2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（原卷版）

專題57成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................4

【考點(diǎn)突破】................................................................9

【考點(diǎn)1】成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性..................................................9

【考點(diǎn)2】回歸分析..........................................................11

【考點(diǎn)3】獨(dú)立性檢驗(yàn)........................................................14

【分層檢測】...............................................................18

【基礎(chǔ)篇】.................................................................18

【能力篇】.................................................................22

考試要求：

1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2.了解一元線性回歸模型和2X2列聯(lián)表，會(huì)運(yùn)用這些方法解決簡單的實(shí)際問題.

3.會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.

■“知識(shí)梳理

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為

相關(guān)關(guān)系.

(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān).

(3)線性相關(guān)

一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近,我們就稱這

兩個(gè)變量線性相關(guān).

一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或

曲線相關(guān).

2.樣本相關(guān)系數(shù)

⑴相關(guān)系數(shù)廠的計(jì)算

變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式如下：

11

S一M-y)

?=1

(2)相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

①當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)r=0時(shí)，成對樣

本數(shù)據(jù)間沒有線性相關(guān)關(guān)系.

②樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為「一1,11

當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

3.一元線性回歸模型

(1)經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法

我們將〈=￡+:稱為y關(guān)于％的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱

為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的3二叫做。的最小二

2

乘估計(jì),

其中

nn

y

—?一1)(”?—J)Hx,yl,~ln^Jc~y

-i=i=1

b=—n

2v2

S(JC,—JC)ZJ/i-nx

=1i=i

a=y-bx.

(2)利用決定系數(shù)F刻畫回歸效果

(乂一3,尸

z

J?=l-—n

\、

:=1,收越大，即擬合效果越好，F(xiàn)越小，模型擬合效果越差.

4.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)2X2列聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為｛xi,基｝和｛”，"｝,其2X2列聯(lián)表

為

y

X合計(jì)

尸券

X~X\aba+b

X~X2cdc~\~d

合計(jì)a~\~cb+dn—a~\~b~\~c~\~d

⑵臨界值

H(nd-be")2

/=(小)(c+d)Q+c)?忽略/的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后,對于任何

小概率值a,可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)Xa,使得「&三發(fā))=&成立.我們稱Xa為a的臨界值，這

個(gè)臨界值就可作為判斷H大小的標(biāo)準(zhǔn).

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)

基于小概率值a的檢驗(yàn)規(guī)則是：

當(dāng)三、我時(shí)，我們就推斷Ho不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過a；

當(dāng)/2＜羽時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷Ho不成立，可以認(rèn)為X和y獨(dú)立.

這種利用X2的取值推斷分類變量X和y是否獨(dú)立的方法稱為X2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立

性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

下表給出了X2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值

3

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

I常用結(jié)論

1.求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù):，b,應(yīng)充分利用回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（x,y）.

2.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程計(jì)算的（值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.

3.根據(jù)/的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若/越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越

大.

真題自測

一、單選題

1.（2024?全國?高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的

畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表

畝產(chǎn)

[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)

量

頻數(shù)61218302410

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）

A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kg

B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%

C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間

D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間

2.（2023?全國?高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣

調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,

則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C-C短種B.CMC鼠種

C.CQC禽種D.C%c北種

二、多選題

3.（2023?全國?高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)%,%，…，％,其中4是最小值，%是最大值，則（）

A.無2，無3，羽，無5的平均數(shù)等于不，%，…，%的平均數(shù)

B.毛,尤3，4尤5的中位數(shù)等于百，%，1%的中位數(shù)

4

C.x2,x3,x4,x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于占,馬，…，毛的標(biāo)準(zhǔn)差

D.尤3，%毛的極差不大于百，…,毛的極差

三、解答題

4.（2024?全國?高考真題）某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間的產(chǎn)

品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計(jì)

甲車間2624050

乙車間70282100

總計(jì)96522150

⑴填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間

乙車間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率p=0.5,設(shè)萬為升級改造后抽取的n件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果

萬＞P+1.65J約二"，則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為生

產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（麗之2.247）

n(ad-bc)2

(〃+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2023?全國?高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20

只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)

在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.試驗(yàn)結(jié)果如下：

5

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?/p>

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

⑴計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù);

（2）（回）求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)加，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于，"與不小于機(jī)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),

完成如下列聯(lián)表

n<m>m

對照組□□

試驗(yàn)組□□

（回）根據(jù)G）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加

量有差異?

n(ad-bc)2

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d),

P(K2>k]0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

6.（2023?全國,高考真題）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng).實(shí)驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20

只分配到實(shí)驗(yàn)組，另外20只分配到對照組，實(shí)驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)

在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.

⑴設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

實(shí)驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)椋?/p>

6

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)機(jī)，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于機(jī)與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下

列聯(lián)表：

n<m>m

對照組□□

實(shí)驗(yàn)組U□

(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量

有差異.

n(ad-bc)2

附：K2=

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d))

0.1000.0500.010

2

P(K>k0)2.7063.8416.635

7.(2023?全國?高考真題)某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對試驗(yàn)，

每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測

量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為%,%(7=1,2,…,10).試

驗(yàn)結(jié)果如下：

試驗(yàn)序號i12345678910

伸縮率看545533551522575544541568596548

伸縮率力536527543530560533522550576536

記%記的樣本平均數(shù)為樣本方差為?.

=1,2,…,10),4,Z?,z10z,

⑴求1/；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高(如果

z>2.￡，則認(rèn)為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提高，否

V10

7

則不認(rèn)為有顯著提高)

8.(2023?全國?高考真題)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于。的人判定為陽性，小于或等于c的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為。9);誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為我。).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

⑴當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí)，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)〃c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95,105］時(shí)，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最小值.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1］成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性

一、單選題

1.(2024?四川成都?二模)對變量蒼丁有觀測數(shù)據(jù)Q,yJ(ieN*),得散點(diǎn)圖1；對變量”#有觀測數(shù)據(jù)

(M;,V;)(ZGN*),得散點(diǎn)圖24表示變量彳，丫之間的線性相關(guān)系數(shù)，4表示變量以v之間的線性相關(guān)系數(shù)，則

A.變量X與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且用〈閭B.變量X與y呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且用〉同

8

C.變量尤與y呈現(xiàn)正相關(guān)，且間＞團(tuán)D.變量X與y呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且用〈同

2.（2024?四川涼山?三模）調(diào)查某校高三學(xué)生的身高X和體重y得到如圖所示散點(diǎn)圖，其中身高X和體重V相

B.學(xué)生身高和體重呈正相關(guān)

C.學(xué)生身高和體重呈負(fù)相關(guān)

D.若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.8255

二、多選題

3.（22-23高三上?江蘇無錫?期末）已知由樣本數(shù)據(jù)（4%）［=1,2,3,…,10）組成的一個(gè)樣本，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方

程為夕=2x-0.4,且元=2,去除兩個(gè)樣本點(diǎn)（-2,1）和（2,-1）后，得到新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為$=3x+g.在余

下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)和新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程中（）.

A.相關(guān)變量x,y具有正相關(guān)關(guān)系

B.新的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=3X-3

C.隨著自變量x值增加，因變量y值增加速度變小

D.樣本（4,8.9）的殘差為-0.1

4.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）為了研發(fā)某種流感疫苗，某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)

抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝

入量為x（單位：mg）,體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：AU/mL）.根據(jù)散點(diǎn)圖，可以得到回歸直線方程為：

y=0.34x+0.05.下列說法正確的是（）

^

12

1

11

1

7

9

1

1

8

1

1

7

1

1

6

1

15

1

1

48.84949.249.449.649.85050.250.4*

9

A.回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線方程表示體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量之間的函數(shù)關(guān)系

C.回歸直線方程可以精確反映體內(nèi)抗體數(shù)量與抗體藥物攝入量的變化趨勢

D.回歸直線方程可以用來預(yù)測攝入抗體藥物后體內(nèi)抗體數(shù)量的變化

三、填空題

5.（23-24高三上?浙江,開學(xué)考試）已知成對樣本數(shù)據(jù)（4%）,（%,%）,…,（五,”）（北3）中士,馬,…,當(dāng)互不相等，

且所有樣本點(diǎn)（4％）（7=1,2,…㈤都在直線y=-gx+l上，則這組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)r=

反思提升：

判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法：

（1）散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；

如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.

（2）決定系數(shù)法：利用決定系數(shù)判定，F(xiàn)越趨近1,擬合效果越好，相關(guān)性越強(qiáng).

【考點(diǎn)2】回歸分析

一、單選題

1.（2024?四川綿陽?二模）已知變量x,y之間的線性回歸方程為9=2x+l,且變量x,y之間的一組相關(guān)數(shù)

據(jù)如表所示，

X2468

y58.213m

則下列說法正確的是（）

A.〃?=17

B.變量y與x是負(fù)相關(guān)關(guān)系

C.該回歸直線必過點(diǎn)（5,11）

D.x增加1個(gè)單位，y一定增加2個(gè)單位

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）2023年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，亞運(yùn)會(huì)的吉祥物琮琮、蓮蓮、宸宸深受大家

喜愛，某商家統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月銷量，如表所示：若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為？=-。6元+0,則

下列說法不正確的是（）

時(shí)間X12345

銷售量W萬只54.543.52.5

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與無負(fù)相關(guān)

10

B.當(dāng)x=5時(shí)，殘差為0.2

C.可以預(yù)測當(dāng)x=6時(shí)銷量約為2.1萬只

D.線性回歸方程9=-0.6x+d中4=5.7

二、多選題

3.（23-24高三上?廣東揭陽,期末）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診

人數(shù)y與第%（%=1，2,3,4,5）天的數(shù)據(jù)如表所示.

X12345

y21IQa15a90109

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知尤，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=20尤+10,則（）

A.樣本相關(guān)系數(shù)在（0』內(nèi)B.當(dāng)x=2時(shí)，殘差為-2

C.點(diǎn)（3,15a）一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上D.第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）為了預(yù)測某地的經(jīng)濟(jì)增長情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1?6月的GDP

的數(shù)據(jù)y（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.42x+a，其中自變量x指的

是1?6月的編號，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

時(shí)間2023年）月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月

編號X123456

W百億元為%11.107%線

參考數(shù)據(jù)：￡W=796,-?2=70.

i=li=l

則下列說法正確的是（）

A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)（3511）

B.<7=10.255

C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.57百億元

D.相應(yīng)于點(diǎn)（%，％）的殘差為0二03

三、填空題

5.（2024?江蘇?一模）已知變量x，y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，對表中數(shù)據(jù)作分析，發(fā)現(xiàn)y與X之間具有線性相關(guān)

關(guān)系，利用最小二乘法，計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為9=0.8尤+&,據(jù)此模型預(yù)測當(dāng)x=10時(shí)亍的值

為.

11

X56789

y3.54566.5

6.(2024?陜西渭南?一模)已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)(4％)(，=1,2,,7),用最小二乘法得到其線性回歸方程為

77

y——2x+4，若Z玉=7,則￡%=?

i=l?=1

四、解答題

7.(2024?山東日照?二模)某公司為考核員工，采用某方案對員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測試，并統(tǒng)計(jì)分析測試成績

以確定員工績效等級.

⑴已知該公司甲部門有3名負(fù)責(zé)人，乙部門有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人

做測試分析，記負(fù)責(zé)人來自甲部門的人數(shù)為X,求X的最有可能的取值：

-7xz

------------x0.02

(0)已知某部門測試的平均成績?yōu)?0分，估計(jì)其績效等級優(yōu)秀率；

5)根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測試平均成績尤?其中〃近似為樣本平均數(shù)元，/近似為

樣本方差經(jīng)計(jì)算s。20,求某個(gè)部門績效等級優(yōu)秀率不低于0.78的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：①ln0.15工-1.9,e1'2?3.32,ln5.2a1.66.

n__

八Y^-nxy

②線性回歸方程9=加+6中，》=弓--------，d=y-bx.

2—2

2^xi-nx

i=i

③若隨機(jī)變量X?,貝P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6826,P(〃—2b<X<〃+2cr)=0.9544,

P(〃-3cr<X<〃+3b)=0.9974.

8.(22-23高三上?山東青島?期末)由相〃個(gè)小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有機(jī)行和〃列.每次將一個(gè)小球放到一個(gè)

小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為P,放紅球的概率為q,P+4=l.

12

⑴若根=2,P=q=；,記y表示100輪放球試驗(yàn)中"每一列至少一個(gè)紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:

n12345

y7656423026

求y關(guān)于〃的回歸方程Iny=加+。，并預(yù)測〃=10時(shí)，y的值；(精確到1)

1?

(2)若m=2,n=2,p=~,q=~,記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶求事件〃不是每一列都至少一個(gè)紅球〃發(fā)生的概率，并證明：(i-yw)n+(i-^f>1.

k

-X七%-反守5_

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：5=37--------------,a=y-bx,2%/ny,=53,百]=3.8.

_居2i=l

z=l

反思提升：

n——

A^^.XiyiYLJQyAA—A—A

(1)求經(jīng)驗(yàn)回歸方程：利用公式,二.求0;利用a=y一以求a,寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

Y^Xi—nx2

(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果，可以利用相關(guān)系數(shù)卜|判斷，當(dāng)|r|越趨近于1時(shí)，兩變量的線性相

關(guān)性越強(qiáng).或利用決定系數(shù)K判斷，F(xiàn)越大，擬合效果越好.

⑶非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法

AAAAAAAAAAA

①若y=a+by[x,設(shè)￡=疝,則y=a+初；②若滿足對數(shù)式：y=a+blnx,設(shè)，=ln%,則y=a+

A

bt-,③若滿足指數(shù)式：y=ciec2x,兩邊取對數(shù)解Iny=lnci+czx,設(shè)z=lny,a=lnci,b=ci,

貝Uz=a+bx.

【考點(diǎn)3】獨(dú)立性檢驗(yàn)

一、單選題

1.(2024?黑龍江哈爾濱?二模)針對2025年第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉辦，校團(tuán)委對"是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與學(xué)

生性別的關(guān)系”進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，男生中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)

的三,女生中喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的；，若依據(jù)&=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為是否喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)

63

與學(xué)生性別有關(guān)，則被調(diào)查的學(xué)生中男生的人數(shù)不可能是()

2_n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

13

%2.7063.8416.6357.87910.828

A.48B.54C.60D.66

2.（2024?寧夏銀川?一模）有甲、乙兩個(gè)班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)

秀統(tǒng)計(jì)成績，得到如下所示的列聯(lián)表:

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)

甲班10b

乙班C30

合計(jì)

A.列聯(lián)表中c的值為30,6的值為35

B.列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50

C.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為"成績與班級有關(guān)系”

D.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為"成績與班級有關(guān)系”

二、多選題

3.（2024?山東臨沂?一模）下列結(jié)論正確的是（）

A.一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)a,%）都在直線^=0.95%+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相

關(guān)系數(shù)為0.95

B.已知隨機(jī)變量，N（3,4）,若J=2〃+l,則

C.在2x2列聯(lián)表中，若每個(gè)數(shù)據(jù)a,》,c,d均變成原來的2倍，則/也變成原來的2倍

2

,2n（ad-be）_,、

CX-7i/\/j,其中〃=a+6+c+d）

（a+b）（c+d）（a+c）［b+d）

D.分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的骰子，若事件A="第一枚骰子正面向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)"，3="2枚骰子正面

向上的點(diǎn)數(shù)相同"，則A2互為獨(dú)立事件

4.（22-23高三下?浙江?開學(xué)考試）下列結(jié)論中，正確的有（）

14

A.數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為5

B.若隨機(jī)變量舁"（1,4）,尸（空一2）=0.21,則尸（公4）=0.79

C.己知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為夕=Bx+1.8,B.x=2,y=20,則B=9.1

D.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到f=9.632,依據(jù)小概率值a=0.001的/獨(dú)立性檢

驗(yàn)（%0m=10.828）,可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001

三、填空題

5.（21-22高二下?福建福州?期末）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

服用a50—a50

未服用80—。a—3050

合計(jì)8020100

若在本次考察中得出"在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效”的結(jié)論，則a的最小值

為.（其中心40且aeN*）（參考數(shù)據(jù)：76.635?2.58,J10.828—3.29）

2n(ad-bc]

附:%=-,---------77—^~77——------------7，ll=a+b+C+d

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)

a0.10.050.010.0050.001

xa2.7063.8416.6357.87910.828

6.（2024?上海金山?二模）為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下圖所示列聯(lián)表:

疾病

藥物合計(jì)

未患病患病

服用m50-m50

未服用80—mm—3050

合計(jì)8020100

取顯著性水平a=0.05,若本次考察結(jié)果支持“藥物對疾病預(yù)防有顯著效果"，則加（〃二40,meN）的最小值

為_________

15

n(ad-be)2

（參考公式：/=;參考值:P(Z2>3.841)?0.05)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

四、解答題

7.（2023,廣東深圳?二模）飛盤運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)入門簡單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動(dòng)，目前已經(jīng)

成為了年輕人運(yùn)動(dòng)的新潮流.某俱樂部為了解年輕人愛好飛盤運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對該地區(qū)的年輕人進(jìn)行

了簡單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表:

飛盤運(yùn)動(dòng)

性別合計(jì)

不愛好愛好

男61622

女42428

合計(jì)104050

⑴在上述愛好飛盤運(yùn)動(dòng)的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)選取3人

訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）依據(jù)小概率值。=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)

大到原來的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛好飛盤運(yùn)動(dòng)與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還

一樣嗎？請解釋其中的原因.

附./_"(ad-bc》

其中“=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

8.（2024?吉林?模擬預(yù)測）短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱

度，為調(diào)查某天南北方游客來此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對當(dāng)天前來旅游的500名游客調(diào)

查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來的280名游客中南方游客有200人.

⑴依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來此景點(diǎn)旅游是

否與收看短視潁有關(guān)聯(lián)：單位：人

短視頻

游客合計(jì)

收看未看

16

南方游客

北方游客

合計(jì)

⑵為了增加游客的旅游樂趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人之

一，現(xiàn)有甲、乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.

(i)求經(jīng)過，次傳遞后球回到甲的概率；

(ii)記前機(jī)次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be，f_tn\jn_

參考公式：z2=其中〃=a+/?+c+d；E\=ZE(Xj

(a+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)VZ=17z=l

附表:

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

反思提升：

L在2X2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad—尻心0.|〃一陽越小，說明兩個(gè)變

量之間關(guān)系越弱；|ad一尻|越大，說明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng).

2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟:

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表：

(2)根據(jù)公式/=

〃(ad-bc)之

計(jì)算X2；

(a+6)(a+c)(b+d)(c+d)

(3)通過比較/與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計(jì)推斷.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.(2024?浙江寧波?二模)某校數(shù)學(xué)建模興趣小組為研究本地區(qū)兒子身高y(cm)與父親身高x(cm)之間的關(guān)

系，抽樣調(diào)查后得出'與x線性相關(guān)，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=O.85X+29.5.調(diào)查所得的部分樣本數(shù)據(jù)如下:

父親身高x(cm)164166170173173174180

兒子身高y(cm)165168176170172176178

17

則下列說法正確的是（）

A.兒子身高了（cm）是關(guān)于父親身高x（cm）的函數(shù)

B.當(dāng)父親身高增加1cm時(shí)，兒子身高增加0.85cm

C.兒子身高為172cm時(shí)，父親身高一定為173cm

D.父親身高為170cm時(shí)，兒子身高的均值為174cm

2.（2024?天津河西?一模）隨著居民家庭收入的不斷提高，人們對居住條件的改善的需求也在逐漸升溫.某

城市統(tǒng)計(jì)了最近5個(gè)月的房屋交易量，如下表所示:

時(shí)間尤12345

交易量y（萬套）0.50.81.01.21.5

若丫與尤滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為a=o-24x+e,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，變量'與x正相關(guān)

B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程f=0.24x+C中&=0.28

C.可以預(yù)測x=6時(shí)房屋交易量約為1.72（萬套）

D.x=5時(shí)，殘差為-0.02

3.（2024?天津?一模）下列說法正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)7,8,8,9,11/3,15,17,20,22的第80百分位數(shù)為17;

B.根據(jù)分類變量X與丫的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到力2=4.712,根據(jù)小概率值a=Q05的獨(dú)立性檢驗(yàn)

（馬05=3.841）,可判斷X與y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；

C.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0；

D.若隨機(jī)變量。，〃滿足〃=3。-2,則。⑻=3。0-2.

4.（23-24高三上?天津北辰?期中）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

A.數(shù)據(jù)4,1,6,2,9,5,8的第60百分位數(shù)為6

B.若隨機(jī)變量尸偌4-2）=0.21,則P（JW4）=0.79

C.已知經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=〃x+1.8，且x=2,y=20,貝心=9.1

D.根據(jù)分類變量X與丫成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到*2=9.632,依據(jù)小概率值a=0.001的/獨(dú)立性檢驗(yàn)

（^0,001=10.828）,可判斷x與y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001

二、多選題

5.（2023?湖北?模擬預(yù)測）下列命題中正確的是（）

18

A.若樣本數(shù)據(jù)耳，々，L,尤20的樣本方差為3,則數(shù)據(jù)25+1,2X2+1,L,2X20+1的方差為7

B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程為a=0.3-0.7x時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)

C.對于隨機(jī)事件A與'P（A）>0,P（B）>0,若P（A|B）=P（A）,則事件A與B相互獨(dú)立

D.若乂~《7,￡|,則P（X=L）取最大值時(shí)左=4

6.（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測）已知兩個(gè)變量y與尤對應(yīng)關(guān)系如下表：

X12345

y5m8910.5

若y與無滿足一元線性回歸模型，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為9=L25x+4.25,則（）

A.y與尤正相關(guān)B.m=7

C.樣本數(shù)據(jù)y的第60百分位數(shù)為8D.各組數(shù)據(jù)的殘差和為0

7.（2024?湖北武漢?二模）下列結(jié)論正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位數(shù)為17

B.若隨機(jī)變量機(jī)〃滿足〃=3”2,則。（〃）=3。?-2

C.若隨機(jī)變量tN（4,（T2）,且尸C<6）=0.8,貝。2（2<4<6）=。.6

D.根據(jù)分類變量X與V的成對樣本數(shù)據(jù),計(jì)算得到力2=4.712.依據(jù)e=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)（xo,o5=3-841）,

可判斷x與y有關(guān)

三、填空題

8.（23-24高三下?上海嘉定?階段練習(xí)）某產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用無（單位：萬元）與銷售額y（單位：萬元）

的數(shù)據(jù)如下表：

X24568

y3040a5070

已知y關(guān)于x的線性回歸方程為y=6.5x+15.1,則表格中實(shí)數(shù)a的值為.

9.（23-24高二下?江西贛州?期中）甲、乙、丙、丁各自研究兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)，若甲、乙、丙、丁計(jì)算

得到各自研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)系數(shù)分別為4=066,々=-0.97,4=092,〃=0.89,則這四人

中，研究的兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度最高.

10.（2024?上海長寧?二模）收集數(shù)據(jù)，利用2x2列聯(lián)表，分析學(xué)習(xí)成績好與上課注意力集中是否有關(guān)時(shí)，

提出的零假設(shè)為：學(xué)習(xí)成績好與上課注意力集中（填：有關(guān)或無關(guān)）

19

四、解答題

11.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速

增長態(tài)勢，某線下家電商場為提升人氣和提高營業(yè)額也開通了在線直播，下表統(tǒng)計(jì)了該商場開通在線直播

⑵根據(jù)第1至第5天的數(shù)據(jù)分析，可用線性回歸模型擬合y與尤的關(guān)系，試求出該線性回歸方程并估計(jì)該商

場開通在線直播的第10天的線下顧客人數(shù).

n

（參考公式：相關(guān)系數(shù)7=I,TI,_,參考數(shù)據(jù)：同。13.038

店（x廠方區(qū)（%-丫）2

Vi=lVi=l

￡（%一元）（外一歹）￡七y一"無》

回歸方程：y=bx+a^其中匕=3-，a=y-bx）

方（占-可2h位2

1=11=1

12.（2024,四川內(nèi)江?三模）2024年2月10日至17日（正月初一至初八），"2024?內(nèi)江市中區(qū)新春極光焰火

草地狂歡節(jié)"在川南大草原舉行，共舉行了8場精彩的煙花秀節(jié)目.前5場的觀眾人數(shù)（單位：萬人）與場

次的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示：

場次編號X12345

觀眾人數(shù)y0.70.811.21.3

⑴已知可用線性回歸模型擬合y與尤的關(guān)系，請建立V關(guān)于X的線性回歸方程；

（2）若該煙花秀節(jié)目分A、B、C三個(gè)等次的票價(jià)，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了該煙花秀節(jié)目現(xiàn)場200位觀眾的性別與

購票情況，得到的