dāng)?<x<l時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，/,(x)>0,

此時(shí)函數(shù)/(X)在(-哂；),(1,+8)單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以，當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)/(x)取得極小值，符合題意，

綜上可得，實(shí)數(shù)。的值為1.

故答案為：1.

14.數(shù)學(xué)老師在黑板上寫上一個(gè)實(shí)數(shù)飛,然后老師拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果正面向上，就將黑板上

的數(shù)叫)乘以-2再加上3得到占，并將飛擦掉后將多寫在黑板上；如果反面向上，就將黑板上的數(shù)與除

以-2再減去3得到占，也將玉擦掉后將多寫在黑板上.然后老師再拋擲一次硬幣重復(fù)剛才的操作得到黑

板上的數(shù)為%.現(xiàn)已知%>須)的概率為0.5,則實(shí)數(shù)項(xiàng))的取值范圍是

【答案】(一8,-2川。,+8)

【解析】

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(X)=-2X+3,g(x)=-j-3,由兩次復(fù)合列出不等式求解即可.

【詳解】由題意構(gòu)造/(x)=-2x+3,g(x)=-|-3,

則有/(/(x))=4x—3,/(g(x))=x+9,g(/(x))=x-|,g(g(x))=|-|.

因?yàn)?(g(x))>x，g(/(x))<x恒成立，

又馬〉%的概率為0.5,

4x-3>x,4%-3<x,

所以必有3或者<x3解得x￡(―8,—2)D(l,+8).

-----<X.----->X,

142[42

故答案為：(-oo,-2)U(l,+°o)

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.在V48c中，角48,C所對(duì)的邊分別為見“c,已知(b+c)(sin5-sinC)=(a-c)sirL4.

(I)求8；

(2)若A4BC的面積為正，且N萬=2反，求AD的最小值.

4

TT

【答案】⑴-

3

⑵V2.

【解析】

【分析】⑴利用正弦定理可得他+弓伍-c)=(a再結(jié)合余弦定理得cosB=>+"—1

2ac2

從而可求解.

(2)結(jié)合V45C的面積可求得ac=3,再由麗=前+!9=!強(qiáng)+2萬心，平方后得，

333

(AD)2=-c2+-a2+-,再結(jié)合基本不等式即可求解.

\/993

【小問1詳解】

由正弦定理得償+。)僅—。)=("c)a,即/+c2-b2=ac，

由余弦定理可得cosB=

2ac2ac2

因?yàn)?e(O,兀)，所以5=；.

【小問2詳解】

因?yàn)閂4SC的面積為士8,5=工，所以Lacsin5=±8,所以ac=3.

4324

因?yàn)辂?Z+=Z+—=+

2222

所以(而『=1(52)+|(5C)+2.|(.5C)=1c+iacCos5=1c+g,

iA2122/Z

所以一c2H—a2H—>2'—c--a-\—=2,當(dāng)且僅當(dāng)a—,c=V6時(shí)取等號(hào)，

9933332

所以RD的最小值為啦.

22

16.已知拋物線E:/=2px(夕〉0)與雙曲線？-、=1的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為。，且0點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)過點(diǎn)〃(-3,0)的直線/與拋物線E相交于48兩點(diǎn)，2關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為"，求證：直線48'必

過定點(diǎn).

【答案】(1)y2=4x

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)由雙曲線求其漸近線方程，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，由此可求拋物線方程；

(2)聯(lián)立直線46的方程與拋物線方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)4(巧,月)，B(x2,y2),

〃(》2,一必)，根據(jù)韋達(dá)定理求出%+%=12,求出直線的方程并令y=O,求出x并逐

步化簡(jiǎn)可得x=3,則直線48'過定點(diǎn)（3,0）.

【小問1詳解】

設(shè)點(diǎn)0的坐標(biāo)為（3,%），因?yàn)辄c(diǎn)。在第一象限，所以九〉0，

雙曲線:=1的漸近線方程為了=±今3%，因?yàn)辄c(diǎn)0在雙曲線的漸近線上，所以為=26，

所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3,2百），又點(diǎn)°（3,2百）在拋物線上，所以12=2px3,所以夕=2,

2

故拋物線￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y=4x；

【小問2詳解】

y2—4x

設(shè)直線ZB的方程為x=W-3,聯(lián)立—一，消x得，/-4mv+12=0,

x-my-3

方程/-4加y+12=0的判別式△=16m2一48>0，即/一3〉0，

設(shè)4（%5）,B（x2,y2），則%+%=4私必％=12,

因?yàn)辄c(diǎn)/、8在第一象限，所以％+%=4掰〉0,%%=12〉0,故機(jī)>0,

設(shè)2關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為〃（々，一%），

則直線AB'的方程為y+%=ff（x-X?）,

X2-Xj

令y=0得：x=y2x^—―+X2

-%-7i一

-1%+X2%

=%（叼2-3）+%（孫-3）

=27即2%-3（%+%）

%+72

24m—12m12m

=--------=---=3.

4m4m

二直線//過定點(diǎn)（3,0）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：聯(lián)立直線48的方程與拋物線方程可得關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)4（久1，月），

8（如丫2），8'（工2，-%），根據(jù)韋達(dá)定理求出外+了2=4根,必必=12，求出直線48'的方程并令>=o,

求出x并逐步化簡(jiǎn)可得x=3,則直線AB,過定點(diǎn)（3,0）.

17.如圖，己知正方形45CD的邊長(zhǎng)為4,E,尸分別為ND,8C的中點(diǎn)，沿斯將四邊形EFCD折起,

使二面角Z-￡E-C的大小為60。，點(diǎn)M在線段45上.

（1）若M為4B的中點(diǎn)，且直線與直線E4的交點(diǎn)為。，求04的長(zhǎng)，并證明直線0。//平面

EMC；

（2）在線段4B上是否存在點(diǎn)使得直線與平面EMC所成的角為60。；若存在，求此時(shí)二面角

M-EC—/的余弦值，若不存在，說明理由.

【答案】（1）。4=2；證明見解析.

（2）存在點(diǎn)M,使得直線。E與平面EMC所成的角為60。；此時(shí)二面角EC-尸的余弦值為1.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位線性質(zhì)可求得。4,由MNHOD,結(jié)合線面平行判定定理可證得結(jié)論；

（2）由二面角平面角定義可知/。瓦4=60。，取ZE,3尸中點(diǎn)。，P,由線面垂直的判定和勾股定理可

知OA,。尸兩兩互相垂直，則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)四（1,機(jī),0）（04m<4）,

利用線面角的向量求法可求得也；利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

???E,尸分別為3,3。中點(diǎn),

EFHAB//CD,且AE=FB=2,

又M為AB中點(diǎn),且AB±OE,AB1.BF,

易得ACMM=^FBM,0A=FB=AE=2,

連接CE,￡)E,交于點(diǎn)N,連接跖V,

由題設(shè)，易知四邊形CDEE為平行四邊形，

QN為DF中點(diǎn),,

???幺拉〃跖,2是?！甑闹悬c(diǎn)，

:.M為OF中點(diǎn)，

MN//OD,又MNu平面EMC,O￡><z平面EMC,

.?.OD〃平面EMC；

【小問2詳解】

???EF//ABHCD,

■：EF1DE,EFLAE,

又QEu平面CEF,ZEu平面ZEE,

.?./。區(qū)4即為二面角2—跖—。的平面角，

ZDEA=60°；

取中點(diǎn)O,P,連接。。,。尸，如圖，

=4+1—4COS60°=3,

OD-+0E2=DE2，

ODLAE,

OP//EF,

OPLDE,OPLAE,又4E,DEu平面4ED,AE^DE=E,

OP1平面AED,

OD,AEu平面AED,

:.0DLOP,AELOP,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，刀,而，礪方向?yàn)閤，N，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,

則￡＞（0,0,6）,￡（—1,0,0）,廠（—1,4,0）,C（0,4,V3）,

設(shè)〃（1,機(jī),0）（0＜機(jī)＜4）,則方方=卜1,0,-6）,W=（2,m,0）,￡C=（1,4,V3）,

EMU[=2X[+my,=0

設(shè)平面EMC的法向量呵=（%0/1）,貝叫一一，

ECn1=%+4%+J3Z]=0

人△加一8—?（

令必=2,則不=-加，z=一廠，.?.加i二一私2,

,/直線DE與平面EMC所成的角為60°，

.o,一一?叫二I8=是

..sin60=cosDE^_,,/(m-^Y2，解得加=1或加=3,

111IH-kll2M+4+--

二存在點(diǎn)當(dāng)=1或4M=3時(shí)，使得直線?！昱c平面及〃。所成的角為60°;

設(shè)平面C￡廠的法向量第=(均為/2),又反=(1,4,6)，F(xiàn)C=(1,0,73),

ECn?=9+4^2+也z2=0

z

FCn2=/+y/^2=0

令Z2=l,則％=-百，%=。，m2=(-V3,0,lj;

I—---I4-\/3

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，nx=f-l,2,--pl,|cOSZ71,?2|=-pz^rpM=—^-―

I也)1I同㈣2義44

\3

4

綜上所述：二面角EC-尸的余弦值為J.

4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二步的關(guān)鍵在于證明三線互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的

坐標(biāo)，熟練利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求法向量，求二面角、線面角是解題的關(guān)鍵.

18.已知函數(shù)〃力=*—e

(1)當(dāng)2=1時(shí)，求/(x)的圖象在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程；

(2)若時(shí)，/(x)<0,求X的取值范圍；

1____1____1__J___1__J_

4w

(3)求證：0/1+1n+2n+32n-l2n>2e(77€N,

【答案】(i)y=o

(2)[1,+co)(3)證明見詳解

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)根據(jù)題意，由條件式恒成立分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為42=+-求出函數(shù)g(x)==+—的最大

XXXX

值得解；

(3)先構(gòu)造函數(shù)0(x)=21nx—x+L,利用導(dǎo)數(shù)證明—,x>l,令x='+l,可得

X乙、XJ7?

In(72+1)-InM迭代累加可證得結(jié)果.

【小問1詳解】

當(dāng)4=1時(shí)，/(力=%2_。工/'⑴-0,

則廣(x)=2x]l+e卜.，則/'⑴=2—2e°=0,

所以/(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程為7=0.

【小問2詳解】

由時(shí)，/(%)<0,

I12InX

即丫x2-esu整理得幾2=x2+---X--,對(duì)恒成立，

人/、121nxra.、2x2-21nx2(x-l-xlnx)

令gX==+——，則g'X=—F+—2—=△——3------

XXXXX

令〃(x)=x-1-xlnx,x>1,

所以1(x)=-InX<0,即函數(shù)“X)在X>1上單調(diào)遞減，

所以〃(%)?"1)=0,即g[x)40,

所以函數(shù)g(x)在x?l上單調(diào)遞減，則g(x)Wg⑴=1,

【小問3詳解】

=21nx-x+—,x>1,

JC

milf/\21I—x2+2x—I—(x—l)八

刈。⑴—I-2——='2<U，

XX2XX

則0(x)</(l)=0,即21nx-x+工<0,

所以0(%)在(L+8)上單調(diào)遞減,

X

「1(1)

Inx<—x—,x>1,

21X)

令H1fGN，

n

\

可得1/1+口<工1+-——

-

1nJ2n1+j2\n〃+l)

)

所以山(〃+1)-111〃<31工+一6

In(7?+2)-In(77+1)<J+〃+2〉

11?1

ln(〃+3)-ln(〃+2)<—

2〃+2〃+3

ln(2w)-ln(2w-l)q導(dǎo)I十二

i/一”1222

以上式子相力口得In(2〃)一ln〃<——H------H------H-----H------+—,

2\n〃+1〃+22n—l2n)

整理得，In2-----<-------1--------FLH---------1----,

4n〃+1〃+22n—l2n

兩邊取指數(shù)得，「2$W+A禮，

即得2-！<e++'也+++，(〃eN*)得證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵是先構(gòu)造函數(shù)0(x)=