2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：常用邏輯用語 練習(xí)題

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練習(xí)題含答案解析

第2節(jié)常用邏輯用語

考試要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.理解判定定理與充分

條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.3.理解全稱量詞命題與存在量詞命題的

含義，能正確對兩種命題進行否定.

知識診斷?基礎(chǔ)夯實

【知識梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若pnq,則夕是q的充分條件,q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q?

〃是〃的必要不充分條件夕今q且qnp

。是。的充要條件pQq

p是q的既不充分也不必要條件p4q旦q、p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用

符號“宜’表示.

⑵存在量詞：短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，

并用符號“3”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結(jié)構(gòu)對M中的任意一個X,有p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡記YxRM,.(X)p(x)

否定p(x)YxGM,

［常用結(jié)論］

1.區(qū)別4是B的充分不必要條件且B分/),與/的充分不必要條件是以乃今4

且/分5)兩者的不同.

2.p是q的充分不必要條件，等價于㈱q是㈱P的充分不必要條件.

3.含有一個量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.

4.命題夕和㈱夕的真假性相反，若判斷一個命題的真假有困難時，可判斷此命題

的否定的真假.

【診斷自測】

1.思考辨析（在括號內(nèi)打“?”或“X”）

（1）至少有一個三角形的內(nèi)角和為兀是全稱量詞命題.（）

（2）寫全稱量詞命題的否定時，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.（）

（3）當(dāng)夕是q的充分條件時，q是夕的必要條件.（）

（4）若已知P：x>l和q：xNl,則P是q的充分不必要條件.（）

答案⑴X（2）V（3）V（4）V

解析（1）錯誤，至少有一個三角形的內(nèi)角和為兀是存在量詞命題.

2.（必修一P22習(xí)題L4T2改編）命題“三角形是等邊三角形”是命題“三角形是等

腰三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由“三角形是等邊三角形”可得到“該三角形一定是等腰三角形”，但反

之不成立.

3.（必修一P30例4（3）改編）命題“有一個偶數(shù)是素數(shù)”的否定是.

答案任意一個偶數(shù)都不是素數(shù)

4.使一2<xV2成立的一個充分條件是.（答案不唯一，寫出一個即可）

答案0<x<2（答案不唯一）

解析只要是｛x|—2<x<2｝的一個子集都是使-2<x<2成立的充分條件，如一2

<x<2,或0vx<2等.

考點突破?題型剖析

考點一充分、必要條件的判斷

例1（1）（2022?浙江卷）設(shè)x?R,則“sinx=l”是“cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由sinx=1,得x=2E+；(左GZ),

則cos12?+J=cos-=0,故充分性成立；

2

又由cosx=0,得x=E+；(左?Z),

此時sin[E+f|=±l,故必要性不成立.

(2)(2023?泰安模擬)下列選項中，p是q的必要不充分條件的是()

A.p：a>\,q：flx)=logax(a>0,且aWl)在(0,+8)上為增函數(shù)

B.p：a>l,b>\,q-.J(x)=ax-b(a>0,且aWl)的圖象不過第二象限

C.p：x22且q：x2+j2^4

D.p：a-\-c>b-\-d,q：a>b且c>d

答案D

解析對于A,2是q的充要條件；

對于B,函數(shù)於)=〃-b的圖象不過第二象限，則a>l,l-b^0,即a>l,b^l,

所以P是q的充分不必要條件；

對于C,2是q的充分不必要條件；

對于D,結(jié)合不等式的性質(zhì)知?是q的必要不充分條件，D符合題意.

感悟提升充分、必要條件的兩種判定方法：

(1)定義法：根據(jù)夕nq,q/進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進行判斷，多適用于條件中涉

及參數(shù)范圍的推斷問題.

訓(xùn)練1(1)(2022?石家莊一模)已知xGR,則“xV—1”是“/>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由》〈一1可得》2>1;

由X2>1可得X>1或X<—1,

所以“X<—1”是“好>1”的充分不必要條件.

（2）（2023?福州調(diào)研）已知a￡R,若集合M={1,a},N={-1,0,1},則“MEN”

是“a=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若MQN,則a=0或a=-1,

故由/GN推不出a=0,

反之，若。=0,則力gN,

故“MJN”是“a=0”的必要不充分條件.

（3）（多選）（2023?懷化一診）下列命題為真命題的是（）

A.“a>b”是“a/'b/”的必要不充分條件

B.“a>b”是的充要條件

ab

C."a?尸n?！笔恰?。?尸”的充分不必要條件

D.“x或了為有理數(shù)”是“孫為有理數(shù)”的既不充分也不必要條件

答案ACD

解析對于A,由a>b^/ac2>bc2,由則是"cKAbc。"

的必要不充分條件，A是真命題；

對于B,若a>0,/?<0,則由a>b得不到』<：,B是假命題；

易知C,D是真命題.

考點二充分必要條件的應(yīng)用

例2已知集合4=>興―8%—20W0},非空集合B={%|1一加加}.若x^A

是的必要條件，求加的取值范圍.

解由X2—8x—20W0,得一2WxW10,

???/={x|—2WxW10}.

由是的必要條件，知

1一加W1+加,

則T—加2—2,'OW加W3.

1+加W10,

即所求機的取值范圍是[0,3].

遷移本例中，若把是的必要條件”改為是的充分不必

要條件”，求機的取值范圍.

解，.、?幺是的充分不必要條件，二幺B,

1一加W1+掰1—

則T一加W—2,或?1一機<—2,

l+m>101+加三10,

解得機三9,故機的取值范圍是[9,+°°).

感悟提升充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需

注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間

的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.

(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.

訓(xùn)練2(2023?衡水調(diào)研)若集合[={布>2},B={x\bx>l],其中6為實數(shù).

(1)若4是B的充要條件，則b=；

(2)若Z是8的充分不必要條件，則6的取值范圍是.

(2)['+s](答案不唯一)

答案(1)|

解析(1)由已知可得幺=5,

則x=2是方程反=1的解，解得，=￡

(2)若幺是8的充分不必要條件，則ZB,

所以6>0,且;<2,所以

b2

則b的取值范圍是11+°01

考點三全稱量詞與存在量詞

角度1含量詞命題的否定

例3(1)(2023?天津模擬)已知命題p：VxGR,sinxWl,則()

A.^p：3x^R,sinx^lB.㈱p：Vx^R,sinx^l

C.㈱p：sinx>lD.㈱p：Vx^R,sinx>l

答案C

解析命題0為全稱量詞命題，則㈱p：2x￡R,sinx>l.

(2)已知命題p：〃2三2〃+5,則㈱夕為()

A.V〃GN,〃2三2〃+5B.m〃?N,/W2〃+5

C.VZJGN,n2<2n+5D.于z?N,n2=2n+5

答案C

解析幺弟P為V〃?N,n2<2n~\-5,所以C正確.

角度2含量詞命題的真假判斷

例4(多選)下列命題是真命題的是()

A.BaGR,使函數(shù)在R上為偶函數(shù)

B.VxGR,函數(shù)y=sinx+cosx+\/2的值恒為正數(shù)

C.SxER,2x<x2

D.VxG(O,+°°),>logx

i

答案AC

解析當(dāng)。=1時，了=2工+2二為偶函數(shù)，故A為真命題；

y=sinx+cosx+/=A/2sin141+啦，

當(dāng)sin[+J=-1時，y=0,故B為假命題；

當(dāng)x?(2,4)時，2"<x2,故C為真命題；

當(dāng)x=g時，。3?(0,1),log1=1,

1

3

所以O(shè)gviog：,故D為假命題.

1

角度3含量詞命題的應(yīng)用

例5(2023,長春調(diào)研)已知命題“mxGR,mx2—mx-\-1^0^,是假命題，則實數(shù)機

的取值范圍是.

答案[0,4)

解析由題意得“Vx?R,mx2-mx-\-1>0v為真命題.

當(dāng)機=0時，1>0,符合題意；

.,.\m>0,

當(dāng)m^O時，有，

.(一m)2-4m<0,

解得0<小<4.綜上，0W機<4.

感悟提升1.含量詞命題的否定，一是要改寫量詞，二是要否定結(jié)論.

2.判定全稱量詞命題“Vx《M,p⑻'是真命題，需要對集合初中的每一個元素x,

證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“五?〃，p(x)”是真命題，只要在限定集合

內(nèi)找到一個X,使p(x)成立即可.

3.由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的

范圍；二是利用等價命題，即夕與㈱P的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成㈱夕的真假求參數(shù)的范圍.

訓(xùn)練3(1)命題p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是()

A.有些三角形不是等腰三角形B.有些三角形可能是等腰三角形

C.所有三角形都不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形

答案C

解析命題p：”有些三角形是等腰三角形”，則幺患P是“所有三角形都不是等

腰三角形”.

(2)(多選)下列命題為真命題的是()

A.VxGR,2廠>0B.VxEN*,(%-1)2>0

C.SxeR,lgx<lD.3xeR,tanx=2

答案ACD

解析當(dāng)x?N*時，x—1?N,可得(x—1)2三0,當(dāng)x=l時取等號，故B錯誤；易

知A,C,D正確.

(3)(2023?臨沂聯(lián)考)若命題"icoGR,端+2函+2—a=0”是真命題，則實數(shù)a的

取值范圍是.

答案(一8,-2]U[1,+8)

解析命題''mxo?R,x8+2axo+2—a=0”是真命題，

則/=4序一4(2—a)20,解得aW—2或

所以實數(shù)。的取值范圍是(一8,-2]U[1,+8).

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?遼寧名校聯(lián)考）命題'Fx>0,爐―2網(wǎng)<o”的否定是（）

A.3x>0,X2—2|x|^0B.ltWO,x2-2|x|^0

C.Vx>0,x2—2|x|^0D.VxWO,x2—2|x|^0

答案C

解析由存在量詞命題的否定為全稱量詞命題知'Fx>0,x2-2\x\<0,,的否定為

uVx>0,X2—2|x|^0，,.

2.（2023?煙臺、德州一模）設(shè)x,yCR,則“xVl且了<1”是ux+y<2n的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由x<l且><1可得x+y<2.

反之，則不能.故x<l且y<l是x+y<2的充分不必要條件.

3.（2023?漢中質(zhì)檢）下列命題中的真命題是（）

A."a>l,6>1”是“ab>l”的必要條件

B.Vx?R,廿三0

C.VxER,2x>x2

D.“a+b=O”的充要條件是“？=—1”

b

答案B

解析對于A,a>\,b>l可證仍>1,反推則不能，故”。>1,b>l”是“ab

>1”的充分不必要條件，故A為假命題；

對于B,VxER,ex>0恒成立，故B為真命題；

對于C,當(dāng)x=-2時，2、=；<（—2）2=4,故C為假命題；

對于D,?=-1可知a+b=O且6W0,故D為假命題.

b

4.（2023?江西九校聯(lián)考）已知pVxE[3,4）,x2-^^0,則夕成立的一個充分不必

要條件可以是（）

A.tz<9B.a>9

C.tz<16D.Q>16

答案A

解析aWx2在區(qū)間[3,4）上恒成立，所以aW9,所以結(jié)合選項可知?成立的一個

充分不必要條件可以是a<9.

5.（2023?深圳模擬）設(shè)實數(shù)。>0,則“2。>2”是“l(fā)og（3+』〉0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由2。>2,得。>1；

由log["+j>0,可得10g["+j>10gal,

a>1,0<6/<1,

所以Z+1>1或0<a+l<l,

2I2

解得a>1或

2

因此“2。>2”是“l(fā)og["十』>0”的充分不必要條件.

6.（2023?連云港模擬）已知x￡R,則“一3WxW4”是“坨①一》一2）W1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由題意得0Vf—x—2W10,

解得一3Wx<—1或2<xW4.

7.（2022?山東省實驗中學(xué)質(zhì)檢）設(shè)a?R,則“sina=cosa”是“sin2a=1”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析若sina=cosa,

則tana=l,a=for+；（左@Z）,

kn+-.兀

得sin2a=si4sin—二1成立;

2

反之，若sin2a=1,則2a=2E+；(左GZ),

所以a=E+：(左GZ),得sina=cosa,

則"sina=cosa"是"sin2a=1”的充要條件.

8.已知命題“存在x()e{x[l<x<3},使等式端一祖xo—1=0成立"是假命題，則

實數(shù)機的取值范圍為()

F8.1F8,1

+0°+0°

A.L3JB.(—8,O)UL3J

H8.1

c.(—8,0]D.(—8,0]UL3J

答案D

解析“存在xo￡{x|l〈xV3},使等式

高一加1=0成立"是假命題，

則對任意{RIVx<3},/一加工一1wo恒成立，

即加力在工￡(1,3)上恒成立.

x

因為了=X—1在(1,3)上單調(diào)遞增，

x

所以x—lc[0,3]則機W0或機>8,

x3

F8.1

——~OOI

即實數(shù)掰的取值范圍為(一8,0]u13'J.

9.命題“Vx￡(l,+8),%2+%〉2"的否定是.

答案3x^(1,+°°),N+%W2

10.設(shè)命題p：x>4；命題q：5%+4三0,那么p是q的條件(填“充

分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”).

答案充分不必要

解析由12—5%+420得或x>4,

可知{x|x>4}是{x|xWl或xN4}的真子集，

所以p是q的充分不必要條件.

11.(2023,日照檢測)直線x—y—k=O與圓(%—1)2+產(chǎn)=2有兩個不同交點的充要條

件是.

答案T<k<3

解析直線X—y—左=0與圓（X—1）2+儼=2有兩個不同交點等價于此二<也,

解得一1〈左<3.

12.已知命題P：Vx?R,x2—。三0；命題q：mxGR,x2+2tzx+2—a=0.若命題p,

q都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為.

答案（一8,-2]

解析由命題P為真，得aWO；

由命題q為真，得/=4次一4（2—a）20,

即aW—2或°巳1,所以aW—2.

【B級能力提升】

13.（2023?湖南名校聯(lián)考）已知“aWxWa2+l”是“一2WxW5”的充分不必要條

件，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.[-2,+8）B.[-2,2]

C.（—2,2]D.（—2,2）

答案C

解析設(shè)Z={x|aWxWq2+l},8={x|—2WxW5}.

若“aWxW屋+1”是"一2WxW5”的充分不必要條件，

一2,

則ZB,則,，等號不同時成立，

■+1W5,

解得一2<aW2,故選C.

14.（多選）（2023?臨沂模擬）下列四個條件中，能成為的充分不必要條件的是

（）

A.xc2>yc2B.-<-<0

xj

C.|x|>[y|D.lnx>lnj

答案ABD

解析對于A,若比2>/2,則則x>y,反之，x>y,當(dāng)c=