2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：拋物線（新高考專(zhuān)用）（解析版）

專(zhuān)題27拋物線（六大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01拋物線的的定義

?題型02拋物線的的標(biāo)準(zhǔn)方程

?題型03拋物線的性質(zhì)

?題型04直線與拋物線

?題型05焦點(diǎn)弦的綜合應(yīng)用

?題型06最值問(wèn)題

?題型01拋物線的的定義

1.拋物線y2=12x上與焦點(diǎn)的距離等于7的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】利用拋物線的焦半徑公式即可求解.

【解析】拋物線V=12x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為網(wǎng)3,0）,

設(shè)點(diǎn)P5,%）到尸（3,0）的距離等于7,

則附=3+%=7,解得％=4.

故選：C.

2.已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為￡P(guān)（4,Y）為C上一點(diǎn)，則歸目=（）

9

A.—B.5C.6D.4-\/2

2

【答案】B

【分析】將P（4,T）代入拋物線。的方程中解得P,由拋物線定義可求|PF|.

【解析】將P（4T）代入C,解得2=2,由拋物線的定義可知閘=4+勺5.

故選：B

3.設(shè)廠為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且在第一象限，若直線AF的傾斜角為:，則|AF|=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】由拋物線的定義可知|”|=|AB|,再由拋物線的性質(zhì)可得|AB|=g|A司+2即可求解.

【解析】如圖所示，拋物線及準(zhǔn)線如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作A3垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)8,

7T

過(guò)焦點(diǎn)F作RT垂直于于點(diǎn)C,由題意可知p=2,AAFx=ZFAC=-,

根據(jù)拋物線的定義|A廠|=|AB|=|AC|+|CB|

在RSAbC中，|AC|=|A司?cosgn司，又忸C=p=2,

所以|A司=|A2|=；|A司+2,

解得|AF|=4.

故選：C.

4.已知點(diǎn)A是拋物線C:y2=2/(p>0)上一點(diǎn)，若A到拋物線焦點(diǎn)的距離為5,且A到x軸的距離為4,

則P=()

A.1,或2B.2或4C.2或8D.4或8

【答案】C

【分析】由題意得到|以|=4,乙+5=5,結(jié)合門(mén)=20工人得到方程，求出P的值.

【解析】由題意得|以|=4,4+5=5,

其中y；=2內(nèi)…故2P[5-金=16,解得。=2或8,

故選：C

5.動(dòng)點(diǎn)Af(x,y)滿足方程5J(尤-+(y-2『=|3x+4y+12],則點(diǎn)M的軌跡是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】D

【分析】根據(jù)軌跡方程所代表的意義和拋物線的定義可得答案.

【解析】由5歷=<+紂+叫得而下訴。今里

等式左邊表示點(diǎn)（x,y）和點(diǎn)（1,2）的距離，

等式的右邊表示點(diǎn)（x,y）到直線3x+4y+12=0的距離，

整個(gè)等式表示的意義是點(diǎn)（X,y）到點(diǎn)（1,2）的距離和至IJ直線3x+4y+12=o的距離相等,

且點(diǎn)（1,2）不在直線3x+4y+12=0上，所以其軌跡為拋物線.

故選：D.

?題型02拋物線的的標(biāo)準(zhǔn)方程

6.已知曲線y=log2024G-3）過(guò)拋物線C:y2=〃比的焦點(diǎn)，則C的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=-—B.y=-4

4

C.x=-4D.y=~—

4

【答案】C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)可知（4,0）即為C的焦點(diǎn)，即可得出其準(zhǔn)線方程.

【解析】易知函數(shù)y=log2024（x-3）過(guò)X軸上定點(diǎn)（4,0）,即為C的焦點(diǎn)，

故C的準(zhǔn)線方程為x=T.

故選：C.

7.拋物線》=-工一,5>0）的準(zhǔn)線方程是（）

a

aa.

A.y=—B.y=-^aC.y=——D.y=4a

44

【答案】A

【分析】直接法求解拋物線的準(zhǔn)線方程.

【解析】拋物線丫=-工*2,（。>0）即/=-3，它的的準(zhǔn)線方程為y=g

a4

故選：A.

8.設(shè)拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)3（3,0）,C上一點(diǎn)A至卜的距離等于|鈿|,則△4B的面

積為（）

A.2B.2A/2C.3D.3正

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可求三角形的面積.

【解析】如圖：由題意得，尸(1,0),4至心的距離為|仞|,|4刈=必可=|/叫,

即點(diǎn)A在線段FB的垂直平分線上，

所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，A(2,2A/2),

所以△兒??面積為gx2x20=20.

故選：B

9.已知點(diǎn)尸(6,%)在焦點(diǎn)為尸的拋物線C:y2=2p尤(p>0)上，若附W，則()

A.3B.6C.9D.12

【答案】A

【分析】由拋物線的定義列方程可得.

【解析】拋物線C：y=2px(p>0),準(zhǔn)線彳=-4，*6,%),

由拋物線的定義可知|P刊=6+5=5，解得。=3.

故選：A.

10.已知橢圓G：—+4=1"<2)的左右焦點(diǎn)分別為公，區(qū),拋物線C°：y2=2px(p>o)的焦點(diǎn)

4b

與G的右焦點(diǎn)重合，〃為G上的點(diǎn)，三角形孫鳥(niǎo)的周長(zhǎng)為5,則。=（）

11

A.-B.-C.1D.2

42

【答案】C

【分析】利用橢圓定義結(jié)合AM耳區(qū)的周長(zhǎng)即可求得c=；,再由焦點(diǎn)重合可求得P=L

【解析】根據(jù)橢圓方程可得。=2,入的周長(zhǎng)為2a+2c=5,可得c=J；

所以G的右焦點(diǎn)為"&，。），拋物線Q的焦點(diǎn)為（省,0）,

即5=；，解得0=L

故選：c

?題型03拋物線的性質(zhì)

11.對(duì)拋物線:f=y,下列描述正確的是（）

O

A.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為（0,2）B.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為

C.開(kāi)口向右，焦點(diǎn)為（2,0）D.開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為（0,；|

【答案】A

【分析】先將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后給找到開(kāi)口方向和焦點(diǎn).

【解析】拋物線方程：Y=y,化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式d=8y,可得其開(kāi)口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）.

O

故選A項(xiàng).

【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線方程求其圖像的開(kāi)口和焦點(diǎn)坐標(biāo).屬于簡(jiǎn)單題.

12.已知拋物線V=2px（p>。），直線x="z與拋物線交于A（西，M）,BO2,必）兩點(diǎn)，貝!]%+%=.

【答案】0

【分析】利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性得到%=-%，從而得解.

【解析】因?yàn)閽佄锞€丁=2px（0>0）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線x="z與x軸垂直，

故％=-%，即％+、2=°.

故答案為：0.

13.已知拋物線C:/=2x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，若C上存在三點(diǎn)4鳥(niǎo),舄，且歹為人片鳥(niǎo)△的重心，則三邊中

線長(zhǎng)之和為.

【答案】|9

【分析】先求拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式可得%+%+W=:3，由拋物線焦半徑，結(jié)合三角

形重心的性質(zhì)，可求三邊中線長(zhǎng)之和.

【解析】如圖：

依題意尸（；,。］,設(shè)4a,%）,6（%2,%），勺（七,為），

因?yàn)槭瑸榈闹匦模晕?：+一=;,即占+々+W=|.

由拋物線的定義可知忸尸上西+：所以邊鳥(niǎo)鳥(niǎo)的中線長(zhǎng)為出

同理可得邊6A和邊4乙的中線長(zhǎng)分別為區(qū)司=；仕+；］，怩q=：|5耳=：（尤2+；］.

N乙）乙乙1乙）

所以鳥(niǎo)三邊中線長(zhǎng)之和為Q3［（玉+%+退+23、）=59.

9

故答案為：—

14.焦點(diǎn)弦

直線過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸，與拋物線交于A（&M）、5（乙,%）兩點(diǎn)，由拋物線的定義知,

|AF|=x1+|,|BF|=%2+|,故|AB|=.

【答案】\+x2+p

【分析】略

【解析】略

?題型04直線與拋物線

Q

15.若直線3H-3y-2=0與拋物線無(wú)交點(diǎn)，則左的取值范圍為.

【答案】（-1』）

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程消，得關(guān)于x的二次方程，由A<O求解上的范圍即可.

Qq

【解析】由得了=白2,

3o

g

代入3fcf_3y_2=0中得二彳2_3丘+2=0,

8

Q

因?yàn)橹本€3區(qū)-3y-2=0與拋物線f無(wú)交點(diǎn),

?9

故A=（-3左）-4X-X2=%2-9<0,

8

解得—1<^<1.

故答案為：(-1,1).

16.已知拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x軸.若拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線3x+4y-12=0的最短距離為1,則該拋物線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為

71

【答案】4-丁

【分析】首先平移直線，至與拋物線相切時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最短，利用平行線距離公式求得切線方

程，再利用直線與拋物線的位置關(guān)系，即可求解.

【解析】如圖，若拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線版+分-12=0的最短距離為1,即拋物線的焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸,

設(shè)拋物線方程為y2=-2px,p>0,如圖，平移直線3x+4y-12=0,當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，此時(shí)切點(diǎn)到直

切點(diǎn)到直線3x+4y-12=0的距離為平行線間的距離,

c+12

即」/——=1,得c=—7或c=—17(舍)，所以切線方程為3x+4y-7=0,

732+42

21

聯(lián)立y2=—2px,得3y2-8py+14P=0,A=64/?2-168p=0,得,=一或,=0（舍）,

8

71

所以拋物線方程為V=-

4

71

故答案為：y2=---X

17.己知，頂點(diǎn)為。的拋物線C:無(wú)2=20y(p>O),焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸是C上一點(diǎn)，已知4尸。尸的外接圓與C的

QJT

準(zhǔn)線相切，且外接圓的面積為半，過(guò)點(diǎn)”（1,-2）作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A3,則^MAB的面積為

77

【答案】y

【分析】利用三角形外心的性質(zhì)結(jié)合圓的面積可確定拋物線方程，再設(shè)42坐標(biāo)，結(jié)合直線與拋物線相切

及同解方程得出切點(diǎn)弦方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解析】易知尸,，■!），則APO產(chǎn)的外接圓圓心的縱坐標(biāo)為?，

由題意得APO尸的外接圓半徑為與+《=乎，故」龍［=羽，解得P=2,

424I.4）4

所以c的方程為1F，即尸上

設(shè)點(diǎn)401，為），直線M4的方程為了一乂=左（彳一石）,

l2

=x2

聯(lián)立?4/^-x—kx:+/al-y1=0.

y=k(x-x1)+y1一

因?yàn)橄嗲?，所以?42-腐+%=0,解得％=；%,

故直線M4的方程為y玉?兀一：%；+%,結(jié)合片=4為得y=g玉％-乂①,

設(shè)點(diǎn)BQ2,為），同理得直線MB的方程為y=^x2x-y2@,

1c

%=,玉+2

將代入①②得，

1。

%=5犬2+2

所以直線A3的方程為y=gx+2.

x2=4y

由＜1,得X2_2%—8=0,貝!!再+%2=2,玉工2=-8,

y=—x+2

2

故|AB|=+%2)2_4/入2=3下.

919

又易得點(diǎn)M到直線AS的距禺為^,所以M=1.

27

故答案為:

2

?題型05焦點(diǎn)弦的綜合應(yīng)用

18.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線上的任一點(diǎn)到其焦點(diǎn)尸的距離比其到y(tǒng)軸的距離大1,過(guò)產(chǎn)作

直線/交拋物線于A8,以線段A3為直徑的圓“交V軸于C,。，則|CE）|的最小值為.

【答案】2石

【分析】利用拋物線定義先確定拋物線方程，設(shè)點(diǎn)A8坐標(biāo)由韋達(dá)定理可得M坐標(biāo)，利用垂徑定理計(jì)算弦

長(zhǎng)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解析】由拋物線定義可知5=1,即。=2,則焦點(diǎn)為尸（1,0）或-

取尸（1,0）,則拋物線方程為/=4x.

設(shè)直線A3:x=2y+1,代入y2="得/一4沖一4=0.

設(shè)/（%1，月）,8（%2，%），則必+為=4帆，%%=—4,

貝口%+%2=m（％+%）+2=4加之+2.

則以線段A5為直徑的圓M的圓心1,2m）,

半徑r=同=gjl+療E_乃|=gJ1+療?J16療+16=2m2+2,

過(guò)M作必7，^）于點(diǎn)“，連接

|CD|2=（2|DH|）2=4（r2-|MH|2）=4^2m2+2）?—（2w?+=4（4m2+3）＞12,

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，|co|有最小值2VL

同理可設(shè)當(dāng)取網(wǎng)-1,0）拋物線方程為y2=-4x時(shí)，|cq也有最小值2TL

故答案為：26

19.已知拋物線己9=2°尤5>0）上有兩個(gè)不同的點(diǎn)48,線段AB的垂直平分線交x軸于0（4,0）點(diǎn)，且

的最大值為6,則2=.

【答案】2

【分析】涉及中點(diǎn)弦，用A8中點(diǎn)M的坐標(biāo)以及P（點(diǎn)差法）表示線段的垂直平分線的斜率，結(jié)合題意

可列方程消去參數(shù)得，%=4-。，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得|4B|的最大值，進(jìn)一步可列方程求出P.

【解析】設(shè)4（%,%）,8（久2，光），線段A3的中點(diǎn)為“（不，%），易知直線的斜率存在且不為0.

設(shè)直線的斜率為上,則一=>才一賢=2。（西一無(wú)2）,

故k=入二匹=a二=旦

占f%+%%，

設(shè)C的焦點(diǎn)為F,連接AF,8尸，則有|AF|+忸耳=百+赴+。=2/+。=8-，

又因?yàn)閨4B|的最大值為6,

所以根據(jù)拋物線性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知，|初區(qū)/團(tuán)+忸同=8-p=6,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)A3為焦點(diǎn)弦;

故答案為：2.

20.已知拋物線C：爐=4〉的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)歹作兩條直線34，乙與拋物線C交于P,。兩點(diǎn)，乙與拋

物線c交于M,N兩點(diǎn),若直線4與4的斜率之積為-2,則的最小值為.

【答案】144

【分析】設(shè)直線小，=履+1（左彳0）,設(shè)P（”i，yi）,Q（x2,y2）,將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)，利用根與

系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出|PQ|,同理表示出|MN|,然后化簡(jiǎn)|尸?？凇庇?，結(jié)合基本不等式可求出其

最小值.

【解析】由題意得兩直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線jy=kx+l（k^0）,

A二"，，消去丫得d—4履-4=0.

聯(lián)立方程

y=KX+1

設(shè)PQ1，%），Q（尤2而，再.多=4%，XjX2=-4,

則|PQ\=y/1+k2-，（尤］+々）2-你尤2=4（1+^2）.

2

直線4與k的斜率之積為-2,，直線4的斜率為

k

同理可得|MN|

\PQ\-\MN\=16(l+k2)(l+^]=16(5+k2+

>165+2卜*=144,

當(dāng)且僅當(dāng)上=±亞時(shí)取等號(hào),

的最小值為144.

21.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=-g（x-l）過(guò)拋物線C：/=2px（p>0）的焦點(diǎn)，且與C交于M,N兩點(diǎn),

/為C的準(zhǔn)線，則（）

o

A.p=3B.\MN\=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.AZW為等腰三角形

【答案】C

【分析】由直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，即可求得P,進(jìn)而判斷A；將直線方程代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得

出與+/=],由焦半徑公式即可判斷B；由M,N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即可

判斷C；分別求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理即可判斷D.

【解析】對(duì)于A,直線y=-百(無(wú)一1)過(guò)拋物線V=2px(p>0)的焦點(diǎn)，可得與=1,所以0=2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,拋物線方程為：儼=4不與c交于兩點(diǎn)，

直線方程代入拋物線方程可得，3尤2-10X+3=0,所以%+n=三，

所以|上叫=與+無(wú)N+P=/，故B不正確；

CCQ1

對(duì)于c,M,N的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為1+|=|='MM，

所以以"N為直徑的圓與/相切，故C正確；

對(duì)于D,由B得，3X2-10X+3=0,解得x=3或x=g,

不妨設(shè)=3,0=,,則加=—26,yN=，,

JD

所以|OM|=j9+12=?,|ON|=「十平,|MN吟,

所以△沏不是等腰三角形，故D錯(cuò)誤；

故選：C

22.已知拋物線。:y=2內(nèi)(°>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，過(guò)點(diǎn)歹的直線/與拋物線C交于A,8(A在第一象限)兩點(diǎn),

0為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|明=3忸典=9,則△Q42的面積是（）

A.372B.6C.60D.12

【答案】C

【分析】設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，利用|4?|=3怛同轉(zhuǎn)化為y=-2%，再結(jié)合韋達(dá)定理與拋物線定

義求解即可.

【解析】設(shè)直線/：x=wiy+'|,A。:[,yi）,B（久2，、2），其中%>°，％<°.

V=2px,

聯(lián)立p整理得y2-2pmy-02=0,

x=my+-^-,

其中公=4。2加2+4〃2>0恒成立,

貝I①.

因?yàn)閨蝴=3忸同,BP|AF|=2|BF|,所以必=-2%>。，

2

即必=4代入①式得-卷=-p2,

22

解得乂=血°,所以%=于-=。，且%=-比0,

ZP2

因?yàn)榕?3|明=9,則忸尸|=3,所以|AF|=6,

所以由拋物線定義得藥+5=|0=6,解得p=4,

則△OAB的面積

一(I-、-

5=-|OF||^-y2|=-x^x島———p=-X2X(4A/2+2>/2)=6A/2.

222、22

故選：C.

23.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)下的直線,交C于M,N兩點(diǎn)，線段上W的中點(diǎn)為E,

過(guò)E作線段的中垂線交x軸于點(diǎn)R,過(guò)M,N兩點(diǎn)分別作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A,8.線段A8的

PF

中點(diǎn)為P,貝1=()

ER

11

A.1B.-C.2D.-

23

【答案】A

【分析】設(shè)直線=+與拋物線聯(lián)立方程組，求得瓦R的坐標(biāo)，可得到|"|=怛”.進(jìn)而求

出7PF?\的值?

設(shè)直線X=ty+2,y2-2pty-p2=0,

J'=2px,

(y+%=2”/、°

所以｛2則玉+%2=，(％+%)+0=2。/+P，

[yry2=-p，一一

得線段"N的中點(diǎn)為《七三，七及[，即+5,p,，

線段MN的中垂線方程為》=-；(>-0)+「/+勺

令y=0,得了=〃產(chǎn)+|^.所以尺卜"+^〃。],所以|RF|=p/+p,

又|￡P(guān)|=J(MA+A?)=：(占+§+/+§]=；(%+/+P)=P，2+p,

乙乙\乙乙J乙

PF

所以|即|=但凡又RF〃EP所以四邊形EP網(wǎng)為平行四邊形，因此|所?|=|尸耳，所以

,HK

故選：A.

24.已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸作直線/與拋物線C交于4（町、1）,8（久2，%）兩點(diǎn)，則說(shuō)法不

正確（）

A.線段|28|長(zhǎng)度的最小值為2

B.當(dāng)直線/斜率為-1時(shí)，中點(diǎn)坐標(biāo)為（|,1）

C.以線段48為直徑的圓與直線x=-g相切

D.存在點(diǎn)川-；,0）,使得ZAMF=ZBMF

【答案】B

【分析】A：通過(guò)聯(lián)立思想得到％%,由此可計(jì)算出現(xiàn)馬,利用焦點(diǎn)弦公式以及基本不等式求解出|4B|的最

小值；B：利用點(diǎn)差法求解出縱坐標(biāo)后可判斷；C：利用拋物線定義計(jì)算出圓心到準(zhǔn)線的距離，并判斷距離

是否等于半徑即可；D：代入M坐標(biāo)，計(jì)算出您M+怎.的值，根據(jù)結(jié)果再進(jìn)行判斷.

【解析】對(duì)于A：C:/=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸&,0）直線/的斜率不為0,設(shè)//=沖+；,401，%）,18（＞2，%），

1

x=myT——.

聯(lián)立｛2,可得y-2my-1=0,且A=4m2+1＞0,

、y2=2x

所以％%=T，所以尤其=￡?￡■=（%%）-=J,,且玉＞0,%＞。，

122244

所以|AB卜玉+X2+pN2j^"+l=2,當(dāng)且僅當(dāng)芯=々=g時(shí)取等號(hào)，故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)镕L；"，所以犬—￡=2（不—%），所以『瞪

［為=2々占一%2%+%

2

所以T=------,所以&曰=-1,即AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：拋物線的準(zhǔn)線方程》=設(shè)48中點(diǎn)為T(mén),過(guò)點(diǎn)AB,T向準(zhǔn)線作垂線,

2

垂足分別為A,B',T,如下圖：

由拋物線的定義可知:M=肛四±因=網(wǎng)±皿四="[

即|77[等于以48為直徑的圓的半徑長(zhǎng),故C正確;

X%=2yl2%=2M（￡+1）+2%（才+1

g，。）時(shí),kAM+kBM=

對(duì)于D：當(dāng)M”」行而二（犬+心】）

（%+%）（2%%+2）

所以KM+^BM=

（才+*4+1）

由選項(xiàng)A可知：X%=T，所以2弘%+2=0,所以此時(shí)KM+%BM=。，

所以AM,8M的傾斜角互補(bǔ)，所以Z4AiF=N&WF,故D正確；

故選：B

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知是拋物線yZ=2p￡(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)2的一條弦,設(shè)力(久“。爪孫乃)，則有:

2

(1)|-AB|=XJ+%2+P(2)Xj%2=,>1%=—P~-

?題型06最值問(wèn)題

25.已知下為拋物線GV=2x的焦點(diǎn)，過(guò)尸作兩條互相垂直的直線44,直線4與C交于A3兩點(diǎn)，直

線4與C交于2E兩點(diǎn)，則|AB|+|D?的最小值為

【答案】8

【分析】先設(shè)直線聯(lián)立方程得出韋達(dá)定理，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式得出|4B|,再結(jié)合垂直斜率關(guān)系得出I。耳，最后

應(yīng)用基本不等式得出弦長(zhǎng)和的最小值即可.

【解析】由題意知，直線4,的斜率都存在且不為0,

y2=2x

則直線4的斜率為;,

聯(lián)立方程得1

尸+5

1

消去X得y-2fy-l=0,T^A(x1,y1),B(x2,y2),

貝I%+%=2入%%=-1.

所以=J*+1|%-y2\

=J/+l?%『-4%%

=J產(chǎn)+1J4L+4=2tl+2,

17

同理，用一替換/可得。同=丁+2,

t11r

所以|AB|+|OE|=21+\）+4N2X2^Z^+4=8,

當(dāng)且僅當(dāng)r=，，即公±1時(shí)等號(hào)成立，故目的最小值為8.

故答案為：8.

26.已知點(diǎn)廠為拋物線V=16y的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，平面內(nèi)存在一點(diǎn)N（l,2）,使△PNF的周

長(zhǎng)最小，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【答案】（1，總

【分析】由題意可得要使△PNF的周長(zhǎng)最小，即需|橋|+|尸盟最小，結(jié)合拋物線性質(zhì)，可得|PF|等于點(diǎn)尸到

準(zhǔn)線的距離，設(shè)尸到準(zhǔn)線的垂足為￡）,從而可得P,N,。三點(diǎn)共線時(shí)，|A陽(yáng)+|正口最小，此時(shí)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)與

N點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，再解出縱坐標(biāo)即可得.

【解析】由題可知產(chǎn)（0,4）,因?yàn)椤鱌2VF的周長(zhǎng)為|而|+|即|+|尸司，

而|八不|=J（l-0）2+（2-4）2=非,所以只需|網(wǎng)+歸用最小即可,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在拋物線上，所以|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線y=T的距離,

設(shè)尸到準(zhǔn)線的垂足為O,因止匕|沏|+|尸尸|=|四+|尸。|,

即P,N,O三點(diǎn)共線時(shí),|陰+|因最小為6,

%2

—,即p1,

16162

02模擬精練

一、單選題

L（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）將拋物線,二根宣加〉o）繞其頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，其準(zhǔn)線方程為

立工_冥［,則實(shí)數(shù)機(jī)=（）

33

11

A.-B.——C.2D.-2

44

【答案】A

【分析】利用旋轉(zhuǎn)后拋物線的頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于頂點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離，求出機(jī)=1.

4

【解析】因?yàn)閽佄锞€y=心?（%>0）旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y$x一當(dāng),

且點(diǎn)（0,0）到直線y=?x-羋的距離為1.由知?=1，

解得相=J.

4

故選：A.

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)拋物線上一點(diǎn)。作其準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為

Q,若ZPQ尸=30°,則|PQ|=()

22月4l

A.-B.C.-D.J3

333

【答案】C

\PF\=2

【分析】由題意可得尸尸的傾斜角為120。，進(jìn)而可得II]+1，計(jì)算即可.

2

【解析】作出示意圖如圖所示：

則拋物線的性質(zhì)，可得|尸盟=|PQ|,又NPQ產(chǎn)=30。，

所以可得尸尸的傾斜角為120。，

則可得J尸尸l+|PQI=：|P尸1+1尸尸l=P=2,

從而II3.

2

故選：C.

3.（2024?江西?二模）直線/過(guò)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，且與C交于A,8兩點(diǎn)，若使|鉆|=2的直

線/恰有2條，則P的取值范圍為（）

A.0</J<1B.0<p<2C.p>lD.p>2

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線方程可得通徑長(zhǎng)，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦中通徑長(zhǎng)最短可確定2。<2,由此可得所求范

圍.

【解析】由拋物線方程知：拋物線焦點(diǎn)為（日,0）,通徑長(zhǎng)為2p,

當(dāng)A3垂直于x軸時(shí)，A3兩點(diǎn)坐標(biāo)為[，士p）,

止匕時(shí)|的*=2pv2,且p>0,

即拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短,

所以。.

故選：A.

4.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）已知M是拋物線尸=4尤上的一點(diǎn)，E是拋物線的焦點(diǎn)，以網(wǎng)為始邊、FM為

終邊的角ZxFM=50°,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為（）

221

A.-------------B.-------------C.tan225°D.-——

1-cos50°1+cos50°tan2525°

【答案】D

【分析】過(guò)河作無(wú)軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為七,利用拋物線的定義得到I〃尸1=%+1,在RtAMVF

中，利用余弦和二倍角的余弦公式即可求解.

【解析】解：過(guò)M作軸于點(diǎn)N,設(shè)點(diǎn)Af的橫坐標(biāo)為尤o，

拋物線/二以，則焦點(diǎn)BQ,0）,準(zhǔn)線方程為x=-L,

根據(jù)拋物線的定義得\MF\=x0+l,

在RtZXMVF中,

cosZxFM=,

\MF\x0+\

__1+cos50°_l+2cosZ25°-l_]

"X°~1-cos50°_l-(l-2sin225°)—tan2250,

故選：D.

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線V=2px上不同三點(diǎn)A,氏C的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，尸為拋物線焦點(diǎn),

貝IJ（）

A.A,民C的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列

B.A氏C到x軸的距離成等差數(shù)列

C.A,民C到原點(diǎn)的距離成等差數(shù)列

D.AB,C到點(diǎn)尸的距離成等差數(shù)列

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合等差數(shù)列的定義、特殊值法逐一判斷即可.

【解析】設(shè)三點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)為&,乂）,仁,力），（￡，%），尸]可，準(zhǔn)線方程為x="，

因?yàn)閽佄锞€y2=2p尤上不同三點(diǎn)A,民C的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，

所以有2尤2=玉+X3,于是有2尤+/—[―彳），

根據(jù)拋物線定義可以可得2怛「卜|AP|+|CP|,顯然選項(xiàng)D正確；

當(dāng)三點(diǎn)A,民C的坐標(biāo)為（0,0）,（2,2/）,（4,2歷），

因?yàn)镻>0，所以2x2）=0+2^^不成立，因此選項(xiàng)A不正確；

因?yàn)锳,民C到x軸的距離分別為0,2屈2折,P>0,

所以2x2〃=0+2而不成立，因此選項(xiàng)B不正確；

因?yàn)椴?|=0,忸Q|=j4+4p,|CQ|=J16+8p,p>0,

所以2xj4+4〃=0+J16+8夕不成立,因此選項(xiàng)C不正確；

故選：D

22

6.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：I+與=l（q>b>0）與拋物線C：V=2px（p>0）,橢圓E與拋

ab

物線C交點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)，則橢圓E的離心率為（）

A.V2-1B,也C.直二D.墾1

222

【答案】A

【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線時(shí)橢圓的左焦點(diǎn)可求出。=與，由橢圓與拋物線交點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，

可知:+至=1，化簡(jiǎn)可得關(guān)于e方程，求解即可.

a2b2

【解析】根據(jù)題意知，拋物線C的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)橢圓E的左焦點(diǎn)可得c=5，

橢圓E與拋物線C交點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)，所以C+至=1,

a2b2

Sc2=（22-b1,e=—

a

化簡(jiǎn)整理可得e4-6e2+l=0,

解之可得/=3-2五=（五-1）,或e2=3+2忘（舍），

所以可得e=0-L

故選：A

7.（2024?湖南益陽(yáng)?一模）已知拋物線C]：V=4x,G:丁="的焦點(diǎn)分別為、F2,。分別為C1、

G上的點(diǎn)，且線段PQ平行于x軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

14

A.當(dāng)|尸。|=5時(shí)，是直角三角形B.當(dāng)I尸。|=§時(shí)，△鳥(niǎo)尸。是等腰三角形

C.存在四邊形月片尸。是菱形D.存在四邊形月月尸。是矩形

【答案】C

【分析】設(shè)出P，Q的坐標(biāo)并求得IPQI，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合圖象求得正確答案.

【解析】依題意，線段尸。平行于x軸，不妨設(shè)尸，。在第一象限，設(shè)P,t>

222

則歸0==焦點(diǎn)耳。，0），耳（2,0）,

4oo

A選項(xiàng)，當(dāng)|PQ|=￡i=J■時(shí)，解得/=2,所以P（1,2）,Q「,2],

82I，）

則P耳，PQ,△耳尸。是直角三角形，A選項(xiàng)正確.

>

X

B選項(xiàng)‘當(dāng)間d時(shí)’解得,=年

>0,

84

由于耳+耳一。，所以RQ關(guān)于直線*=2對(duì)稱(chēng)，而耳（2,0）,

一乙

2

所以此時(shí)△月尸。是等腰三角形.

對(duì)于CD選項(xiàng)，先考慮四邊形G&PQ是平行四邊形,

此時(shí)尸居，耳B，°耳，耳歹，|QE㈤耳閭,

所以四邊形片舄PQ是矩形，不是菱形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.

故選:c

8.（2024?四川雅安?三模）若拋物線C:x2=2py（0>O）的焦點(diǎn)為歹，直線y=3與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，

|MF|=4,圓E為&WRV的外接圓，直線。尸與圓E相切于點(diǎn)尸，點(diǎn)。為圓E上任意一點(diǎn)，貝IJ麗?麗的取

值范圍是（）

A.-||=9B.[-3,21]C.21D.[3,9]

【答案】B

【分析】借助焦半徑公式計(jì)算可得P,結(jié)合外接圓的定義即可求得該外接圓方程，借助切線性質(zhì)可得點(diǎn)P的

坐標(biāo)，設(shè)出。點(diǎn)坐標(biāo)，借助坐標(biāo)表示出麗?麗，結(jié)合輔助角公式計(jì)算即可得解.

【解析】由|M司=4,可得>《=3+5=4,故p=2,貝|F（O,1）,

令丁=3,則x=±j2°x3=±2&,BPM,N分別為（±2百,3）,

令圓心坐標(biāo)為（0,爪），則有（2指丁+（相-3）2=（加-1）2,解得m=5,

故圓E的半徑為5-1=4,即圓E的方程為爐+（丫_5）2=16,

設(shè)P(4cose,5+4sin，)，6e[0,2?t],則有16cos?e+(5+4sinO)2=5?-4?,

43

化簡(jiǎn)得25+40sin，+16=9,BPsin^=--,則cosO=±g,

由圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)P在第一象限，即P

設(shè)Q(4cos6/,5+4sin(z),ae[0,2TT],

貝l]OP-OQ=x4cos(z+jx(5+4sina)=^cosa+sina+9

1212

=—(4costz+3sina)+9=—x5sin(a+^)+9=12sin(<2+^)+9,

廿d4

其中tan°=§,由ae[0,2兀],故sin(a+o)e[-l,l],

故亦而目-3,21].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助三角函數(shù)設(shè)出尸、。的坐標(biāo)，從而只用一個(gè)變量表示該點(diǎn)，用角

表示出麗?迎后，結(jié)合輔助角公式計(jì)算即可得.

二、多選題

9.（2024?湖南長(zhǎng)沙?二模）已知拋物線C與拋物線/=4x關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,0）

B.拋物線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C.拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=l

D.拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4

【答案】AC

【分析】依題意可得拋物線C的方程為V=_4x,即可得到其焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)判

斷即可.

【解析】因?yàn)閽佄锞€C與拋物線V=4尤關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

所以拋物線C的方程為y2=-4.r,

則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（-1,0）,準(zhǔn)線方程為x=l,故A、C正確；

拋物線C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；

拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

10.（2023,浙江金華?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=x，點(diǎn)A,8均在拋物線C上，點(diǎn)P（O,3）,貝lj（）

A.直線PA的斜率可能為《

B.線段以長(zhǎng)度的最小值為行

C.若P,A,8三點(diǎn)共線，則存在唯一的點(diǎn)8,使得點(diǎn)A為線段PB的中點(diǎn)

D.若尸,48三點(diǎn)共線，則存在兩個(gè)不同的點(diǎn)3,使得點(diǎn)A為線段總的中點(diǎn)

【答案】BD

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合一元二次方程的根可判斷A,由兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性確定最

值可判斷B,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，由一元二次方程根的個(gè)數(shù)可判斷CD.

【解析】設(shè)4（靖,%）,3（為2，%）在拋物線上，且滿足%=討，％=方，

對(duì)于A,假如直線序的斜率可以為貝1］上轉(zhuǎn)=，^=￡今％2-10%+30=0，

由于A=100-120<0,則該方程無(wú)解，所以直線外的斜率不可能為A,故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,|尸川=&+（3-/,記y=y］4+（3-yj2,，y，=4y3—2（3-yJ,

記g（y）=W—2（3—%）,.?.g，（％）=12y2+2>0,y=g（yJ單調(diào)遞增,

42

由于，［尸=。，因此X>Ly'>0,y=y,+（3-yl）單調(diào)遞增，

42

當(dāng)必<1時(shí)，y<0,y=y1+（3-y1）單調(diào)遞減，故當(dāng)必=1時(shí)，y=y：+（3—x）2取最小值5,

因此歸川4婷+（3_3）2的最小值為新，故B正確，

對(duì)于C,若P,A,B三點(diǎn)共線，A為線段網(wǎng)的中點(diǎn)，貝|0+%=2占,3+%=2%,

將4（靖,乂）乃（為2,必）代入拋物線方程中得

，（）2

y=x2=>2%—32=x2=2%j=>2y2—12^+9=0,A=144—4x2x9=72>0>

故2%2-12%+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以滿足條件的點(diǎn)3不唯一，故