2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：空間直線、平面的垂直（原卷版）

專題39空間直線、平面的垂直（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點(diǎn)突破】................................................................6

【考點(diǎn)1】直線、平面垂直的判定與性質(zhì)........................................6

【考點(diǎn)2】平面與平面垂直的判定與性質(zhì)........................................8

【考點(diǎn)3】平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用..........................................11

【分層檢測】...............................................................13

【基礎(chǔ)篇】.................................................................13

【能力篇】.................................................................16

【培優(yōu)篇】.................................................................17

考試要求：

從定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線、直線與平面、

平面與平面的垂直關(guān)系.

?知識梳理

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

如果直線I與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線I與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個(gè)l±a、

l±b

判定定平面內(nèi)的兩條相交直

aC\b=O>n/_La

理線垂直，那么該直線

7aua

與此平面垂直bua>

b

性質(zhì)定垂直于同一個(gè)平面的a.La\

\=>a//b

理兩條直線平行b-La)

2.直線和平面所成的角

⑴定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，

一條直線垂直于平面，則它們所成的角是繆；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成

的角是0°.

⑵范圍：0>|.

3.二面角

⑴定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.

⑵二面角的平面角

若有①②OAua,OBuB；③04，/,OBU,則二面角a—/一用的平聲反、

面角是NAOB

⑶二面角的平面角a的范圍：0°^a<180°.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

2

如果一個(gè)平面過另一個(gè)

b7/_La1

判定定理平面的垂線,那么這兩個(gè)

平面垂直L6

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)

a邛]

平面內(nèi)有一直線垂直于

baCB=a

性質(zhì)定理這兩個(gè)平面的交線,那么>o/_La

4l-La

這條直線與另一個(gè)平面1

lu8J

垂直

I常用結(jié)論

1.三個(gè)重要結(jié)論

⑴若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.

⑵若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線（證明線線垂直的一個(gè)

重要方法）.

⑶垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

2.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

判定定理判定定理

線線垂直彳士線面垂直彳面面垂直

性質(zhì)性質(zhì)定理

；真題自測

一、單選題

1.（2024?北京,高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=26，該棱錐的高為（）.

A.1B.2C.72D.目

52..

2.（2024?全國?[Wj考真題）已知正二棱臺ABC-4耳。1的體積為耳，AB=6,4月=2,則AA與平面A3C

所成角的正切值為（）

A.；B.1C.2D.3

3.（2023?北京?高考真題）坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出

3

建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是

全等的等腰三角形.若AB=25m,3c=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面

ABCD的夾角的正切值均為正，則該五面體的所有棱長之和為（）

5

C.117mD.125m

19

4.（2023?天津?高考真題）在三棱錐尸—ABC中，點(diǎn)MN分別在棱尸。，尸3上，S.PM=-PC,PN=-PB,

則三棱錐尸和三棱錐尸-ABC的體積之比為（）

1214

A.-B.-C.-D.一

9939

二、解答題

5.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,4D=3,點(diǎn)E在AD上,

S.PEJ.AD,PE=DE=2.

⑴若尸為線段PE中點(diǎn)，求證：3P〃平面PC。.

⑵若AB人平面PAD,求平面HLB與平面PCD夾角的余弦值.

6.（2024?全國?高考真題）如圖，平面四邊形A8CD中，AB^8,CD=3,AD=5s/3,ZADC=90",ZBAD=30",

2i

點(diǎn)、E,F滿足AF=-AB,將尸沿EE翻折至！PEF,使得PC=4A/L

⑴證明：EFLPD；

4

(2)求平面PCD與平面所成的二面角的正弦值.

7.(2024?全國?高考真題)如圖，四棱錐尸―ASCD中，“，底面ABC。，PA^AC=2,BC=1,AB=^3.

B

(1)若ADLPB,證明：AD〃平面PBC；

(2)若ADLOC,且二面角A—CP—O的正弦值為叵，求AD.

7

8.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐尸-ABC中，24,平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=B

B

⑴求證：平面B48；

(2)求二面角A—PC—3的大小.

9.(2023?全國?高考真題)如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB1BC,AB=2,BC=20,PB=PC=?

3尸,AP,3c的中點(diǎn)分別為，及O,點(diǎn)尸在AC上，BFLAO.

⑴求證：EF〃平面AZJO；

(2)若/PO尸=120。，求三棱錐P-43C的體積.

5

10.（2023?全國?高考真題）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，AC，底面ABC,ZACB=90°,=2,人到

平面3CC內(nèi)的距離為1.

（1）證明：AC=AC；

⑵已知M與BB,的距離為2,求破與平面BCCA所成角的正弦值.

M考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】直線、平面垂直的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于A,8的一點(diǎn),

則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AELCE

B.BC//平面ADE

C.平面平面BCE

D.DE2平面8CE

2.（2024?遼寧大連?一模）已知直線a,b,c是三條不同的直線，平面a,6y是三個(gè)不同的平面，下列命

題正確的是（）

A.若“_Lc,ZJ±C,則allb

B.若a//。，alia,則方〃<z

C.alla,blla,c±a,且。_1_6,貝！|cJ_a

6

D.若/?_La,y-La,且加y=a,則a_La

3.（23-24高三上?四川?階段練習(xí)）已知/,疑是兩條不同的直線，?,夕是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中

正確的是（）

A.若?月，lua,muf3,貝！]/_1_相

B.若機(jī)JL￡,a，/3,則加〃打

C.若l//m,Ila,mV[3,則a///

D.若a〃〃，且/與a所成的角和加與尸所成的角相等，則〃/加

二、多選題

4.（2024?湖南邵陽?三模）如圖所示，點(diǎn)E為正方體形木料ABC。-44GA上底面的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正

A.三棱錐E-ABC的體積為定值

B.存在點(diǎn)E,使CEL平面BD。耳

C.不存在點(diǎn)E,使CE//平面區(qū)0￡（4

D.經(jīng)過點(diǎn)E在上底面上畫一條直線/與CE垂直，若/與直線42重合，則點(diǎn)E為上底面中心

三、解答題

5.（2024?天津河北?模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面45CD是正方形，PAlnABCD,

PA^AB^l,M,N分別是R4,PB的中點(diǎn).

⑴求證：MN//平面A5CD；

（2）求證：CD_L平面PAD；

⑶求直線PC與平面尸AD所成角的正弦值.

7

6.（2024?山東濟(jì)寧?三模）圖1是由正方形ABC。和兩個(gè)正三角形八4￡＞及△CD尸組成的一個(gè)平面圖形，其

中AB=2,現(xiàn)將VADE沿AD折起使得平面平面ABCD,將_CDF沿CD折起使得平面CDF，平面

ABCD,連接EF,BE,BF,如圖2.

⑴求證:跖〃平面ABCD；

（2）求平面ADE與平面BCF夾角的大小.

反思提升：

（1）證明線面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性；③面面垂直的性質(zhì).

（2）證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直，則需借助線面垂直的性質(zhì).

【考點(diǎn)2】平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

一、單選題

1.（2024?四川成都?三模）已知直線/、m、"與平面a、夕，下列命題正確的是（）

A.若/_L",m±n,貝

B.若/La,1///3,則a_L尸

C.若/_La,ILm,則相〃a

D.若。_L￡,aP=m,I±.m,則/

2.（2024?江西鷹潭?模擬預(yù)測）如圖，在長方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為。C的中點(diǎn)，尸為線段EC

（端點(diǎn)除外）上的動點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD±平面ABC,在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)。作。K，AB,

K為垂足.設(shè)BK=t,則f的取值范圍是（）

二、多選題

3.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在正四棱錐尸-ABCD中，點(diǎn)M,N,S分別是棱PAP8,PC上的點(diǎn)，且=

8

PN=yPB,PS=zPC，其中x,y,ze（O,l],則（）

A.當(dāng)x='=z時(shí)，平面ABCD〃平面WS

B.當(dāng)x=l,y=g,z=l時(shí)，尸￡）〃平面觸VS

21i

c.當(dāng)x=>=彳，z=,時(shí)，點(diǎn)。金平面腦vs

J乙。

2i

D.當(dāng)尤=§，>=5時(shí)，存在z?O,l],使得平面PAC_L平面肱VS

4.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在正三棱柱ABC-AMG中9=BC=2,VABQ的重心為G,以G為球心的

球與平面BCG可相切.若點(diǎn)P在該球面上，則下列說法正確的有（）

A.存在點(diǎn)尸和實(shí)數(shù)尢〃，使得=+

B.三棱錐P-ABC體積的最大值為史28

9

C.若直線5P與平面A3C所成的角為凡貝hind的最大值為北巫

8

D.若2尸，與C,則所有滿足條件的點(diǎn)P形成的軌跡的長度為運(yùn)

3

三、解答題

5.（2024?江西新余?二模）如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A3CD是直角梯形，ABCD,ZABC=90°,

S.PA=PD=AD,PC=PB.

⑴若。為AD的中點(diǎn)，證明：平面POCL平面ABCD；

（2）若NCZM=60。，AB=^CD=1,線段尸。上的點(diǎn)/滿足。M=九。尸，且平面PCB與平面ACM夾角的余

弦值為叵，求實(shí)數(shù)4的值.

7

6.（2024?湖南衡陽?模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-ABG中，平面4/珥4，平面ABC,平面CB4G，平

面ABC.

9

(1)證明：2月J■平面ABC.

(2)若AB工BC,AB=BC=CCX,求直線BC與平面4陽所成角的正弦值.

反思提升：

(1)面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化

①兩種方法：

⑴面面垂直的定義；

(ii)面面垂直的判定定理aua=>a_L￡).

②一個(gè)轉(zhuǎn)化：

在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線

面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用

①兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直

線”.

②兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線垂直于第三個(gè)平面.

【考點(diǎn)3】平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

一、單選題

1.(2024?浙江寧波?模擬預(yù)測)已知棱長為1的正方體ABCD-A與GQ，M，N分別是A8和8C的中點(diǎn)，則

到平面4G。的距離為()

A.BB.諉C.3D.近

3322

2.(23-24高三上?陜西商洛?階段練習(xí))如圖所示，在棱長為2的正方體ABC。-44GA中，點(diǎn)P在棱GR

上，且3尸=3,則點(diǎn)AC到平面887的距離之和為()

10

A.75B.—C.D.2A/2

52

二、多選題

3.（2023?湖南長沙?模擬預(yù)測）如圖1,某廣場上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八

個(gè)一樣的正三棱錐得到的，它的所有邊長均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregularsolid）,亦稱

為阿基米德多面體，如圖2,設(shè)=則下列說法正確的是（）

圖1

A.該多面體的表面積為6+26

B.該多面體的體積為述

3

C.該多面體的平行平面間的距離均為行

D.過A、。、G三點(diǎn)的平面截該多面體所得的截面面積為38

2

4.（2024?山西晉中?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-4月6。中，G為2片的中點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的有（）

A.CG與AG所成角的余弦值為半

B.DB］與平面A,BCt的交點(diǎn)H是,ABG的重心

11

c.三棱錐2-BAG的外接球的體積為4國

D.B片與平面ABG所成角的正弦值為逅

3

三、解答題

5.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖所示，斜三棱柱ABC-A4C的各棱長均為2,側(cè)棱B片與底面A3C所

C

⑴證明：點(diǎn)均在平面A3C上的射影。為A3的中點(diǎn);

⑵求二面角C-Ag-B的正切值.

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）如圖四棱臺ABC。-AqCQ中，BC//AD,CCJ平面A5CD,AD=2AB=2BC.

（2）若Cq=2,CD=3,2C=42=|,求二面角4-至-。的余弦值.

反思提升：

三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.求解時(shí)應(yīng)注意

垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.如果有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線

的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.

■分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知正三棱臺ABC-42G的上底面積為右，下底面積為46，高為2,則

該三棱臺的表面積為（）

A.5>/3+3739B.3739C.5班+18D.18

12

2.（2023?全國,模擬預(yù)測）已知正方體48CD-A與GP的棱長為1，點(diǎn)O在線段BG上且BO=go￡,則點(diǎn)

O到平面8CP4的距離是（）

AJ-R丘C6

A?D..U.

3632

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）在四棱錐尸-ABCD中，上4。為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形，且

AB=V2BC，平面PAT>J_平面ABCD,則直線AC與平面PCD所成角的正弦值為（）

C,3

2

4.（2024IWJ二下?全國?專題練習(xí)）已知相，”是兩條不同的直線，。，⑸y是二個(gè)不同的平面，則下列命題正

確的是（）

A.平面。內(nèi)有無數(shù)條直線與平面,平行的充要條件是&〃萬

B.平面a內(nèi)有兩條直線加，“分別與平面方,7平行，則///尸

C.若m〃n,muy,nua,且〃7,貝！|///a

D.平面。內(nèi)有無數(shù)條直線與平面/垂直，則C月

二、多選題

5.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A,8為不同的兩點(diǎn)，直線乙，％4為不同的三條直線，平面。，夕為

不同的兩個(gè)平面，則下列說法正確的是（）

A.若4_La,l2//a,則4_L4

B.若4ua,l2lla,則“〃2

C.若（ua,/,up,ac0=%,/；nZ2=A,則Aeg

D.若〃〃2〃a,a，/3,4B=A,0=B,則直線AB〃a

6.（2023?云南?三模）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若直線。不平行于平面a,a<za,則a內(nèi)不存在與。平行的直線

B.若平面a_L平面/，平面&一平面%=/,41/,貝匹，必

C.設(shè)〃為直線，私”在平面a內(nèi)，則"Ua"是"以相且以〃”的充分不必要條件

D.若平面a_L平面％,平面/_L平面夕-則平面a與平面夕所成的二面角和平面必與平面4所成的二

13

面角相等或互補(bǔ)

7.（2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在正四面體中，AB=3,點(diǎn)。為ACD的重心，過點(diǎn)。的截面平行

于A8和C。，分別交8C,BD,AD,AC于E,F,G,H,貝|（）

A.四邊形EFGH的周長為8

B.四邊形EFG8的面積為2

C.直線和平面EFGH的距離為0

TT

D.直線AC與平面EfGH所成的角為:

4

三、填空題

8.（2024?陜西?三模）如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，E是底面圓周上異于的一點(diǎn)，則下面結(jié)論

中正確的序號是.（填序號）

①AE_LCE；（2）BEJ.DE；③DEI平面BCE；④平面平面3CE.

9.（23-24高三下?重慶?開學(xué)考試）如圖，在正四棱柱中，臺4=2,AB=AD=1,E為441的

中點(diǎn)，則4c中點(diǎn)到平面DCE的距離為

14

10.（1997?全國，局考真題）已知根、/是直線，。、夕是平面，給出下列命題：

①若/垂直于a內(nèi)兩條相交直線，貝

②若/平行于a,貝門平行于a內(nèi)所有的直線；

③若mua,/uP且/_Lm，則

④若/u￡且則

⑤若/wua,/u。且a〃尸，則/〃加.

其中正確命題的序號是.

四、解答題

11.（2024?上海普陀?二模）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，SA=SB=2,E、

產(chǎn)分別是SC、3。的中點(diǎn).

⑴求證：取〃平面SAB；

7T

（2）若二面角S-AB-。的大小為求直線Q與平面ABCD所成角的大小.

12.（2024?江蘇?二模）如圖，直三棱柱ABC-Age的體積為1,ABIBC,AB=2,BC=1.

⑴求證：BCJAC；

15

（2）求二面角與-AC-B的余弦值.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?陜西?模擬預(yù)測）在平行六面體A3CO-AqGA中，已知A8=AD=44,=1,

ZA.AB=Z^AD=ABAD=60°,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）

A.直線AC與所成的角為90。

B.線段AC的長度為0

C.直線AC與8月所成的角為90°

D.直線4C與平面所成角的正弦值為亞

3

二、多選題

2.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，在正方體ABC。-A瓦CQ中，E,F,M,N分別為棱

/里，AM-ABOC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是面BC的中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.E,F,M,P四點(diǎn)共面B.平面P