2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：二項(xiàng)式定理（原卷版）

專題60二項(xiàng)式定理（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................3

【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題.................................................3

【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題..................................4

【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題..............................................5

【分層檢測】................................................................6

【基礎(chǔ)篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................8

考試要求：

能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡

單問題.

:知識梳理

1.二項(xiàng)式定理

(1)二項(xiàng)式定理：(a+b)n=C%"+C%'「%H-----h-------bC防"5eN*)；

(2)通項(xiàng)公式：Tk+i=C￥a"F眇,它表示第1+1項(xiàng);

⑶二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C2,CL…，CL

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)性質(zhì)描述

對稱性與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即C—CQ

Yl~\~1

當(dāng)左＜〃時(shí)，是遞增的

二項(xiàng)式系2(?N*)

增減性

數(shù)an+1

當(dāng)左＞2(〃?N*)時(shí)，是遞減的

n

('

二項(xiàng)式當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)1“取得最大值

系數(shù)最大值n-1?+1

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)，〃'與，"相等且取得最大值

3.各二項(xiàng)式系數(shù)和

(1)3+。)〃展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：C2+CRC^——HC—名

⑵奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即cHcHcH-=cHcHc5

---=2"-1.

|常用結(jié)論

(a+0)”的展開式形式上的特點(diǎn)

(1)項(xiàng)數(shù)為n+1.

⑵各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的募指數(shù)n,即。與6的指數(shù)的和為n.

⑶字母。按降嘉排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到零；字母6按升嘉排列，從第

一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到機(jī)

⑷二項(xiàng)式系數(shù)從c2,ct一直到cL,a.

.真題自測

一、單選題

2

1.（2024?北京?高考真題）在k-石了的展開式中，V的系數(shù)為（）

A.6B.-6C.12D.-12

2.（2022?北京?高考真題）若（2彳一1）4=%/+的/+/尤2+aiX+a（），則%+的+%=（）

A.40B.41C.-40D.-41

二、填空題

3.（2024?全國?高考真題）+的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)中的最大值為.

4.（2024?天津?高考真題）在+；]的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

5.（2024?上海,高考真題）在（x+1）”的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32,則/項(xiàng)的系數(shù)為

6.（2023?天津?高考真題）在12尤3一:]的展開式中，/的系數(shù)為.

7.（2022?全國?高考真題）的展開式中x?/的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

8.（2022?浙江,[WJ考真題）已知多項(xiàng)式（％+2）（x-1）4=。0+〃]%++〃4冗4+，則。2=

%+%+%+〃4+〃5=

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】展開式中的通項(xiàng)問題

一、單選題

1.（2022?全國?模擬預(yù)測）己知（a+x）（l+J的展開式中，的系數(shù)為10,則實(shí)數(shù)。的值為（）

11

A.一B.一C.-2

22

2.（2022?廣東?模擬預(yù)測）若〃是一組數(shù)據(jù)0,2,0,2的方差,的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（

A.-210B.3360C.210D.16

二、多選題

3.（2022?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）已知/（元）=（尤,則下列說法中正確的有（）

A.“X）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84

3

B.的展開式中不含，的項(xiàng)

C.f（x）的展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和與二項(xiàng)式系數(shù)之和相等

D./（元）的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)和第五項(xiàng)

22222022

4.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）^（l+x）+（l+x）+???+（1+x）°=???+d!2022x,則（）

A.佝=2022B.2=C；o23

20222022

c.￡（-1）4=-iD.Z（T）'%4=1

i=li=l

三、填空題

5.（2022?上海,模擬預(yù)測）在（1+36）3（1-哄門的展開式中，尤的系數(shù)為.

6.（21-22高三下?山東德州,階段練習(xí)）在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和與各項(xiàng)系數(shù)之和比為1:64,

則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

反思提升：

（1）求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，

指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等），解出項(xiàng)數(shù)氏+1,代回通項(xiàng)公式即可.

（2）對于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合

思想求解，但栗注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏；也可利用排列組合的知識求解.

（3）對于三項(xiàng)式問題一般先變形化為二項(xiàng)式再解決，或利用展開式的原理求解.

【考點(diǎn)2】二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)的和問題

一、單選題

1.（2021?江西?模擬預(yù)測）在的展開式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0,

則含/的項(xiàng)系數(shù)為（）

A.45B.-45C.120D.-120

2.（2022?山東德州?二模）己知。＞0,二項(xiàng)式1+/，的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為64,則展開式中的常

數(shù)項(xiàng)為（）

A.36B.30C.15D.10

二、多選題

3.（2022?福建龍巖?一模）已知二項(xiàng)式（?-工丫的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是工，則下列說法正確的有（）

\128

4

A.展開式共有7項(xiàng)B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)

C.所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128D.展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)

4.（2022?廣東深圳?二模）己知（2-x）8=%+%*+%彳2-----|_4彳8,貝?（

8

A.a0=2B.%+/+???+%=1

C.同+同+同+…+同=38D.4+2a?+3/+,,,+84=—8

5.（2022?遼寧沈陽?一模）在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的比值為號，則二項(xiàng)展

開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

6.（2022?湖南長沙?一模）已知（1一4到2必=%+qx+…+生必/期，貝1］3+學(xué)+學(xué)+…+翳?=.

反思提升：

1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一^中重要的方法，對形如（QX+6）",（“F+bx+c）"（Q,Z?￡R）

的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法.

2.若/OOuQo+aix+Qi/H----\~anxn,則於）展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為/（I）,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為

III于⑴+/（-1）僖卅加巖用夕知為III于⑴一于（-1）

ao+a2+a4~\---------0,偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為41+。3+。5-1---------、.

【考點(diǎn)3】二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題

一、單選題

1.（2022?山西臨汾?二模）1?+幺丫的展開式中x的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大值，則a的值為（）

D.-2

2.（2024?安徽?二模）已知心-工］的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為256,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

、多選題

3.（2022?廣東茂名?二模）已知［2工+力）的展開式共有13項(xiàng)，則下列說法中正確的有（）

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2。B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為3“

C.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)D.有理項(xiàng)共5項(xiàng)

4.（2024高三下?河南?專題練習(xí)）已知章］（“cN*）的展開式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,

5

且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為2187,則下列說法正確的是（）

A.展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64

B.展開式中存在常數(shù)項(xiàng)

C.展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為560

D.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為672戶

三、填空題

5.（21-22高三下?全國?開學(xué)考試）已知，2的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為;,

則展開式中最大的二項(xiàng)式系數(shù)值為.

6.（2024高三上?全國?競賽）在（1+辦『的展開式中，若V的系數(shù)為-56,貝匹=；若展開式中有且僅

有X4項(xiàng)的系數(shù)最大，則。的取值范圍是.

反思提升：

二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，展開式中第W+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大

值為°，，；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，展開式中第亍項(xiàng)和第亍項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為或

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

L（2024?北京懷柔?模擬預(yù)測）在,2—：］的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是（）

9999

A.一B.——C.—D.——

4422

z1\23

2.（2023?江蘇?二模）已知2'=%+色+$+...+粵+緣，則卷+今+…+等+%=（）

VX）XXXX222

A.-1B.0C.1D.2

3.（2024?遼寧?一模）的展開式中W的系數(shù)為（）

A.55B.-70C.30D.-25

4.（23-24高三上?云南昆明?階段練習(xí)）已知42°24能被9整除，則整數(shù)。的值可以是（）

6

A.-12B.-7C.9D.13

二、多選題

5.（2024?山西臨汾?三模）在［2-次］的展開式中（）

A.所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128

B.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)

C.有理項(xiàng)共有兩項(xiàng)

D.所有項(xiàng)的系數(shù)的和為38

6.（2023?山東青島?一模）在12犬-：|的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數(shù)項(xiàng)是1120B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等

C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為256

7.（23-24高二上,山東青島?期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中展示了二項(xiàng)

式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結(jié)論正確的是（）

楊輝三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

14641

行

第5

第

6行15101051

第

7行1615201561

第172135352171

8行

第18285670562881

9行

第1193684126126843691

ot一

丁

第11104512021025221012045101

H一

丁115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)

B.1+C"C"C=C；

C.第2020行的第1010個(gè)數(shù)最大

D.第12行中從左到右第2個(gè)數(shù)與第3個(gè)數(shù)之比為2:11

三、填空題

556

8.（2023,河北?模擬預(yù)測）已知多項(xiàng)式（x—2）+（x—I），=/+H----1-a5x+a6x,貝！.

9.（22-23高二下?湖南?期末）在二項(xiàng)式］的展開式中只有第4