2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)模型及其應(yīng)用（解析版）

專題14函數(shù)模型及其應(yīng)用（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................9

【考點1】利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程................................9

【考點2】已知函數(shù)模型解決實際問題..........................................15

【考點3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題..........................................22

【分層檢測】...............................................................27

【基礎(chǔ)篇】.................................................................27

【能力篇】.................................................................36

【培優(yōu)篇】.................................................................40

考試要求：

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直

線上升”等術(shù)語的含義.

2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際等數(shù)學(xué)模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題

的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.

.知識梳理

L指數(shù)、對數(shù)'幕函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)y=axy=logaXy=xn

性（Q>1）（Q>1）（H>0）

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨〃值

圖象隨X的增大逐漸表隨X的增大逐漸表

變化而

的變化現(xiàn)為與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行

各有不同

值的比較存在一個無0,當(dāng)X>X0時，有

2.幾種常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型j{x}=ax+b（a,人為常數(shù)，aWO）

二次函數(shù)模型/（x）=^x2+Z?x+c（tz,b,c為常數(shù)，〃W0）

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型fix）=bax+c（a,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWO）

與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型fix）—Mogax+c（a,b,c為常數(shù)，〃>0且aWLb豐0）

與募函數(shù)相關(guān)的模型f（x）—axn+b（a,b,〃為常數(shù)，oWO）

|常用結(jié)論

1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，

常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際

問題的合理性.

.真題自測

一、單選題

2

1.（2020?全國?高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單

的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作.已知該超市

某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50

份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

2.（2020?山東?高考真題）基本再生數(shù)R。與世代間隔7■是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個

感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指

數(shù)模型：/⑺=e”描述累計感染病例數(shù)/⑴隨時間t（單位:天）的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,7■近似滿足Ro

=l+r7".有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍

需要的時間約為（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

二、多選題

3.（2023?全國,高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級

C.p3=100p0D.Pi<100/?2

4.（2019?北京?高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、

桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次

購買水果的總價達(dá)到120元，顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；

3

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則尤的最大值為.

四、解答題

5.（2019?江蘇?高考真題）如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路/,湖上有橋

AB（A8是圓。的直徑）.規(guī)劃在公路/上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路尸8、QA.規(guī)劃要求:線段

PB、QA上的所有點到點0的距離均不小于同O的半徑.己知點A、B到直線I的距離分別為AC和BDC

。為垂足），測得AB=10,AC=6,BD=12（單位:百米）.

（1）若道路與橋垂直，求道路PB的長；

（2）在規(guī)劃要求下，P和。中能否有一個點選在。處？并說明理由；

（3）對規(guī)劃要求下，若道路P8和QA的長度均為1（單位：百米）.求當(dāng)d最小時，P、。兩點間的距離.

參考答案：

1.B

【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.

【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600-1200=900,

黑=18,故至少需要志愿者18名.

故選：B

【點晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【分析】根據(jù)題意可得/（f）=e”=e038,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間

為0天，根據(jù)0闞2=26°38，，解得。即可得結(jié)果.

4—1

［詳解］因為凡=3.28,7=6,+所以「==0.38,所以/?）=，=*3如,

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為。天，

則eo.38（（+（1）=2產(chǎn),所以=2,所以0.38%=In2,

匚siIn20.6910十

所以％=---x----R1.8天.

10.380.38

4

故選：B.

【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

3.ACD

【分析】根據(jù)題意可知4,e[60,90]，4°e[50,60]，43=40,結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知：Lne[60,90],LpiG[50,60],Ly40,

對于選項A：可得=20xlg且-20xlg匹=20xlg.,

PoPoP2

因為474,貝匹.一J=20xlg&N0,gplgA>0,

PlPl

所以且且pi，??〉。，可得“Npz，故A正確；

Pi

對于選項B：可得乙八一乙為=2°xlg^-2°xlg4=20xlg匹，

PoPoP3

因為4=4-40210,則20xlgRzi0,gplg^>1,

P3P3/

所以上且22，03>°，可得

P3

當(dāng)且僅當(dāng)「2=5。時，等號成立，故B錯誤；

對于選項C：因為人=20xlgR=40,即恒乙=2,

PoPo

可得良=100,即03=lOOp。，故C正確；

Po

對于選項D：由選項A可知：-42=20x1g.,

P2

且4,一乙八490-50=40,貝ij20xlg且<40,

P1

即電且<2,可得旦V100,且?”2>0,所以“WlOOpz，故D正確；

PlP1

故選：ACD.

4.130.15.

【分析】由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得x的最

大值.

【詳解】（l）x=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-10=130元.

⑵設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價為>元，

y<120元時，李明得到的金額為yx80%，符合要求.

5

”120元時，有(y-x)x80%之yx70%恒成立，即8(y-x"7y,xw2,即xW看=15元.

8V07min

所以X的最大值為15.

【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)、數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識、數(shù)學(xué)式子變形與運算求解能力,以實際生活為

背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

5.(1)15(百米)；

(2)見解析；

(3)17+3百(百米).

【分析】解：解法一：

(1)過A作/場，血，垂足為E利用幾何關(guān)系即可求得道路尸2的長；

(2)分類討論P(yáng)和。中能否有一個點選在。處即可.

(3)先討論點尸的位置，然后再討論點。的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、。兩點間的距離.

解法二：

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點P和點B的坐標(biāo)，然后利用兩點之間距離公式可得道路P8的長；

(2)分類討論產(chǎn)和。中能否有一個點選在。處即可.

(3)先討論點P的位置，然后再討論點。的位置即可確定當(dāng)d最小時，P、。兩點間的距離.

【詳解】解法一：

(1)過A作/a_L3D,垂足為E.

由已知條件得，四邊形4CDE為矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=8.

因為PBELAB,

84

所以cos/P2Z)=sinNABE=—=—.

所以cosNPBD4

5

因此道路的長為15(百米).

(2)①若P在。處，由(1)可得E在圓上，則線段BE上的點(除8,E)到點。的距離均小于圓。的

半徑，所以尸選在。處不滿足規(guī)劃要求.

6

②若。在。處，連結(jié)AD,由（1）知AD=〃爐+ED2=10，

AD+ABBD

Affi]cosZBAD=~-'=Z>0,所以&BA。為銳角.

2ADAB25

所以線段AD上存在點到點。的距離小于圓。的半徑.

因此，。選在。處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和。均不能選在。處.

（3）先討論點尸的位置.

當(dāng)團(tuán)08尸<90。時，線段PB上存在點到點。的距離小于圓。的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)回OBP290。時，對線段PB上任意一點F,OF>OB,即線段PB上所有點到點0的距離均不小于圓O的半

徑，點P符合規(guī)劃要求.

設(shè)4為/上一點，且由（1）知，[8=15,

3

此時PtD=《BsinAP{BD=42cosNEBA=15x-=9；

當(dāng)EIOBP>90°時，在中，PB>PlB=15.

由上可知，應(yīng)15.

再討論點。的位置.

由（2）知，要使得QA215,點。只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時，

CQ=《QI-AC。=J15?-62=3后.此時,線段QA上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當(dāng)PB^AB,點。位于點C右側(cè)，且CQ=3萬時，d最小，此時P，。兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+

3A/21.

因此，1最小時，尸，。兩點間的距離為17+3萬（百米）.

解法二：

（1）如圖，過。作OH0/,垂足為H

以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因為BD=：L2,AC=6,所以08=9,直線/的方程為y=9,點A,2的縱坐標(biāo)分別為3,-3.

7

因為AB為圓。的直徑，AB=10,所以圓。的方程為x2+y2=25.

3

從而A(4,3),B(-4,-3),直線A8的斜率為一.

4

4

因為所以直線PB的斜率為

直線依的方程為y=-g4x-冒25

所以尸(-13,9),PB=7(-13+4)2+(9+3)2=15.

因此道路尸8的長為15(百米).

(2)①若P在。處，取線段上一點E(-4,0),則EO=4<5,所以P選在。處不滿足規(guī)劃要求.

②若。在。處，連結(jié)A￡>,由(1)知。(-4,9),又A(4,3),

所以線段AD：y=——x+6(-4領(lǐng)k4).

4

在線段A。上取點M(3,y),因為=〈行百=5,

所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓。的半徑.

因此。選在。處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和。均不能選在。處.

(3)先討論點尸的位置.

當(dāng)團(tuán)。2尸<90。時，線段尸2上存在點到點。的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；

當(dāng)團(tuán)OBP290。時，對線段PB上任意一點F,OF>OB,即線段PB上所有點到點0的距離均不小于圓O的半

徑，點尸符合規(guī)劃要求.

設(shè)A為/上一點，且《8,A3,由(1)知，［8=15,此時片(-13,9)；

當(dāng)團(tuán)。2尸>90°時，在△尸［5中，PB>P,B=15.

由上可知，<7>15.

再討論點。的位置.

由(2)知，要使得0NN15,點。只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.

當(dāng)。4=15時，設(shè)。9),由AQ="2-4)2+(9-3)2=15(°>4),

得。=4+3庖，所以。(4+3@，9),此時，線段QA上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當(dāng)尸(-13,9),Q(4+3?，9)時，“最小，此時P,。兩點間的距離

產(chǎn)。=4+301-(-13)=17+301.

因此，1最小時，P,。兩點間的距離為17+3用’(百米).

8

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用

數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.

庠考點突破

【考點1】利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程

一、單選題

1.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)在下列四個圖形中，點P從點。出發(fā)，按逆時針方向沿周長為/的圖形運動一

周，。、P兩點連線的距離y與點尸走過的路程尤的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點尸所走的圖形是()

2.(2022?甘肅酒泉?模擬預(yù)測)如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=\,。是AB的中點，點尸沿著邊8C、

8與運動，記=將的面積表示為關(guān)于x的函數(shù)〃x),則〃x)=()

DPC

AOB

A.當(dāng)時，/(x)=2tanx

人23幾

B.當(dāng)xi*彳甘時，/(x)=-tanx

「3萬、

C.當(dāng)7，乃)時，/(%)=—tanx

「3萬、

D.當(dāng)時，/(x)=tanx

二、多選題

3.(2021?福建廈門?一模)某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥

9

物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間r（小時）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線.據(jù)進(jìn)

一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則（）

B.注射一次治療該病的有效時間長度為6小時

C.注射該藥物:小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克

O

D.注射一次治療該病_的有效時間長_度為5考31時

4.（22-23高一上?新疆烏魯木齊?期末）設(shè)/（x）=x2,g（x）=2*,/z（x）=log2X,當(dāng)xe（4,+oo）時，對這三個函

數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論中，錯誤的是（）

A.外”的增長速度最快,h（x）的增長速度最慢

B.g（x）的增長速度最快,蛆）的增長速度最慢

C.g（x）的增長速度最快,的增長速度最慢

D.“X）的增長速度最快,g（x）的增長速度最慢

三、填空題

5.（21-22高二下?江蘇南通?期中）根據(jù)疫情防控要求，學(xué)校教室內(nèi)每日需要進(jìn)行噴灑藥物消毒.若從噴灑

'0”,溺10

0.U-1

藥物開始，教室內(nèi)空氣中的藥物濃度y（毫克/立方米）與時間，（分鐘）的關(guān)系為：＞=I,r>10

根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定該藥物濃度達(dá)到不超過0.25毫克/立方米時，學(xué)生可以進(jìn)入教室，則從開始消毒至少—分

鐘后，學(xué)生可進(jìn)教室正常學(xué)習(xí)；研究表明當(dāng)空氣中該藥物濃度超過0.5毫克/立方米持續(xù)8分鐘以上時，才能

起到消毒效果，則本次消毒效果（填：有或沒有）.

6.（2020?江西南昌?三模）如圖，有一塊半徑為R的半圓形廣場，M為AB的中點.現(xiàn)要在該廣場內(nèi)以加為

中軸線劃出一塊扇形區(qū)域。PQ,并在扇形區(qū)域內(nèi)建兩個圓形花圃（圓N和圓S）,使得圓N內(nèi)切于扇形。PQ,

圓S與扇形OPQ的兩條半徑相切，且與圓N外切.記則圓S的半徑）可表示成。的

10

函數(shù)式為,圓S的半徑y(tǒng)的最大值為

參考答案：

1.D

【分析】

由點尸在第二條邊上運動時，y的單調(diào)性可排除A,由圖象的對稱性可排除5,由一開始y與x是線性的可

排除c,對于D,當(dāng)圖形是正方形時，可以驗證它滿足題意.

【詳解】對于A,點尸在第一條邊上時，y=x,

但點尸在第二條邊上運動時，y是隨尤的增大先減?。p到最小時v即為三角形的第二條邊上的高的長度），

然后再增大，

對比圖象可知，A錯誤；

對于B,y與x的函數(shù)圖形一定不是對稱的，B錯誤；

對于C,一開始y與尤的關(guān)系不是線性的，C錯誤；

對于D,因為函數(shù)圖象對稱，所以D選項應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長為。，

點P在第一條邊上時（即OVxWa時），y=彳，

點戶在第二條邊上運動時（即aVxV2a時），y=^a2+（^x-a）2,依然單調(diào)遞增，

點尸在第三條邊上運動時（即2aWxV3a時），y=^a2+（3a-x）2,單調(diào)遞減，

點尸在第四條邊上運動時（即3aVxV4a時），y=^a-x,單調(diào)遞減，

且已知丁與x的圖象關(guān)于x=2a=，（其中/=4〃）對稱，D正確.

2

故選：D.

2.C

【分析】分、xeg,手、xe與，萬1三種情況討論，求出ABIB的邊AB上的高，結(jié)合三角形

的面積公式可得出/（%）的表達(dá)式.

JT________

【詳解】■.?Q8=OC=1,則N2OC=I，易得0c=OD=Jc+a=?,OC2+OD2^CD2,

所以，ZCOD=-,貝IJN20D=匹+2=物.

2424

11

此時，f(x)=JABtanx=tanx；

當(dāng)XE丁刁時，點尸在線段D4上（不包括點A）,

止匕時NPOA=TT_X,則PA=OAtan（7r-x）=-tanx,貝ij/（x）=AB-PA=-tanx.

故選：C.

3.AD

【分析】利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進(jìn)行逐個分析，即可解決.

4/（0,,t<V）

【詳解】由函數(shù)圖象可知y二小丫一、八，

當(dāng)/=1時，y=4,即（；尸=4,解得a=3,

12

4/(0,,t<1)

y=\(iY-3/故A正確，

［國('刈

藥物剛好起效的時間，當(dāng)4,=0.125,即='，

藥物剛好失效的時間g尸=0.125,解得f=6,

故藥物有效時長為6-《1=5/31小時，

3232

藥物的有效時間不到6個小時，故8錯誤，。正確；

注射該藥物，小時后每毫升血液含藥量為4x：=0.5微克，故C錯誤，

OO

故選：AD.

4.ACD

【分析】

做出三個函數(shù)/(x)=d,g(x)=2，，Mx)=log2X的圖象，結(jié)合圖象，即可求解

【詳解】畫出函數(shù)〃元)=/,g(x)=2f(元)=廄2%的圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象，可得三個函數(shù)/(x)=d,g(x)=2*,/z(x)=log2x中，

當(dāng)xe(4,+s)時，函數(shù)g(x)=2工增長速度最快，Mx)=log2%增長速度最慢.

所以選項B正確；選項ACD不正確.

故選：ACD.

【分析】由已知只需即可確定幾分鐘之后學(xué)生可進(jìn)教室，計算出藥物濃度超過Q5毫克/立方米的

24

時間段，即可判斷是否有效果.

【詳解】由題設(shè)，只需(《產(chǎn)”它］，即0.1—122,可得年30分鐘，

24

13

所以30分鐘后藥物濃度不超過0.25毫克/立方米，故30分鐘后學(xué)生可進(jìn)教室正常學(xué)習(xí),

當(dāng)0.1出g,則此5,當(dāng)。產(chǎn)一心：，貝可得Y20,

即第5分鐘到第20分鐘之間藥物濃度超過0.5毫克/立方米，故20-5>8分鐘,

所以本次消毒有效果.

故答案為：30,有.

Rsin6（1-sin8）

6.

（1+sin^）27

（R-a）sin。=a

【分析】設(shè)圓N的半徑為。，有幾何關(guān)系可得消去。即可得到圓s的半徑y(tǒng)與。的函

（7?-2〃一y）sin6=y

數(shù)關(guān)系；令l+sin，=(l<r<2),則y+再由二次函數(shù)求出最大值，即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓N的半徑為。，過N作NKLOQ,STLOP,垂足分別為K、T,如下圖所示：

在RNOKN中,可得&=sin。,即（H-a）sin9=a；

R—ci

在RMTES中，可得5_y=sin6>,即（R—2a—y）sin<9=y；

（H-a）sin。=aHsin。。一sin。)

貝!jy=

（R_2〃_y）sin6=y（1+sin8）2

則.如個

令l+sin6=《lv/<2）,=7?|-1+--4

Itr

134

當(dāng)一二［,即/=2時,R

t43

D

故圓S的半徑y(tǒng)的最大值為￡.

O

Rsine(l—sin6)R_

故答案為：尸…行

【點睛】本題主要考查了函數(shù)的應(yīng)用，同時考查了利用換元法和二次函數(shù)求最值，是中檔題.

反思提升：

判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合,

14

從中排除不符合實際的情況，選出符合實際的情況.

【考點2］已知函數(shù)模型解決實際問題

一、單選題

1.（2024?北京通州?二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時間f（單位:

月）的關(guān)系式為5=“用且4W1）,圖象如圖所示.則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）

①浮萍每個月增長的面積都相等；

②浮萍蔓延4個月后，面積超過30平方米；

③浮萍面積每個月的增長率均為50%；

④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是％,t2,t3,則4+芍=g.

A.0B.1C.2D.3

2.（2022?黑龍江哈爾濱?三模）如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，A3為球門，在某次小區(qū)居民友誼

比賽中，隊員甲在中線上距離邊線5米的P點處接球，此時tanNAPB=（,假設(shè)甲沿著平行邊線的方向向

前帶球，并準(zhǔn)備在點。處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為

（）

c.10V2D.10A/3

二、多選題

3.（2023?河南?模擬預(yù)測）若物體原來的溫度為為（單位:.C）,環(huán)境溫度為4（單位:℃）,物體的溫度冷卻

15

至i]e（e>q,單位:。c）與需用時間”單位:分鐘）滿足"/（。）=：山3號水為正常數(shù).現(xiàn)有一杯開水（100?

放在室溫為20°C的房間里，根據(jù)函數(shù)關(guān)系研究這杯開水冷卻的情況（eg2.7,ln2g0.7）,貝|（）

A.當(dāng)％=5時，經(jīng)過10分鐘，這杯水的溫度大約為40℃

B.當(dāng)左=，時，這杯開水冷卻到60°C大約需要14分鐘

C.若f（60）=10,則/（40）=20

D.這杯水從100°C冷卻到80°C所需時間比從80°C冷卻I至160°C所需時間短

4.（2024?重慶?模擬預(yù)測）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量

隨時間f的衰變公式N（，）=Noe-：，時表示物質(zhì)的初始數(shù)量，，是一個具有時間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)

常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時間，已知ln2=0.7,右表

給出了鈾的三種同位素t的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為（，T2,T3,則（）

物質(zhì)T的量綱單位t的值

鈾234萬年35.58

鈾235億年10.2

鈾238億年64.75

A.T=rln0.5B.T與丁成正比例關(guān)系

C.工>工D.T3>100007；

三、填空題

5.（2023?上海長寧,一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級是表示聲強(qiáng)度相對大小的指標(biāo).其值》（單位：dB）定義為

y=101g,淇中/為聲場中某點的聲強(qiáng)度，其單位為W/m：。=10"W/m2為基準(zhǔn)值.若blOW/n?,則其相

應(yīng)的聲強(qiáng)級為dB.

6.（2007?湖北?高考真題）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室

內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間f（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與f的函數(shù)關(guān)系式為

為常數(shù)）.根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問題:

16

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間/（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式為；

（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開始,

至少需要經(jīng)過小時后，學(xué)生才能回到教室.

參考答案：

1.B

【分析】由已知可得出S=，+L計算出萍蔓延1月至2月份增長的面積和2月至3月份增長的面積，可判

斷①的正誤；計算出浮萍蔓延4個月后的面積，可判斷②的正誤；計算出浮萍蔓延每個月增長率，可判斷

③的正誤；利用指數(shù)運算可判斷④的正誤.

【詳解】由已知可得=2,則5=2'。

對于①，浮萍蔓延1月至2月份增長的面積為23-22=4（平方米），

浮萍蔓延2月至3月份增長的面積為2,-2?=8（平方米），①錯；

對于②，浮萍蔓延4個月后的面積為25=32（平方米），②對；

對于③，浮萍蔓延第"至"+1個月的增長率為'2二=1，所以，浮萍蔓延每個月增長率相同，都是100%，

③錯；

對于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過的時間分別是1,t2,t3,

則》+i=3,2f2+1=4，2fj+1=12=3x4=2，1+1-2，l+1=2，1+，2+2,所以4=,1+%+1，④錯.

故選：B.

2.B

【分析】先根據(jù)題意解出A3長度，設(shè)QH=h,得到cosZAQB=',“+"。，再分析求值域，判

J/+325/+22500

斷取等條件即可求解.

【詳解】設(shè)=并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：PH=25,BH=10,

所以tanZBP7?=^=W=2,S.tanZAPB=—,

HP25531

17

52

--H——

所以tanZAPH=tan(ZAPS+ZBPH)=5,=1,

1-—x-5

315

T-7?AnrrAHAB+BHx+10x+103,J

XtanZAPH=—=—所以一^=三，A解7/I得=tx=5,n即nAB=5,

jtLJLJLlx乙J乙JJ

設(shè)QH=h,/ze[0,25],則AQ=⑺*也=,獷+152,

BQ=y)QH2+BH2=V/z2+102，所以在AAQB中，

+,…A^+BQ'-AB2A2+150

有cosZAQB=—------------------=,

2A0xBQ7^4+325/I2+22500

令m=為+150(150<m<775),所以==二一150,

cosZAQB=f]

所以-150)2+325(ft?-150)+22500/37^°?25?i,

\m2m

因為150<zn<775,所以；二工一<；￡二，則要使—AQ3最大，

775m150

cosZAQB=?I375025

即375025;要取得最小值,即J-W+仝+1取得最大值,

J——廠+——+17m2m

\mm

即—W3750+225+1在3iwl'wl士取得最大值,

mm775m150

令制，-3750/+25/+1,

所以/⑺的對稱軸為：，=擊，所以在《，擊單調(diào)遞增，在擊，擊單調(diào)遞減，

所以當(dāng)一需時，4）取得最大值，即48最大,止匕時〉+,即根=300,

所以外=150,所以/z=5?,即為獲得最佳的射門角度（即-AQB最大）,

則射門時甲離上方端線的距離為：5瓜

故選：B.

18

ABH

3.BCD

【分析】根據(jù)解析式f="O)=：ln*萼中各量的意義，代入求解即可.

k"a

【詳解】r=/(e)=；ln?多,左為正常數(shù).

k"a

對于A,k=—,0Q=100,^=20,t=10,

,.100—20/日180

由10=101n-------,得In------=1,

6>-200-20

ononon

所以貳/e,解得*2。+12。+1r5。,故A錯誤;

對于B,k=――,q=100,4=20,8=60,

t=20In100-20=201n—=20In2?20x0.7=14,故B正確;

60-2040

r_LTIr/rc\\1/口I1100—2011801,??.1

對于C,由/(60)=10,-fg1—In-------=—In—=—In2=10,即n左二—In2,

k60-20k40k10

則“40)=總白田總n2=2。，故C正確;

對于D,設(shè)這杯水從100°C冷卻到80°C所需時間為％分鐘,

則公"吐

1k80-20k3

設(shè)這杯水從80°C冷卻到60°C所需時間為芍分鐘,

80-20

則

k60-20

因為…】

k3x3k9

所以4<4，故D正確.

故選：BCD.

4.BD

19

【分析】A選項，根據(jù)半衰期的定義得到N0=NJ；/，從而得到方程，求出T=71n2；B選項，由A選

項得到結(jié)論；C選項，由B選項可得C錯誤；D選項，計算出人,工，作商得到D正確.

【詳解】A選項，由題意得N?）=N（）

又N?）=Noe：，故乂N-,兩邊取對數(shù)得，

T=rln2,A錯誤；

B選項，由A可知，T與丁成正比例關(guān)系，B正確；

C選項，由B可知，T與r成正比例關(guān)系，由于鈾234的T值小于鈾235的r值,

故】＜（，C錯誤；

D選項，7；=rIn2=6.475xlO9ln2,

7；=rIn2=3.558x10sln2,

6.475xlO9In2

故一-->1,D正確.

100007；3.558x1()9ln2

故選：BD

5.130

【分析】

將題中數(shù)據(jù)直接代入公式，結(jié)合對數(shù)運算求解.

122

【詳解】因為/=10W7m2,Z0=WW/m,

所以其相應(yīng)的聲強(qiáng)級為＞=10坨而7=10恒10"=130dB.

故答案為：130.

10z,0<r<—

103

6.-/0.6

【分析】⑴當(dāng)04芯上時，可設(shè)y=打，把點（?入直線方程求得般得到直線方程；當(dāng)?shù)脮r，

把點弋入＞「求得。，

曲線方程可得.最后綜合可得答案.

20

1

io<1

（2）分析可知只有當(dāng)藥物釋放完畢，室內(nèi)藥量減少到0.25毫克以下時學(xué)生方可進(jìn)入教室，可出

1

t>——

10

解此不等式組即可得解.

【詳解】解：（1）依題意，當(dāng)時，設(shè)y=公，則:后=1，解得％=1。，

_1t—a

、歷代入尸，解得

將I可得^=1a=W

y=1AA

1

10t,0<?<——

10

綜上所述，＞=1

t-----

\101

t>——

A10

⑵由題意可得y＜°-25=；,因為藥物釋放過程中室內(nèi)藥量一直在增力口,

即使藥量小于0.25毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室,

所以只有當(dāng)藥物釋放完畢，室內(nèi)藥量減少到0.25毫克以下時學(xué)生方可進(jìn)入教室,

3

,解得1＞飛,

由題意至少需要經(jīng)過（3小時后，學(xué)生才能回到教室.

10/,0</<—

10

故答案為：（1）y=,1;（2）

101

A,z>io

反思提升：

1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點.

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗.

【考點3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實際問題

一、單選題

1.（2024?北京朝陽?二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中P是

空氣密度，s是該飛行器的迎風(fēng)面積，v是該飛行器相對于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決

21

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率P=A.當(dāng)夕,s不變，V比原來提高

10%時，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則尸比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

2.（23-24高三上?江蘇南通,期