2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷新高考專用

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷01（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘;滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?陜西西安?三模）若集合4={司經(jīng)三2},8={-3,-1,0,1,3},則（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,3}D.{-3,-1,0,1,3}

【解題思路】先求解根式不等式，化簡(jiǎn)集合H然后再根據(jù)集合交集運(yùn)算規(guī)則即可求解.

【解答過(guò)程】依題意得力={x\^c<2}=[0,4],則力CB=[0,1,3）.

故選：C.

2.（5分）（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z=*，則工的虛部為（）

3—1z

A.-2iB.2iC.2D.-2

【解題思路】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則計(jì)算，然后求虛部即可.

r航型;#理】工=匕1L（3T）（1T）=3-l-4i_1_9i

zl+i（l+i）（l-i）

所以工的虛部為-2.

Z

故選：D.

TTTTT

3.（5分）（2024?湖北武漢?一模）已知向量a=（—1,2）,b=（x,4）,且則網(wǎng)=（）

A.4V5B.4V3C.2V5D.8

【解題思路】先應(yīng)用向量垂直數(shù)量積為0求參，再根據(jù)模長(zhǎng)公式求模長(zhǎng)即可.

T—TT

【解答過(guò)程】因?yàn)閍_L8所以=—lx%+2x4=0,所以久=8,

因?yàn)榱?（8,4）,所以b=V82+42=4V5.

故選：A.

4.（5分）（2024?江西九江?三模）若2sin（a+§=cos（a—/）,則tan（a—§=（）

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3D.4+V3

【解題思路】設(shè)0=a—也則原等式可化為2sin（0+m=cos（0—￡）,化簡(jiǎn)后求出tan0即可.

【解答過(guò)程】令0=aY，則a=0+g

OO

所以由2sin+§=cos（仇一方），

得2sin+g=cos（S一*

即2cosQ=jcos/?+[sinS，

即sinb=（4—V3）cosjff,得tan￡=4—V3,

所以tan（a—：）=tan^?=4—V3,

故選：C.

5.（5分）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）清代的蘇州府被稱為天下糧倉(cāng)，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國(guó)各

地.為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛

的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為25cm,下底也為正方形，內(nèi)邊長(zhǎng)為

50cm,斛內(nèi)高36cm,那么一斗米的體積大約為立方厘米？（）

A.10500B.12500C.31500D.52500

【解題思路】利用棱臺(tái)的體積公式和可計(jì)算得出答案.

【解答過(guò)程】一斛米的體積為u=]（s上+S下+Js上S下）h=1x（252+502+25x50）x36=

52500（5?）,

因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為三=10500（5?）,

故選：A.

------------x—

6.（5分）（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（久）=14x4，-43是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a

loga（4x）-l,x>-

的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（1,V3]C.（1,V3）D.（1,3）

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于a的不等式，

即可求解.

1

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，當(dāng)X夫時(shí)，/）=--；=U，可得/⑺在（—8,司上遞增，

f一-x<2

要使得函數(shù)f（x）=4A4，-4是R上的單調(diào)函數(shù)，

^loga（4x）-l,x>-

則滿足Q>1,且loga（4X：）-1之一會(huì)了解可得lvawb,

4

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（L碼.

故選：B.

7.（5分）（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)3>0,已知函數(shù)/（%）=sin（33%-；）sinQ3%+9在（0m）上

恰有6個(gè)零點(diǎn)，則3取值范圍為（）

A（*；]B.（*裔C.（g,g]D,信用

【解題思路】令/（X）=0,解方程得x=筆如或久=筆如，在區(qū)間（0,2取6個(gè)零點(diǎn)即可.

izci）iz&）

【解答過(guò)程】由題意可知,

令/(%)=sin(3a)%—sin+弋)=0,

即sin\3(JOX—：)=0或sin(23%+

)

即％=(4fc+lTl或支(6/C4-1)TI

12a)12a)

當(dāng)%>0時(shí)，零點(diǎn)從小到大依次為％=Il5K7TI9Tl13n17TT19K

12a)'12a)"12a)"12a)'12a)'12s112a)

H也士K

因此有五17n</Tr->w19

即3e(11121

\12r12]

故選：B.

8.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)人久)的定義域?yàn)镽,函數(shù)FQ)=f(l+K)-(1+久)為偶函

數(shù)，函數(shù)GQ)=八2+3X)-1為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/Q)的一個(gè)對(duì)稱中心為(2,1)B./(0)1

C.函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且一個(gè)周期為4D./(1)+/(2)+/(3)+/(4)=6

【解題思路】對(duì)于A,由GQ)為奇函數(shù)，則G(—x)=—G(x),再將G(x)=/(2+3x)-1代入化簡(jiǎn)可求出對(duì)

稱中心；對(duì)于B,由選項(xiàng)A可得/'(2)=1,再由F(x)為偶函數(shù)可得/(I+x)-/'(1一%)=2%,令x=l可求

出/0);對(duì)于C,由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，結(jié)合f(0)=-1求出/(4)進(jìn)行判斷；對(duì)于D,利用賦值法

求解判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)镚(x)=/(2+3x)-1為奇函數(shù)，

所以G(—x)=—G(x),即f(2-3%)—1=-\f(2+3x)-1],

所以f(2-3x)+/(2+3x)=2,所以f(2—尤)+f(2+x)=2,

所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，所以A正確，

對(duì)于B,在/'(2—x)+/(2+x)=2中，令x=0,得2/(2)=2,得/(2)=1,

因?yàn)楹瘮?shù)尸(x)=/(I+x)-(1+x)為偶函數(shù),所以尸(-x)=F(x),

所以/'(1-%)-(1-%)=/(I+%)-(1+%),

所以/'(1+x)-f(l-x)=2工,

令％=1,則/2)-/0)=2,所以1一/(0)=2,得/(0)=-1,所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)楹瘮?shù)/(久)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，/0)=-1,

所以/'(4)=3,所以外0)=/(4),

所以4不是f(x)的周期，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,在/(2-為+/(2+式)=2中令％=1,則/(1)+/(3)=2,

令x=2,則f(0)+f(4)=2,因?yàn)閒(0)=—1,所以/(4)=3,

因?yàn)?2)=1,所以f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=6,所以D正確，

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.(6分)(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知X,丫都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且X~N(〃i，戊)，丫?可(如,餐),

其中〃I，〃2€R，ge2eR+,則下列命題正確的有()

A.E(X)=Ml

B.D(X)=

C.若〃i=2,6=1,貝l」P(XW1)+P(XW3)=1

D.若%="2=0，6=2,y=3,則P(|X|<1)>P(|Y|<1)

【解題思路】由正態(tài)分布的期望公式及方差公式即可判斷AB；由正態(tài)分布的對(duì)稱性即可判斷C；由方差的

性質(zhì)即可判斷D.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,由正態(tài)分布的期望公式得，E(X)=〃i，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布的方差公式得，D(X)=決，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由正態(tài)分布的對(duì)稱性得，P(X<1)=P(X>3),

所以P(X<1)+P(XW3)=P(X23)+P(XW3)=1,故C正確；

對(duì)于D,由〃i=〃2=0，=2,<T2=3,貝!!才=4,登=9,

根據(jù)方差的性質(zhì)知，X分布更集中，所以P(|X|<1)>P(\Y\<1),故D正確；

故選：ACD.

10.(6分)(2024?河北衡水?三模)已知函數(shù)/(久)=爐一小尤=2是函數(shù)/(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列

說(shuō)法正確的是()

A.m=3B.函數(shù)/(x)在區(qū)間(一1,2)上單調(diào)遞減

C.過(guò)點(diǎn)(1,一2)能作兩條不同直線與y=/(久)相切D.函數(shù)y=+2有5個(gè)零點(diǎn)

【解題思路】求得八%)=3/—2m,根據(jù)〃2)=0,可判定A正確；由八x)=3x(x—2),利用導(dǎo)數(shù)的符

號(hào)求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，可判定B錯(cuò)誤；設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,-2)且與函數(shù)y=f(久)相切的切點(diǎn)為(&。0)，求得

切線方程，列出方程求得右的值，可判定C錯(cuò)誤；令/㈤=t,作出函數(shù)的圖象，得到—1<〃<0<以<t3,

進(jìn)而的函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可判定以D正確.

【解答過(guò)程】對(duì)于A中，由函數(shù)f(%)=/一7nx2,可得f'(%)=3，-

因?yàn)閤=2是函數(shù)/(%)的一個(gè)極值點(diǎn)，可得;"'(2)=3x22—2mx2=0,

解得皿=3,經(jīng)檢驗(yàn)適合題意，所以A正確；

對(duì)于B中，由/''(X)=3久(x-2),令/''(%)=0,解得刀1=0或右=2,

當(dāng)％e(-8,o)時(shí)，/(%)>0；當(dāng)xe(0,2)時(shí)，/(%)<0；當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，/(%)>0,

故/(久)在區(qū)間(-8,0)上遞增，在區(qū)間(0,2)上遞減，在區(qū)間(2,+8)上遞增，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，設(shè)過(guò)點(diǎn)(1,-2)且與函數(shù)y="久)相切的切點(diǎn)為(%o，yo)，

則該切線方程為y—f(XQ)(X—1)—2=(3%Q—6xg)(x—1)—2,

由于切點(diǎn)(久o，yo)滿足直線方程，貝1JfOo)=(3就一6%o)(x()-1)-2=就一3就，

整理得2（%o—1）（福一2*o+l）=0,解得%o=l，所以只能作一條切線，所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D中，令f（x）=t,則/（t）=—2的根有三個(gè)，如圖所示，-1<口<0<t2<打，

所以方程/'（X）=ti有3個(gè)不同根，方程fO）=H和7'0）=13均有1個(gè)根,

故y=/1/（￡）］+2有5個(gè)零點(diǎn)，所以D正確?

11.（6分）（2024?廣東江門?一模）已知曲線E:*+萼=1,則下列結(jié)論正確的是（）

48

A.y隨著x增大而減小

B.曲線E的橫坐標(biāo)取值范圍為［-2,2］

C.曲線E與直線y=-1.4%相交，且交點(diǎn)在第二象限

D.MO。,%）是曲線E上任意一點(diǎn)，則|夜出+為|的取值范圍為（。⑷

【解題思路】首先對(duì)x、y分類討論分別得到曲線方程，畫(huà)出曲線圖形，數(shù)形結(jié)合判斷A、B,由雙曲線的漸

近線與y=-1,4X的關(guān)系判斷C,由點(diǎn)到直線的距離公式得到|四與+%|,即點(diǎn)MOo，%）到直線&x+y=0

的距離的倍，求出直線加久+y+c=0與曲線。+。=1（x20,yNO）相切時(shí)c的值，再由兩平行線將的

距離公式求出I或而+為|的最大值，即可判斷D.

【解答過(guò)程】因?yàn)榍€E:學(xué)+粵=1,

48

當(dāng)乂20,丫20時(shí)。+==1,則曲線E為橢圓￡+《=1的一部分；

當(dāng)無(wú)>0,y<0時(shí)。一二=1,則曲線E為雙曲線。一二=1的一部分，

4848

且雙曲線的漸近線為y=±岳;

當(dāng)比<0,y>0時(shí)4―。=1,則曲線E為雙曲線二—。=1的一部分，

8484

且雙曲線的漸近線為y=±V2%；

可得曲線的圖形如下所示：

由圖可知y隨著x增大而減小，故A正確；

曲線E的橫坐標(biāo)取值范圍為R,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)橐?.4>-近，所以曲線E與直線y=-1.4%相交，且交點(diǎn)在第四象限，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?yo|—V3x，o，吐,即點(diǎn)y°）到直線+y=0的距昌的倍，

1詢+建

22

當(dāng)直線近％+y+c=0與曲線？+?=1（%>0,y>0）相切時(shí)，

4o

蘭十丈=1

由48,消去y整理得4/+2魚(yú)“+—8=0,

,V2x+y+c=0

則4=（2&c）-16（c2-8）=0,解得c=4（舍去）或c=—4,

又+y=0與岳+y—4=0的距離d=1性；=專，

J（可+加

所以I2Xo+yo|max=8d=4,

所以|迎與+川的取值范圍為（0,4],故D正確；

故選：AD.

第n卷（非選擇題）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

22

12.（5分）（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）橢圓*=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fl,，過(guò)出作工軸

的垂線交橢圓于P,Q,若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為企—1.

【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合橢圓的定義求出離心率.

【解答過(guò)程】令橢圓的半焦距為c,由軸，為等腰直角三角形，得|P&I=I尸i&|=2c,

IPFil=72|^21=2y/2c,由橢圓的定義得|PFj+|PF?I=2a，即2&c+2c=2a,

所以橢圓的離心率e=§=—y/2—1.

故答案為：V2—1.

yi

13.(5分)(2024?上海?三模)設(shè)曲線/(無(wú))=ad+b和曲線g(x)=cos券+c在它們的公共點(diǎn)P(0,2)處有相

同的切線，則的+c的值為2.

【解題思路】根據(jù)兩曲線在P(0,2)有公切線，貝！JP是公共點(diǎn)，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相同，列出方程求出a,b,c的值,

則答案可求.

【解答過(guò)程】由已知得，解得c=1,b=2—a,

又/''(x)=aex,g,(%)=-1sin",

所以f'(o)=g'(o)得a=0，

所以a=0,b=2,c=l,

所以m+c=2°+l=2.

故答案為：2.

14.(5分)(2024?云南?模擬預(yù)測(cè))現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1,2,3的盒子，標(biāo)號(hào)為1的盒子里面有2個(gè)紅球和2

個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球.現(xiàn)從1號(hào)盒子里面取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再?gòu)?號(hào)盒子

里面取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，則3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球的概率為

【解題思路】設(shè)4：從標(biāo)號(hào)為1的盒子中取出的2個(gè)球中有i個(gè)紅球，i=0,1,2,B：3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅

球和2個(gè)白球，則B=&BU&BU42B，由概率的乘法公式和全概率公式可得P(B)=P(B|4o)PQ4o)+

P(B|&)P(4)+P(B|42)PQ12)，再由古典概型分別求出對(duì)應(yīng)結(jié)果，代入計(jì)算即可得到答案.

【解答過(guò)程】設(shè)4：從標(biāo)號(hào)為1的盒子中取出的2個(gè)球中有i個(gè)紅球，i=0,1,2,

B：3號(hào)盒子里面是2個(gè)紅球和2個(gè)白球，所以B=ABU&BU42B，

貝UP⑻=P(A0BUArBUA2B)=P(X0B)+P(&B)+P{A2B}

=P(B|4O)P(A)+P(B|4)P(&)+P(BM2)P(42)

「2plplplplplpl「2plpl

_^2..53,-2匕2.55^2.55

「2-2-2「2p2「2

故答案為：9

lo

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。

15.（13分）（2024?安徽蕪湖?三模）已知a,hc分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且bcos力+百慶也4=a+

C

⑴求B；

（2）若b=的面積為遮，。為ZC邊上一點(diǎn)，滿足CD=24D,求的長(zhǎng).

【解題思路】（1）正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理消去C,由和差公式和輔助角公式化簡(jiǎn)可得;

（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式列方程組求出見(jiàn)c,然后在中利用余弦定理可得.

【解答過(guò)程】(1)由正弦定理有sinBcosZ+V3sinBsinX=sinA+sinf,

因?yàn)閟inC=sin(>1+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinBcos/+V3sinBsinA=sinA+sinAcosB+cosZsinB,

化簡(jiǎn)得V^sinBsinZ=sinA+sinAcosB,

由4G(0ji),sin4H0有百sinB=1+cosB,可得sin(B—J1

2f

因?yàn)?G(0,n),B—6(一方年),

所以=g則

663

(2)由B=,S=^acsinB=舊有ac=4

又扶=a2+c2—2accosB可得次+C2=8,

聯(lián)立卜2+/：8解得a=c=2,所以為正三角形，

Iac=4

所以/D==p

2

在△480中，由余弦定理得81)2=22+(I)-2x2x|x1=^.

故BD的長(zhǎng)為年.

BC

16.(15分)(2024?浙江紹興?三模)已知雙曲線「：/一。=1與直線八y=x+i交于2、B兩點(diǎn)(4在B

4

左側(cè))，過(guò)點(diǎn)力的兩條關(guān)于/對(duì)稱的直線匕、6分別交雙曲線r于c、。兩點(diǎn)(c在右支，。在左支).

(1)設(shè)直線A的斜率為的，直線，2的斜率為心，求的值；

(2)若直線CD與雙曲線「在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)p,求aaBP的面積.

【解題思路】(1)設(shè)直線匕、%的傾斜角分別為名、。2(81、02e(0,TT)),則g+82=2a=5再利用斜

率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；

(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到雙曲線r在點(diǎn)B處的切線方程為gx—|y=1,不妨設(shè)直線CD為+1)+

ny^l,與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理和三角形面積公式求解.

【解答過(guò)程】⑴由題意知直線明率為1,???直線曲傾斜角a=；,

設(shè)直線匕、%的傾斜角分別為。1、。2(。1、02G(O.H)),

直線11、%關(guān)于直線，對(duì)稱，?.?。1+。2=2仇=]

心.心=tan/?tan/=tan8「tan《—川）=舞.=1.

(2)聯(lián)立?（浦,

.y=x+1

二雙曲線「在點(diǎn)B處的切線方程為|x-|y=1.

不妨設(shè)直線CD為m(%+1)+ziy=1,C(%L%)，。(％2，力)，

聯(lián)立]/蕓=1得；二？:1y2二：二°,

(m(x+1)+ziy=1(+1)+九y—1

=4(%4-1)2—8(%+l)[m(x+1)+ny]—y2=0

整理得』+8人土+8爪-4-0,將等式看作關(guān)于七的方程：

(%+1)/x+1x+1

兩根之和上」+2-=-8/1,兩根之積d?且=8巾-4,

%1+1%2+1%i+l犯+1

而其中々1,k=k-k=~7'~7=87n-4,

2ACADX]十x“2十，

由(1)得好,卜2=1，二M=|

???直線CD為京x+l)+ny=1,過(guò)定點(diǎn)(J,。)，

又???雙曲線「在點(diǎn)B處的切線方程為，久一|y=l,過(guò)點(diǎn)(|,0),???「(1，()),

1?.,,1萬(wàn)815-0+1132

^rAABP=2.I力BD卜dp_AB=5,'2?石-----?

17.（15分）（2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在五邊形4BCDE中，AB=BD,AD1DC,EA=ED

S.EA1ED,將△力ED沿4D折成圖2,使得EB=AB,F為力E的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)證明：BF〃平面ECD；

(2)若EB與平面力BCD所成的角為30°,求二面角力-EB-。的正弦值.

【解題思路】(1)取4。的中點(diǎn)G,連接BG,FG,從而證明BG〃平面EC。，F(xiàn)G〃平面ECD,即可得到平面BFG〃

平面ECD,即可得證.

(2)推導(dǎo)出AE1J?平面BFG,BGl^EAD,平面E4DJ?平面2BCD,連接EG,以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB,GD,

GE所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角4-E8-D的正弦值.

【解答過(guò)程】(1)取力。的中點(diǎn)G,連接BG,FG,

■：AB=BD,G為力。的中點(diǎn)，BG14D,

y.AD1DC,BG//CD.

又BGC平面ECD,CDu平面ECD,BG〃平面ECO.

??,F為2E的中點(diǎn)，F(xiàn)G//ED.

又FGU平面ECD,EDu平面ECD,FG//平面ECD,

又BGCFG=G,BG,FGu平面BFG,二平面BFG〃平面ECD,

又BFu平面BFG,BF〃平面ECD.

(2)???EA1ED,由(1)知FG//ED,:.FG1AE,

又EB=AB,F為力E的中點(diǎn)，???BFLAE,

又BFnFG=F,BF,FGu平面BFG,???AE1平面BFG,

又BGu平面BFG,BG1AE,

5LBGLAD,ADCtAEA,u平面E4D,BG1平面E4D,

又BGu平面4BCD,平面E4D1平面48CD,

連接EG,vEA=ED,G為4。的中點(diǎn)，EGLAD,

又平面E4Dn平面力BCD=AD,EGu平面EAD,

EG_L平面4BCD,BGu平面4BCD,EG1BG,

以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GB,GD,GE所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

NE8G是EB與平面力BCD所成的角，即Z_EBG=30°,

vEA=ED,設(shè)E4=t（t>0）,則2。=V2t,EG=yt,EB=&t,BG=yt,

???G（0,0,0）,E（0,0亭），71（0,-yt,0）,D（0,yt,0）,8件t,0,0）,

.??麗=（爭(zhēng),0,-苧t），荏=（o亭亭）,反=（0，—爭(zhēng),*）,

設(shè)平面A8E的法向量為%=01?）,

VT2o

V-61-21-

F?EB=2

令%1=1,得近=(1,一百,百),

則＜荏tz

近tx+VT2O

=VT2ty12tz1-

設(shè)平面OBE的法向堇為芯=(%2，y2，Z2)，

nJ?麗=—tx2——tz2=0

則1—22令%2=1，得花=（1,V5,百）,

ni-^E^-—ty2+ytz2=0

設(shè)二面角A-EB-D的平面角為仇

??.|cos6|=|3伉砌=普胃=羨=最

所以sine=Vl-cos20=苧，即二面角力-EB-。的正弦值為竽.

18.（17分）（2024?四川南充,模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/'（%）=1-x[（ln￡）a—x],aeR.

(1)若函數(shù)/(%)在第=工處切線的斜率為2,求實(shí)數(shù)a的值;

ee

(2)當(dāng)Q=2時(shí)，V%E[1,+8),/(%)-TH%20恒成立，求實(shí)數(shù)?n的最大值;

（3）當(dāng)Q=2時(shí)，證明：S,2>ln（2n+1）,nG/V*.

【解題思路】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值等于切線斜率構(gòu)造方程，求出。即可.

(2)將4代入不等式，工和冽參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題即可.

(3)由(2)知，當(dāng)％>1時(shí)，有%+--2>(In%)2,即y/x-^=>Inx,后進(jìn)行放縮證明即可.

Xy/X

【解答過(guò)程】(1)因?yàn)?'(*)=2x—(In久)-(a+In久)，所以/弓)=：一(-1)~.(a—1)=：,

所以a=\

(2)因?yàn)?(%)=x2—x(lnx)2+1,%>0,當(dāng)久21時(shí)，x2—%(In%)2+1>7nx恒成立，所以m<%+^—

(In%)2,

設(shè)g(%)=%+[—(Inx)2,x>1,

rmi，/、4121nx%2—2xlnx—1

則g(%)=l一二一一-=——，

因?yàn)?/-2Hn%-1)=2(、—In%—1),(%—Inx-1)=1—,

當(dāng)x>l時(shí)，有1—工之0,所以函數(shù)y=久—In%—1單調(diào)遞增，故％—In%—121—Ini—1=0,

所以函數(shù)y=/—2%ln%—1單調(diào)遞增，

故了一2xlnx—1>12—2xlxIni-1=0,

所以函數(shù)g(%)=%+(-(ln%)2單調(diào)遞增，故g(%)2g(l)=2,所以m42,

所以實(shí)數(shù)冽的最大值為2.

(3)由(2)知，當(dāng)l>1時(shí)，有x+2>(In%)2,即y/x--^=>Inx,

Xy/X

2i+l

設(shè)i€N*,?。?言>1,所以會(huì)>m署

n

nn2、i2i+l72、7I2i+l

即,---，〉,--->>In-----，

2>In——

V4i-12i-l乙j=i〃脛一1乙i=l2i-l

n

因?yàn)閣12i+l,3,,5,,,2n+l,(335

In——=In-+In-+???+In------=In(-x-x???x碧)=ln3+D，

i=l2i-l132n-l13

所以W二上>卬2n+1)即W=懸二>ln(2"l),neN*.

19.(17分)(2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛%｝,｛b｝,如果存在正整數(shù)沏23,當(dāng)任意正整數(shù)714劭

時(shí)均有歷<ar<b2<a2<...<an_i<bn<an,則稱｛%｝為｛bn｝的“沏項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”.若沏可取任意的

正整數(shù)，則稱｛冊(cè)｝為｛g｝的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列”.

(1)已知0=2九，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列物/的“無(wú)限遞增相伴數(shù)列｛心產(chǎn)，并說(shuō)明理由？

(2)若｛aJ｛"｝滿足冊(cè)+"=6九-2,其中｛b｝是首項(xiàng)%=1的等差數(shù)列，當(dāng)｛時(shí)｝為也｝的“無(wú)限遞增相伴數(shù)

列”時(shí)，求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式:

(3)已知等差數(shù)列｛b“｝和正整數(shù)等比數(shù)列｛an｝滿足：an=k2024f(卜+1尸-1何=i,2，…,2024),其中先是正整

數(shù)，求證：存在正整數(shù)左，使得｛a