2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)突破：平面向量重難點(diǎn)題型【17類題型】（新高考專用）

專題6-1向量重難點(diǎn)題型匯總(17類題型)

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年I卷第3題，5分平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡、

證明及數(shù)量積的應(yīng)用問題，如證

2024年甲卷(理)第9題，5分

明垂直、距離等是每年必考的內(nèi)(1)向量的有關(guān)概念

容，單獨(dú)命題時(shí)，一般以選擇、

2023年I卷第3題，5分

向量的線性運(yùn)算和向量共

填空形式出現(xiàn).交匯命題時(shí)，向(2)

線定理及其推論

2023年II卷第13題，5分量一般與解析幾何、三角函數(shù)、

平面幾何等相結(jié)合考查，而此時(shí)

投影向量

2023年乙卷(理)第12題，5分(3)

向量作為工具出現(xiàn).向量的應(yīng)用

是跨學(xué)科知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，務(wù)平面向量的坐標(biāo)表示及坐

2022年北京卷第10題，5分(4)

必引起重視.標(biāo)運(yùn)算

預(yù)測命題時(shí)考查平面向量數(shù)量積(5)平面向量的數(shù)量積及其幾

2020年新高考I卷，第7題,5分的幾何意義及坐標(biāo)運(yùn)算，同時(shí)與何意義

三角函數(shù)及解析幾何相結(jié)合的解

答題也是熱點(diǎn)

模塊一卜熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】向量的概念辨析易錯(cuò)題梳理....................................................2

【題型2】向量的垂直與共線...........................................................4

【題型3】向量的夾角與模長計(jì)算.......................................................6

【題型4】投影向量.....................................................................9

【題型5】用其他向量表示已知向量.....................................................12

【題型6】平面向量共線定理...........................................................16

【題型7】平面向量共線定理的推論.....................................................19

【題型8】極化恒等式求數(shù)量積.........................................................26

【題型9】投影法求數(shù)量積.............................................................36

【題型10］拆分向量求數(shù)量積..........................................................42

【題型11］建立坐標(biāo)系解決向量問題....................................................47

【題型12］三角形四心的識(shí)別..........................................................57

【題型13】向量的四心運(yùn)算............................................................65

【題型14］等和線問題................................................................76

【題型15］通過平面向量共線定理的推論求最值.........................................87

【題型16］奔馳定理..................................................................93

【題型17］向量中的隱圓問題.........................................................101

模塊二卜核心題型?舉一反三

【題型1］向量的概念辨析易錯(cuò)題梳理

基礎(chǔ)知識(shí)

1、零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.

2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3、共線向量與相等向量關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不'一定是相等向量.

4、若兩向量共線，則兩向量所在的直線有平行和重合兩種可能

5、零向量是影響向量平行或共線判斷的“幽靈”,要特別注意

6、向量相等具有傳遞性，即若a=b,b=c,則a=c。而向量的平行不具有傳遞性，即若?！?,b〃c,未必有a〃c。

因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄?，?dāng)b=0時(shí),a,c可以是任意向量，所以a與c不一定平行。但若b豐0,則必有

a//b,b//c=>a//c

1.（多選）下列結(jié)論中正確的是（）

A.若同=,,則@=B

B.若口==0,貝！!”=?■

C.若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，貝『'通”是“四邊形ABC。為平行四邊形”的充要條件

D.“g=B”的充要條件是“\a\=\b\且a//b”

【答案】BC

【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)、平行的性質(zhì)與充分必要條件的定義逐個(gè)辨析即可.

【詳解】對(duì)于A,兩個(gè)向量的長度相等.但它們的方向不一定相同；

對(duì)于B,由平面向量相等可得B正確；

對(duì)于C,若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則當(dāng)而=反時(shí)，|鉆|=|。。且AB/ADC,故四邊形為平

行四邊形；

當(dāng)四邊形A2CD為平行四邊形時(shí)，|AB|=|DC|且AB//DC,故且通，反同向，故而=皮，故C正確；

對(duì)于D,當(dāng)力〃5且方向相反時(shí)，即使同=M，也不能得到d=B，故D錯(cuò)誤；

故選：BC

2.有下列結(jié)論：

①表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同；

②若awB，則a，》不是共線向量；

③若|福卜|方。，則四邊形ABC。是平行四邊形；

④若7n=n,n=k'則為=2；

⑤有向線段就是向量，向量就是有向線段.

其中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由向量的定義、有關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判定可得答案.

【詳解】對(duì)于①，表示兩個(gè)相等向量的有向線段，若它們的起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同，①正確；

對(duì)于②，若也有可能B長度不等，但方向相同或相反，即共線，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若|而卜|困，則會(huì)，反不一定相等，所以四邊形ABCD不一定是平行四邊形，③錯(cuò)誤;

對(duì)于④，若濟(jì)=五，n=k，則而=（，④正確；

對(duì)于⑤，有向線段不是向量，向量可以用有向線段表示，⑤錯(cuò)誤.

綜上，錯(cuò)誤的是②③⑤，共3個(gè).

故選：B.

【鞏固練習(xí)11下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）

①單位向量都相等；②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量；

③若滿足I@|>|B|,且a與石同向，則乙〉B

④若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合；

@^a//b,b//c,則花〃E

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.

【詳解】單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①錯(cuò)誤；

模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量，故②錯(cuò)誤；

向量有方向，不能比較大小，故③錯(cuò)誤；

向量是可以自由平移的矢量，當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí)，它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定相同，故④錯(cuò)誤;

當(dāng)時(shí)，可滿足百〃萬萬〃乙但裁與忑不一定平行，故⑤錯(cuò)誤；

綜上，正確的個(gè)數(shù)是0

【鞏固練習(xí)2】（多選）下列敘述中錯(cuò)誤的是（）

A.若。=石,貝！13?！?3B.若則￡與B的方向相同或相反

c.若Z〃3則Z〃七D,對(duì)任一非零向量￡是一個(gè)單位向量

\a\

【答案】ABC

【分析】對(duì)于A,根據(jù)向量的概念判斷，對(duì)于BCD,舉例判斷.

【詳解】因?yàn)槭羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以向量不能比較大小，故A錯(cuò)誤；

由于零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若石為零向量，則力與￡可能不是共線向量，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,對(duì)任一非零向量￡表示與々同向的單位向量,故D正確.

\a\

故選：ABC

【題型2】向量的垂直與共線

基礎(chǔ)知識(shí)

（1）向量共線定理：如果。=油且bw。，則。〃辦；反之a(chǎn)〃小且〃wO,則一定存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)2,使

a=Ab.

（2）兩個(gè)向量/7的夾角為銳角=〃?/?〉0且a,不共線；

兩個(gè)向量a,）的夾角為鈍角=〃./?＜（）且a,不共線.

⑶==O

（4）若〃=（樂,），則2y）

向量共線運(yùn)算：已知a=（為,必）,力=（尤2，%），則向量］，共線的充要條件是占為一二。

3.向量值=(1,3),5=(3x-l,x+l),c=(5,7),若(萬+B)〃(M+。，S.c=ma+nb>則加+”的值為()

A.2B.—C.3D.一

22

【答案】C

【分析】先利用平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示求出x=l,再利用向量的坐標(biāo)表示得到

關(guān)于加、”的方程組進(jìn)行求解.

【詳解】由題意，得日+5=(3x,x+4),Zz+c=(6,10),

因?yàn)?萬+司，所以3Qx=6x+24,解得x=l,

貝Ic=ma+nb=(m,3m)+(2n,2n)=(m+2n,3m+2n)=(5,7),

fm+2n=5m=l

即4解得故m+n=3.

3m+2〃=7n=2

【鞏固練習(xí)1】已知向量訝=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),若工=Aa+/Lib,2、R,則2+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】由題意，根據(jù)平面向量加法的坐標(biāo)表示，可列方程，可得答案.

lit/、-/、/、14=4一"

【詳解】由c=Xa+〃b,則(4,2)=“1,1)+〃(-1,1),即，2=彳+；解得

故2+4=2,

故選：D.

【鞏固練習(xí)2】設(shè)向量a=(cosx,也sinx),B=&)，其中無馬0,萬］.

⑴若僅-可〃鼠求實(shí)數(shù)X的值；

⑵已知c=(〃?,T)且;，若/(x)=a-c,求的值域.

3%

【答案】(1)一；

4

【分析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算得解.

(2)由向量垂直的坐標(biāo)表示求出入再借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系求解作答.

【詳解】⑴因向量Z=(cos無，&sinx),加則Z-B=(cosx-l,&sinx+A/I),

又則有(-&)(COSX-1)-(0sinx+應(yīng))x1=。，即也'sinx+亞COSX=0，于是得tanx=-l,

而4I，解得元二一,

4

3兀

所以實(shí)數(shù)x的值是——.

4

(2)因?yàn)閏=(m,-1)且c_L匕，則加+亞二0,即帆=—有c二卜A/^,—1),

f[x)=a-c=-72cosx-A/2sinx=-2sin(x+,因x￡[0,?],則x+sin(x+^)e[-^,l],即

/(X)G[-2,V2],所以F(x)的值域[-2,正].

【鞏固練習(xí)3】(多選)已知向量商二(1,有)，b=(cosa,sina)f則下列結(jié)論正確的是()

A.若@〃B，則tana=g

B.若G，則tana=-^^

C.若「與B的夾角為拳則N|=3

D.若&與B方向相反，則5在至上的投影向量的坐標(biāo)是(-；,

【答案】ABD

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示判斷A；利用垂直的坐標(biāo)表示判斷B；利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解判斷C；

求出投影向量的坐標(biāo)判斷D.

【詳解】向量向=(1,6),5=(cosa,sina),

對(duì)于A,由得sina=gcosa,因此tana二血，A正確；

對(duì)于B,由@J_B，得J^sina+cosa=0,因此tana=-坐，B正確;

對(duì)于C,「與B的夾角為令，\a\=2,\b\=l,Q?B=2xlx—=1,

32

因此|萬一B|二J/+片一2無5=也,c錯(cuò)誤；

商B1(1

對(duì)于D,0與人方向相反，則人在「上的投影向量為;一v---a--—D正確.

\a\22

故選：ABD

【題型3】向量的夾角與模長計(jì)算

基礎(chǔ)知識(shí)

COS6>=T^|a-ya+b

方與5夾角公式:a與。+5夾角公式:COS0=

|tzl|a+^|

2

模長公式:同或卜卜J-a=7?,卜+1=J(Z+B)

注意：涉及土〃,這類條件時(shí)一般要進(jìn)行平方

4.已知向量同=3,忸|=2,2與石的夾角為g,則'"30=(

)

A.6B.376C.3D.3也

【答案】A

【分析】由數(shù)量積公式結(jié)合怩-3可=J(21-3斤得出答案.

【詳解】解：因?yàn)橄蛄客?3,同=2,2與否的夾角為與，

-71

所以=3x2xcos—=3

3

所以忸-3可=J(2*35)2=^a2-12a-b+9b2=,4x9-12x3+9x4=6

5.已知向量乙B滿足同=1，W=3,7-5=(2,#)，則忸+0=

【答案】3行

【解析】同=1,司=3,1—5=(2,#)可得卜-4=a+b-2a-b=22=10=>ab=O,

故忸+同=而/+7+62=3直

6.已知向量M=(l,2),5=(4,k),若反與石垂直，則方與&十萬夾角的余弦值為()

A君R2c&4

A?io.。.Ln).

5435

【答案】A

【解析】因?yàn)榉磁c石垂直，故7B=lx4+2女二0，解得左二—2,則辦=(4,—2),

__八。?(〃+楊5V5

〃+/?=(5,0),設(shè)M與a+方夾角為夕，則cos8=門-^-=—j====7-.故選：A.

7.設(shè)向量Z=(x,T),b=(\,-x),向量1與6的夾角為銳角，則x的范圍為.

【答案】x>0且XH2

【分析】根據(jù)已知可得"B〉。，且不共線，求解即可.

【詳解】向量2=（蒼Y）,3=（1,-%）,由得，xx（-x）-lx（-4）=0,所以x=±2.

由已知得，0<,6<1所以c°sG，B）=箭>。，即>3>0,且￡>不共線.

貝"=%xl+（T）?（一x）=5%>0,所以%>0.

又5》不共線，則尤w±2.所以x的取值范圍為％>0且xw2.

故答案為：x>0且尤。2.

【鞏固練習(xí)1】向量M=（2/）,B=（—1,3）,若￡,石的夾角為鈍角，貝打的范圍是

2

【答案】/V—且％w-6

3

一一2

【解析】若5的夾角為鈍角，則2?萬<0且不反向共線，第B=—2+3/<0，得/<§.

向量方=（2"）,Z?=（-1,3）共線時(shí),2x3=—%,得1=—6.此時(shí)左=—2/??

2

所以/V—且，w-6.

【鞏固練習(xí)2】已知2,石為單位向量，且?guī)?54=7,則2與］一方的夾角為（）

【答案】C

【分析】設(shè)2與〉一方夾角為夕，利用|32-5司=7求出"B，在利用夾角公式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?,b為單位向量，

由|3?—5&|=7,

所以（32-50=49o9/-30a-b+25片=49,

即9-3?！?+25=49=￡石=-；,設(shè)之與夾角為<9,

JT

又e￡[o,兀],所以。=—

6

【鞏固練習(xí)3】（2024.高三.上海奉賢?期中）已知平面向量2,各的夾角為:，若什="2￡-q=如，則

w的值為.

【答案】3拒

【解析】由卜兩邊平方得（2Z-B）=10,4/_4a.B+片=4-4xlxW，cos：+W=10,

用一2夜卡-6=0,（M-30川目+0）=0,解得%=372

【鞏固練習(xí)4】已知愛,《表示兩個(gè)夾角為會(huì)的單位向量，O為平面上的一個(gè)固定點(diǎn)，P為這個(gè)平面上任

意一點(diǎn)，當(dāng)爐=癡+丁溫時(shí)，定義（x,y）為點(diǎn)尸的斜坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)Q的斜坐標(biāo)為（2,1）,則|因=.

【答案】出

【詳解】由題知質(zhì)=21+］，又I，1表示兩個(gè)夾角為會(huì)的單位向量，

所以|OQ|=yjoQOQ=7（2ef+e^）2=，宕+4卜4+）=^4+4xcos^+l=J7

【鞏固練習(xí)5】（2024?江西宜春.三模）己知2,石均為非零向量，若［2工-加=|引=2|￡|,則日與萬的夾角

為.

71

【答案】一

3

【解析】由12nl=|引,可得|21開=|開，即4|肝-42出+|肝=|開,解得76=|浦，

因?yàn)閨年2|3|,所以cos（Z5）=言［=程適=；,

''|。||8|21al2

又因?yàn)??,6?兀,所以卜環(huán)二m.

71

故答案為：一.

3

【題型4】投影向量

基礎(chǔ)知識(shí)

向量￡在石上的投影向量：/石=同.85分，，其中，是與B同方向的單位向量

a-b

向量々在石上的投影向量模長：

8.已知a,B是夾角為120。的兩個(gè)單位向量，若向量1+在在向量3上的投影向量為始,貝()

A.-2B.2C.D.

33

【答案】A

一_\a+^b\-d(a+Ab\a

【詳解】〃+在向量"上的投影向量為---------3=23=>--------------=2.

同同

=>(a+2fe)-?=|a|2+2|a|-|fe|cosl20°=l--2=2=>A=-2.

9.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)P在直線*+2y+l=O上.若向量二=(1,2),

則而在2上的投影向量為()

【答案】A

【解析】由題可設(shè)尸(一2/-1J),則麗=(—2/—1J),

所以O(shè)P?a=(-2z-l,?>(l,2)=—1,又|?|=A/12+22=6,

故0P在a上的投影向量為

"|cos(配2涓=|同OP?aaOP*a-1-(12

麗不評(píng)I”--

W

10.已知向量2=(-2,2)石=(1,1),則1在石方向上的投影向量為.

【答案】(一1,—1)

【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求解.

【詳解】a=(-2,2),r=(1,1)=力=(-3,1),

{a-b)-b-3+1

：一刃在各方向上的投影向量為br=——(1,1)=(-1,-1)

故答案為：(TT)

11.已知點(diǎn)4一1,1)、3(1,2)、C(-2,-l)。(3,4),則向量通在函方向上的投影向量的模長為

A.迪37153后3屈

B.

22~2~2

【答案】A

【解析】AB=（2,1）,CD=（5,5）,則向量AB在向量CD方向上的射影為

ABCD(2,1)?(5,5)2x5+lx5_3V2

ABcosd=

5V2-2

CD后+52

【鞏固練習(xí)1】已知同=2,a與石的夾角為石，三是與石同向的單位向量，則力在石方向上的投影向

量為（）

A.1B.-1C.eD.-g

【答案】D

2

【解析】裁在石方向上的投影向量為同cos"=2以）5-^，0=-2,故選：D

【鞏固練習(xí)2】已知忖=3,［是與石方向相同的單位向量.若向量2在吞方向上的投影向量是貝I

a-b=---------?

【答案】12

【分析】先求得2在辦方向上的投影，再乘以與辦方向相同的單位向量匕，即得到投影向量，利用向量的數(shù)

量積運(yùn)算即可得到〉B的值.

【詳解】設(shè)2與石的夾角為夕，則2在石方向上的投影為同cos9,

所以向量2在石方向上的投影向量為苞?同cos9=4E,故同cos9=4,

故Q.坂二|?仿|cos9=|月?|cos9=3x4=12.

【鞏固練習(xí)3】若向量Z=（x,2）1=（2,3）工=（2,~4）,且￡〃人則￡在五上的投影向量為（）

49

C.(8,12)

1*母13

【答案】A

【解析】由題意知向量5=（X,2）,B=（2,3）,"=（2,T）,

因?yàn)閍〃c,所以-4x—4=0,得x=—1,所以a=（—1,2）,|a|=\［5,

一/、b（23、-2+64

又6=（2,3）,所以同=［而，而/?！ā?”麗:訴再二夜,

所以￡在分上的投影向量為：卜卜。$（。，3,.=^*京^[=,故選：A.

【鞏固練習(xí)4】（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）已知向量混滿足同=25=（3,0）,卜-5|=廂，則向量2

在向量各方向上的投影向量為（）

A.加B.（別C.例D.（1,0）

【答案】C

【解析】因?yàn)橥?2，W=3,卜一5卜

所以卜一可=4?一2無日+后=2?—2萬萬+3?=10,得〃?B=a，

3

所以向量2在向量吞方向上的投影向量為°,-5=—=—（3,0）=f—,o\

\b\296V7UJ

【題型5】用其他向量表示已知向量

基礎(chǔ)知識(shí)

（1）基本思路：利用向量的線性運(yùn)算對(duì)已知向量進(jìn)行拆分，逐漸轉(zhuǎn)化為只有基底向量的形式

（2）坐標(biāo)表示：待定系數(shù)法

（3）常見模型補(bǔ)充：向量中的定比分點(diǎn)恒等式（爪型圖）

BDrn-----m?H—?

在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，如果——=—,則AD=--------AC+--------AB

CDnm+nm+n

12.在AABC中，點(diǎn)。滿足麗=3而，則（）

—.1—3—.—?2—1—

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

—.3—■1—■—.1—.2—?

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

【答案】A

【分析】根據(jù)題意畫出AABC并確定點(diǎn)。的位置，即可以向量函為基底表示出詬.

【詳解】根據(jù)題意如下圖所示：

__3__?

根據(jù)向量加法法則可知而=B+X萬，又麗=3麗，所以礪k=/通

即3=值+：麗3+：(麗_的=；新+：岳，

—.1—.3—.

可得CD=—CA+—CB.故選：A

44

13.若向量Z=(2,l),B=(-l,2),"=則[可用向量2，石表示為()

一一

A.—1a+bB.——1a--b7

22

3f3-1-

C.—a+—bD.-a——b

2222

【答案】A

【分析】根據(jù)向量基本定理，設(shè)2=場+彷，代入計(jì)算得到方程組，解出即可.

5

［詳解】設(shè)c=%〃+彷，即°，彳=x(2,l)+y(-l,2)=(2x-y,x+2y),

2

2x-y=0

X-11

則有＜c5,解得，2,^]c=-a+b.

尤+2y=][y=l12

14.如圖所示的AABC中，點(diǎn)。、E分別在邊5C、上，且班)=。。.瓦＞=2鉆，則向量骸=()

E

AB

1toiuuni_.j.1—.s—.1—.2—■

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

33666633

【答案】B

-.AD=AB+BD,AD=AC+CD<

又?..3D=OC,...而=一函，,而=；(通+同，

1—.1—.1—.1—.

又,：ED=2AE,..AE=—AD,AE—AD——ABH—AC*.故選：B.

3366

15.已知AABC的邊BC的中點(diǎn)為。，點(diǎn)E在AABC所在平面內(nèi)，且說=2赤-明，若

mCE+nAC=AB,則〃Z+/2=()

A.7B.6C.3D.2

【答案】A

—1—.—.

【解析】因?yàn)檎f=2礪一說，所以朋+―BC=2BE,

2

因?yàn)辂?前+區(qū)，所以麗+；元=2麗=2（而+而），

3__.__.313

所以2c￡=-A8——BC=-AB——(AC-AB]=-AB--AC

22、>22

所以4CE+3AC=AB,

因?yàn)榧釉?zW=衣，所以帆=4,〃=3,故%+〃=7.故選：A.

【鞏固練習(xí)1】如圖所示，點(diǎn)C在線段50上，且5C=3cD,則通=（）

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.|AC-|ABD.|AC-|AB

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理求解即可.

【詳解】因?yàn)?C=3CE>,所以麗=!麗，

4

因?yàn)樵?*+而=恁+；而=/+；（而一通），

3—■—■1—.―.4―-1―?

所以一AD=AC-一AB,即AD=—AC——A3.故選：C.

4433

【鞏固練習(xí)2】如圖，在AABC中，麗=；/,P是的中點(diǎn)，若而=加通+/正，則加+〃=()

【答案】D

--1—.1—.

【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得AP=-A3+-AC,由此求得進(jìn)而求得加+幾

24

【詳解】因?yàn)槭荁N的中點(diǎn)，所以麗=」麗.

2

所以麗=麗+麗=麗+!麗=麗+!(麗一麗=工通+!麗=」通+!近，所以加=，，,=!,所以

22222424

3

〃！+〃=一.

4

【鞏固練習(xí)3】已知在AABC中，N是邊AB的中點(diǎn)，且4麗=前，設(shè)AM與CN交于點(diǎn)P.記謖=a,

AC=b-

(1)用心看表示向量畫牙，CN；

⑵若2m=出|,且不,而，求心,的余弦值.

［答案］(1)而=30+工6，CN=-a-B

442

(2)cos36、=—

【分析】(1)根據(jù)平面向量的基底與三角形法則即可用a,B表示向量麗，CN；

（2）由取1通得函1靠,代入向量數(shù)量積公式即可求得卜,石）的余弦值.

【詳解】⑴BC=AC-^=b-a

AM=AB+BM=AB+-BC=a+-(b—a\=—a+—b

44I744

CN=CA+AN=-AC+-AB=-a-b

22

（2）???N,P,C三點(diǎn)共線，二由守1通得麗1麗,

O=CNAB=I；"—")"，即g同2=ba,

=同網(wǎng)cos（萬，石）=21萬Fcos（1,5），

cos=—9的余弦值為i.

【題型6】平面向量共線定理

基礎(chǔ)知識(shí)1

平面向量共線定理：三點(diǎn)A,B,C共線O而，前共線（功能：證明三點(diǎn)共線）

16.已知向量荏=（2,1）,BC=（J,m）,①=（3,-1）,若A,B,。三點(diǎn)共線，則加=

【答案】6

【分析】根據(jù)給定條件，求出麗，再利用共線向量的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.

【詳解】因比=（7,m），CD=（3,-1）,則而=覺+函=（10,加-1）,

又荏=（2,1）,且A,B,。三點(diǎn)共線，即而〃而，因此2（帆—l）—lxlO=O,解得“2=6,

所以m=6.

故答案為：6

17.己知通=3（4+可，屈=鑿-力,前=2[+Z，則下列結(jié)論中成立的是（）

A.A,B,C三點(diǎn)共線B.A,B,。三點(diǎn)共線

C.A,D,C三點(diǎn)共線D.D,B,C三點(diǎn)共線

【答案】C

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得前=2萬，從而可求解.

［詳解］解：AC=AB_C7?=3（q+ej_（e2―弓）=4e〔+2e,=2CD,

所以A,D,C三點(diǎn)共線.

故選:C.

18.如圖，在YABCD中，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在8。上，3BN=BD.

求證：M,N,C三點(diǎn)共線.

【詳解】設(shè)麗=￡，甌=尻

則由=！￡+及函=分+,而=彼+1仿-5）=1￡+25,

233、,33

—.3—■

所以CM=—CN,

2

又因?yàn)閮伞?，國有公共起點(diǎn)C,所以M,N,C三點(diǎn)共線.

【鞏固練習(xí)1】已知加工+5人而=-2（及-45）,而=3m-B）,則（）

A.M,N,尸三點(diǎn)共線B.M,N,。三點(diǎn)共線

C.M,P,。三點(diǎn)共線D.N,P,。三點(diǎn)共線

【答案】B

【解析】?.而=-22+窈,PQ=3（a-b）,

NQ-NP+PQ--2a+礪+3（a-B）=a+5行，

■,-MN^a+5b，：.MN^NQ,

由平面向量共線定理可知，而與而為共線向量，

又?.?麗與而有公共點(diǎn)N,N,Q三點(diǎn)共線，故選：B.

【鞏固練習(xí)2】已知不共線的向量點(diǎn)況且而=：+2刃，BC=-5a+6b>CD=7a-2^則一定共線的三

點(diǎn)是（）

A.AfB,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】利用向量的共線定理——判斷即可.

UUU1UUUUUUUUUL11

【詳解】對(duì)A,AD^AB+BC+CD=3a+6b^

所以麗=3而，則人瓦。三點(diǎn)共線，A正確；

對(duì)B,AC=AB+BC=-4a+8^

則不存在任何4eR,使得標(biāo)=/[麗，所以AB,C不共線,B錯(cuò)誤；

UU1UUUUUU1U11

對(duì)c,BD=BC+CD=2a+4b，

UUUULIU

則不存在任何〃eR,4更得BD=〃BC,所以8,。,。不共線，c錯(cuò)誤;

對(duì)D,AC^AB+BC=-4a+8b，

則不存在任何feR,使得麗=/蕊，所以A,C,普不共線，D錯(cuò)誤

【鞏固練習(xí)3】如圖，在“BC中，CD^2DB,AE^EC.

(1)用初，A5表示不，BE■,

(2)若點(diǎn)M滿足R0=-工通+3正，證明：B,M,E三點(diǎn)共線.

24

__.3__?

【答案】⑴前=-2而+3而，BE^-2AB+-AD

(2)證明見解析

【分析】(1)利用向量的線性運(yùn)算和基本定理求解即可.

(2)利用三點(diǎn)共線的判定證明即可.

【詳解】⑴因?yàn)槎?2而，醺=就，

AC=AB+BC^AB+3BD

=AB+3(AD-AB)=-2AB+3AD,

BE=BA+AE=-AB+-AC

2

=-AB+-(BC-BA\=--AB+-BC

2、'22

=--AB+-x3BD=--AB+-x3(AD-AB]

2222、'

--3—■

=-2AB+-AD.

2

--1--3—■

(2)由AM=——AB+-AC,

24

--1—.3—"1—.3—■

可得AM=-一AB+-x2AE=一一AB+-AE,

2422

所以2通=_而+3荏，AE-AB=2^AM~AE^,即詼=2兩,

所以B,M,石三點(diǎn)共線.

，中檔誕

【題型7】平面向量共線定理的推論

核心癡5

平面向量共線定理的推論——系數(shù)和為1：

已知定=彳兩+4而

①若4+〃=1,則A、B、C三點(diǎn)共線；

②若則A、B、C三點(diǎn)共線，則4+〃=1.

證明

證明①：由％+y=lnA,B,c三點(diǎn)共線.

由％+y=l得：PCxPA+yPBxPA+(1-x)PB=>PC-PBx(PA-PB)=>BCxBA.

即前，灰共線，故A,B,C三點(diǎn)共線―

(2)由A,B,c三點(diǎn)共線nx+y=l.

由A,B,C三點(diǎn)共線得就，麗共線，即存在實(shí)數(shù)2使得配=4麗.

故加+定=4（而+而）=元=4而而.即％=4,y=l-4,則有％+y=l.

__i_____,____2__.

19.在AABC中，N是AC上的一點(diǎn)，S.AN=-NC,尸是BN上的一點(diǎn)，^AP=mAB+—AC,則實(shí)數(shù)，〃

311

3

【答案】-

11

【分析】根據(jù)給定條件，利用基底向量而，而表示出再借助平面向量基本定理列式計(jì)算作答.

----?]----?_______1____________?

【詳解】在AABC中，由AN=—NC得:AN=-AC,因?yàn)镻是BN上的一點(diǎn)、,則有麗=2麗乂eR,

_,___k___j.

即而_通=/1（疝一麗，AP=（1-2）AB+/IA}V=（1-2）AB+-AC,

m=1-2

又麗=小麗+（正，且通，正不共線，于是得＜3

22,解得加=77,

—=—11

3

所以實(shí)數(shù)m的值為一.

11

20.（深圳二模）已知△CHB中，OC=CA，OD=2DB^A。與3C相交于點(diǎn)M，OM=xOA+yOBf則

有序數(shù)對(duì)（羽y）=（）

A.I,lB.rlC.riD.

【答案】D

【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到麗=2而，CM=nCB,利用函、礪分別表示出麗，再根據(jù)平

面向量基本定理得到方程組，解得九、〃，再代入計(jì)算可得.

【詳解】依題意A、M、。三點(diǎn)共線，故麗=九說，

所以麗=函+痂=函+2蒞=函+4回-阿

=GA+2||oB-^OB+(1-A)OA,

又C、M,8三點(diǎn)共線，故而7=〃麗，

則兩=配+而7==元+〃胸-呵

?西+〃兩,

=^-/J)OC+/LIOB

生,3

=iZ=—

24

所以＜解得

2Z1

4=一〃=一

32

1

x=—

所以加=；歷+：兩，又兩■=宜直+丁麗，所以,4

1

"5

所以有序數(shù)對(duì)(％,y)=yj-

21.在AABC中，已知而=2反，C