2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬卷（新課標(biāo)Ⅰ卷）

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)收官模擬新課標(biāo)I卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一'選擇題

1.若集合A={)，|y=爐},B={%|y=ln(x-l)},則)

A.［l,+oo)B.(O,1)C.(l,^o)D.(—8,1)

1.答案：C

解析：因為A={y|y=x3}=R,B={x\y=In(^-l)}=(l,+oo),所以4口5=(1,+(?).

2.［2023屆?山西陽泉?模擬考試?？迹萑魪?fù)數(shù)z滿足(4+2i)z=(3-產(chǎn),則|z|=()

A.lB.V2C.y/3D.75

2.答案：D

初上匚…(3-i)2(8-6i)(4-2i)32-16i-24i-12,?印山,zz岳4r

解析：由z=^—-=---------------=---------------------=1-21,所以z=j5,故選D.

4+2i(4+2i)(4-2i)20

3.設(shè)向量。=(2,—1),向量8=(—3,1),向量c=(l,—2),則(a+2妙c=()

A.-2B.lC.-6D.-7

3.答案：C

解析：1),8=(—3,1),.?.a+28=(—4,1),又c=(l,—2),

.?.(a+2〃>c=-4—2=—6.故選C.

4.已知tan［號■--。］=一；，貝Usin2o=()

433

A.1B.——C.-D.--

5555

4.答案：A

(、、tan-----tana1

解析：因為tan產(chǎn)-a=—片-----=解得tane=2,所以

t4.5兀3

171+tan——tan。

4

.-2sinorcos6Z2tana4,小4

sin2a=--------------z—=-------丁=-.故選A.

cosa+sina1+tana5

5.[2023秋?高二?陜西安康?開學(xué)考試]已知某圓錐的側(cè)面積為扇，該圓錐側(cè)面

的展開圖是弧長為2兀的扇形，則該圓錐的體積為（）

A.-B.—C.TID.2兀

33

5.答案：B

解析：設(shè)該圓錐的母線長為/,底面圓的半徑為「，由已知條件可得卜"=0兀'解得

271r=2兀,

________

r；故圓錐的高/l=J/2—產(chǎn)=g=2,所以該圓錐的體積為

Z=V5.

—7ir2A=—71x1x2=—.故選B.

333

6.[2023春?高一?四川?期末?？糫將函數(shù)/(x)=sin[ox+m](0〉O)的圖象向左平

移叁個單位長度后得到曲線C,若C關(guān)于y軸對稱，則。的最小值是()

A.-B.-C.-D.-

6432

6.答案：C

解析：記曲線C對應(yīng)的函數(shù)為g(x),貝>Jg(x)=sin[o,+,+m=sin0%+10+三]].

因為函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以=E+](左eZ),得。=2左+g(左eZ).

因為切>0,所以0mm=；.故選C.

7.已知函數(shù)〃x)=<；；：：：：>]若關(guān)于X的不等式/(公)</(依2+1)的解集為R,

則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(-2,-l)U(-l,4)B.(-1,2)U(2,4)C.[-l,2)D.[0,4)

7.答案：D

解析：當(dāng)x<l時，/(x)=e*—e在(-oo,l)上單調(diào)遞增且/(x)=eX—e<〃l)=0；

當(dāng)尤21時，/(x)=ln(2x—1)在[1,y)上單調(diào)遞增且f(x)=ln(2x-l)>/⑴=0,

所以/(x)在R上單調(diào)遞增.

12

所以由/(ar)<f(ax+1),可得依v"+j,由題可知ax-ar+l>0的解集為R,

當(dāng)a=0時，0?X2一().％+1>0恒成立，符合題意;

a>0,

當(dāng)"0時，則有<

A=a2-4a<0,

解不等式組得Ova<4.

綜上可得，當(dāng)ae[0,4)時，?—依+1>。的解集為R.故選D.

8.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(3x+l)為奇函數(shù)，g(x+2)為偶函數(shù),

1102

/(x+l)+g(l—%)=2，/(0)=--,貝UZgGfc)=()

2k=\

A.-51B2C至D.蛆

222

8.答案：D

解析：因為/(3x+l)為奇函數(shù)，所以/(x+1)為奇函數(shù)，

所以/(x+1)=—/(—%+1),/(x)的圖像關(guān)于點(1,0)中心對稱，〃1)=0.

因為g(x+2)為偶函數(shù)，所以g(x+2)=g(-x+2),g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱.

由/(x+l)+g(l_%)=2,得/(—x+l)+g(l+x)=2,貝lj_/(x+l)+g(l+x)=2,

所以g(x+l)+g(l—x)=4,g(x)+g(2—x)=4,所以g(x)的圖像關(guān)于點(1,2)中心對稱.

因為g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，所以g(x)+g(2+x)=4,g(x+2)+g(x+4)=4,

所以g(x+4)=g(x),所以g(x)是以4為周期的周期函數(shù).

因為/⑴=0,/(0)=-1,所以g⑴=2,g(2)=|,g(3)=g⑴=2,

3102(c3)5409

g(4)=g(0)=4-g(2)),所以￡g(A)=25x2+7+2+力+2+7=丁.故選D.

2k=i122/22

二、多項選擇題

9.[2025屆?江蘇南通?模擬考試聯(lián)考]李明每天7:00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時坐公

交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析

得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方

差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時y都服從正態(tài)分布，則()

A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(X<36)=P(r<36)

C.李明計劃7:34前到校，應(yīng)選擇坐公交車

D.李明計劃7:40前到校，應(yīng)選擇騎自行車

9.答案：BCD

解析：由題意可得X~N(30,62),r~A^(34,22),故尸(V>32)>0.5>尸(X>32),故

A錯誤；尸(X<36)=尸(X<〃+cr),尸(F<36)=尸(F<〃+CT),所以

P(X<36)=P(Y<36),故B正確；P(X<34)>0.5=P(y<34),所以

P(X<34)>P(Y<34),故C正確;P(XW40)<P(X<42)=P(X<〃+2b),

P(y<40)=P(y<//+3cr),所以P(XV40)<P(yV40),故D正確.故選BCD.

10.已知函數(shù)/(x)=x3—x+1,則()

A"(x)有兩個極值點B"(x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2%是曲線y=/(x)的切線

10.答案：AC

解析：因為/(%)=二—x+1,所以尸(x)=3f—1,4r(x)=3x2-l=0,得x=±g.由

/,(x)=3x2-l>0,得工〉￥或彳<—理；由/。)=3必—1<0,得一〈等.所以

/(X)=x3_x+i在［￡,+：),j——￡上單調(diào)遞增，在卜等于上單調(diào)遞減，所

AT〉。，

以/(X)有兩個極值點，故A正確.因為了

/(-2)=(-2)3-(-2)+1=-5<0,所以函數(shù)/(x)在R上有且只有一個零點，故B錯誤.

因為函數(shù)g(x)=x3-x的圖象向上平移一個單位長度得函數(shù)/(%)=/一x+i的圖象，函

數(shù)g(x)=3—X的圖象關(guān)于原點(0,0)中心對稱,所以點(0,1)是曲線/(x)=V—X+1的

對稱中心，故C正確.假設(shè)直線y=2x是曲線y=/(x)的切線，切點為(%,%)，則

f

/(x0)=3x；-l=2,解得/=±1.若/=1，則切點坐標(biāo)為(LD，但點(LD不在直線

y=2x上，若/=-1,則切點坐標(biāo)為(-1,1),但點(-1,1)不在直線y=2x上，所以假設(shè)

不成立，故D錯誤.

11.已知拋物線f=4〉的焦點為RA,5是拋物線上兩動點，M是線段A3的中點，

P(2,3)是平面內(nèi)一定點，則下列說法正確的是()

A.拋物線的準線方程為y=-l

B.^AF+BF=8,則M到x軸的距離為3

c.若/=2而，則AB=3

D.AP+AF的最小值為4

11.答案：ABD

解析：由題意知拋物線的準線方程為y=-l,A正確；拋物線的焦點為尸（0,1）,設(shè)

4（%,%）,B（x2,y2）,貝IJM1七三，%&）由拋物線的定義知

AF+BF=yx+\+y2+\=3,所以％+%=6,所以M到x軸的距離為*產(chǎn)=3,B

正確；/=（一石,1一兇），豆=（%,%-1），由衣=2而，得1—%=2（%T），即

%+2%=3,又|通|=2|而所以％+1=2（%+1），即%-2%=1，解得必=2,

%=],所以鉆=4尸+3/=乂+1+%+1='|，C不正確；記拋物線的準線為直線/,

過點P作PP垂直直線/于點P,交拋物線于點。，過A作A4,垂直直線/于點4,連

接P4,如圖.AP+AF=AP+A4PP4，\PP,當(dāng)且僅當(dāng)點A與。重合時取等號，所

以（AP+AP）1mli=尸產(chǎn)'=4,D正確.

三、填空題

22

12.已知耳，居分別為雙曲線=—[=1（a>0,b>0）的左、右焦點，P為雙曲線

ab

PF2

左支上的任意一點，若&的最小值為8a,則雙曲線的離心率的取值范圍是

PR

12.答案：（1,3]

解析：由題知P8-尸片=2口，則

P瑙（「耳+2a『當(dāng)且僅當(dāng)尸耳=%，即

+4〃=8。，

-PFrPF1

PK=2a時取等號.又點P是雙曲線左支上任意一點，所以P￡2c-a,^2a>c-a,

所以l<eW3.

13.已知曲線/(x)=e2-21+奴-1存在兩條斜率為3的切線，則實數(shù)。的取值范圍

為.

13.答案：

解析：/,(x)=2e2x-2ex+a,依題意知/'⑴=3有兩個不同的實數(shù)解，即

2e2"-2e*+a=3有兩個不同的實數(shù)解，即a=-Ze?*+21+3有兩個不同的實數(shù)解.令

"1,則/>0,所以。=-2產(chǎn)+2f+3a>0)有兩個不同的實數(shù)解，所以y=a與

9⑺=—2/+2/+3?〉0)的圖象有兩個交點.研/)=—2/+2/+3=—2)—+1,因為

7

t>0，所以。⑺max=。Ig,又°(0)=3,故3<。<(故實數(shù)a的取值范圍是

14.九宮格的起源可以追溯到遠古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對應(yīng)著從1到9

九個數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個數(shù)字的和(這個和叫做幻和)都等

于15,即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的三階幻方，已知幻和等于15的九宮格共有8種.根據(jù)洛書記

載：“以五居中，五方皆為陽數(shù)，四隅為陰數(shù)”，其意思為：九宮格中5位于居中位

置，四個頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖所示，若隨機填寫一組幻和等于15的九

宮格數(shù)據(jù)，記事件A="a+c28"，則P(A)的值為.

解析：由題意九宮格的中間位置填5；a,f,c,力位置填偶數(shù)2,4,6,8；b,d,g,

e位置填奇數(shù)1,3,7,9.因為每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上三個數(shù)字之和都

等于15,所以先從2,4,6,8中任意選出一個數(shù)填入。位置，則有4個結(jié)果，

②若。填2,

則〃填8,c填6,/填4,8填7,e填1,g填3,d填9；

或力填8,c填4,/填6,人填9,e填3,g填1,d填7.

②若a填4,

則〃填6,c填2,/填8,6填9,e填7,g填1,d填3；

或/?填6,c填8,/填2,6填3,e填1,g填7,d填9.

③若a填6,

則h填4,c填2,/填8,b填7,e填9,g填3,d填1；

或力填4,c填8、/填2,人填1,e填3,g填9,d填7.

④若。填8,

則〃填2,c填6,/填4,6填1,e填7,g填9,d填3；

或力填2,c填4,/填6,6填3,e填9,g填7,d填1.

所以總的結(jié)果數(shù)共8個,其中(a,c)符合a+c28的情況有(2,6),(4,8),(6,2),

(6,8),(8,6),(8,4),共6個，所以P(A)=9=』.

84

四、解答題

15.［2024春?高二?河南駐馬店?月考?？迹菰凇鰽5C中，角A,B,C所對的邊分

別為a,b,c,△他€：的外接圓半徑為凡且cosB=|,a-42b=2RcosA.

(1)求sinA的值；

iio

(2)若△ABC的面積為一，求△ABC的周長.

25

15.答案：(1)述

10

⑵26后+20

5

解析：(1)由〃一行/?二2HcosA,

結(jié)合正弦定理一匕=—竺=27?,

sinAsinB

得sinA-V2sinB=cosA,

化簡得sin「A—巴］=sin5,

故A/=3.

4

34

又cosB=—,所以sin5=—,

55

因止匕sinA=sinfB+二］=.

I4j10

(2)由(1)知sinA=7夜,cosA=cosfjB+—>1=-^-,

104J10

i7B

貝！JsinC=sin(jB+A)=sinBcosA+sinAcosB=,

由正弦定理得a:b:c=sinA:sin3:sinC=35夜:40:17^/2,

令〃=35岳(左>0),貝1」力=4。左，c=17岳，

則SMBC=La〃sinC=Lx35?x4(R><^^=上，解得左=工，

△"Be22502510

因此△極的周長為35&+40+17后=26應(yīng)+2。.

105

22

16.已知橢圓二+二=1(?！?〉0)的長軸長為4,右焦點到直線x=4的距離為3.

ab

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線y=x-g與橢圓交于M,N兩點，橢圓上存在點P,使得

OP=2(W+W)(2>0),求實數(shù)2的值.

22

16.答案：(1)二十匕=1

43

⑵叵

6

2a=4,

解析：(1)由題意可得4-c=3,

a2=/?2+c2,

〃二2,

解得<b-A/3,

c=l,

22

所以橢圓的方程為土+乙=1.

43

(2)設(shè)/(%,%),N(X2，，2)，

y=x-6,

由＜丫22得7犬2—8^/§X=0,

—+^=1,

143

可得%=0,%=還，

所以“(0,-百)，\

I77J

所以赤=〃兩+而)"疲，一鳴，

I77J

所以點尸1孚4—9/.

Jr廣

-----Z--------A

77

因為點P在橢圓上，所以--------1---------------=],

43

整理可得12萬=7,解得2=變，

6

所以實數(shù)2的值為變.

6

17.如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形且。B=AB=QM=1,PB=2MD,

OWL平面A3CD,PB//DM,點N為PC上的動點.

(1)求證：存在點N,使得AM//BN.

(2)求二面角A-MP-C的正弦值.

17.答案：(1)證明見解析

⑵嫗

5

解析：(1)證明：因為四邊形A3CD是菱形，所以AD//BC,

又A。仁平面P3C,BCu平面P3C,所以AD〃平面P3C.

又PBHDM,DM仁平面PBC,PBu平面P3C,所以O(shè)M7/平面P3C.

又AC>n0M=。，AD,DMu平面ADM,

所以平面ADM〃平面PBC.

又AMu平面AMD,所以40〃平面P3C,

所以平面MABN與PC必有交點，且該交點為N,使40〃BN.

(2)以。為原點，DC,DM所在直線分別為y,z軸，過點。在平面ABCD內(nèi)作垂直

于DC的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因為四邊形A3CD是菱形，DB=AB,所以NZXB=60。,

又AB=DM=1,PB=2,PBL平面ABCD,

烏」,o[，A/(O,O,1),

所以C(0』,0),Bp

[22J?3?

設(shè)平面AMP的法向量為/w=(x,y,z).

m?AM=0,

則有《

m-MP=0,

(J61

(羽y,z>—,1=o,

I22J

(J—i〔Ln

(x,y,z)-,1=0,

取z=—1,則m=(0,2,—l).

設(shè)平面MPC的法向量為n-(a,b,c),

MP=Q,

則有《

n-MC=O,

(/a,,b,1c)?,1=0,

I22J取a=-5則

(見仇c)?(0,L—1)=0,

-73x0+1x2-1x11

貝1Jcos(m,n)=-----

\m\\n\A/5x^/55

所以二面角A-MP-C的正弦值為

18.已知函數(shù)/(%)=kx+lnx-^k(kGR).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)=/(尤)-丘+工有兩個零點再，x2,證明：xi+x2>2.

%一一

18.答案：(1)當(dāng)上20時，的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+oo),無單調(diào)遞減區(qū)間和最大

值；當(dāng)左<0時，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為]0,-g],單調(diào)遞減區(qū)間為,

小、=小力一％一1

(2)證明見解析

解析：(1)函數(shù)/(x)=g:+lnx-』左(左eR)的定義域是(0,+co),f'(x)=k+—.

4x

當(dāng)左20時，/'(x)>0恒成立，

故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+oo),無單調(diào)遞減區(qū)間和最大值；

當(dāng)左<0時，令/'(x)>0,得0<x<—!；令/'(x)<0,得x〉一工,

kk

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為+00

(2)證明：g(x)=f(x)-kx+—=—+]nx--k,

xx4

因為王，馬為<?(X)的兩個零點，所以g(%)=g(%2)=。，不妨設(shè)石<九2?

因為g，(x)=W，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+O))上單調(diào)遞增,

所以0<%1<1<九2?

證明再+冗2>2等價于證明>2-占，

又因為2-玉>1,x2>1,g(x)在(1,田)上單調(diào)遞增，

因此證明原不等式等價于證明g(Z)>g(2-%),即需證明g(%)>g(2-%),

即要證明」-+111再-—k>^111(2一再)一3左(0<玉<1),

%]42X]4

即L+lnX]——1——ln(2—石)>0(0<為<1)恒成立.

/1-Xx'

令/z(%)=—+Inx---------ln(2-x)(0<x<1),

x2-x

則丸'(%)=-±+!——^+―=^(1~^<0(等號不恒成立)，

x2x(2-x)22-xX2(2-X)2

所以/I(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以/?(x)2/z⑴=l+lnl-1-lnl=0,

又當(dāng)0<%<1時，丸⑺取不到0,

所以/i(x)=L+lnx——1——ln(2—x)>0在xe(0,l)時恒成立，

x2-x

因此不等式^-+ln%i>bln(2-%i)-9%恒成立，即玉+%2>2成立.

%]42%]4

19.[2025屆?福建寧德?模擬考試校考]約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下:若整數(shù)。除以

整數(shù)機(機W0)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱機為。的約

數(shù).設(shè)正整數(shù)a共有左個正約數(shù)，即為%,%，…嗎-1，以(4</<…〈以)，

(1)當(dāng)左=4時，若正整數(shù)。的左個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個a的值；

(2)當(dāng)歸“時，若