2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：導(dǎo)數(shù)的概念及運算（解析版）

專題15導(dǎo)數(shù)的概念及運算（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】...............................................................10

【考點1】導(dǎo)數(shù)的運算........................................................10

【考點2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義....................................................14

【考點3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用................................................20

【分層檢測】...............................................................25

【基礎(chǔ)篇】.................................................................25

【能力篇】.................................................................31

【培優(yōu)篇】.................................................................35

考試要求：

1.通過實例分析，了解平均變化率、瞬時變化率，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.

2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.能求簡單的復(fù)

合函數(shù)（形如的導(dǎo)數(shù).

?知識梳理

1.導(dǎo)數(shù)的概念

⑴如果當心一0時，平均變化率》無限趨近于一個確定的值，即總有極限，則稱y=Ax）在X

=xo處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y=/（x）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)（也稱瞬時變化率）,記作尸（xo）或

I.f+AJC）-f（JC）

lim—hm------------------O-

v'\x=x0,即/（X0）=ALO&r=4-0.

（2）當x=xo時，/（xo）是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，y=/（x）就是x的函數(shù)，我們稱它為y

=/（x）的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)），記為了（》）（或y）,即/（x）=y=

f（x+Ax）—f（x）

lim7".

Ax—>0

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=Ax）在》=次處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=/U）在點P（xo,函o））處的切線的斜率,相

應(yīng)的切線方程為y—Kxo）=xo）.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

1x）=c（c為常數(shù)）r（x）=o

,/(x)=xa(aGQ,aW0)f(x)=axai

fix)—sinx/(x)=cosX

fix)=cosXf(x)="sinx

Hx)=a”(a>0且aWl)f(x)=axlna

危尸e*

y(x)=logaX(tz>0且aWl)f(x)~xlna

/x)=lnx

2

4.導(dǎo)數(shù)的運算法則

若了⑴,g（x）存在，則有:

2

[/(x)土g(x)]，=[(x)±g(x)；

[AX)g(x)y=i(x)g(x)+Ax)g，(x)；

f(x)f(x)g(x)—f(x)g'(x)

IK卜收(x；F(g(Q。)；

[或切'=①.

5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

(1)一般地，對于兩個函數(shù)y=/(M)和M=g(x),如果通過中間變量a,y可以表示成X的函數(shù)，那

么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=/(M)與z/=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=fig(x)Y

(2)復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為Vx'=yu'-Ux,即y對x

的導(dǎo)數(shù)等于y對M的導(dǎo)數(shù)與M對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

|常用結(jié)論

1/(X0)代表函數(shù)次X)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值；(/(xo))/是函數(shù)值兀TO)的導(dǎo)數(shù)，則(Axo)y=O.

「1]f(X)

3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.

4.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)反映了函數(shù)人x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大

小|f(x)|反映了變化的快慢，|f(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.

,真題自測

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)曲線在點I司處的切線方程為()

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=-x-\

424424

2.(2022?全國?高考真題)當X=1時，函數(shù)=+2取得最大值-2,貝U/'(2)=()

x

A.—1B.--C.gD.1

22

3.(2021?全國?高考真題)若過點(a,6)可以作曲線y=e'的兩條切線，則()

A.cb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

二、多選題

4.(2022,全國?高考真題)已知函數(shù)y(x)=x3-x+i,則()

A.7(x)有兩個極值點B.〃x)有三個零點

C.點(0,1)是曲線>=/(無)的對稱中心D.直線y=2x是曲線>=/(無)的切線

3

三、填空題

5.（2022?全國?高考真題）曲線y=ln|x|過坐標原點的兩條切線的方程為,.

6.（2022?全國?高考真題）若曲線y=（x+a）e，有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是

7.（2021?全國?高考真題）曲線y=3一在點（T-3）處的切線方程為.

8.（2021?全國?高考真題）已知函數(shù)/■。）=卜-1,％<0,々>0，函數(shù)F（x）的圖象在點A（X1,/（xJ）和點

8（%，/（%））的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則黑^取值范圍是.

參考答案：

1.C

【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點的橫坐標代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方

程即可求解.

【詳解】設(shè)曲線y=工在點（圖處的切線方程為，-好3-1），

x+1I2/2

ex

因為y=----，

x+1

ex(x+l)-e"

所以y'=

(尤+1)2

所以左=y'1=（

所以y_；=；（xT）

24、7

所以曲線廣三在點O處的切線方程為y=++]

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)題意可知〃1）=-2,/⑴=0即可解得a,b,再根據(jù)_f（x）即可解出.

【詳解】因為函數(shù)定義域為（。,+功，所以依題可知，〃1）=-2,r（i）=o,而廣（"=三一《，所以

b=-2,a-b=0,即。=-2,6=-2,所以尸（%）=一：+5,因此函數(shù)在（0,1）上遞增，在（1,+8）上遞減，

x=l時取最大值，滿足題意，即有廣（2）=-1+；=-;.

故選：B.

3.D

【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定

4

結(jié)果；

解法二：畫出曲線>="的圖象，根據(jù)直觀即可判定點6)在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.

【詳解】在曲線y=/上任取一點尸。,一)，對函數(shù)y="求導(dǎo)得y=e"

所以，曲線y=e'在點尸處的切線方程為y-d=d(xT),即y=e%+(l—t)d,

由題意可知，點(。,。)在直線丫=/》+(1—。/上，可得b=ae'+(1—=(a+l—t)e',

令『(')=(a+lT)d，則/'⑺=(?-)/.

當X。時，尸⑺>0,此時函數(shù)〃。單調(diào)遞增，

當時，尸(。<0,此時函數(shù)/⑺單調(diào)遞減，

所以，/⑺a"S)=e",

由題意可知，直線V=b與曲線y=/。)的圖象有兩個交點，則6<*/)a=e",

當/<4+1時，/(/)>0,當/>4+1時，/(r)<0,作出函數(shù)/'⑺的圖象如下圖所示：

由圖可知，當0<6<e。時，直線y=6與曲線>="/)的圖象有兩個交點.

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=d的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和x軸上方時才可以作

出兩條切線.由此可知0<6<e".

5

4

x

故選：D.

【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性

進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.

4.AC

【分析】利用極值點的定義可判斷A,結(jié)合AM的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的

幾何意義判斷D.

【詳解】由題，r(x)=3x2-l,令。得或

令((x)<0得——<x<――，

33

所以/(盼在(-*-g),(#,+00)上單調(diào)遞增，(_g,專)上單調(diào)遞減，所以x=土,是極值點，故A正確；

因/(一#)=1+半>0，/(￥)=1-孚>0，/(-2)=-5<0,

所以，函數(shù)外力在，0-上有一個零點，

當轉(zhuǎn)正時，/(x)>/f^>0,即函數(shù)〃x)在上無零點，

3I3JI3J

綜上所述，函數(shù)Ax)有一個零點，故B錯誤；

令Zz(x)=x3-無，該函數(shù)的定義域為R,7z(-x)=(-^)3-(-^v)=-x3+x=-h^x),

則h(x)是奇函數(shù)，(0,0)是h(x)的對稱中心，

將無。)的圖象向上移動一個單位得到八刈的圖象，

所以點(0,D是曲線y=/(x)的對稱中心，故C正確；

6

令r（x）=3f—1=2,可得元=±1,又〃==

當切點為（1,1）時，切線方程為y=2x-1,當切點為（-M）時，切線方程為y=2尢+3,故D錯誤.

故選：AC.

11

5.y=一1y=—一x

ee

【分析】分x>0和尤<0兩種情況，當x>0時設(shè)切點為（如山天），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜

率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出％,即可求出切線方程，當x<0時同理可得；

【詳解】［方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當x>0時設(shè)切點為（x0』n%）,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而

表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出為,即可求出切線方程，當x<0時同理可得；

解:因為y=ln國，

當x>。時y=lnx,設(shè)切點為1,In5）,由；/=L所以所以切線方程為y—ln/o=’（無一天），

X玉）玉）

又切線過坐標原點，所以-皿％=’（一%），解得x0=e,所以切線方程為y_i='（x-e）,B|Jy=-x；

xoee

當x<0時y=ln（r）,設(shè)切點為（亂爪一%）），由y'=L所以*/=工，所以切線方程為

X再

y-ln（-x1）=—（x-xj,

又切線過坐標原點，所以-皿-%）=’（一%），解得占=-e,所以切線方程為y—1=-L（x+e）,即y=」x；

玉-ee

故答案為：y=—x；y=-x

ee

［方法二］：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合

當x>0時y=lnx,設(shè)切點為（如山天），由：/=工，所以所以切線方程為y-lnx。='（x-x。），

X玉）％0

［11

又切線過坐標原點，所以Tnx°=一（一無。），解得x°=e,所以切線方程為y-1=—（》_e）,即y=-x；

xoee

因為>=1川乂是偶函數(shù)，圖象為：

7

上1中1

所以當x<0時的切線，只需找到>=!》關(guān)于、/軸的對稱直線?=-'尤即可.

ee

［方法三］:

因為丁=111同，

1,,1,1ZX

當x>0時y=lnx,設(shè)切點為(％,In/),由y'=—,所以yl『,=一,所以切線方程為>一也毛=一5一毛),

X玉)X。

又切線過坐標原點，所以-山與=’(-%),解得x°=e,所以切線方程為y-l=」(x-e),^y=-x；

X。ee

當x<0時y=ln(—x),設(shè)切點為(番,111(一%))，由y'=J,所以y'L1

F=一,所以切線方程為

再

y-ln(-X］)」(x-xJ,

x\

又切線過坐標原點，所以Tn(-%)='(一王)，解得占=_e,所以切線方程為y—l=±1a+e),即丁二，1不

玉—ee

故答案為：y=-x；y=--x.

ee

6.(-oo,T)_(0,+co)

【分析】設(shè)出切點橫坐標%,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于/的方程，

根據(jù)此方程應(yīng)有兩個不同的實數(shù)根，求得。的取值范圍.

【詳解】回y=(x+a)e",回y'=(x+l+a)e"

設(shè)切點為(題,％),則%=(/+a)e"，切線斜率無=(玄+1+a)e&,

切線方程為：y-(xo+a)e&=(x0+l+o)e^(x-x0),

回切線過原點，EI-5+a)e苑=5+l+a)e*(-)),

整理得：xo+axo—=0,

田切線有兩條，回A=/+4a>①解得。<-4或。>0,

回。的取值范圍是(y,T)(0,y),

8

故答案為：（-0°,T）（0,+co）

7.5元—y+2=0

【分析】先驗證點在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可.

【詳解】由題，當尸-1時，產(chǎn)-3,故點在曲線上.

2(x+2)-(2x-1)5

求導(dǎo)得:所以y'0=5.

(x+2)2(x+2)2

故切線方程為5x-y+2=0.

故答案為：5x-y+2=0.

8.(0,1)

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得占+%=°，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得|4M|=^/175?㈤，

2

\BN\=yll+e^-\x2\,化簡即可得解.

1—e”,x<0、—e”,%<0

【詳解】由題意，=卜e—x紂則八z力

ex,x>0

所以點)和點B(x2,e^-1),kAM=-e\kBN=*,

以一e**=—1,再+兀2=0,

所以AM:y—1+ex'=_e''(x—%),M(0,e*'玉—e*1+1),

所以|AAf|=Jx；+(e*xj=Jl+e","|x)|?

同理忸N|=&7苫?國,

故答案為：（o,i）

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件國+%=。，消去一個變量后，運算即可得解.

■考點突破

【考點1】導(dǎo)數(shù)的運算

9

一、單選題

1.(2023?湖北,模擬預(yù)測)已知〃2>0,n>0,直線y=!X+m+1與曲線y=lnx-〃+2相切，則工+工的最

emn

小值是()

A.16B.12C.8D.4

2.(23-24高二上?江蘇鹽城?期末)若點尸是曲線>=爐_1!?；+1上任意一點，貝|點尸至IJ直線y=x-2的最小

距離為()

A.1B.—C.72D.

22

二、多選題

3.(2024?湖南?二模)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x).若"%)滿足

〃2+3x)=〃-3x),g(x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且g(0)=l,則()

A.g(x)是偶函數(shù)B.g(x)=g(x+4)

2024

c.〃尤)+〃-x)=0D.2g-=o

k=ll乙)

4.(2024?甘肅隴南?一模)已知函數(shù)/(力=三+/+辦-4有3個不同的零點占,9，%,且尤也=T，則()

A.a=TB.〃x)<0的解集為(-1,2)

C.>=尤-7是曲線y=〃x)的切線D.點(TO)是曲線y=/(x)的對稱中心

三、填空題

5.(23-24高三上,上海普陀,期末)函數(shù)〃力=肅>如果/(%)為奇函數(shù)，則。的取值范圍為

6.(23-24高二下?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=*3廣⑴-41nx+2,貝廳(2)=.

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出租力的關(guān)系，再根據(jù)不等式中"1〃的整體代換即可得出答案.

【詳解】對y=ln尤-〃+2求導(dǎo)得y=L

X

由y'=L='得無二e,貝lj'-e+m+l=lne-〃+2,即用+〃=1,

xee

-J1/\(1I、-n根、/

所以—I—=(根+〃)—I—=2H---1—>2+2=4,

mnn)mn

當且僅當根=〃=;時取等號.

故選：D.

10

2.D

【分析】求出平行于y=x-2的直線與曲線y=--inx+l相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式可

得結(jié)論.

【詳解】設(shè)尸(尤。,%),函數(shù)>=/-瓦+1的定義域為(0,y),求導(dǎo)得y'=2x-4，

當曲線y=f-lnx+l在點p處的切線平行于直線>=尤-2時，2x0--=l,

XQ

則(/-1)(2%+1)=0,而毛>0,解得%=1,于是%=a一lnl+l=2,

平行于>=尤-2的直線與曲線>=尤27nx+i相切的切點坐標為(1,2),

所以點P到直線V=X-2的最小距離即點(1,2)到直線y=x-2的距離d="尸=述.

V22

故選：D

3.ABD

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)g(x)的奇偶性，設(shè)依)=/(%)+/(r),利用導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出函了)=/(%)+/(-力為?！?/p>

數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項；推導(dǎo)出g(x+2)+g(-x)=0,令x=T代值計算可判斷B選項；

由/(x)+“T)=C、/(X+2)=/(T)推導(dǎo)可判斷c選項；求出?勺)的值，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D

k=l2

選項.

【詳解】對于A選項，因為函數(shù)g(x-2)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

則g(2—X—2)=g(2+x—2),

即g(-x)=g(x)，所以，函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，故A正確；

對于B選項，因為〃2+3力=〃-3尤)，令t=3x,可得〃r+2)=〃T),即〃x+2)=〃r),

對等式〃x+2)=/(-x)兩邊求導(dǎo)得_f(x+2)—),即g(x-2)+g(-x)=0,

故g(x+2)+g(x)=0,所以g(x+4)=-g(尤+2)=g(尤)，故B正確；

對于C選項，因為g(x)=—(x),則/'(-x)=f(x),

令/z(x)=/(x)+f(—x),則〃(%)=/3--(5)=0,所以，%(x)為常值函數(shù),

設(shè)Mx)=〃x)+〃-x)=C,其中C為常數(shù)，

當cwo時，y(-x)=c-/(x)^-y(x),故c錯誤；

11

對于Q選項，因為g（x+2）_Lg（-x）=g（x+2）+g（x）=0,所以，g（l）=O,gRKg^Uo.

g⑵+g（O）=g⑵+1=0,可得g（2）=-l,

g（1）小出=。,g⑶=g。-=g（一1）,

由g（x+2）+g（—x）=g（x+2）+g（x）=0,令尤=1,可得g（3）+g（l）=0,貝l］g（3）=0,g（4）=g（0）=l,

所以gg）+g⑴+g（|"）+g（2）+gdg（3）+gf1j+g（4）=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=0-l+0+l=0

2024（卜、8（k、

因為2024=8x253,貝U2gJ=253?>J=。，故D正確.

k=l）k=l

故選：ABD.

【點睛】結(jié)論點睛：本題考查抽象函數(shù)的對稱性與周期性，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷:

(1)若對任意的實數(shù)x,滿足"x)=〃x+。)，則函數(shù)〃x)的周期為同；

(2)若對任意的實數(shù)x,滿足〃x+b)="T+a),則函數(shù)〃x)關(guān)于直線.一對稱;

(3)若對任意的實數(shù)x,滿足“x+b)=—/(T+。)，則函數(shù)“力關(guān)于點［審,o］對稱.

4.AC

【分析】利用三次函數(shù)的零點式，結(jié)合條件可求得。，從而可判斷AB,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C,舉

反例排除D.

【詳解】對于A,因為/1(%)=V+*2+依-4有3個不同的零點尤，1々，工3,

所以不妨設(shè)/'(3)=(3-%)(天一々)(3一天)，

易知/■(X)展開式中的常數(shù)項為-X/2X3,故-無科2玉=-4，

又再范=王，所以一W=_4,解得無3=2,

22

所以/(X3)=〃2)=23+22+2a_4=0,解得q=T,故A正確；

對于B,因為f(%)+X2-4x-4=(尤一2)(x+2)(x+l),

令〃x)<0,即(龍一2)(x+2)(x+l)<0,

利用數(shù)軸穿根法，解得x<-2或-l<x<2,故B錯誤；

對于C,易得/■'(%)=3f+2x-4,

當切線斜率為1時，令尸(X)=3/+2X-4=1,解得x=-g或》=1,

12

當x=l時，/(1)=(1-2)(1+2)(1+1)--6,

止匕時切線為y+6=x-l,即y=x-7,故C正確；

對于D,因為/(一3)=(—3-2)(—3+2)(-3+1)=-10,又〃1)=一6,

所以/(一3)二/⑴,所以點(-1,0)是曲線y=f(x)的對稱中心,故D錯誤.

故選：AC.

5.R

【分析】

求出尸(力，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出結(jié)果.

【詳解】由sinxwO可得即函數(shù)的定義域為{x|x#憂左eZ},

e〃，/、Qsinx-axcosx

則/(》)=——------'

sinx

又因為函數(shù)尸(無)為奇函數(shù)，對任意的kcZ},

,(asin(-x)-a(f)cos(-x)_asinx-oxcosx_,(、

sin(一元)sinx

對任意的實數(shù)。都滿足條件，故實數(shù)。的取值范圍是R.

故答案為：R

6.18-41n2

【分析】左右兩側(cè)同時求導(dǎo)得到廣。)，求出原函數(shù)后再求/(2)即可.

【詳解】由題意知尸(x)=3d-⑴_3,令x=l,

X

得廣⑴=3尸⑴—4,解得尸(1)=2,

所以/(%)=2x3-41nr+2,

所以/(2)=2x23-41n2+2=18—41n2.

故答案為：18-41n2

反思提升：

1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)票準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).

2.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.

【考點2】導(dǎo)數(shù)的幾何意義

13

一、單選題

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測）lim（2+&）￡=（）

■一°Ax

A.72B.12C.8D.4

2.（2024?江蘇南通二模）已知曲線G：尤2+y2-4x+2y=。與曲線。2："力=/在第一象限交于點A,在A

處兩條曲線的切線傾斜角分別為尸，則（）

A.[+〃=]B.3—刈=]

C.?+^=yD.|a-￡|=；

二、多選題

3.（2024?河南洛陽?模擬預(yù)測）過點（3底4）向拋物線f=8y作兩條切線，切點分別為4&,乂）、*程為），廠

為拋物線的焦點，則（）

A.=―6*^5B.王馬=32

C.|AF|-|fiF|=49D.|AF|+|BF|=18

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)"x）=（x-ay+6.若過原點可作函數(shù)的三條切線，則（）

A./⑺恰有2個異號極值點B.若。＞0,貝恰e（0,a3）

C./（無）恰有2個異號零點D.若〃＜0,則6e（/,o）

三、填空題

X2+2x丫v0

5.（2024?山東泰安?三模）已知函數(shù)/（x）=J一'I若曲線y=〃x）與直線＞=3恰有2個公共點，

則a的取值范圍是.

6.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=4x的焦點為尸，過尸的直線/與C交于A,B兩點.過A作C

的切線機及平行于x軸的直線加，過/作平行于機的直線交加于過8作C的切線〃及平行于x軸的直

Q

線”，過尸作平行于〃的直線交“'于M若|AM|TBN|=§,則點A的橫坐標為.

參考答案：

1.B

【分析】令〃X）=V,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，可求解.

【詳解】令〃力=爐，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念，

14

lm(2+時一&-1ml3上二1ml〃2+a)-〃2)=〃2),

-AxAx->0Ax—Ax

f(x)=3d,所以/(2)=12.

故選：B.

2.A

【分析】聯(lián)立曲線曲線C］與曲線C?方程求出切點4(1,1),再由圓的切線與圓心和切點連線垂直，結(jié)合兩垂

直直線斜率乘積等于-1可求出在A處圓G的切線斜率，從而得出tana=；；由導(dǎo)數(shù)知識里在某點處的切線

方程求法可得出tan/=2,進而根據(jù)兩角和與差的正切公式進行檢驗判斷即可.

【詳解】

即G：(x_2)2+(y+l)2=5,

所以曲線C1是以(2,-1)為圓心，君為半徑的圓,

且|。0|=石，即曲線G過原點O,

尤?丁4尤+2y=。，得犬+3爐一4x=on石=0,x,=l=A(l,l),

聯(lián)立

y=x

11-21所以tana=4,

所以在A處圓G的切線斜率為匕=-k

ACr1-(T2，2

2

由C2：/(%)=x=>f'[x)—2x,

所以曲線C?在4處的切線斜率為勺=Nl)=2=tan￡,

sin/

又tana=L1_COSP=tanP-^j>0,

2tanpsin/3cos-

所以％/40看兀TT

,所以,從而a=3-B，

2

JT

即1+￡=5，故A正確，C錯誤,

15

4Q

注意到，b<a</3*,且tan=tan（/?-&）=------^j-=-,故B、D錯誤，

2l+2x-4

2

故選：A.

3.BC

【分析】設(shè)A&,%）,3（*2，%），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出兩切線斜率，即可求出兩切線方程，然后根據(jù)韋

達定理判斷AB,根據(jù)焦半徑公式化簡求解判斷CD.

【詳解】設(shè)點（3行,4）為點P,拋物線的方程為r=8y,即y=,2,則了=呆，

設(shè)叔％,%）,8%，％），則切線出，的斜率分別為;

切線方程分別為y-必=（%（尤-尤2），

將P的坐標及M=J尤;,%=:只代入，并整理得片一6石占+32=0,第一6&2+32=0,

可得為，j為方程V一6后+32=0的兩個實數(shù)根，

由韋達定理得占％=32,占+七=6石，故A錯誤，B正確；

14斗|甌=（必+2）（為+2）=&；+卜+2）=小再%y+；[；+考）+4=小%xJ+

—+-V2）—2X]X?]+4=x32?+1[（6A/^）?一2x32]+4=49,故C正確；

|AJF|+忸同=了]+2+%+2=>]+?+4=@（尤；+%2）+4=18.5,故D錯誤.

故選：BC

4.BD

【分析】利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的符號可判斷AC,設(shè)切點，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，代入原點方程有三解，轉(zhuǎn)化為

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值，由數(shù)形結(jié)合求解即可判斷BD.

【詳解】因為「（尤）=3（x-a）&0（xeR）,所以/⑺在R上單調(diào)遞增，故AC錯誤；

設(shè)過原點的函數(shù)的切線的切點為（％,%）,則切線的斜率上=『'（七）=3（%-of,

16

所以切線方程為y-%=3(%o-々)2(%-,

因為過原點(0,0),所以_[(/_/+可=3(無廠“)2(_/),

化簡得2片-3以：+/=方，即方程有3個不等實數(shù)根，

令g(x)=2x3-3ox2+a3,貝！]g'(無)=6x(x-a),

當a>0時，尤<0或x>。時，g'(無)>0,0<x<q時，g'(無)<。,

所以g(x)在(-亂0),(“,+8)上單調(diào)遞增，在(0,a)上單調(diào)遞減，

所以y=6與y=g(x)相交有三個交點需滿足0<6<。3,故B正確；

同理,當“<0時，可知g(x)極大值g(a)=。,極小值為g(0)=c?3,如圖,

可得°3<6<0時，y=匕與y=g(x)相交有三個交點，故D正確.

故選：BD

5.[-1,2)

【分析】由導(dǎo)函數(shù)等求出函數(shù)單調(diào)性和切線方程，畫出了(X)的圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.

【詳解】當尤<0時，，(無)=/+2x,其在(y,—l)上單調(diào)遞減，在(一1,0)上單調(diào)遞增，且r(x)=2x+2,

17

則/'(0)=2；

當0<x<l時，/(x)=ln(l-x),《(%)=一—-<0,其在(0,1)上單調(diào)遞減，且廣(0)=—1.

1-X

作出“X)的圖像，如圖，易知”的取值范圍是［-1,2).

6.3

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線北〃的斜率，并利用直線的交點求點的坐標，再根據(jù)方程

Q

\AM\-\BN\=~,求點A的坐標.

【詳解】設(shè)4a,%),3(々,%)，不妨設(shè)點A在第一象限，點3在第四象限，

當＞=%時，得了=%?*+1=2%+1,即

〃（2玉+1,%）

-1-1

當y=-26時，y=忑,所以點A處切線的斜率為五

所以過點F(1,0)且與直線”平行的直線為了=當>=%時，得%=1一%7^=2工2+1，即

18

N（2尤2+L%）,

所以［AM［=2玉+1-玉=玉+1,忸M=2元2+1—%2=%2+1

Q

所以—忸2=玉_々=§，（*）

2222

設(shè)直線AB:y=M%—l）,聯(lián)立/=以，^kx^（2k+4）x+k=09

118

得$%2=1，犬2=—，代入（*）,得西---=~,

玉x13

化簡為3%；-8%一3=0,解得：石=3,或玉=一；（舍）

所以點A的橫坐標為3.

故答案為：3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，以及利用韋達定理得到玉馬=L

反思提升：

1.求曲線在點P（xo,yo）處的切線，則表明尸點是切點，只需求出函數(shù)在P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用

點斜式寫出切線方程，若在該點P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x=xo.

2.求曲線的切線方程要分清“在點處”與“過點處”的切線方程的不同.過點處的切點坐標不

知道，要設(shè)出切點坐標，根據(jù)斜率相等建立方程（組）求解，求出切點坐標是解題的關(guān)鍵.

【考點3】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?遼寧大連?一模）斜率為1的直線/與曲線>=ln（x+a）和圓/+>2=；都相切，則實數(shù)。的值為（）

A.?；?B.-2或0C.-1或0D.0或1

2.（2024?河北邢臺?二模）已知函數(shù)〃x）=f+21n尤的圖像在Ad,〃%）），以％,〃％））兩個不同點處的切

線相互平行，則下面等式可能成立的是（）

.一10c10

A.玉+%=2B.玉+/=C.工］々=2D.XyX2=

二、多選題

3.（2023,安徽蕪湖?模擬預(yù)測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：

設(shè)『是函數(shù)y="X）的一個零點，任意選?。プ鳛閞的初始近似值，過點（%/（七））作曲線y=“X）的切線4,

設(shè)乙與X軸交點的橫坐標為毛，并稱4為『的1次近似值；過點作曲線產(chǎn)/（%）的切線，設(shè)4與X

軸交點的橫坐標為巧，稱巧為廠的2次近似值.一般地,過點（%/（%））（“CN*）作曲線丫=〃力的切線/日，

記冊與x軸交點的橫坐標為并稱-為r的〃+1次近似值對于方程丁_*+1=0,記方程的根為乙取

初始近似值為%=T,下列說法正確的是（）

19

A.re(-2,-1)B.切線6：23%-4y+31=0

C.\x-x\>^2"

32D.斗

o+13^-1

4.(2024?江西?二模)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(l-詞("0)在處的切線與直線0%+2y—3=0平行,

則()

A.4=1

B.函數(shù)/'(X)存在極大值，不存在極小值

C.當xe(—oo,0)時，f(x)>——X2—x

D.函數(shù)g(x)=|〃尤)|+g(x-l)有三個零點

三、填空題

5.(2024?河南?二模)若兩個函數(shù)/(x)=lnx+a和g(x)=g(a/eR)存在過點12,，的公切線，設(shè)切點坐

標分別為(％,/(占))，(無2,g(女))，則(%+2馬)[/(玉)+2g(9)]=.

6.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=a(x+l)e”(aeR),若曲線y=在x=0處的切線與直線

x+2y=0垂直，則實數(shù)。=；若不等式/(x)-x<0有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)。的取值范圍

是.

參考答案：

1.A

【分析】設(shè)直線/的方程為y=x+6,先根據(jù)直線和圓